i 目标规划及其图解法
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目标规划的图解法 32页PPT文档
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部 为零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止 计算转到第6步；否则转入⑵。
⑵.如果某一个αk >0。说明第k个优先等级的目标尚 未达到,必须检查Pk这一的检验数σkj(j=1.2…n+2m).若 Pk这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级） 没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转 到第3步；若Pk这一行全部负检验数的同列上面（较高 优先等级）都有正检验数，说明目标虽没达到，但已 不能改进，故得满意解，转到第6步。
min
Z
P1
d
1
P2
(
d
2
d
2
)
P3
d
3
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
8
x
1
10
x2
d
3
d
3
56
2
x1
x2
11
x 1 2
0,
d
j
.
d
j
0
( j 1.2.3)
C D
cjm
xjm
bom
em1
em2
emn+2m
P1
α1
σ11
σ12
σ1n+2m
⑵.如果某一个αk >0。说明第k个优先等级的目标尚 未达到,必须检查Pk这一的检验数σkj(j=1.2…n+2m).若 Pk这一行某些负检验数的同列上面（较高优先等级） 没有正检验数，说明未得到满意解，应继续改进，转 到第3步；若Pk这一行全部负检验数的同列上面（较高 优先等级）都有正检验数，说明目标虽没达到，但已 不能改进，故得满意解，转到第6步。
min
Z
P1
d
1
P2
(
d
2
d
2
)
P3
d
3
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
8
x
1
10
x2
d
3
d
3
56
2
x1
x2
11
x 1 2
0,
d
j
.
d
j
0
( j 1.2.3)
C D
cjm
xjm
bom
em1
em2
emn+2m
P1
α1
σ11
σ12
σ1n+2m
i第四章 目标规划及其图解法
3x1
10x2 d6 d6 3000
x1, x2 0, di , di 0, (i 1, 2,
目标约束 软约束
, 6)
３．目标规划的目标函数(达成函数)
引入偏差变量使原规划问题中的目标函数变 成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？
对于满足绝对约束和目标约束的所有解（可行 解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策 值与目标值的偏差越小越好．从而目标规划的目标 函数就由原目标函数变成的目标约束中偏差变量来 构成．它有三种基本表现形式：
200
4x1
5 x2 2000
3x1 10x2 3000
x1, x2 0, di , di 0,
(i 1, 2,3)
４．优先因子与权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这
些目标的偏差可能相互替代或抵消，因为我们求的是
所有偏差和最小，而实际问题中的目标之间也有主次、
轻重、缓急之区别．决策者往往有一些最重要的，第
这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数
Min Z
(di
d
j
)
i, j
如例4-2
70
x1
x1
120 x2
d1
d
2
d1 d2
45000 250
s.t.9.2x1
x2 d3 d3 200 4 x2 3600
利润希望达
到45000,不
足部分d
越小越好!
4x1
5 x2 2000
一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子P1，在它 实现的前提下再去解决次要目标．依次把第二位达到
的目标赋予优先因子P2 ……，并规定Pk » Pk+1，即不 管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立Pk>MPk+1,表示 Pk比Pk+1具有绝对的优先权．因此，不同的优先因子 代表着不同的优先等级．
目标规划的图解法
解 作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
目标规划的图解法共33页
σmn+2m
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min
Z
P1
d
1
P2
(
2
.5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
d
2
d
2
)
P3
d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d
1
8
x
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1
5-2目标规划的图解法
d1 4
30
(1) (2)
x1
d3
d3
6
(3)
s.t.
