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概率论与数理统计(西安电子科技大学大作业)

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概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A , B , C 分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E ={事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;ABACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时,A B 常记为A B +.) 2. 设M 件产品中含m 件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.A ={8只鞋子均不成双},B ={恰有2只鞋子成双},C ={恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143C C P A C ===1414872616()80()0.5594,143C C C P B C === 2212862616()30()0.2098.143C C C P C C === ★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码,求:(1)最小号码为5的概率;(2)最大号码为5的概率.记事件A ={最小号码为5}, B ={最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,求下列事件的概率:A ={全红},B ={颜色全同},C ={颜色全不同},D ={颜色不全同},E ={无黄色球},F ={无红色且无黄色球},G ={全红或全黄}.311(),327P A ==1()3(),9P B P A ==33333!2(),339A P C ===8()1(),9P D P B =-=3328(),327P E ==311(),327P F ==2()2().27P G P A ==☆.某班n 个男生m 个女生(m ≤n +1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率. 14第二次作业 1. 设A , B 为随机事件, P (A )=0.92, P (B )=0.93, (|)0.85P B A =, 求:(1)(|)P A B , (2)()P A B ∪. (1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=-()()()()()()P AB P A P AB P A P B P AB =-=-+0.920.930.0680.058,=-+=()0.058(|)0.83.()10.93P AB P A B P B ===-(2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率. 记事件A ={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B ={(1,6),(6,1)}. 21(|).63P B A ==★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率. 记事件A ={能被5除尽}, B ={能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+1575710.686.54002000=--+=3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B )、P (B |A )、P (A B ).()1/103(|),()7/1514P AB P A B P B ===()1/103(|),()4/158P AB P B A P A ===()()()()P A B P A P B P AB =+-47119.15151030=+-=4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破},1,2,3.i = 1231213121793()()(|)(|)111.21010200P A A A P A P A A P A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 设在n 张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券},1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n-====-31231213121211()()()(|)(|).12n n P A P A A A P A P A A P A A A n n n n--====--或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.记事件A ={甲中靶},B ={乙中靶}.(1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7. 袋中有a 个红球, b 个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率: (1)A ={在n 次摸球中有k 次摸到红球}; (2)B ={第k 次首次摸到红球};(3)C ={第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}.(1) ();()k n kk n kk k nnna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭ (3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C CCa b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率.设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nn n n i i i i j i j k i i i i ji j kP A P A P A A P A A A P A -===<<<=-+++-∑∑∑证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列,1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个,即121(1)1k k k k k C C C --++-=⇔ 121(1)(11)0.k k k k k k C C C -+++-=-=将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnn n i i i ij ij k i i i i ji j kP A P A P A A P AA A P A -===<<<=-+++-∑∑∑☆.证明 若A , B 独立, A , C 独立, 则A , B ∪C 独立的充要条件是A , BC 独立. 证明(())()()()()P A B C P AB AC P AB P AC P ABC ==+- ()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- 充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒(())()()P A B C P A P B C =()(()()())P A P B P C P BC =+-()()()()()()P A P B P A P C P A P BC =+-()()()()()P A P B P A P C P ABC =+- ()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC P A P C P B P C P A P B P C P A P B P A P B P C P A B P C ==+-=+-=+-=[()]()()()()[()()]()()()P AB C P ABC P A P B P C P A P B P C P AB P C ==== [()]()()()()()()()()[()()]()()()P A B C P AC B P AC P ABC P A P C P A P B P C P A P AB P C P A B P C -=-=-=-=-=-所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p , 分别就p =0.6和p =0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率. 记事件A ={知道问题正确答案},B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+ 当0.6p =时,13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+==当0.3p =时,13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时,440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯ 当0.3p =时,440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯ 2. 某单位同时装有两种报警系统A 与B , 当报警系统A 单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B 单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下, 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B 有效的条件下, 报警系统A 有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.P A P B P B A ===(1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+10.70.80.5880.088.=--+=☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B . 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0. 92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率.3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有n 只白球, m 只红球; 乙袋中有N 只白球, M 只红球. 从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少. 记事件A ={从甲袋中取到白球},B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+111n N m Nn m N M n m N M +=+++++++().()(1)n N n m n m N M ++=+++☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l 收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.记事件B ={收到信号 “·”},1A ={发出信号 “·”},2A ={发出信号“-”}. (1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%. (1)求机器产品合格率,(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率. 记事件B ={产品合格},A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+0.750.90.250.30.75,=⨯+⨯= (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成,每个元件的可靠性为p , 即元件正常工作的概率为p , 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件A ={元件5正常},B ={系统正常}.(A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+2222(44)(1)(2)p p p p p p p =⋅-++-- 23452252.p p p p =+-+第四次作业1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以X 表示取出的次品的个数, 求X 的分布律.2213315(),0,1,2.k k C C P X k k C -===☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X0,3,(3)(3)0.1,35,()(5)(3)(5)0.10.40.5,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以X 表示出现正面的次数, 求X 的分布律.(8,2/3),X B n p ==8821(),0,1,,8.33k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X 的分布律, 并计算X 取偶数的概率.(0.35),X G p =11()0.350.65,1,2.k k P X k pq k --===⨯= ()+()=1,()()=,P X P X P X P X q ⎧⎪⎨⎪⎩奇偶偶奇 解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率; (3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率. 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率. 记事件A ={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.0001340880.999865912.=-=(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值)应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫ ⎪⎝⎭2020202040404011(20)222C P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24040!(20!)2= 402204040202e e ⎫⎪⎝⎭⎫⎫⎪⎪⎪⎭⎭0.1262.=其中 1.7724538509.π==参:贝努利分布的正态近似.6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7. 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭ ★8. 设随机变量X求:X 的分布函数, 以及概率(||5).X ≤ 随机变量X 的分布函数为0,3,(3)(3)0.2,35,()(5)(3)(5)0.20.50.7,58,(8)1,8.x F P X x F x F P X P X x F x <-⎧⎪-==-=-≤<⎪=⎨==-+==+=≤<⎪⎪=≥⎩(36)(5)0.5,P X P X <≤===(1)(5)(8)0.50.30.8,P X P X P X >==+==+=(5)(||5)(5)(3)(5)0.20.50.7,P X P X F P X P X ≤=≤===-+==+=第五次作业1. 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是2,00.5()0,kx x x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他试求: (1)系数k ; (2)X 的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率. (1) 0.50.523200111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2. 设连续型随机变量X 服从区间[-a , a ](a >0)上的均匀分布, 且已知概率1(1)3P X >=, 求: (1)常数a ; (2)概率1()3P X <.(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3. 设某元件的寿命X 服从参数为θ 的指数分布, 且已知概率P (X >50)=e -4, 试求:(1)参数θ 的值; (2)概率P (25<X <100) . 补分布()()|,0.x x xx x S x P X x e dx e ex θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rxr S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得12282(25)(25)(50),(100)(100)(50)S P X S e S P X S e --=>===>==0.0003354563,=其中 2.7182818284.e28(25100)(25)(100)P X P X P X e e --<<=>->=- 0.135334650.00033545630.1349991937.=-= 4. 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率. (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee -⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5. 设X ~N (0, 1), 求: P (X <0.61), P (-2.62<X <1.25), P (X ≥1.34), P (|X |>2.13). (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-0.894359956010.88995,=+-=(3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-= (4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4, 19). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13122⎛⎫⎛⎫=Φ+Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.691460.9331910.62465.=+-=★7. 设某校高三女学生的身高X ~N (162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭ (2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165}, ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p ==6156(2)1(0)(1)1(1)(1)0.52257.P Y P Y P Y p C p p ≥=-=-==----=第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为(1)求Y =|X |的分布律; (2)求Y =X 2+X 的分布律. (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为(())|()|,()(),()0,XY f x y x y g x y g x f y αβ'=<<=⎧=⎨⎩极小值极大值其它. 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤()()(()())()(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≤= 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=<<2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥()()(()())()1(),Y X F y P Y y P g X g x P X x F x =≤=≤=≥=- 两边对y 求导,()(())(),.Y X f y f x y x y y αβ'=-<<因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明()(),()0,()()(()())()1(),()0,X Y X P X x F x g x F y P Y y P g X g x P X x F x g x '≤=>⎧=≤=≤=⎨'≥=-<⎩ 两边对y 求导,(),()(),X Y X dF x dxdx dyf y dF x dx dx dy ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩或两边微分()(),()()()(),X X Y Y X XdF x f x dx dF y f y dy dF x f x dx =⎧==⎨-=-⎩(),()(),X Y X dx f x dy f y dxf x dy ⎧⎪=⎨-⎪⎩(())|()|,.X f x y x y y αβ'=<<2. 设随机变量X 的密度函数是f X (x ), 求下列随机变量函数的密度函数: (1)Y =tan X ; (2)1Y X=; (3)Y =|X |. (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得'21()(())|()|(arctan ).1Y X Xf y f x y x y f y y ==+ 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y =+ '21()(())|()|(arctan ).1Y X i iX i i f y f x y x y f i y y π+∞+∞=-∞=-∞==++∑∑(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=--. 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f y f y f y y =+->★3. 设随机变量X ~U [-2, 2], 求Y =4X 2-1的密度函数.2()()(41)(115,Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤=-≤≤两边对y 求导得随机变量Y 的密度为()115.Y f y y =-≤≤ 或解反函数支12()()x y x y =='''112211()(())|()|(())|()|2(())()115.Y X X X f y f x y x y f x y x y f x y x y y =+==-≤≤★4. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布, 求Y =X 2的密度函数(Weibull 分布). 当0y ≤时, 2Y X =的分布()0Y F y =,当0y >时,2()()()(Y X F y P Y y P X y P X F =≤=≤=≤= 两边对y 求导得()Y X f y f '==0,()0.Y y f y >=⎩或反函数y x='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5. 设随机变量X~N (0, 1), 求(1)Y =e X 的密度函数; (2)Y =X 2的密度函数(Gamma 分布). (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时,()()(e )(ln )(ln ),X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ 因而Y 的密度为''1()(ln )(ln )(ln )(ln ),Y f y y y y y y ϕϕ=Φ=={}2(ln ),0,2()0,0.Y y y f y y ->=≤⎩ 或 反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y y f y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2) 当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-.两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或反函数支12()()x y x y =''21122()(())|()|(())|()|,0.yY X X f y f x y x y f x y x y y -=+=>6. 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩, 求Y =ln X 的概率密度. 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X 为落入1号盒的球的个数, Y 为落入2号盒的球的个数, 试求X 和Y 的联合分布律.1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X , Y 分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X , Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X , Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立？ (1)(X , Y )的联合分布律为(1,1)0,P X Y ===1(1,2)(2,1)(2,2).3P X Y P X Y P X Y =========(2) X , Y 的分布律相同,12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立.2. 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度.2(,)(,),f x y F x y x y ∂=∂∂3515,,0,(,)0,.x y e x y f x y --⎧>=⎨⎩其它★3. 设二维随机变量(X , Y )服从D 上的均匀分布, 其中D 是抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断Y X ,是否独立.分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X xf x dy x x ==-<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y yf y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立.4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q ==★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求:(1)常数A ;(2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (4)X 与Y 是否相互独立？ (1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = (2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<111221113()(,),0.2y yy Y f y f x y dx Ax e dx e x dx e y ------====>⎰⎰⎰(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<112112()1,3X f x dx Ax dx A --===⎰⎰3.2A = 112201113(0,1)(0)(1).22216y e P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求:(1)X的密度;(2) (,)X Y 的联合密度. (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1.求函数(1)Z 1=X +Y , (2) Z 2=min{X , Y }, (3) Z 3=max{X , Y }的分布律.(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=1111(2)(0,2)(1,1),12126P Z P X Y P X Y ====+===+=11(3)(1,2).6P Z P X Y =====(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====31117(1)(0,1)(1,1)(1,0),312612P Z P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=3111(2)(0,2)(1,2).1264P Z P X Y P X Y ====+===+=2. 设随机变量(求函数Z =X /Y 的分布律.(/1)(1)(1)0.250.250.5,P Z X Y P X Y P X Y =====+==-=+= (/1)1(/1)0.5.P Z X Y P Z X Y ==-=-===3. 设X 与Y 相互独立, 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求Z =X +Y 的概率密度.()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰20222(1),0.z zx z x z x z z e e dx e e dx e e z --+----===->⎰⎰★4. 设X ~U (0, 1), Y ~E (1), 且X 与Y 独立, 求函数Z =X +Y 的密度函数.,01,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<>=⎨⎩其它,当01z <≤时,()(,)()()zzZ X Y f z f x z x dx f x f z x dx =-=-⎰⎰01,zz z x z xz x e dx e e -+-+-====-⎰当1z >时,11110()(,)()().zz x z xz z Z X Y x f z f x z x dx f x f z x dx e dx e e e -+-+--==-=-===-⎰⎰⎰因此11,01,(),1,0,.z z z Z e z f z e e z ---⎧-≤≤⎪=->⎨⎪⎩其它★5. 设随机变量(X , Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y ); (2)求函数U =max (X , Y )的分布函数; (3)求函数V =min(X , Y )的分布函数.(1) 1,01,()10,xX e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1xx x x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. 0,0,()1,0Y yy F y e y -≤⎧=⎨->⎩.21(1),01,()()()11,1x U X Y x e x F x F x F x e e x ---⎧-<<⎪==-⎨⎪-≥⎩. min{,1}1(1)(1),0.1x x e e x e -----=>-(3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.min{,1}111,0,,01x x e e x e---≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩.1,0,()1(),0Y Y yy S y F y e y -≤⎧-=⎨>⎩.112111()11,01,()1()()111,1x x x xV X Y e e e e e e x F x S x S x e e x ---------⎧---+-=<<⎪=-=--⎨⎪≥⎩. 1min{,1}111,01x x x e e e x e --------+=>-.6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为444(180)(1(1))(10.84134)0.00063368.P X >=-Φ=-=第九次作业★1.试求: E (X ), E (X 2+5), E (|X |).20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑22(5)57.2,E X EX +=+=||||20.110.210.320.130.1 1.2.i i iE X x p ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求: (1)常数A ; (2)X 的数学期望.(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a , b ]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π);(2)球的体积的数学期望(体积316D π).(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4. 设二维离散型随机变量(X , Y )的联合分布律为求E (X ), E (Y ), E (XY ).2(0.10.050.050.1)2(0.10.150.050.1)i i iEX x p ==-⨯++++⨯+++∑20.320.350.1,=-⨯+⨯=1(0.10.050.1)2(0.050.15)j j jEY y p ==⨯+++⨯+∑3(0.050.10.05)4(0.10.20.05) 2.65,+⨯+++⨯++=,()i j i j ijE XY x y p =∑∑2(10.120.0530.0540.01)2(10.120.1530.0540.05)=-⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯ 1.5 1.50.=-+=★5. 设随机变量X 和Y 独立, 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y ey f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y +; (2)求2()E X Y .(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰3(1)114()3,3y Y EY yf y dy ye dy +∞+∞--===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==24(25)25258.33E X Y EX EY +=+=⨯+⨯=(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量试求: (1) D (X ); (2) D (-3X +2) .(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222222(2)0.1(1)0.210.320.130.1 2.2,i i iEX x p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑2222.20.4 2.04.DX EX E X =-=-=(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求: (1)常数A ; (2)E (X ); (3) D (X ); (4) D (2X -3) .(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求: (1),X Y 的协方差和相关系数A ; (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<1035(),212X EX xf x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰12222031(),24X EX x f x dx x x dx EY +∞-∞⎛⎫==-== ⎪⎝⎭⎰⎰2221511,412144DX EX E X DY ⎛⎫=-=-== ⎪⎝⎭11001()(,)(2),6E XY xyf x y dydx xy x y dydx +∞+∞-∞-∞==--=⎰⎰⎰⎰ 因此2151(,)(),612144Cov X Y E XY EXEY ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭,1.11X Y ρ==-(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得(21)(2)()2(2,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-+-22592(1)22(1)(,).144DX DY Cov X Y =+-+⨯⨯-⨯=★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数. (1) X 的分布列为0.45由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑22222(1)0.4500.4510.450.9,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=∑220.9.DX EX E X =-=(2) Y 的分布列为j (,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑222222(2)0.2(1)0.2510.2520.2 2.1,j j iEY y p ==-⨯+-⨯+⨯+⨯=∑22 2.1.DY EY E Y =-=(3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i j i j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P ,随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得2(2)(2)2(,2)(2)4(,)10.DZ D X Y DX D Y Cov X Y DX DY Cov X Y =-=+-+-=+--=第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 10000.5500,EX np ==⨯=10000.50.5250,DX npq ==⨯⨯=应用切比雪夫不等式,有239(400600)(|500|100)1.10040DX P X P X ≤≤=-≤≥-=2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.击中目标的次数~(500,0.1),X B n p ==5000.150,EX np ==⨯=5000.10.945.DX npq ==⨯⨯= 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==(4955)P X P ≤≤=≤≤1≈Φ-Φ=Φ+Φ-⎝⎭⎝⎭ (0.74)(0.15)10.77040.559610.33.=Φ+Φ-=+-=★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N15001||15i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15001|ii P X =⎧⎪=>=⎨⎪⎪⎩⎭∑2222(1.34)220.90990.1802.≈-Φ=-Φ=-⨯=⎝⎭(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝0.95,⎛Φ≥ ⎝1.645,≥2124.4345.1.645n ≤= 因此,最多可有4个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==(0.8)P X n≥3P ⎛=≥==-⎭0.95,3⎛≈Φ≥ ⎝⎭1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25.★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n ==(1000)P X≥P =≥=0.95,≈Φ≥1.645,0.810000.n ≥-≥ 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X <<(20)(19.520.5)P X P X =<<0.16P ⎫=<=⎪⎭2((0.16)0.5)2(0.56360.5)0.1272.=Φ-=⨯-= 第十二次作业★1. 设X 1, X 2, ⋅⋅⋅, X 10为来自N (0, 0.32)的一个样本, 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑.标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3iXN i =由卡方分布的定义,10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑10222211 1.44(10)160.1,0.30.3i i P X χ=⎧⎫==>=≈⎨⎬⎩⎭∑ 略大,卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1, X 2, X 3, X 4, X 5是来自正态总体X ~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c , 使得统计量t 分布, 并求其自由度.由独立正态分布的可加性,12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义,22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立.由t 分布的定义,(3),T t ===因此c =自由度为3.★3. 设112,,,n X X X 为来自N (μ1, σ2)的样本, 212,,,nY Y Y 为来自N (μ2, σ2)的样本, 且两样本相互独立, 2212,S S 分别为两个样本方差, 222112212(1)(1)2pn S n S S n n -+-=+-. 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得()2211112(1)(1)1,n S E E n n χσ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭221.ES σ= 类似地222.ES σ=222112212(1)(1)2pn S n S ES E n n ⎛⎫-+-= ⎪+-⎝⎭22212121212(1)(1).22n n ES ES n n n n σ--=+=+-+-。

