第3章 随机信号分析

n Fn ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) pn ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) x1x2 x1 密度函数
n维概率
n维概率分布可以描述任意n个时刻的取值之间关联，比其低维 概率分布含有更多的统计特性信息，对随机过程的描述更细微些， 故若随机过程的观测时刻点数取得越多，则随机过程的统计特性可 以描述得越细致。 从理论上来说，完全描述一个随机过程的统计特性，需要维数 趋于无穷，但从工程实际来说，许多场合仅取二维即可。
二维概率分布与时间起点无关，仅与时间间隔τ 有关 矩函数:
E[ X ( t )]
R( t1 , t 2 )





x p( x )dx m，均值为常数；



x1 x2 p( x1 , x2 , τ )dx1dx2 R( τ )， 自相关函数仅与 有关 τ
2. 广义平稳(宽平稳)
时间平均只需一个样本，对确定的时间函数，可用一般的 数学方法作计算，时间平均与统计平均相比要简易实用得多， 它是实际测量随机过程的主要方法。 各态历经性：若由随机过程每个样本的时间平均从概率意义上等 于集合的统计平均，则称过程具有各态历经性(也称遍历性)。
若随机过程 X(t) 的数学期望时与时间 t 无关的常量，相关函 数仅与时间间隔τ有关，即： E[ X (t )] m， R(t1 , t 2 ) R(τ ) 则该随机过程为广义平稳过程。 广义平稳只说明一维和二维统计特性是平稳的， 狭义平稳是说明 n 维统计特性是平稳的。 例1：若 X1 (t ) Y , X 2 (t ) tY ,Y 为随机变量，讨论它们的平稳性. 解： E[ X1 (t )] E[Y ] mY 常数 与t无关
2 . 二维概率分布
随机过程X (t )在任两个时刻1 , t 2的取值为X (t1 ), X (t 2 ) t
构成二维随机变量X (t1 ), X (t 2)]，记为: [
F2 ( x1 , x2 , t1 ,t 2) P{ X (t1 ) x1, X (t 2 ) x 2 }
称为过程X (t )的二维分布函数。

m 2 ( t ) p( x , t )dx
x 2 p( x , t )dx m 2 ( t ) σ 2 ( t )
方差σ 2 (t )是时间t的确定函数，表示随机过程 X (t ) 中的所有样 本在任一时刻t的取值(随机变量)对其分布中心的平均偏离程度.
3. 自相关函数 数学期望和方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心 矩，它们只能表示随机过程在各个孤立时刻的平均统计特性，不能 反映随机过程在任意两时刻的取值之间关联。
随机过程X (t )在任一特定时刻1的取值为一维随机变量 (t1 ) t X
概率P{ X (t1 ) x1 }是取值x1和时刻t1的函数，记
F1 ( x1 , t1 ) P{ X (t1 ) x1 }
称为过程X (t )的一维概率分布函数
若它对x1的一阶偏导数存在，则 定义p1 ( x1 , t1 ) F1 ( x1 ,t 1) x1 为过程X (t )的一维概率密度函数， 一般记为p( x1 , t1 )
0
R(t , t τ ) E[ X (t ) X (t τ )]
E[ A2 cos(ω0 t υ) cos(ω0 t ω0 τ υ)]
A2 E[cos ω0 τ cos(2ω0 t ω0 τ 2υ)] / 2
A2 cos ω0 τ / 2
均值为常数,自相关函数仅和时间间隔有关,故过程广义平稳
若X (t1 ), X (t 2 ), , X (t )统计独立，则：
pn ( x1 , x2 ,, xn ; ຫໍສະໝຸດ Baidu1 , t 2 ,, t n ) p( x1 , t1 ) p( x2 , t 2 ) p( xn , t n )
统计独立时n维概率密度函数等一维概率密度函数的乘积
三、 随机过程的数字特征(矩函数)
3. 各态历经性 随机过程有两个变量x 和 t，故能采用两种平均方法，即统 计平均和时间平均。 矩函数指的统计平均，即对集合中的所有样本在同一时刻的
取值用统计的方法求其平均，也称集合平均，用 E[] 或 表示。 统计平均的方法使得实际工程量很大，在实际工程中我们大 多数采用样本平均或称为时间平均的方法。 随机过程是一族时间函数的集合，这集合中的每个样本都是 时间的确定函数，对集合中的某个特定样本在各个时刻的值，用 一般的数学方法求平均，称为时间平均，记为

它是时间t 的函数，是过程X (t)在任一时刻 t 的数学期望或统 计均值，称为随机过程X (t) 的数学期望或统计均值(瞬时)。 统计均值是对随机过程X (t) 中的所有样本在任一时刻 t 的取 值进行平均，因而统计平均也称为集合平均。
2. 方差(二阶中心矩) 随机过程 X (t ) 的数学期望 m (t )是确定的时间函数，因 而 X (t ) X (t ) m( t ) 仍为随机过程， (t )在任一时刻 t 的取 X 值仍为随机变量，故方差定义为：
随机过程 X (t )在某一特定时刻 t1 的取值为一维随机变量 X (t1 ) 其数学期望是一个确定值。随机过程 X (t )在任一时刻 t 的取值仍为
一维随机变量 x(t ) (注意此处 t 已固定，故 X (t ) 已非随机过程)。
数学期望
E[ X ( t )]
xp( x, t )dx m(t )
此时自协方差为方差，相关函数为一维随机变量的二阶原点矩 5. 均方差 定义随机过程的二阶原点矩
E[ X ( t )]
2


x 2 p( x , t )dx 为均方差
四、平稳随机过程
平稳随机过程的主要特点是其统计特性不随时间的平移而变化。
即概率分布与观测的起点无关，可以任意选择观测的计时起点。
2 E[ X 1 ( t ) X 1 ( t τ )] E[Y 2 ] σY
显然X1 (t )广义平稳
E[ X 2 (t )] E[tY ] tmY
2 Rx2 ( t1 , t 2 ) E[ X 2 (t1 ) X 2 (t 2 )] E[t1Y t 2Y ] t1t 2σY


