含参量反常积分

§2 含参量反常积分

教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分

的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求：

(1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反

常积分的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议：

(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔

斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．

(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与

可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序：

定义

设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分

()⎰+∞

c

dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记

()x I =

()⎰+∞

c

dy y x f ,，x ∈[]b a , （1）

称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义

定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有

()()ε<-⎰M

c

x I dy y x f ,

即

()ε<⎰+∞

M

dy y x f ,

则称含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于()x I 2．一致收敛的柯西准则

定理19．7含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某个实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有

()()ε<-⎰2

1

,A A x I dy y x f

例1 证明参量的反常积分

⎰+∞

sin dy y xy

在[)+∞,δ上一致收敛（其中0>δ），但在()+∞,0上不一致收敛． 证 令xy u =

⎰+∞

A

dy y xy sin =⎰+∞

Ax du u u sin

其中0>A ，由于⎰+∞

0sin du u u 收敛，故对任给的0>ε，总存在正数M ，使当M A >'时就

有

ε<⎰+∞

'

A du u u

sin 取M A >δ，则当δ

M A >时，对一切0>≥δx ，有

ε<⎰+∞

A

dy y xy

sin 所以⎰+∞

sin dy y xy 在0>≥δx 上一致收敛． 再证⎰+∞

sin dy y xy 在()+∞,0上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个[)+∞∈,0x ，使得

0sin ε≥⎰+∞

A

dy y xy

因⎰+∞

sin du u u 收敛，故对任何正数0ε与()c M >，总相应地存在某个0>x ，使得00

sin sin ε<-⎰⎰+∞

+∞

du u u

du u u Mx 即有<-⎰+∞00sin εdu u u <⎰+∞

Mx

du u u

sin 00

sin ε+⎰+∞

du u u

令2

10=ε⎰+∞

sin du u u >0,则可得

>⎰+∞

M

dy y xy

sin ⎰+∞

Mx

du u u

sin 00000

2sin εεεε=-=->⎰+∞

du u u

所以⎰+∞

sin dy y xy 在()+∞,0上不一致收敛．

3．一致收敛的充要条件

定理19．8含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数

()∑⎰∞=+11

,n A A n n

dy y x f =()∑∞

=1

n n

x u

在[]b a ,上一致收敛．

证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给的正数ε，必存在c M >，使当

M A A >'>''时，对一切∈x []b a ,总有

()ε<⎰'

''

A A dy y x f , （8）

又由+∞→n A ()∞→n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有M A A n m >>．由（8）对一切∈x []b a ,，就有

()()()()ε<++=

++⎰⎰++1

1

,,m m

n n

A A A A m n dy y x f dy y x f x u x u

这就证明了级数(7)在上一致收敛. [充分性]略

4．一致收敛的M 判别法

设有函数()y g ，使得()()x g y x f ≤,，b x a ≤≤，+∞<≤y c 若()⎰

+∞

c dy y g 收敛，则()⎰+∞

c

dy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．

5．一致收敛的狄里克莱判别法

（ⅰ）对一切实数c N >，含参量的反常积分()⎰

N

c

dy y x f ,

对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切，c N >及一切x ∈[]b a ,，都有

()M dy y x f N

c

≤⎰,；

（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调递减且当y +∞→时，对参量x ，()y x g ,一致地收敛于0， 则含参量的反常积分

()()⎰+∞

c

dy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．

6．一致收敛的阿贝尔判别法 （ⅰ）设

()⎰+∞

c

dy y x f ,在[]b a ,上一致收敛

（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，

则含参量的反常积分，

()()⎰+∞

c

dy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．

例2证明含参量的反常积分

⎰+∞

+021cos dy x

x 在

()+∞∞-,上一致收敛． 证 由22111cos x x x +≤+，因⎰+∞

+0211dy x 收敛和一致收敛的M 判别法即可得． 例3证明含参量的反常积分⎰+∞

-0

sin dy x x e xy 在[]d ,0上一致收敛．

证` 由⎰+∞

sin dx x x 收敛从而一致收敛，1≤=--xy xy e e ，()[)[]d y x ,0,0,⨯+∞∈及对每一[]d y ,0∈