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业

解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
fY (y)
=
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dy
=
∫
+∞
0
xe−x 1 dx, y > 0; (1 + y)2 0, y ≤ 0
=
1 , y > 0;
(1 + y)2 0, y ≤ 0
有：fX (x) · fY (y) = f (X, Y ), 则 X 与 Y 相互独立.
（2）
∫ +∞
∫
1
8xydy, 0
9、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 { 12e−(3x+4y), 0 < x, 0 < y;
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} ; （2）(X,Y) 的联合分布函数 F(x,y);
解：（1）
∫1
∫2
P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} = 3e−3xdx 4e−4ydy = (1 − e−3)(1 − e−8) = 0.9499

2015年XD-概率论与数理统计及答案

2015年XD-概率论与数理统计及答案

西安电子科技大学网络与继续教育学院2015学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2015年4月3日公布，2015年5月9日前在线提交；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同、拷贝均按零分计。

一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1、设A 、B 、C 是随机事件，则（ A ）。

A ．()A B B A B ?=- B ．()A B B A -?C ．()()A B C A B C -=-D ．A B AB AB =-2、设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（ D ）。

A ．“甲负乙胜” B ．“甲乙平局” C ．“甲负” D ．“甲负或平局”3、设事件A 与事件B 互不相容，则（ D ）。

A ．()0P AB = B ．()()()P AB P A P B =C ．()1()P A P B =-D ．()1P A B = 4、设A B 、互不相容，且()0,()0P A P B >>，则（ A ）。

A ．()0P BA >B ．()()P A B P A =C ．()0P A B =D ．()()()P AB P A P B =5、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ B ）。

A ．21(), 1F x x x =-∞<<+∞+ B ．11()arctan , 2F x x x π=+-∞<<+∞C ．1(1), 0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩D ．()() ()xF x f x dx x -∞=-∞<<+∞⎰，其中()1f x dx +∞-∞=⎰6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ A ）。

A ．2(2)1Φ- B ．(4)(2)ΦΦ- C ．(4)(2)ΦΦ--- D ．(2)(4)ΦΦ-7、设随机变量~(1,1)X N ，其分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则（ C ）。

概率论与数理统计_西安科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

概率论与数理统计_西安科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

概率论与数理统计_西安科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.一次抽样中，如果小概率事件发生了，则认为抽样过程不正常.（）参考答案:错误2.假设检验方法中所提出的两个假设，必须都是不可证明的.（）参考答案:正确3.随机试验不属于统计推断方法. （）参考答案:正确4.设总体的一个样本观察值为0, 0,1,1, 0,1，则总体均值的矩估计值为（）参考答案:0.55.对于同一个参数，最大似然估计和矩估计的结果总是相同的.（）参考答案:错误6.在假设检验中，一般情况下两类错误都可能发生.（）参考答案:正确7.随机变量的方差是它的二阶中心矩.（）参考答案:正确8.下列关于F分布的描述，正确的是（）参考答案:F分布可由两个相互独立的卡方随机变量构造而成9.简单随机样本除了要求与总体具有相同的分布之外，样品之间还要线性无关.（）参考答案:错误10.关于单侧检验，下列说法正确的是（）参考答案:随意调换原假设和备择假设，可能会导致相互矛盾的检验结果11.研究小学五年级男生身高发育情况，其总体为全国所有小学五年级的男生.（）参考答案:错误12.某人连续五天在同一时间同一地点记录通过的公交车数量，记录结果分别为{15,17,14,18,20}，这些数值被称为样本观测值.（）参考答案:正确13.当样本容量不变时，犯第一类错误的概率减小，犯第二类错误的概率将（）参考答案:增大14.假设检验方法与下列哪个方法的思想是类似的（）参考答案:反证法15.用矩估计方法估计参数时，无论选择几阶矩进行估计，同一个参数的估计结果都是一样的.（）参考答案:错误16.关于t 分布的描述，下列说法错误的是（）.参考答案:t 分布的曲线形状与卡方分布曲线很相似17.使用卡方拟合检验法对总体分布是否为标准正态分布进行检验时，若最终的分组数为10，则检验统计量对应的自由度为（）参考答案:918.使用卡方拟合检验法对总体分布进行检验时，若假设的总体分布中含有未知参数，则应先使用（）对参数进行估计。