2
x1
16
2x2 10
(4) (5)
6 D 4
3x1 4x2 32 x1, x2 0 dl , dl 0(l 1, 2, 3)
(6)
(7) 2
x1=5, x2=4
d
3
0
(l 1.2.3.4)
作图：
x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d1
BA
d
2
d
2
C
d
4
d
4
⑷
min
Z
P1d1
P2 (2.5d3
d
4
)
P3d
2
30
x1
2x1
12 x2 x2
d1 d1
d
2
d
2
2500 140
(1) (2)
x1
d
3
d
3
60
(3)
x2
d
4
d
4
100
(4)
x12 0, dl , dl 0 (l 1.2.3.4)
40
20
D
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
目标规划的图解法课件
50 E D
2、先满足P1，OD线段
3、再满足P2，ED线段（满意解） O
50
E (500/11,500/11) ,
d1
d1
d
2
d
2
0
D (360/7,360/7)
,
d1
d1
d
2
0,
d
2
92 / 7
C 100 l2
150
d
2
x1 l1
d
2
l4
第一节 目旳规划旳基本概念与数学模型 一、问题旳提出 二、目旳规划旳基本概念
有关最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，
使单个目旳到达最优值（最大值或最小值）．而目旳规
划是在可行域内，首先寻找到一种使P1级目旳均满足旳 区域R1，然后再在R1中寻找一种使P2级目旳均满足或尽 最大可能满足旳区域R2（R1），再在R2中寻找一种满 足P3旳各目旳旳区域R3（R2R1），…,如此下去，直 到寻找到一种区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级旳各目旳， 这个Rk即为所求旳解域，假如某一种Ri (1 i k)已退化 为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足
min
z
P1 (d1
d1 )
P2d
2
s.t 2x1 3x2 300
l1
2x1 1.5x2 180
l 2x2
x1 x2 d1 d1 0
l3
10x1
12 x2
d
2
d
2
1000
1l450
x1,x2
,di
,d
i
0
i 1,2
A
100
l3 d1
B
d1
4.2 目标规划的图解分析法
( l1 ) 5 x1 10 x2 60 ( l2 ) x1 2x2 d1 d1 0 s.t 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 ( l3 ) 再考虑P2 级目标， 6 x1 8 x2 d 3 d 3 48 ( l4 ) 要求目标越小越好， x , x 0, d , d 0, ( i 1, 2, 3) i i 1 2
o
x1
注意：在目标规划中，考虑低级别目标时， 不能破坏已经满足的高级别目标，这是基本 原则．
但它并不是说，当某一高级别目标不可能满 足时，其后的低级别目标就一定不能满足． 而是在有些目标规划中，当某一优先级的目 标不能满足时，其后的某些低级别目标仍可 能被满足．
min Z P1d1 P2d P3 ( 2d d 4 例3: 2 3 某电视机厂装配黑白和彩色电视机， x1 x 2 d1 d1 40 每装配一台电视机需占用装配线1小时， x1 x 2 d d 50 2 2 装配线每周计划开动40小时。 预计市场每周彩色电视机的销量是24台， x1 d d 24 3 3 每台可获利80元； x 2 d 4 d 4 30 黑白电视机的销量是30台， x , x 0, d , d 0(i 1 4) i i 每台可获利40元。 1 2 该企业决策者确定的目标为： 第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班； 但加班时间每周尽量不超过10小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。 因彩色电视机的利润高，取其权数为2。 试建立该问题的目标规划模型， 并求解黑白和彩色电视机的产量。
这种满足所有目标要求的情况，即： min z 0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
5 目标规划的图解法
9 OR:SM
目标规划的图解法实例5
Pd （ min Z P d P 2 2.5d d ）
1 1 3 4 3 2
x2
30x1 12x2 d1 d1 2500 2 x x d d 1 2 2 2 140 x d d 3 3 60 1 x d d 2 4 4 100 x 60 1 100 x2 x 0 , d , d 1 2 l l 0 (l 1.2.3.4)
目标规划数学模型：
16
OR:SM
第四节 目标规划的应用案例
1.利润期望优先
怎么办？ 满意解：x1 =8, x2 = 3；设备能力：需求：308+60 3=420，实际：360 解决的办法：实现目标 P1 和 P2 ，需要降低甲乙产品的设备消耗 : 降低率 (420-360)/360=17%，甲产品的设备消耗降为30 (1-17%) ≈25, 乙产品的设备 消耗降为60 (1-17%) ≈50。 生产部 目标
Step4 转到下一个优先 等级的目标，在不 破坏所有较高优先 等级目标的前提下， 求出该优先等级目 标的解；
OR:SM
目标规划的图解法实例1
(1 )
x2
MinZ P （ 1d1 P 2 d2 d2 ) P 3d3
＋
－
＋
11 10
d1d2+
5.6
2x1 x2 11 (1) x x d d 0 (2) 1 2 1 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 (3) 8x 10x d d 56 (4) 2 3 3 1 (2 ) x , x , d , d ,2,3) 1 2 i i 0(i 1
目标规划的图解法实例5
Pd （ min Z P d P 2 2.5d d ）
1 1 3 4 3 2
x2
30x1 12x2 d1 d1 2500 2 x x d d 1 2 2 2 140 x d d 3 3 60 1 x d d 2 4 4 100 x 60 1 100 x2 x 0 , d , d 1 2 l l 0 (l 1.2.3.4)
目标规划数学模型：
16
OR:SM
第四节 目标规划的应用案例
1.利润期望优先
怎么办？ 满意解：x1 =8, x2 = 3；设备能力：需求：308+60 3=420，实际：360 解决的办法：实现目标 P1 和 P2 ，需要降低甲乙产品的设备消耗 : 降低率 (420-360)/360=17%，甲产品的设备消耗降为30 (1-17%) ≈25, 乙产品的设备 消耗降为60 (1-17%) ≈50。 生产部 目标
Step4 转到下一个优先 等级的目标，在不 破坏所有较高优先 等级目标的前提下， 求出该优先等级目 标的解；
OR:SM
目标规划的图解法实例1
(1 )
x2
MinZ P （ 1d1 P 2 d2 d2 ) P 3d3
＋
－
＋
11 10
d1d2+
5.6
