i 目标规划及其图解法

当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时，更
一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量，从
而把约束条件全部变为等式．如:
目标约束
70 x1
x1
120
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
45000 250
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4
x2
d
4
d
4
3600
4 x1
5
x2
d
5
d
5
2000
４．优先因子与权系数
在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实 现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是 在保证P1级目标满足的前提下考虑的．决不能因 为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标 的实现值．一般地在目标规划模型中，绝对约束 相应的目标函数，其优先等级一定是P1级．
４．优先因子与权系数
i个目标实际值超出目标值的部分．
d i 为负偏差变量——第 i 个目标实际值不足目标值的差距
规定 d i 和 d i 0i 1 ,2 , ,m
当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况：即
۞ 由 di和di所构成的3种不同组合表示的含义：
di ,di 表示第i个目标的实际值超出目标值
di 0,di 0表示第i个目标的实际值未达到目标值
di ,di 表示第i个目标的实际值恰好等于目
标值．并且无论发生哪种情况均有: di di
在例4-2中，若提出目标y1的期望值e1= 45000元，y2
的期望值e2=250件，y3的期望值 e3=200件，则可引入偏
差变量 di , di（i =1，2，3）,
绝对约束是指必须严格满足的等式或不等式约束， 也称为系统约束．它对应于线性规划中的约束条件（如 资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为 不可行解，因此也称为硬约束．
２． 目标约束与绝对约束
70 x1
x1
120
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
450 250
00
9
.2
x1
x2
d
3
d
① 要求恰好达到目标值的，即正、负偏差变量都要 尽可能小． 构造目标函数为：MinZdidi ．
② 要求不能超过目标值的，即允许达不到目标值， 但即使超过，一定要越小越好．构造目标函数 为：MinZ di ．
③ 要求超过目标值的，即允许超过目标值，但即使 不足，一定要使缺少量越少越好．构造目标函数 为：MinZ di ．
9 .2 x1 4 x2 3 6 0 0
s.t.
4 3
x1 x1
5 x2 10 x
2000 2 3000
x1 , x 2 0
对于多目标问题，线性规划很难为其找到最优 方案．极有可能出现：第一个方案使第一目标的结 果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于 第一方案．就是说很难找到一个方案使所有目标同 时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线 性规划方法是无法解决的．实践中，人们转而采取 “不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基 础上建立一种新的数学规划方法——目标规划．
3 x1 10 x2 3000
x1 ,
x2
0
,
百度文库
d
i
,
d
i
0, (i
1, 2, 3)
若把约束条件中的不等式全部化为等式约束， 我们称之为“标准型”． 例4-2中问题的标准型为
M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
120
x2
d
1
甲（每件） 乙（每件） 现有资源
钢 材 （ kg ）
9.2
4
3600
木 材 ( m3 )
4
设备负荷
（台小时）
3
单位产品利润
(元)
70
5
2000
10
3000
120
分析: 设 x1, x2 分别是计划期内甲、乙产品的产
量．则该问题的数学模型为
Max y1 70x1 120x2 Max y2 x1 Min y2 x2
3 x1
10 x2
d
6
d
6
3000
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0 , (i
1, 2,L
,6)
软约束
３．目标规划的目标函数(达成函数)
引入偏差变量使原规划问题中的目标函数变 成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？
对于满足绝对约束和目标约束的所有解（可行 解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策 值与目标值的偏差越小越好．从而目标规划的目标 函数就由原目标函数变成的目标约束中偏差变量来 构成．它有三种基本表现形式：
若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，则 可分别赋予它们不同的权系数ωj (ωj 可取一确定的非 负实数)，根据目标的重要程度而给它们赋值，重要 的目标，赋值较大，反之ωj 值就小．如例4-2中，我 们可把利润视作第一位重要，甲、乙产品的产量分配 视作第二位，并且甲的产量越大越好，权重分别为10 和2，则目标函数为：
轻重、缓急之区别．决策者往往有一些最重要的，第
一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子P1，在它 实现的前提下再去解决次要目标．依次把第二位达到
的目标赋予优先因子P2 ……，并规定Pk » Pk+1，即不 管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立Pk>MPk+1,表示 Pk比Pk+1具有绝对的优先权．因此，不同的优先因子 代表着不同的优先等级．
第四章 目 标 规 划
前面的线性规划问题，研究的都是只有一个目标函 数，若干个约束条件的最优决策问题．然而现实生活 中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，而且这 些标准之间往往不协调，甚至是相互冲突的，标准的 度量单位也常常各不相同．例如，在资源的最优利用 问题中，除了考虑所得的利润最大，还要考虑使生产 的产品质量好，劳动生产率高，对市场的适应性强等 等．
这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数
MinZ (did j ) i,j
如例4-2
7
0
x
1
x1
120 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
45000 250
s.t.
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4 x2 3600
利润希望达
到45000,不
足部分d
越小越好!