成人教育 《概率论与数理统计》期末考试复习题及参考答案

成人教育 《概率论与数理统计》期末考试复习题及参考答案

概率论与数理统计练习题A一、填空题1、已知事件A 与B 相互独立，并且3.0)(,4.0)(==B P A P ，则=)(B A P ．2．在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首未的概率是 ．3．设随机变量X ～),2(2σN ，且{}3.042=<<X P ，则{}=<0X P ．4．若二维随机变量（X , Y ）的区域{}222|),(R y x y x ≤+上服从均匀分布，则（X ，Y ）的密度函数为 。

5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则)(2X E = 。

6．设1X ，2X ，…，n X 为总体),0(~2σN X 的一个样本，则2σ 极大似然估计量为 ．二、单选题1．已知====)(,8.0)|(,6.0)(,5.0)(B A P A B P B P A P （ ）．A 0.5；B 0.6；C 0.7；D 0.8． 2．对于任意两事件A 和B ，)(B A P -=（ ）．A ．)()(B P A P - ； B ．)()()(AB P B P A P +-；C ．)()(AB P A P -；D ．)()()(B A P A P A P -+.3．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张，设事件A 为取到1或2，事件B 为取到1或3，则事件A 与B 是（ ）．A 互不相容；B 互为对立；C 相互独立；D 互相包含．4．设X 的为随机变量，则=-)32(X E （ ）．A )(2X E ；B 3)(4-X E ；C 3)(2+X E ；D 3)(2-XE ． 5.设X ，Y 是两个随机变量，则下列命题正确的是（ ）．A ．X ，Y 不相关⇒X ，Y 不相互独立；B ． X ，Y 相关⇒X ，Y 相互独立；C ．X ，Y 不相关⇒X ，Y 相互独立；D ．X ，Y 相互独立⇒X ，Y 不相关6．设1X ，2X ，…，n X 是总体),(2σμN 的样本，2S 是样本方差，则（ ）．A ．)1(~)1(222--n S n χσ； B ．)(~)1(222n S n χσ-； C ．)1(~)1(22--n t S n σ ；D ．)(~)1(22n t S n σ-.三、计算题1．已知40件产品中有3件次品，现从中随机地取出2件，求其中只有1件次品的概率和至少有1件次品的概率．2．在4重伯努力试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，求在一次试验中事件A 出的概率．3．设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数。

大学概率论与数理统计习题及参考答案

大学概率论与数理统计习题及参考答案

P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。 解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 （1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间

西电概率作业2

西电概率作业2

数理统计在现实中的意义和作用数理统计是一门对随机现象进行有限次数的观测或试验的结果进行数最研究，并依之对总体的数量规律性做出其有一定可靠性推断的应用数学学科。

也就是说，数理统计学是统计学的数学基础．它是研究怎样有效地收集、整理和分析带有随机性的数据．以对所考察的问题作推断或预测。

直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支。

在社会科学中．选举人对政府意见的调查、民意测验、经济价值的评估、产品销路的预测、犯罪案件的侦破等。

都有数理统计的功劳。

在自然科学、军事科学、工农业生产、医疗卫生等领域，哪一个门类都离不开数理统计。

笼统地说，数理统计学的理论和方法．与人类活动的各个领域在不同程度二都有关联。

因为各个领域内的活动，都得在不同的程度上与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题．因此也就有数理统计学用武之地。

可以举几个例子来说明这一点．如在t业中生产一种产品，首先．有设计的问题．包括配方和工艺条件的选定。

这要通过从大量可能的条件组合中，分析试验结果来选定。

而可能的条件组合很多。

选择哪一部分去做试验是一个很有讲究的问题。

在数理统计学中有一个专门的分支叫“试验设计”。

就是研究怎样在尽可能少的试验次数之下，达到尽可能高效率的分析结果。

其次，在生产过程中由于原材料，设备调整及工艺参数等条件可能变化，而造成生产条件不正常并导致废品。

在统计学中有一门“工序控制”的学问。

通过在生产过程中随时收集数据并用统计方法进行处理。

可以监测出不正常情况的出现以便随时加以纠正，避免出现大的问题；然后．大批最的产品生产出来后．还有一个通过抽样检验以检验其质量是否达到要求。

是否可以出厂或为买方所接受的问题也要使用数理统计方法。

在我国现行的国家标准中有一些就与这个问题有关。

在农业上．有关选种、耕作条件、肥料选择等一系列的问题的解决，都与统计方法的应用有关。

在历史上．现行的一些重要的统计设计与分析方法，就是近代最伟大数理统计学家费歇尔于20世纪20年代在英国一个农业试验站工作时，因研究田间试验的问题而发明的。

概率论与数理统计西安电子科技大学大作业

概率论与数理统计西安电子科技大学大作业

学习中心/函授站姓名学号西安电子科技大学网络与继续教育学院2018学年上学期概率论与数理统计》期末考试试题(综合大作业)考试说明：1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计；3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。

—、选择每题3分，共30分)1・A B、C是随机事件，且A r>C ,则()oA C ■AUB B・ A C且B CcS B Cc AB D・ A2•设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。

从盒子中任取2件, 则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为()oA ?c R 510103•设F(x)是随机变量X 的分布函 数.则( AF ( x)—定连续■CF(x)是单调不增的4. 设连续型随机变量X 的概率密度为(x),且(x)(x), F(x)是X 的分布函 数，则对任何的实数a ,有（）。

° 7 f 1105)oB 2(x)定右连续° _T (x)定左连续A・ F(a) i 0 (x)dx B・ F( a) o (x)dx7 20彳＜・F( a) F(a) D. F(a) 2F(a) 1金各贝旳釵字崩圭分)oA・6B•(灼丫)的联合概率密7・8 D・98-设连续型随机变X的概率密度为则此人得f (X) 又EX 0.5，贝ljDX ()。

1 1A. B.a bx, 0 x 10,其他1C. D.4112C. DY 0 D・ DX DY 0 2 i "10•设Xi, Xz, z Xn为来自总体X的一个样本，且EX Z DX X Xi,riii 则下列估计量是的无偏估计的是()。

12A. (XiX)2n.i(：・1门1亿X)2n If、填空题(每题3分共30分)1 n 2B. (XiX) n li i 1 n 2D・(XiX)2 mi9•设随机变量X与丫满足D (X Y) D (X Y)，贝lj ( ) oA. X与Y相互独立B. COV(X Z Y) 01.设 P(A) 0.5,P(B) 0.6,P(B A) 0.8,则 P(AU B)。

西工大2020年4月《概率论与数理统计》作业机考参考答案

西工大2020年4月《概率论与数理统计》作业机考参考答案

西工大2020年4月《概率论与数理统计》作业机考试卷总分：100得分:96要答案：wangjiaofudao一、单选题(共35道试题，共70分).{正确答案:C2.{A.{<imgB.(<imgC.(<img /z>D.(<img ，z>正确答案:A3.{正确答案:D4.{正确答案:B5.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有()(X)单调不减(-00)*(+oo)F(x)dx=l(-00)=0(x)=int_(-oo)*(+oo)f(x)dx正确答案：6.考题为选择类试题，每题有四个选择，已知考生知道正确答案的概率为，不知道正确答案的概率为：不知道正确答案时而猜对的概率为1/4,则在他答对时，他确实知道正确答案的概率为()61718正确答案：7.在书架上任意放宜10本不同的书，其中指左的四本书放在一起的概率为()301555正确答案：8.{A・(<imgB.{<img g">C.{<img ">D.{<img g">正确答案：、B中有一个发生：、B都不发生：、B中恰好有两个发生:、B中不多于一个发生正确答案：10.对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=()正确答案：11.在书架上任意放置10本不同的书，其中指左的四本书放在一起的概率为()。

305正确答案:512.{正确答案：13.{A.(<img >B.(<img /z>C・(<img g/z>D. (<img正确答案：・一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为()。

正确答案:•设随机变量X的数学期望存在,则E(E(E(X)))=()(X)(X)(x)"2正确答案:16. {正确答案:・投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（）1832D.以上都不对正确答案：18. {A.（＜imgB.（＜img g/?＞C.（＜imgD.{＜img g〃＞正确答案：19•某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是8,其余各位可以是0到9中的任意一个. 则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（）正确答案:A.(<img /z>B.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img /z> 正确答案：21•甲.乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被命中，则它是甲射中的槪率是()正确答案：.{A.(<imgB.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img g/z>23.{A.(<img pg/?>正确答案:B.(<img g/?>C・{<img pg〃>D. (<img g，z>正确答案：24.{A.{<img pg，?>B.(<img g〃>C・(<img g〃>D・(<img pg，?>正确答案：25•从1、2、3、4、5这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字，则这两个数字不相同的概率为（）22525D.以上都不对正确答案:A.(<img pg/?>B.(<img g/?>C・{<img pg〃>D・(<img pg，?>正确答案：.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y),则F(X,+8)=()O (x)(y)正确答案：28.{正确答案：29.{A.{<img g〃>B.(<img g〃>C・(<img g/z>D. {<img g〃>30.{A.{<img g">B.(<img ">C.(<img g">D.{<img g"> 正确答案：31.{A. {<img g">B・(<img jpg"〉C.(<img g">D.(<img g"> 正确答案：32.{A・{<img pg"> B・{<img pg">C.{<img ">D.(<img g〃>33.{A.(<img 〃>B.{<img g/z>C.(<img /z>D.{<img ，z>正确答案：.一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸岀一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为()以上都不对正确答案：35. {A.(<img /z>B.{<img /z>C.(<img /z>D.{<img g〃>正确答案：二、判断题(共15道试题，共30分)1. {A.错误B.正确正确答案：2.{A.错误B.正确正确答案：3.{A.错误B.正确正确答案：4.{A.错误B.正确正确答案:5.(A.错误5.(B.正确正确答案：6.{A.错误B.正确正确答案：7.{A.错误B.正确正确答案：8.{扎错误B.正确正确答案:9.{A.错误B.正确正确答案:10.某人投篮，命中率为，现独立投五次，则最多命中两次的概率为。

概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)

概率论与数理统计的答案详解_北邮版_(第一章的)