4. 自协方差函数 定义X (t1 ), X (t 2 )的二阶混合中心矩为：

[ x1 m( t1 )][ x2 m( t 2 )] p( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差函数表示过程在任两个时刻的起伏值之间的平均关联
自协方差函数和自相关函数的关系：
显然X 2 (t )非广义平稳
例 2: 某随机过程 X(t) =A cos(w t+φ)，其中A，w为常量， φ为0－2π范围均匀分布的随机变量，试求该过程的数学期望 和相关函数。说明是否为广义平稳随机过程。 解: E[ X (t )] 2π [ A cos(ω0t υ) / 2π]dυ 0
1 X 样本X i (t )的时间均值为： i (t ) lim T T
T / 2 X i (t )dt
T /2
样本X i (t )的时间自相关函数为： 1 T /2 X i ( t ) X i ( t τ ) lim X i ( t ) X i ( t τ )dt T / 2 T T
C (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) m(t1 )][ X (t 2 ) m(t 2 )] R(t1 , t 2 ) m(t1 )m(t 2 )
当t1 t 2 t时，则有: R( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )] E[ X 2 ( t )] C ( t , t ) E {[ X ( t ) m( t )]2 } σ 2 ( t )
D[ X ( t )] E{[ X ( t )]2 } E{[ X ( t ) m( t )]2 }
[ x m ( t )]2 p( x , t )dx

x p( x , t )dx 2
2

xm ( t ) p( x , t )dx
X ( t 2) X ( t n)构成n维随机变量 ( t1 ), X ( t 2 ) X ( t n ) X
n维分布函数： Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n )
P{ X ( t1 ) x1 , X ( t 2 ) x2 , , X ( t n ) xn , }
二维概率分布可以描述随机过程在任两个时刻之间关联， 且通过积分可以求得两个一维概率密度，可见二维概率分布 比其一维概率分布含有较多的统计特性信息，对随机过程的 描述要细致些，但它还不能反映随机过程在两个以上时刻的 取值之间关联。
3. n维概率分布
随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t 2 ,, t n 的取值 X (t1 ),
通信原理第六版
第三章 随机信号分析
§3.1 随机过程及其通过系统的传输
概述： 作为信息传输过程中的信息信号通常是无法预知的，而 且携带信息的信号再传输过程中不可避免地要受到各种噪声的 干扰，而这种干扰又是随机出现的，因此应该用随机过程的理 论来描述随机的信息信号和噪声。
以A cos(ω0 t θ )为例
随机过程的含义有两点：
其一，它是一个时间函数，随机过程的一个实现称为随机过 程的一个样本； 其二，它再每个时刻上的函数值不是确定的，而是一个随机 变量，随机过程再不同时刻有不同的随机变量。
二、 概率分布函数和概率密度函数 随机过程能够看成是随时间t而变化的一族随机变量，故可 将随机变量的概率分布推广用于随机过程。 1.一维分布函数与概率密度函数
描述随机变量的平均统计参量是数学期望，方差，协方差， 相关函数等数字特征 (随机变量最一般的数字特征称为矩) 随机过程可看成是随时间而变化的一族随机变量，将随机 变量的数字特征的概念推广于随机过程即可得到描述随机过程 的平均统计函数，当然它不再是确定的值，而是确定的时间函 数，统称为矩函数。
1. 数学期望(一阶原点矩)
为描述随机过程在两个时刻的取值之间的关联程度，用相关 函数来表述。定义随机过程的二阶混合原点矩(自相关函数)为：
R(t1 , t 2 ) E[ X (t1 ), X (t 2 )]

x1 x2 p( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2



C (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) m(t1 )][ X (t 2 ) m(t 2 )]
严格地说所有随机过程都是非平稳的，但平稳过程的分析要 容易得多，而通常遇见的随机过程大多数接近于平稳过程。
1. 狭义平稳(严平稳) 若随机过程 X (t )的任意n维概率分布不随计时起点的选择不 同而变化，即当时间平移任一常数τ时，其n维概率密度(或分布 函数)不变化，则称 X (t )为严格平稳过程，即满足：
pn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ) pn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 τ , t 2 τ ,, t n τ )
严平稳过程其一，二维分布和矩函数的特点： 一维分布: pn ( x1 , t1 ) pn ( x1 , t1 τ )
令τ＝－t1

p( x1 ,0) p( x1 )
一维概率分布与时间无关 二维分布: pn ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) pn ( x1 , x2 ; t1 τ , t 2 τ )
令τ t1

pn ( x1 , x2 ;0, t 2 t1 ) p( x1 , x2 , τ )