4 x1
5 x2 2000
d
表示利润超过45000元
的数量，d
则表示利润距45000元还差的数量,
d
2
表示
甲产品产量超过250件的部分，……．这样可得三个目
标函数方程
Max Max Min
y1 y2 y2
70 x1 x2
x1
120
x270x1 x1
120x2 d1 d2
x2 d3
d1 d2 d3
45000
250 410
s.t
a21Mx1
a22 x2
L M
a2n xn M
b2
ak1x1 ck 2 x2 L ckn xn bk
x1, x2 ,L , xn 0
1．决策变量与偏差变量
决策变量也称控制变量，用 x1、x2、…、xn 表示． 在多目标规划问题中，由于目标之间存在冲突或约束条件
中有矛盾方程，我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的
d
3
d
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
3 x1 10 x2 3000
x1 , x2
0
,
d
i
,
d
i
0,
(i 1, 2, 3)
４．优先因子与权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这
些目标的偏差可能相互替代或抵消，因为我们求的是
所有偏差和最小，而实际问题中的目标之间也有主次、
d
1
d
2
d
2
45000 250
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4
x2
d
4
d
4
3600
4 x1
5
x2
d
5
d
5
2000
3x1
10 x 2
d
6
d
6
3000
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0, (i
1,2,
约束条件，即从实际出发，根据经验、历史资料或市场的需求、
上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标
值ei , (i =1，2，…，m)．一般说来，这些值ei 的确定并不要求
十分精确或严格，允许决策的实际值大于或小于ei ．我们称实
际值与目标值的差距为偏差变量．di用和di
表示．
d
i
为正偏差变量——第
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
3 x1 1 0 x2 3 0 0 0
x1, x2
0
,
d
i
,
d
i
0 , (i
1, 2,3)
目标约束 软约束
绝对约束 硬约束
我们设想将约束条件“放松”，对约束方程 也引入偏差变量，使矛盾的方程不再矛盾！然后 通过适当的方法，找出问题的关键，即需要增加 的资源品种与数量或需降低的产品产量等，就会 获得较好的决策效果．这说明两种约束在一定条 件下可以转换．
M inZd1 d2 d3
M in Z P 1 d 1 P 2 ( 1 0 d 2 2 d 3 )
４．优先因子与权系数
由上面分析看到，目标规划比起线性规划来适应 面要灵活得多．它可同时考虑多个目标，而且目标的 计量单位也可以多种多样．目标规划的目标约束，给 决策方案的选择带来很大的灵活性．并且由于目标规 划中划分优先级和权系数的大小，使决策者可根据外 界条件变化，通过调整目标优先级和权系数，求出不 同方案以供选择．但是，用目标规划来处理问题也存 在困难，主要表现在构造模型时需事先拟定目标值、 优先级和权系数，而这些信息来自人的主观判断，往 往带有模糊性，很难定出一个绝对的数值．
三、目标规划的数学模型
通过上面分析，例4-2中问题的模型为
M in Z P 1 d 1 P 2 ( 1 0 d 2 2 d 3 )
7
0
x1 x1
1
2
0
x
2
d
1
d
2
d
1
d
2
450 250
0
0
s
.t.
9
.2
x1
x2
d
3
d
3
200
4 x2 3600
4 x1
5 x2 2000
1. 决策变量与偏差变量 ２. 目标约束与绝对约束 ３. 目标规划的目标函数(达成函数) ４. 优先因子与权系数
三、目标规划的数学模型 第二节 目标规划的图解法
第一节 目标规划的基本概念与数学模型
一、问题的提出
例4-1 某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场
上有甲、乙两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元 /kg，要求采购的总费用不得超过20万元，购得原料 的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少于50kg， 问如何确定最好的采购方案（即用最少的钱、采购 最多数量的原料）．
目标规划对众多的目标分别确定一个希望实现的 目标值，然后按目标的重要程度（级别）依次进行 考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方 案．如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它 也能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决 策者参考．
第四章 目 标 规 划
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一、问题的提出 二、目标规划的基本概念
41 42
4 3 4 4 4 5 4 6
例4-2 某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品， 现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位 利润如表4-1所示．试确定计划期内的生产计划， 使利润最大，同时厂领导为适应市场需求，尽 可能扩大甲产品的生产，减少乙产品的生产．
表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表
分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题． 设 x1, x2
分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）
y 1 为花掉的资金，y 2 为所购原料总量．则：
目标函数为： 约束条件有：
M M ainxyy12 2xx11xx22
2x1 x2 200
xx11
x2 50
100
x1, x2 0
3 x1 10 x2 3000
x1 , x2
0
,
d
i
,
d
i
0,
(i 1, 2, 3)
例4-2中的目标函数可表示为
M inZd1 d2 d3
其完整的目标规划模型为
M inZd1 d2 d3
70 x1
x1
120
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
45000 250
s.t.
9
.2
x1
x2
二、目标规划的基本概念
多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1)
Max y1 c11x1 c12x2 L c1nxnC1X
Max y2 c21x1 c22x2 L c2nxnC2X
M
M
M
Max ym cm1x1 cm2x2 L cmnxnCmX
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
200
d1,d1,d2,d2,d3,d3 0
２． 目标约束与绝对约束
前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量，把 目标函数转化成约束方程，从而并入原约束条件中， 我们称这类具有机动余地的约束为目标约束．如例4-2 的目标函数转化为目标约束（4-10）．因它具有一定 的弹性，一般目标约束不会不满足，只是可能偏差要 大一些，故也称为软约束．