概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.” C =“两次出现同一面.” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C（1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C （3） A ，B ，C 都发生； （4） A ，B ，C （5） A ，B ，C 都不发生； （6） A ，B ，C（7） A ，B ，C 至多有2个发生； （8） A ，B ，C 至少有2个发生. 【解】（1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:(1) A∪B=(AB)∪B；(2) A B=A∪B；A∩C=AB C；(3) B(4) (AB)( AB)= ∅；(5) 若A⊂B，则A=AB；(6) 若AB=∅，且C⊂A，则BC=∅；(7) 若A⊂B，则B⊃A；(8) 若B⊂A,则A∪B=A.【解】(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB∪B=B.所以，事件Α发生，事件B必不发生，即Α∪B发生，ΑB∪B不发生.故不成立.(2)不成立.若事件Α发生，则A不发生，Α∪B发生，所以A B不发生，从而不成立.A，AB画文氏图如下:(3)不成立.B所以,若Α-B发生,则AB发生, A B不发生,故不成立.(4)成立.因为ΑB与AB为互斥事件.(5)成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.⊂.(7)不成立.画文氏图,可知B A(8)成立.若事件Α发生,由()A AB ⊂,则事件Α∪B 发生.若事件Α∪B 发生,则事件Α,事件B 发生. 若事件Α发生,则成立.若事件B 发生,由B A ⊂,则事件Α发生.4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1P （AB ）=1[P (A )P (AB )]=1[0.70.3]=0.65.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB（2） 在什么条件下P （AB【解】（1） 当AB =A 时，P （AB ）取到最大值为0.6.（2） 当A ∪B =Ω时，P （AB ）取到最小值为0.3.6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0P（AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )P (AB )P (BC )P (AC )+P (ABC )=14+14+13112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有350C 种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共245C 种取法;从5个次品中取1个,共15C 种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为245C 15C种,所以所求概率为21455350C C P C =.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1） n 件是同时取出的； （2）n （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从NM 件次品中取nm 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n m 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m 种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 在电话号码簿中任取一电话号码，求后面4个数全不相同的概率(设后面4个数中的每一个数都是等可能地取自0，1，…，9).【解】这是又重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有410P 种排法,故所求概率为4410/10P P =.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == *16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076*17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=？19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|xy |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 题22图23.P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.则1(0.8)0.9n-≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故n ≥1lg8=11.07，至少必须进行11次独立射击. 32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦()()()()P AB P B P AB P B =，即()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=- 因此 ()()()P AB P A P B =,故A 与B 相互独立. 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为151314，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯=34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)×0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)×0.6+0.4×0.5×0.7×1=0.458。

西电概率作业

西电概率作业

概率论在生活中的运用自然界和社会上发生的现象时多种多样的。

有一类现象，在一定条件下必然发生，例如，向上抛一石子必然下落，这类现象为确定性现象。

在自然界还存在另一类现象，例如，抛一枚硬币，其结果正面可能向上也可能向下，这类事件在一定的条件下，可能出现不同的结果。

但是在人们重复试验观察下，结果总是具有规律性。

这就是概率论所研究的问题。

概率论所研究的问题渗透到我们生活的方方面面，每一理论都有其直观的背景，各大商场的促销活动，随处可见的福利彩票，甚至是骗子们手里的把戏，都用到的概率论里的知识。

概率论揭示了生活中许多现象所蕴涵的神奇规律，而运用概率论的知识，我们又能对许多看似不可思议的现象，给出了令人信服的解释，这正是概率论的魅力所在。

其中买彩票的问题是大家最为熟知的概率问题，我们以比较流行的中国体育福利彩票为例来计算一下。

买一注彩票，你只需在0到9这lO 个数字中任意选取7个，可以重复。

在每一期开奖时有—个专门的摇奖器按顺序随机摇出7个标有效字的小球，如果你买的号码与开奖的号码一致，那你就中了特等奖，其奖金最高是500万元。

可是，当我们计算这种摇奖方式能产生出多少种不同的情况时，我们会吓一跳：10x 10x 10x 10x 10x 10x 10=10000000种!这就是说。

假如你只买了一注彩票。

7个号码按顺序与开奖号码完全一致的机会是一千万分之一。

一千万分之一是一个什么样的概念呢?如果每星期你花20元买lO 注彩票，那你在每19230年中有赢得一次大奖的机会；即使每星期坚持花2000元买1000注，也大致需要每192年才有一次中大奖的机会。

这几乎是单靠人力所不能完成的，获大奖仅是我们期盼的偶然中的偶然事件。

即数学上归为小概率事件之列。

一般情况下。

彩票发行者只拿出全部彩金的45％作为奖金返还，这意味着无论奖金的比例如何分配，无论彩票的销售总量是多少彩民平均付出l元钱只能赢得0.45元的回报。

从这个平均值的角度出发，这个游戏是绝对不划算的。

《概率论与数理统计》第二章作业解答

《概率论与数理统计》第二章作业解答

5、一批产品共有 25 件，其中 5 件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取 4 次，设 X 是其中 的次品数，若 （1）每次取出的产品仍放回； （2）每次取出的产品不再放回. 写出 X 的分布律. 解： （1）随机地一个一个取出仍放回，每次取出产品是次品的概率是 0.2，共取 4 次，相当于做 4 次伯 努利试验，则 X ∼ B (4, 0.2) （2） P {X = 0} =
P {X = 3} = 统一可写为： P {X = k } =
6、某射手每次射击击中目标的概率为 0.8，现连续射击 30 次，写出击中目标的次数 X 的分布律， 并求出 30 次射击未击中目标的概率. 解：该射手射击只有击中与未击中两个结果，击中目标的概率 p=0.8，连续射击 30 次相当于做了 30 次 伯努利试验，则 X ∼ B (30, 0.8) 30 次射击未击中目标的概率： P {X = 0} = (1 − 0.8)30 = 1.0737 × 10−21 7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是 0.01，现放射出 100 个粒子，求至少有两个 粒子穿透屏蔽的概率. 解：放射源放射出的粒子只有穿透与未穿透两个结果，穿透屏蔽的概率 p=0.01，连续放射出 100 个粒 子相当于做了 100 次伯努利试验，则 X ∼ B (100, 0.01) 至少有两个粒子穿透屏蔽的概率: P {X ≥ 2} = 1 − P {X = 0} − P {X = 1}
4
24 −2 e ≈ 0.0902 4! 9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数 X 是服从泊松分布的随机变量，如果无粒子放射 P {X = 4} =
出的概率为 1/3，试求: （1）X 的分布律； （2）放射出一个以上粒子的概率. 解： （1）由题意，X ∼ P (λ) ，且 P {X = 0} = 得 λ = ln 3，故 X 的分布律； P {X = k } = （2）放射出一个以上粒子的概率: 1 − P {X ≤ 1} = 1 − 1 ln 3 − = 0.3005 3 3 (ln 3)k − ln 3 (ln 3)k e = k! 3k ! λ0 −λ 1 e = 0! 2

概率论与数理统计大作业

概率论与数理统计大作业

概率论与数理统计大作业一、选题背景概率论与数理统计是现代科学中的重要分支，具有广泛的应用领域。

在实际问题中，我们经常需要通过数据分析来了解事物的规律性和趋势，而概率论与数理统计正是提供了一种科学的方法来处理这些数据。

因此，在学习概率论与数理统计时进行一次大作业，不仅能够加深对知识点的理解，还能够提高自己的数据分析能力和实际问题解决能力。

二、选题内容本次概率论与数理统计大作业选题为“某超市销售数据分析”。

主要内容包括以下几个方面：1. 数据收集首先需要收集某超市近两年来各种商品的销售数据，并将其整理成表格形式。

表格中应包含商品名称、销售量、销售额等信息。

2. 数据处理在收集到数据后，需要对其进行初步处理。

可以使用Excel等工具进行数据清洗、去重、排序等操作，并计算出每种商品的年销售量、年销售额以及平均单价等指标。

3. 数据分析在完成数据处理后，可以开始进行数据分析。

可以从以下几个方面入手：（1）商品销售情况分析通过统计每种商品的销售量、销售额等指标，分析各种商品的销售情况，找出畅销商品和滞销商品，并探究其原因。

（2）季节性分析通过比较不同季节或不同月份的销售数据，分析商品在不同季节或月份的销售情况，找出季节性规律。

（3）地域性分析通过比较不同门店或不同城市的销售数据，分析商品在不同地域的销售情况，找出地域性规律。

（4）用户行为分析通过统计用户购买行为数据，如购买时间、购买频率、购买金额等指标，分析用户行为特点，并提出相应的营销策略。

4. 数据可视化为了更直观地展示数据分析结果，可以使用图表等工具进行数据可视化。

例如可以绘制柱状图、折线图、饼图等来展示各种商品的年销售量和年销售额；也可以使用热力图来展示不同城市或门店的销售情况。

三、选题意义本次概率论与数理统计大作业选题有以下几个意义：1. 提高数据处理能力在进行本次大作业时，需要进行数据收集、处理和分析等操作，这将有助于提高自己的数据处理能力和实际问题解决能力。

西工大作业集-概率论与数理统计作业集

西工大作业集-概率论与数理统计作业集

第一章测试题一.填空题1:若A={3,5,7,8,9}B={3,5,8,10}_______=_______答案略2:若A，B,C,D是四个事件，则四个事件至少有一个不发生可表示为_______;四个事件恰好发生两个可表示为_______答案略3:有三个人,每个人都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中恰有两人的概率是_______答案**4:10件产品中有2件次品，从中随机抽取2件，至少抽到二件次品的概率是_______ 答案略5:设某种动物由出生活到25岁的概率为0:8,活到30岁的概率为0:4，则现为25岁的动物活到30岁的概率为_______。

答案**6:一射手对同一目标独立地进行3次射击,若至少命中1次的概率是26/27，则该射手的命中率为_______答案2/37:设A，B为任意两个随机事件_______答案略二.单选题1:某公司电话号码有五位,若第一位数字必须是8,其余各位可以是0〜9中的任意一个,则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是_______。

(A)126(B)l260(C)3024(D)5040答案C2:_______(A)0.4(B)0.6(C)0.8(D)0.7答案D3:在书架上任意放置10本不同的书,其中指定的四本书放在一起的概率为_______。

(A)l/30(B)3/15(C)4/5(D)3/5答案A4:_______(A)0.6(B)0.7(C)0.8(D)0.5答案B5:五人以摸彩方式决定谁得一张电影票下列结果有一个不正确，它是_______。

(A)(B)(C)(D)答案C6:甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0:6和0:5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是_______。

(A)0.6(B)5/ll(C)0.75(D)6/ll答案C7:若两事件A和B相互独立,_______(A)0.6(B)0.5(C)0.7(D)0.4答案A8:考题为选择类试题，每题有四个选择，已知考生知道正确答案的概率为0:8,不知道正确答案的概率为0:2;不知道正确答案时而猜对的概率为1/4,则在该考生答对时，且确实知道正确答案的概率为_______。