2x1 x2 11 (1) x x d d 0 (2) 1 2 1 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 (3) 8x 10x d d 56 (4) 2 3 3 1 (2 ) x , x , d , d ,2,3) 1 2 i i 0(i 1
目标规划图解法标规划单纯形法
X1 , X2 , di- , di+ 0
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB
目标规划图解法
P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
目标规划02-图解法、单纯形法
（具体如下页所示）
13
P1：年工资总额不超过60000元 2000(10-10×0.1+x1)+1500(12-x1+x2)+1000(15x2+x3)+d1--d1+ =60000 P2：每级的人数不超过定编规定的人数 对Ⅰ级有 10(1-0.1)+x1+d2-—d2+=12 对Ⅱ级有 12-x1+x2+d3-—d3+=15 对Ⅲ级有 15-x2+x3+d4-—d4+=15
最优性条件时，且无法进一步优化时，从单纯形表上就可以得
到目标规划的最优解或满意解。
6
目标规划 Goal Programming（GP）
例：现有如下目标规划问题 Min Z = P1d1- +P2d2+ +P3d35x1 + 10x2 + x3 x1 – 2x2 + d 1- – d1+ 4x1 + 4x2 + d2- – d2+ 6x1 + 8x2 + d3- – d3+ x j ， di- ， di+ ≥ 0
3
目标规划 Goal Programming（GP）
解：建立目标规划模型： x1 —— 彩色电视机的生产量 x2 —— 黑白电视机的生产量
min Z = P1 d1-+ P2 d2++ P3（2d3- +d4-） x1 + x2 + d1- - d1+= 40 s.t. x1 + x2 + d2- - d2+= 40+10=50 x1 + d3- - d3+= 24 x2 + d4- - d4+= 30
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3 x1
10 x2
d
6
d
6
3000
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0 , (i
1, 2,L
,6)
软约束
３．目标规划的目标函数(达成函数)
引入偏差变量使原规划问题中的目标函数变 成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？
对于满足绝对约束和目标约束的所有解（可行 解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策 值与目标值的偏差越小越好．从而目标规划的目标 函数就由原目标函数变成的目标约束中偏差变量来 构成．它有三种基本表现形式：
三、目标规划的数学模型
通过上面分析，例4-2中问题的模型为
M in Z P 1 d 1 P 2 ( 1 0 d 2 2 d 3 )
7
0
x1 x1
1
2
0
x
2
d
1
d
2
d
1
d
2
450 250
0
0
s
.t.
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
约束条件，即从实际出发，根据经验、历史资料或市场的需求、
上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标
值ei , (i =1，2，…，m)．一般说来，这些值ei 的确定并不要求
十分精确或严格，允许决策的实际值大于或小于ei ．我们称实
际值与目标值的差距为偏差变量．di用和di
表示．
d
i
为正偏差变量——第
当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时，更
一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量，从
而把约束条件全部变为等式．如:
目标约束
70 x1
x1
120
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
45000 250
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4
x2
d
4
d
4
3600
4 x1
5
x2
d
5
d
5
2000
d
表示利润超过45000元
的数量，d
则表示利润距45000元还差的数量,
d
2
表示
甲产品产量超过250件的部分，……．这样可得三个目
标函数方程
Max Max Min
y1 y2 y2
70 x1 x2
x1
120
x270x1 x1
120x2 d1 d2
x2 d3
d1 d2 d3
45000
250 410
目标规划对众多的目标分别确定一个希望实现的 目标值，然后按目标的重要程度（级别）依次进行 考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方 案．如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它 也能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决 策者参考．
第四章 目 标 规 划
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一、问题的提出 二、目标规划的基本概念
二、目标规划的基本概念
多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11x1 c12x2 L c1nxnC1X
Max y2 c21x1 c22x2 L c2nxax ym cm1x1 cm2x2 L cmnxnCmX
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束， 也称为系统约束．它对应于线性规划中的约束条件（如 资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为 不可行解，因此也称为硬约束．
２． 目标约束与绝对约束
70 x1
x1
120
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
450 250
00
9
.2
x1
x2
d
3
d
di 0,di 0表示第i个目标的实际值未达到目标值
di ,di 表示第i个目标的实际值恰好等于目
标值．并且无论发生哪种情况均有: di di
在例4-2中，若提出目标y1的期望值e1= 45000元，y2
的期望值e2=250件，y3的期望值 e3=200件，则可引入偏
差变量 di , di（i =1，2，3）,
i个目标实际值超出目标值的部分．
d i 为负偏差变量——第 i 个目标实际值不足目标值的差距
规定 d i 和 d i 0i 1 ,2 , ,m
当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况：即
۞ 由 di和di所构成的3种不同组合表示的含义：
di ,di 表示第i个目标的实际值超出目标值
9 .2 x1 4 x2 3 6 0 0
s.t.