概率论与数理统计作业及解答,DOC

概率论与数理统计作业及解答,DOC

概率论与数理统计作业及解答,D O C(总20页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1. 甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件A B C 分别表示甲 乙 丙击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示. 事件E {事件,,A B C 最多有一个发生},则E 的表示为;E ABC ABC ABC ABC =+++或;ABACBC =或;ABACBC =或;AB ACBC =或().ABC ABC ABC ABC =-++(和A B +即并A B ,当,A B 互斥即AB φ=时A B 常记为A B +) 2. 设M 件产品中含m 件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221M mM C C --或1122(21)(1)m M m m M C C C m M m M M C -+--=- ★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只 计算以下事件的概率.A {8只鞋子均不成双},B {恰有2只鞋子成双},C {恰有4只鞋子成双}. ★4. 设某批产品共50件 其中有5件次品 现从中任取3件 求 (1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960C C == (2)21455350990.2526.392C C C ==5. 从1～9九个数字中 任取3个排成一个三位数 求(1)所得三位数为偶数的概率 (2)所得三位数为奇数的概率(1){P 三位数为偶数}{P =尾数为偶数4},9=(2){P 三位数为奇数}{P =尾数为奇数5},9=或{P 三位数为奇数}1{P =-三位数为偶数45}1.99=-=6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A {最小号码为5}, B {最大号码为5}.(1) 253101();12C P A C ==(2) 243101().20C P B C ==7. 袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A ={全红}B ={颜色全同}C ={颜色全不同}D ={颜色不全同}E ={无黄色球}F ={无红色且无黄色球}G ={全红或全黄}.☆.某班n 个男生m 个女生(mn 1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率. ☆.在[0 1]线段上任取两点将线段截成三段 计算三段可组成三角形的概率. 第二次作业1. 设A B 为随机事件 P (A )0.92 P (B )0.93 (|)0.85P B A = 求(1)(|)P A B (2)()P A B ∪(1) ()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92P AB P AB P B A P AB P A ====⨯=- (2)()()()()P A B P A P B P AB =+-0.920.930.8620.988.=+-=2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率. 记事件A {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, B {(1,6),(6,1)}.★.在1—2000中任取一整数 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率 记事件A {能被5除尽}, B {能被7除尽}.4001(),20005P A ==取整2000285,7⎡⎤=⎢⎥⎣⎦28557(),2000400P B ==200057,57⎡⎤=⎢⎥⨯⎣⎦57(),2000P AB = 3. 由长期统计资料得知 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15 刮风(用B 表示)的概率为7/15 既刮风又下雨的概率为1/10 求P (A |B )、P (B |A )、P (AB )4 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率．记事件i A ={第i 次落下时摔破} 1,2,3.i =5 设在n 张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．记事件i A ={第i 个人摸到奖券} 1,2,3.i =由古典概率直接得1231()()().P A P A P A n ===或212121111()()()(|),1n P A P A A P A P A A n n n -====-或 第一个人中奖概率为11(),P A n=前两人中奖概率为12122()()(),P A A P A P A n +=+=解得21(),P A n=前三人中奖概率为1231233()()()(),P A A A P A P A P A n ++=++=解得31().P A n=6 甲、乙两人射击 甲击中的概率为08 乙击中的概率为07 两人同时射击 假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2)甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率 记事件A ={甲中靶}B ={乙中靶}. (1) ()()()0.70.70.56,P AB P A P B ==⨯=(2) ()()()0.80.560.24,P AB P A P AB =-=-= (3) ()()()0.70.560.14.P AB P B P AB =-=-=★7 袋中有a 个红球 b 个黑球 有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 (1)A {在n 次摸球中有k 次摸到红球} (2)B {第k 次首次摸到红球}(3)C {第r 次摸到红球时恰好摸了k 次球}(1) ();()k n kk n kk k n nna b a b P A C C a b a b a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(2) 11();()k k kb a ab P B a b a b a b --⎛⎫== ⎪+++⎝⎭(3) 1111().()rk rr k rr r k k ka b a b P C C Ca b a b a b ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭8一射手对一目标独立地射击4次 已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为,1.p q p =-4801121,,1.818133q q p q =-===-= 9 设某种高射炮命中目标的概率为0.6 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标(10.6)10.99,n -<-0.40.01,n <由50.40.01024,=60.40.01,<得 6.n ≥ ☆.证明一般加法(容斥)公式证明 只需证分块111,,k k n k i i i i i i A A A A A A +⊂只计算1次概率．(1,,n i i 是1,,n 的一个排列1,2,,.k n =)分块概率重数为1,,k i i A A 中任取1个-任取2个1(1)k -++-任取k 个即将,互换可得对偶加法(容斥)公式☆.证明 若A B 独立 A C 独立 则A B ∪C 独立的充要条件是A BC 独立. 证明充分性:⇐(())()()()()(),P A B C P A P B P A P C P ABC =+-代入()()()P ABC P A P BC = ()(()()())P A P B P C P BC =+-()(),P A P B C = 即,A B C 独立. 必要性:⇒()()(),P ABC P A P BC =即,A BC 独立.☆.证明：若三个事件A 、B 、C 独立，则A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立． 证明 因为所以A ∪B 、AB 及A －B 都与C 独立. 第三次作业1 在做一道有4个答案的选择题时 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 设他知道问题的正确答案的概率为p 分别就p 0.6和p 0.3两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率 记事件A ={知道问题正确答案}B ={答对选择题}.(1) 由全概率公式得()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+113,444p pp -=+=+当0.6p =时13130.67()0.7,444410p P B ⨯=+=+== 当0.3p =时 13130.319()0.475.444440p P B ⨯=+=+== (2) 由贝叶斯公式得()4(|),13()1344P AB p pP A B p P B p ===++当0.6p =时440.66(|),13130.67p P A B p ⨯===++⨯当0.3p =时440.312(|).13130.319p P A B p ⨯===++⨯2 某单位同时装有两种报警系统A 与B 当报警系统A 单独使用时 其有效的概率为0.70 当报警系统B 单独使用时 其有效的概率为0.80.在报警系统A 有效的条件下 报警系统B 有效的概率为0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统B 有效的条件下 报警系统A 有效的概率 (3)两种报警系统都失灵的概率. (1) ()()(|)0.70.840.588,P AB P A P B A ==⨯=(2) ()0.588(|)0.735,()0.8P AB P A B P B === (3) ()()1()1()()()P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=--+☆.为防止意外 在矿内同时设有两种报警系统A 与B 每种系统单独使用时 其有效的概率系统A 为0 92 系统B 为0.93 在A 失灵的条件下 B 有效的概率为0.85 求: (1)发生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下 A 有效的概率 3 设有甲、乙两袋 甲袋中有n 只白球 m 只红球 乙袋中有N 只白球 M 只红球 从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少 记事件A ={从甲袋中取到白球}B ={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得☆.设有五个袋子 其中两个袋子 每袋有2个白球 3个黑球 另外两个袋子 每袋有1个白球 4个黑球 还有一个袋子有4个白球 1个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋 并从这袋中任取一球 求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋 并由其中任取一球 结果是白球 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？★4 发报台分别以概率06和04发出信号 “·” 及 “” 由于通信系统受到于扰 当发出信号 “·” 时 收报台分别以概率08及02收到信息 “·” 及 “” 又当发出信号 “” 时 收报台分别以概率09及0l 收到信号 “” 及 “·” 求: (1)收报台收到 “·”的概率(2)收报台收到“”的概率(3)当收报台收到 “·” 时 发报台确系发出信号 “·” 的概率(4)收到 “” 时 确系发出 “” 的概率记事件B ={收到信号 “·”}1A ={发出信号 “·”}2A ={发出信号“”}.(1) )|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=;52.01.04.0)2.01(6.0=⨯+-⨯= (2) ()1()10.520.48;P B P B =-=-=(3) 1111()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.60.8120.923;0.5213⨯=== (4)2222()()(|)(|)()()P A B P A P B A P A B P B P B ==0.40.930.75.0.484⨯=== 5 对以往数据分析结果表明 当机器调整良好时 产品合格率为90% 而机器发生某一故障时 产品合格率为30% 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为75% (1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品 求机器调整良好的概率 记事件B ={产品合格}A ={机器调整良好}. (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()P AB P A P B A P A B P B P B ==0.750.90.9.0.75⨯== ☆.系统(A) (B) (C)图如下 系统(A) (B)由4个元件组成 系统(C)由5个元件组成 每个元件的可靠性为p 即元件正常工作的概率为p 试求整个系统的可靠性. (A) (B) (C)记事件A ={元件5正常}B ={系统正常}. (A) 222(|)(1(1)(1))(44),P B A p p p p p =---=-+ (B) 2222(|)1(1)(1)(2),P B A p p p p =---=- (C) 由全概率公式得 第四次作业1 在15个同型零件中有2个次品 从中任取3个 以X 表示取出的次品的个数 求X 的分布律.☆.经销一批水果 第一天售出的概率是0.5 每公斤获利8元 第二天售出的概率是0.4 每公斤获利5元 第三天售出的概率是0.1 每公斤亏损3元 求经销这批水果每公斤赢利X 的概率分布律和分布函数2 抛掷一枚不均匀的硬币 每次出现正面的概率为2/3 连续抛掷8次 以X 表示出现正面的次数 求X 的分布律.3 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35 以X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数 写出X 的分布律 并计算X 取偶数的概率解得0.6513()=0.394.110.6533q P X q ==++偶 4 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻(1)恰有2个刷卡机被使用的概率(2)至少有3个刷卡机被使用的概率 (3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率 在同一时刻刷卡机被使用的个数(4,0.1).X B n p ==(1) 2224(2)0.10.90.00486,P X C ==⨯⨯= (2) 3344(3)(3)(4)0.10.90.10.0037,P X P X P X C ≥==+==⨯⨯+= (3) 4(3)1(4)10.10.9999,P X P X ≤=-==-=(4)4(1)1(0)10.910.65610.3439.P X P X ≥=-==-=-=5 某汽车从起点驶出时有40名乘客 设沿途共有4个停靠站 且该车只下不上 每个乘客在每个站下车的概率相等 并且相互独立 试求 (1)全在终点站下车的概率 (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率 记事件A ={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数(40,1/4).X B n p ==(1) 40231(40)8.271810,4P X -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭(2) 403940140313433(2)1(0)(1)1144434P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3) 记事件B ={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数(40,1/2).Y B n p ==2020202040404011(20)0.1268.222C P Y C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(精确值) 应用斯特林公式!2,nn n n e π⎛⎫⎪⎝⎭其中 1.7724538509.