4 3
x1 x1
5 x2 10 x
2000 2 3000
x1 , x 2 0
对于多目标问题，线性规划很难为其找到最优 方案．极有可能出现：第一个方案使第一目标的结 果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于 第一方案．就是说很难找到一个方案使所有目标同 时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线 性规划方法是无法解决的．实践中，人们转而采取 “不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基 础上建立一种新的数学规划方法——目标规划．
1. 决策变量与偏差变量 ２. 目标约束与绝对约束 ３. 目标规划的目标函数(达成函数) ４. 优先因子与权系数
三、目标规划的数学模型 第二节 目标规划的图解法
第一节 目标规划的基本概念与数学模型
一、问题的提出
例4-1 某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场
上有甲、乙两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元 /kg，要求采购的总费用不得超过20万元，购得原料 的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少于50kg， 问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购 最多数量的原料）．
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设 x1, x2
分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）
y 1 为花掉的资金，y 2 为所购原料总量．则：
目标函数为： 约束条件有：
M M ainxyy12 2xx11xx22
2x1 x2 200
xx11
x2 50
100
x1, x2 0
轻重、缓急之区别．决策者往往有一些最重要的，第
一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子P1，在它 实现的前提下再去解决次要目标．依次把第二位达到
的目标赋予优先因子P2 ……，并规定Pk » Pk+1，即不 管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立Pk>MPk+1,表示 Pk比Pk+1具有绝对的优先权．因此，不同的优先因子 代表着不同的优先等级．
200
d1,d1,d2,d2,d3,d3 0
２． 目标约束与绝对约束
前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量，把 目标函数转化成约束方程，从而并入原约束条件中， 我们称这类具有机动余地的约束为目标约束．如例4-2 的目标函数转化为目标约束（4-10）．因它具有一定 的弹性，一般目标约束不会不满足，只是可能偏差要 大一些，故也称为软约束．
４．优先因子与权系数
在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实 现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是 在保证P1级目标满足的前提下考虑的．决不能因 为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标 的实现值．一般地在目标规划模型中，绝对约束 相应的目标函数，其优先等级一定是P1级．
４．优先因子与权系数
甲（每件） 乙（每件） 现有资源
钢 材 （ kg ）
9.2
4
3600
木 材 ( m3 )
4
设备负荷
（台小时）
3
单位产品利润
(元)
70
5
2000
10
3000
120
分析: 设 x1, x2 分别是计划期内甲、乙产品的产
量．则该问题的数学模型为
Max y1 70x1 120x2 Max y2 x1 Min y2 x2
第四章 目 标 规 划
前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标函 数，若干个约束条件的最优决策问题．然而现实生活 中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这 些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的，标准的 度量单位也常常各不相同．例如，在资源的最优利用 问题中，除了考虑所得的利润最大，还要考虑使生产 的产品质量好，劳动生产率高，对市场的适应性强等 等．
① 要求恰好达到目标值的，即正、负偏差变量都要 尽可能小． 构造目标函数为：MinZdidi ．
② 要求不能超过目标值的，即允许达不到目标值， 但即使超过，一定要越小越好．构造目标函数 为：MinZ di ．
③ 要求超过目标值的，即允许超过目标值，但即使 不足，一定要使缺少量越少越好．构造目标函数 为：MinZ di ．
41 42
4 3 4 4 4 5 4 6
例4-2 某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品， 现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位 利润如表4-1所示．试确定计划期内的生产计划， 使利润最大，同时厂领导为适应市场需求，尽 可能扩大甲产品的生产，减少乙产品的生产．
表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表
M inZd1 d2 d3
M in Z P 1 d 1 P 2 ( 1 0 d 2 2 d 3 )
４．优先因子与权系数
由上面分析看到，目标规划比起线性规划来适应 面要灵活得多．它可同时考虑多个目标，而且目标的 计量单位也可以多种多样．目标规划的目标约束，给 决策方案的选择带来很大的灵活性．并且由于目标规 划中划分优先级和权系数的大小，使决策者可根据外 界条件变化，通过调整目标优先级和权系数，求出不 同方案以供选择．但是，用目标规划来处理问题也存 在困难，主要表现在构造模型时需事先拟定目标值、 优先级和权系数，而这些信息来自人的主观判断，往 往带有模糊性，很难定出一个绝对的数值．