π==参贝努利分布的正态近似6 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002 有2000件瓷器运到 求 (1)恰有2个受损的概率 (2)小于2个受损的概率 (3)多于2个受损的概率 (4)至少有1个受损的概率 受损瓷器件数(2000,0.002),X B n p ==近似为泊松分布(4).P n p λ=⨯=(1) 2441480.146525,2!P e e --=== (2) 4424150.0915782,1!P e e --⎛⎫=+== ⎪⎝⎭(3) 431211130.761897,P P P e-=--=-= (4) 4410.981684.P e -=-=7 某产品表面上疵点的个数X 服从参数为1.2的泊松分布 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品 求产品的合格品率产品合格品率2 1.2 1.21.2 1.212.920.879487.1!2!P e e --⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭★8 设随机变量X求X 的分布函数 以及概率|5).X ≤随机变量X 的分布函数为 第五次作业1 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量(单位 小时) 其密度函数是试求 (1)系数k (2)X 的分布函数 (3)在15分钟内完成一道作业的概率 (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率 (1) 0.50.52320111(0.5),21,32248kk F kx xdx x x k ⎛⎫==+=+=+= ⎪⎝⎭⎰(2) 23200,01()()217,00.5,2(0.5)1,0.5.x x F x P X x x xdx x x x F x <⎧⎪⎪=≤=+=+≤<⎨⎪=≥⎪⎩⎰(3) 322011119()2170.140625,442464x F P X x x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤=+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰(4) 3212316111111129217.6336424108P X F F x xdx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤≤=-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2 设连续型随机变量X 服从区间[a a ](a 0)上的均匀分布 且已知概率1(1)3P X >= 求 (1)常数a (2)概率1()3P X <(1) 1111(1),3,223aa P X dx a a a ->====⎰(2) 13311115()3.36639P X dx -⎛⎫<==+= ⎪⎝⎭⎰3 设某元件的寿命X 服从参数为 的指数分布 且已知概率P (X 50)e4 试求(1)参数 的值 (2)概率P (25X 100) 补分布()()|,0.x x xxx S x P X x e dx e e x θθθθ+∞--+∞->==-=>⎰ (1) 504502(50)(50),0.08,25x S P X e dx e e θθθθ+∞---=>=====⎰(2) 由()(),,0,rx r S rx e S x r x θ-==>取50,x =依次令1,2,2r =得其中 2.7182818284.e4 某种型号灯泡的使用寿命X (小时)服从参数为1800的指数分布 求 (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率 (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率 (1) 1312008002(1200)0.2231301602,P X ee-⨯->===1.6487212707001.= (2) 932(1200)0.0111089965.P X e->==5 设X ~N (0 1) 求 P (X 061) P (262X 125) P (X 134) P (|X |213) (1) (0.61)(0.61)0.72907,P X <=Φ=(2) ( 2.62 1.25)(1.25)( 2.62)(1.25)(2.62)1P X -<<=Φ-Φ-=Φ+Φ- (3) ( 1.34)1(1.34)10.909880.09012,P X >=-Φ=-=(4)(|| 2.13)22(2.13)220.983410.03318.P X >=-Φ=-⨯=6 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X ~N (4 19) 设飞机上午10 10从甲地起飞 求 (1)飞机下午2 30以后到达乙地的概率 (2)飞机下午2 10以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午1 40至2 20之间到达乙地的概率(1) 131331/34111(1)10.841340.15866,331/3P X P X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=-Φ=-Φ=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2) (4)(0)0.5,P X <=Φ=(3) 72525/647/24261/31/3P X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭★7 设某校高三女学生的身高X ~N (162 25) 求 (1)从中任取1个女学生 求其身高超过165的概率 (2)从中任取1个女学生 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率 (3)从中任取6个女学生 求其中至少有2个身高超过165的概率(1) 162165162(165)0.61(0.6)10.72580.2742,55X P X P --⎛⎫>=>==-Φ=-=⎪⎝⎭(2) 162(|162|5)12(1)120.8413410.6827,5X P X P ⎛-⎫-<=<=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭(3) 记事件A ={任一女生身高超过165} ()(165)0.2742,p P A P X ==>= 随机变量Y 贝努利分布(6,0.2742),B n p == 第六次作业★1.设随机变量X 的分布律为 (1)求Y |X |的分布律求YX 2X 的分布律 (1)(2)★.定理X 密度为()X f x ,()y g x =严格单调,反函数()x x y =导数连续,则()Y g X =是连续型变量,密度为 证明 1)若()0,x x y ''=>{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≤ 两边对y 求导,2)若()0,x x y ''=<{}{()()}{},Y y g X g x X x ≤=≤=≥ 两边对y 求导,因此总有()(())|()|,.Y X f y f x y x y y αβ'=<< 或证明两边对y 求导,或两边微分2 设随机变量X 的密度函数是f X (x ) 求下列随机变量函数的密度函数 (1)Y tan X (2)1Y X=(3)Y |X | (1) 反函数()arctan ,x y y ='21(),1x y y =+由连续型随机变量函数的密度公式得 或 反函数支()arctan ,i x y i y i π=+为整数，'21(),1i x y y=+(2) 1,X Y =反函数1,y x y ='211()()().Y X y y X f y f x x f y y==(3) ()()(||)()()()Y X X F y P Y y P X y P y X y F y F y =≤=≤=-≤≤=-- 两边对y 求导得Y 的密度函数为()()(),0.Y X X f yf y f y y =+-> ★3 设随机变量X ~U [2 2] 求Y 4X 21的密度函数 两边对y 求导得随机变量Y 的密度为或解 反函数支12()()x y x y ==★4 设随机变量X 服从参数为1的指数分布 求YX 2的密度函数(Weibull 分布) 当0y ≤时, 2YX =的分布()0Y F y =,当0y >时, 两边对y 求导得或 反函数y x ='()()0.Y X y y f y f x x y ==>★5 设随机变量X~N (0 1) 求(1)Ye X 的密度函数 (2)YX 2的密度函数(Gamma 分布) (1) 当0y ≤时, e X Y =的分布()0Y F y =,当0y >时, 因而Y 的密度为或反函数ln ,X Y =ln ,y x y ='1()()(ln )Y y yf y x x y y ϕϕ=={}2(ln ),0.2y y =-> (2)当0y ≤时,()0Y F y =;当0Y >时,2()()()((Y X X Fy P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-?两边对y 求导得Y的密度函数为2,0,()0.yY y f y ->=⎩或 反函数支12()()x y x y ==6 设随机变量X 的密度函数是21,1()0,1X x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 求Y ln X 的概率密度 反函数,y y x e ='()()(),0.y y y Y X y y X f y f x x f e e e y -===>第七次作业☆.将8个球随机地丢入编号为1 2 3 4 5的五个盒子中去 设X 为落入1号盒的球的个数Y 为落入2号盒的球的个数 试求X 和Y 的联合分布律1 袋中装有标上号码12 2的3个球 从中任取一个并且不再放回 然后再从袋中任取一球 以X Y 分别记第一、二次取到球上的号码数 求 (1)(X Y )的联合分布律(设袋中各球被取机会相等) (2)X Y 的边缘分布律 (3)X 与Y 是否独立？(1)(X Y )的联合分布律为(2) X Y 的分布律相同12(1),(2).33P X P X ====(3) X 与Y 不独立2 设二维连续型变量(,)X Y 的联合分布函数35(1)(1),,0,(,)0,.x y e e x y F x y --⎧-->=⎨⎩其它求(,)X Y 联合密度★3 设二维随机变量(X Y )服从D 上的均匀分布 其中D 是抛物线yx 2和xy 2所围成的区域 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数 并判断Y X ,是否独立分布区域面积213123200211,333x S x dx x x ⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰联合密度213,1,(,)0,.x y f x y S ⎧=<<⎪=⎨⎪⎩其它边缘X的密度为22()),01,X x f x dy x x ==<<边缘Y的密度为22()),0 1.Y y f y dy y y ==<<(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅因此X 与Y 不独立.或(,)f x y 非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此X 与Y 不独立. 4. 设二维离散型变量),(Y X 联合分布列是问,p q 取何值时X 与Y 两行成比例1/151/52,1/53/103q p ===解得12,.1015p q == ★5.设(,)X Y 的联合密度为2,11,0,(,)0,.y Ax e x y f x y -⎧-<<>=⎨⎩其它求(1)常数A (2)概率1(0,1);2P X Y <<>(3)边缘概率密度f X (x ) f Y (y ) (4)X 与Y 是否相互独立？(1) 2220()(,),11,y y X f x f x y dy Ax e dy Ax e dy Ax x +∞+∞+∞--====-<<⎰⎰⎰(2) 112201113(0,1)(0)(1).22216ye P X Y P X P Y x dx e dy -+∞-<<>=<<>==⎰⎰ (3) 23(),11,2X f x x x =-<<(4)由23,11,0()()(,),20,yX Y x e x y f x f y f x y -⎧-<<>⎪⋅==⎨⎪⎩其它得X 与Y 独立. 或因为2(,),11,0,y f x y Ax e x y -=-<<>可表示为x 的函数与y 的函数的积且分布在矩形区域上,所以X 与Y 相互独立.由此得(),0;y Y f y e y -=>2(),11,X f x Ax x =-<<6. 设X 服从均匀分布(0,0.2),U Y 的密度为55,0,()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它.且,X Y 独立.求(1)X 的密度(2) (,)X Y 的联合密度 (1)X 的密度为()5,00.2,X f x x =≤≤(2)(,)X Y 的联合密度为525,00.2,0,(,)0,y e x y f x y -⎧≤≤>=⎨⎩其它.第八次作业★1求函数(1)Z 1XY (2) Z 2min{X Y } (3) Z 3max{X Y }的分布律(1) 11(0)(0),6P Z P X Y =====1111(1)(0,1)(1,0),362P Z P X Y P X Y ====+===+=(2) 2111(1)(1,1)(1,2),1264P Z P X Y P X Y ====+===+=223(0)1(1).4P Z P Z ==-==(3) 31(0)(0),6P Z P X Y =====2 设随机变量(X 求函数Z X /Y 的分布律3 设X 与Y 相互独立 概率密度分别为220()00,xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩0()00,y Y e y f y x -⎧>=⎨≤⎩试求ZXY 的概率密度★4 设X ~U (0 1) Y ~E (1) 且X 与Y 独立 求函数ZXY 的密度函数 当01z <≤时当1z >时因此★5 设随机变量(X Y )的概率密度为()101,0(,)10x y e x y f x y e -+-⎧⎪<<<<+∞=⎨-⎪⎩其它(1)求边缘概率密度f X (x ) f Y (y ) (2)求函数U max (X , Y )的分布函数 (3)求函数V min (X , Y )的分布函数(1) 1,01,()10,x X e x f x e --⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.,0,()0,yY e y f y -⎧>=⎨⎩其它. (2) 11000,0,1()(),01,111,1x xx x X X x e e F x f x dx dx x e e x ----≤⎧⎪-⎪===<<⎨--⎪≥⎪⎩⎰⎰.min{,1}10,0,1,01x x e x e --≤⎧⎪=⎨->⎪-⎩. (3) 111,0,()1(),01,10,1x X X x e eS x F x x e x ---≤⎧⎪-⎪-=<<⎨-⎪≥⎪⎩.6 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160 202)分布 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率随机变量2(160,20),X N 180160(180)(1)0.84134,20P X -⎛⎫≤=Φ=Φ= ⎪⎝⎭没有一只寿命小于180小时的概率为 第九次作业★1.试求 E (X ) E (X 25) E (|X |)2. 设随机变量X 的概率密度为0 0,() 01, 1.x x f x x x Ae x -⎧≤⎪=<≤⎨⎪>⎩求 (1)常数A (2)X 的数学期望(1) 1100111(),2x f x dx xdx Ae dx Ae +∞+∞--==+=+⎰⎰⎰,2e A =(2) 12100114()2.2323x e e EX xf x dx x dx xe dx e +∞+∞--==+=+⨯=⎰⎰⎰★3. 设球的直径D 在[a b ]上均匀分布试求 (1)球的表面积的数学期望(表面积2D π)(2)球的体积的数学期望(体积316D π)(1) 22222()();3ba x E D ED dx a ab b b a ππππ===++-⎰ (2) 33322()().6624b a x E D ED dx a b a b b a ππππ⎛⎫===++ ⎪-⎝⎭⎰ ★4.0 0.05 0 0.10 0.2020.10 0.15 0.05 0.05求E (X ) E (Y ) E (XY )★5. 设随机变量X 和Y 独立 且具有概率密度为2,01,()0,X x x f x <<⎧=⎨⎩其它,3(1)3,1,()0, 1.y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩(1)求(25)E X Y + (2)求2()E X Y(1) 112002()2,3X EX xf x dx x dx ===⎰⎰或随机变量1Z Y =-指数分布(3),E 141,,33EZ EY EY =-==(2) 11223001()2,2X EX x f x dx x dx ===⎰⎰由X 和Y 独立得22142().233E X Y EX EY ==⨯=第十次作业1. 设离散型随机变量X试求 (1) D (X ) (2) D (3X 2)(1) 20.110.210.320.130.10.4,i i iEX x p ==-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=∑(2) 2(32)(3)9 2.0418.36.D X DX -+=-=⨯=★2. 设随机变量X 具有概率密度为22,02,()0,Ax x x f x ⎧+<<=⎨⎩其他，试求 (1)常数A (2)E (X ) (3) D (X ) (4) D (2X 3)(1) 22081()(2)4,3f x dx Ax x dx A +∞-∞==+=+⎰⎰解得9.8A =-(2) 22095()(2).86EX xf x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰(3) 22222094()(2),85EX x f x dx x x x dx +∞-∞==-+=⎰⎰2224519.56180DX EX E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭(4) 21919(23)24.18045D X DX -==⨯=★3. 设二维随机变量(,)X Y 联合概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他，试求 (1),X Y 的协方差和相关系数A (2)(21).D X Y -+(1) 103()(,)(2),01,2X f x f x y dy x y dy x x +∞-∞==--=-<<⎰⎰由,x y 的对称性3(),0 1.2Y f y y y =-<<因此(2) 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DX Cov X Y +=++得★4. 设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律试求,,,EX DX EY DY 以及X 和Y 的相关系数 (1) X 的分布列为由变量X 分布对称得0,EX =或10.4500.4510.450,i i iEX x p ==-⨯+⨯+⨯=(2) Y 的分布列为(,)X Y 取值关于原点中心对称由变量Y 分布对称得0,EY =或20.20.250.2520.20,j j iEY y p ==-⨯-++⨯=∑ (3) 由二维变量(,)X Y 的联合分布列关于两坐标轴对称得,()0,i ji j ijE XY x y p ==∑∑(,)()0,Cov X Y E XY EXEY =-=因此,0.X Y ρ==5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布(2)P 随机变量Y 服从区间(0,6)上的均匀分布(0,6),U 且,X Y 的相关系数,X Y ρ=记2,Z X Y =-求,.EZ DZ (1) 2,EX =063,2EY +==(2)2223 4.EZ E X Y EX EY =-=-=-⨯=-(2) 2(60)2, 3.12DX DY -===由,X Y ρ==得(,)1,Cov X Y = 由随机变量和的方差公式()2(,)D X Y DX DY Cov X Y +=++得 第十一次作业★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大 掷1000次均匀硬币 出现正面的次数在400到600次之间出现正面的次数~(1000,0.5),X B n p == 应用切比雪夫不等式有2. 若每次射击目标命中的概率为0.1 不断地对靶进行射击 求在500次射击中 击中目标的次数在区间(49 55)内的概率击中目标的次数~(500,0.1),X B n p == 根据中心极限定理,X 近似服从正态分布(50,45).N EX DX ==★3. 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(0.5 0.5)上服从均匀分布 (1)若将1500个数相加 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90(1) 误差变量,1,2,.i X i =⋅⋅⋅独立同均匀分布(0.5,0.5),X U -10,.12EX DX ==由独立变量方差的可加性150011500125,12i i D X =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑15001i i X =∑近似(0,125).N(2) 1||10n i i P X =⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∑1||n i P X =⎧⎪=<=⎨⎪⎩210.90,⎛≈Φ-≥ ⎝ 因此最多可有4个数相加误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90★4. 一个系统由n 个相互独立的部件所组成 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行 问n 至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95正常工作的部件数~(,),X B n p 其中0.9.p =0.9,EX np n ==0.09.DX npq n ==1.645,24.354.n ≥≥因此n 至少取25. ★5. 有一大批电子元件装箱运往外地 正品率为0.8 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只 问箱内至少要装多少只元件？正品数~(,),X B n p 其中0.8.p =0.8,EX np n ==0.16.DX npq n == 解得1637.65,n ≥因此n 至少取1638.★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数20X =的概率. 正面次数(40,1/2),X B n p ==400.520,400.50.510.EX np DX npq ==⨯===⨯⨯= 离散值20X =近似为连续分组区间19.520.5,X << 第十二次作业★1. 设X 1 X 2 X 10为来自N (0 032)的一个样本 求概率1021{ 1.44}i i P X =>∑标准化变量(0,1),1,2,...,10.0.3i X N i =由卡方分布的定义10222211~(10).0.3ii Xχχ==∑略大卡方分布上侧分位数20.1(10)15.9872.χ= ★2. 设X 1 X 2 X 3 X 4 X 5是来自正态总体X ~(0 1)容量为5的样本 试求常数c 使得统计量t 分布 并求其自由度由独立正态分布的可加性12(0,2),X X N +标准化变量(0,1),U N =由卡方分布的定义22222345~(3),X X X χχ=++U 与2χ独立 由t 分布的定义(3),T t ===因此c =自由度为3.★3 设112,,,n X X X 为来自N (1 2)的样本 212,,,nY Y Y 为来自N (2 2)的样本 且两样本相互独立2212,S S 分别为两个样本方差 222112212(1)(1)2p n S n S S n n -+-=+- 试证明22().p E S σ=证 由221112(1)~(1),n S n χσ--及()211(1)1E n n χ-=-得类似地222.ES σ=★4 设1,...,n X X 为总体2(,)N μσ的简单样本样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值()0.95.P X kS μ>+=统计量(1),T t n =-因此k = ☆.设正态总体2(,)N μσ的容量为12n =的简单样本为112,...,X X 样本均值和样本方差依次为2,.X S 求满足下式的k 值()0.95.P X kS μ>+=正态总体样本方差未知统计量(1),12.T t n n =-=★5 设N ( 2)的样本 记11n i i X X n ==∑ 2211()1n i i S X X n ==--∑ 证明 T (1)t n - 证 由独立正态分布的可加性21(,),ni i X N n n μσ=∑211,,nii X X N n n σμ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑1n X +及2S 相互独立()2110,n n X X N nσ++-和2S 独立标准化变量(0,1),U N =2222(1)~(1),n S n χχσ-=-/,S σ=由t 分布的定义第十三次作业★1 设总体的密度函数为22(),0,(;)0,x x f x αααα-⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求参数α的矩估计总体期望23220002()2(;),33x x x EX xf x dx x dx ααααααααα⎛⎫-==⋅=-= ⎪⎝⎭⎰⎰3,EX α= 用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EXX =得α矩估计为ˆ3.X α= ★2 设总体的密度函数为1(1)(1),01(;)0,x x x f x θθθθ-⎧+-<<=⎨⎩其他 求参数 的矩估计总体期望解得2,1EX EX θ=-用样本均值X 估计（或替换）总体期望EX 即ˆ,EX X =得 矩估计为2ˆ.1X Xθ=-3 设总体的密度函数为||1(;),2x f x e x σσσ-=-∞<<+∞ 求参数 的最大似然估计似然函数1111()(;)exp ||,2nn i i n n i i L f x x σσσσ==⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∑∏取对数得对数似然函数11ln ()ln 2ln ||,ni i L n n x σσσ==---∑令21ln ()1||0,ni i L n x σσσσ=∂=-+=∂∑解得σ的最大似然估计为11ˆ||.nL i i x n σ==∑ 4 设总体的密度函数为222,0(;)0,0x x e x f x x θθθ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩求参数 的最大似然估计 似然函数2122111()(;)exp ,ninn i i i ni i xL f x x θθθθ===⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭∏∑∏取对数得对数似然函数22111ln ()ln 2ln ,nn i i i i L x n x θθθ===--∑∑令231ln ()220,n i i L n x θθθθ=∂=-+=∂∑ 解得θ的最大似然估计为ˆLθ= ★5 设总体X 的均值和方差分别为与 X 1 X 2 X 3是总体的一个样本, 试验证统计量(1)112311ˆ4412X X X μ=++; (2)2123111ˆ333X X X μ=++; (3)3123311ˆ882X X X μ=++ 均为 的无偏估计量, 并比较其有效性(1)1123123111111ˆ.442442E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (2)1123123111111ˆ.333333E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ (3)1123123311311ˆ.882882E E X X X EX EX EX μμ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭ 因此123ˆˆˆ,,μμμ均为μ的无偏估计量由独立变量方差的可加性因此无偏估计量123ˆˆˆ,,μμμ中2ˆμ最有效,1ˆμ比3ˆμ有效★7. 设2ˆθ为 2的无偏估计, 且ˆ()0D θ>, 试证ˆθ不是 的无偏估计 反之, 若ˆθ为 的无 偏估计, ˆ()0D θ>, 则2ˆθ也不是 2的无偏估计证(1) 22ˆ,E θθ=2222ˆˆˆˆ0,D E E E θθθθθ=-=->22ˆˆ,,E E θθθθ<≠得ˆθ不是 的无偏估计 (2) ˆ,E θθ=222222ˆˆˆˆˆ0,,D E E E E θθθθθθθ=-=->>得2ˆθ不是2θ的无偏估计8设12,θθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量,且124D D θθ=,找出常数12,k k ,使1212k k θθ+也是θ的无偏估计量,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小. 1212121212()()E k k k E k E k k θθθθθθ+=+=+=,121k k +=,222212122121212()(4)D k k k D k D k k D θθθθθ+=+=+,121222121,0,1,min{4}.k k k k s k k +=≤≤⎧⎨=+⎩ 求最小值得1214,55k k ==,4min 5s =,121124min ().5D k k D θθθ+=第十四次作业★1. 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径X 可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个, 测得直径(单位:mm)为14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1若已知总体方差为0.06, 试求平均直径的置信区间.(置信度为0.95) 若总体方差未知, 试求平均直径的置信区间.(置信度为0.95) (1)μ的置信区间中心当20.06σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长为 因此μ的0.95置信区间为(2) 样本方差2211()0.051,1n i S X X n =-=-∑ μ的95.01=-α置信区间半长为因此μ的0.95置信区间为★2. 为了解某型号灯泡使用寿命X (单位:小时)的均值μ和标准差 今测量10只灯泡 测得1500x = S20 若已知X 服从正态分布N ( 2), 求 (1)置信度为0.95的总体均值的置信区间 (2)置信度为0.90的总体方差2的置信区间(1) 置信区间半长/20.025( 2.262 6.32214.3,t n t α-==⨯= 当2σ未知时,μ的95.01=-α置信区间为 (2) 已知参数2210,20,0.10,n S α===上侧分位数为 置信区间两端(下限,上限)为因此灯泡使用寿命方差2σ置信度为10.90α-=的置信区间为★3. 对方差220σσ=为已知的正态总体 问须抽取容量n 为多大的样本,方能使总体均值 的置信度为1的置信区间的长度不大于L总体均值μ的置信区间长度为/22,u L α≤取220/224n u L ασ≥的整数★4 已知某种元件的寿命X ~N ( 2) 现随机地抽取10个试件进行试验, 测得数据如下82, 93, 57, 71, 10, 46, 35, 18, 94, 69.(1)若已知 3, 求平均抗压强度 的95%的置信区间(2)求平均抗压强度的95%的置信区间 (3)求 的95%的置信区间 (1)μ的置信区间中心当223σ=时,μ的95.01=-α置信区间半长/21.96 1.861,u α== 因此μ的0.95置信区间为(2) 上侧分位数220.02510.025(9)19.023,(9) 2.700,χχ-== 样本方差σ的10.95α-=的置信区间两端(下限,上限)为因此元件寿命标准差σ的0.95置信区间为★.两正态总体均值差21μμ-的1α-置信区间．当22212σσσ==未知时由于22,,,x yX Y S S 相互独立构造服从分布(2)t m n +-的统计量(枢轴量) 记222(1)(1)2x ywm S n S S m n -+-=+-，则21μμ-的二样本t 置信区间为★5 随机地抽取A 批导线4根 B 批导线5根 测得起电阻为(单位 欧姆) A 0.143 0.142 0.143 0.137B 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140设测得数据分别服从正态分布N (1 2) N (2 2) 且它们相互独立 1 2 均未知 求12的95%的置信区间上侧分位数20.025(2)(7) 2.3646,t m n t α+-== 当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为 21μμ-的95.01=-α置信区间为★6 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值1.64米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值1.62米, 样本标准差0.4米. 求 (1)两正态总体均值差的95%的置信区间 (2)两正态总体方差比的95%的置信区间(1) 分位数20.025(2)(18) 2.1009,t m n t α+-==当22212σσσ==未知时,21μμ-的1α-置信区间半长为21μμ-的95.01=-α置信区间为★(2)两正态总体(期望未知)的方差比2212/σσ的1α-置信区间．由于22111(1)/n S σ-~21(1),n χ-22222(1)/n S σ-~22(1),n χ-且2212,S S 独立,构造统计量(枢轴量) 2211122222~(1,1),S F F n n S σσ=-- 对给定的置信度α-1,由其中/2211/2121(1,1),(1,1)F n n F n n αα-=---- 因此2212/σσ的α-1置信区间为 第十五次作业★1 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N ( 2) 40cm/s, 2cm/s 现在用新方法生产了一批推进器 从中随机抽取25只 测得燃烧率的样本均值为X 41.25cm/s 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s 问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显着的改变？取显着性水平0.051).提出原假设及备择假设.0010:40;:.H H μμμμ==≠ 2).选取统计量并确定其分布.~(0,1).X U N =3).确定分位数及拒绝域.上侧分位数0.025 1.96,u =拒绝域{|| 1.96}.W U =≥ 4).计算统计量的观测值并作出统计推断.因此拒绝原假设,认为在显着性水平0.05α=下,推进器的燃烧率显着改变.★2 某苗圃规定平均苗高60(cm)以上方能出圃 今从某苗床中随机抽取9株测得高度分别为 62 61 59 60 62 58 63 62 63 已知苗高服从正态分布 试问在显着性水平 0.05下 这些苗是否可以出圃？1).原假设及备择假设0010:60;:.H H μμμμ≥=<2).取统计量(8).X T t =3).上侧分位数0.05(8) 1.8595,t =得拒绝域(, 1.8595).W =-∞-4).由样本计算得61.11,X=0,.T T W ==>∉因此接受原假设0,H 即认为在显着性水平0.05α=下,这些苗可以出圃.★3 5名测量人员彼此独立地测量同一块土地 分别测得这块土地面积(单位 km 2)为 1.27, 1.24, 1.20, 1.29, 1.23算得平均面积为1.246 设测量值总体服从正态分布 由这批样本值能否说明这块土地面积不到1.25km 2( 0.05)1).原假设及备择假设0010: 1.25;:.H H μμμμ≥=<2).取统计量(4).X T t =3).上侧分位数0.05(4) 2.1318,t =得拒绝域(, 2.1318).W =-∞-4).样本方差为2211()0.00123,1n i S X X n =-=-∑0.035,S = 统计量的实现值为因此接受原假设0,H 认为在显着性水平0.05下,这块土地面积达到1.25km 2.★4 设某电缆线的抗拉强度X 服从正态分布N (10600 822) 现从改进工艺后生产的一批电缆线中随机抽取10根 测量其抗拉强度 计算得样本均值x 10653 方差S 26962 当显着水平0.05时 能否据此样本认为(1)新工艺下生产的电缆线抗拉强度比过去生产的电缆线抗拉强度有显着提高？(2)新工艺下生产的电缆线抗拉强度的方差有显着变化？(1)提出原假设及备择假设.0010:10600;:.H H μμμμ≥=<选取统计量并确定其分布.(9).X T t =确定分位数及拒绝域.0.05(9) 1.8331,t =得拒绝域(, 1.8331).W =-∞- 计算统计量的观测值并作出统计推断.因此接受原假设,认为在显着性水平0.05α=下,新工艺电缆抗拉强度比过去工艺有显着提高.(2)提出原假设及备择假设222220010:82;:.H H σσσσ==≠ 在原假设成立的前提下,构造统计量2222(1)~(9).n S χχσ-=确定上侧分位数2210.0250.025(9) 2.700,(9)19.023,χχ-==得拒绝域 计算2χ统计量的观测值并作出统计推断因而接受原假设0,H 即认为新工艺下的电缆抗拉强度的方差无显着变化.。

概率论与数理统计(西安电子科技大学大作业)

概率论与数理统计(西安电子科技大学大作业)

概率论与数理统计(西安电子科技大学大作业)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

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学习中心/函授站_姓 名 学 号西安电子科技大学网络与继续教育学院2018学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2018年4月19日下发，2018年5月5日交回，此页须在答卷中保留；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计；3、答案须手写完成，要求字迹工整、卷面干净。

一、选择题（每题3分，共30分）1．设A 、B 、C 是随机事件，且AB C ⊂，则（ ）。

A ．C AB ⊂ B ．AC ⊂且B C ⊂C ．C AB ⊂D ．A C ⊂或B C ⊂2．设一盒子中有5件产品，其中3件正品，2件次品。

从盒子中任取2件，则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为（ ）。

A ．310 B ．510 C ．710 D ．153．设()F x 是随机变量X 的分布函数，则（ ）。

A ．()F x 一定连续B ．()F x 一定右连续C ．()F x 是单调不增的D ．()F x 一定左连续4．设连续型随机变量X 的概率密度为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任何的实数a ，有（ ）。

A ．0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ B ．01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C ．()()F a F a -=D ．()2()1F a F a -=- 5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为226(,), , x y f x y Aex y +-=-∞<<+∞-∞<<+∞则常数A =（ ）。

A ．12π B ．112π C ．124πD ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则()P X Y <=（ ）。

A .15 B .13 C .25 D .457．有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人从中随机地抽取3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）。

A ．6B ．12C ．7.8D ．9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为, 01()0,a bx x f x +<<⎧=⎨⎩其他 又0.5EX =，则DX =（ ）。

A.12 B. 13 C. 14 D. 1129．设随机变量X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则（ ）。

A .X 与Y 相互独立 B . cov(,)0X Y = C .0 DY = D .0DX DY ⋅=10．设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX ，11ni i X X n ==∑，则下列估计量是2σ的无偏估计的是（ ）。

A .∑-=-112)(1n i i X X n B .∑=--n i i X X n 12)(11 C .∑-=--112)(11n i i X X n D .∑=-n i i X X n 12)(1 二、填空题（每题3分共30分）1．设()0.5,()0.6,()0.8P A P B P B A ===，则()P A B = 。

2．设A 、B 相互独立，且A 、B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与 B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = 。

3. 设离散型随机变量X 的分布律为1()(1), 1,2,k P X k k θθ-==-=,其中01θ<<。

若5(2)9P X ≤=，则(3)P X == 。

4. 设随机变量X 的概率密度为2() ()x xf x Cex -+=-∞<<+∞，则C = 。

5. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为6, 01(,)0, x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其他 则(1)P X Y +≤= 。

6. 设X 、Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则 (max{,}0)P X Y ≥= 。

7. 设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，则2()XE Xe = 。

8．设随机变量(2)X P ，若随机变量32Z X =-，则EZ = 。

9．设126,,,X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，设2123()Y X X X =++2456()X X X +++，若随机变量cY 服从2χ分布，则常数c = 。

10．设12,,,m X X X 为来自二项分布总体~(,)X B n p 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，若统计量2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题（每题10分共40分）1．某工厂有4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，现从出厂产品中任取一件，求 （1）取出的产品是次品的概率；（2）若取出的产品是次品，它是一车间生产的概率。

2．设连续型随机变量X 的分布函数为0, 1 ()ln , 11, x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求(2)P X <，(03)P X <≤和5(2)2P X <<； （2）求X 的概率密度()f x 。

3．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1, , 01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其他试求：（1）条件概率密度()X Y f x y ，()Y X f y x ；（2）1(0)2P X Y >> 。

4．设二维连续型随机变量(,)X Y 在以点(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U X Y =+的方差。

西安电子科技大学网络与继续教育学院2018学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）一、选择题（5/6/8/9/10题无答案，请自行答题，请勿空题） 1 A 2 C 3 B 4 B 7 C5．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为226(,), , x y f x y Aex y +-=-∞<<+∞-∞<<+∞则常数A =（ ）。

A ．12π B ．112π C ．124πD ．16π 6．设随机变量X 、Y 相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则()P X Y <=（ ）。

A .15 B .13 C .25 D .458. 设连续型随机变量X 的概率密度为, 01()0,a bx x f x +<<⎧=⎨⎩其他 又0.5EX =，则DX =（ ）。

A.12 B. 13 C. 14 D. 1129．设随机变量X 与Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则（ ）。

A .X 与Y 相互独立 B . cov(,)0X Y = C .0 DY = D .0DX DY ⋅=10．设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX ，11ni i X X n ==∑，则下列估计量是2σ的无偏估计的是（ ）。

A .∑-=-112)(1n i i X X n B .∑=--n i i X X n 12)(11C .∑-=--112)(11n i i X X n D .∑=-n i i X X n 12)(1 二、填空题（3/4/7/8/9/10题无答案，请自行答题，请勿空题）1、0.92、235、 146、573. 设离散型随机变量X 的分布律为1()(1), 1,2,k P X k k θθ-==-=,其中01θ<<。

若5(2)9P X ≤=，则(3)P X == 。

4. 设随机变量X 的概率密度为2() ()x xf x Cex -+=-∞<<+∞，则C = 。

7. 设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，则2()XE Xe = 。

8．设随机变量(2)X P ，若随机变量32Z X =-，则EZ = 。

9．设126,,,X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，设2123()Y X X X =++2456()X X X +++，若随机变量cY 服从2χ分布，则常数c = 。

10．设12,,,m X X X 为来自二项分布总体~(,)X B n p 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，若统计量2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = 。

三、解答题1、解 设,1,2,3,4i B i =表示“取出的产品是第i 车间生产的”，A 表示“取出的产品是次品”，则115()100P B =，220()100P B =，330()100P B =，435()100P B = 1()0.05P A B =，2()0.04P A B =，3()0.03P A B =，4()0.02P A B =（1）由全概率公式，得41()()()i i i P A P B P A B ==∑152030350.050.040.030.02100100100100=⨯+⨯+⨯+⨯ 0.0315=（2）由Bayes 公式，得15111001()()0.05()0.238()0.0315P B P A B P B A P A ⨯===2、3、4、解：。

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