初等代数研究因式分解的论文
因式分解论文
因式分解（分解因式）Factorization ，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
因式分解是中学数学中一种重要的恒等变形，是处理数学问题的重要手段与工具。
本文主要对初中数学中的因式分解方法进行简要的归纳与总结。
利用典型的例题分析解释在数学不同的领域不同问题的重要地位的应用。
因式分解是初中数学教学的一个很重要的教学工具，是与整式乘法中单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算过程有相反的恒等变形，与整式乘法法则不同的是因式分解不象整式乘法法则那样有法可依一一可按法则直接进行运算，而是根据所给的多项式的特点进行具体问题具体分析，推敲或转化，灵活运用才能解决问题。
因式分解的方法比较多、灵活，技巧性很强，且涉及的题型广、变化较大，对于解决比较复杂、繁琐的问题有一定的难度。
因此学习多项式因式分解需要两大数学思想方法：转化思想与整体思想（转化思想是数学中的常见的一种数学思想方法，的运用十分的广泛，在解题的过程中，运用转化思想，可以将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题。
整体思想也是一种常见的数学思想方法，运用整体思想可以使解题的思路清晰、步骤简捷、方法简便等。
）所以学好它，不仅可以拓宽学生的思路，培养学生的观察、组织运算能力，激发学生学习数学的兴趣，又可以帮助学生提高解题技能、综合分析能力，发展学生的思维能力。
那多项式因式分解有几种方法及其它们是如何应用在解题上的呢？具体来说多项式因式分解有基本方法和特殊方法。
在初中教材中我们涉及了几种是基本方法，下面将对多项式因式分解的方法进行分类整理，归纳总结，并通过典型的例子对它们进行分析，进一步理解、掌握基本方法，熟悉特殊方法，解决问题，了解它的应用。
且因式分解的应用不仅在代数的推理占有着很重要的地位，对解决计算的复杂与艰难有了不可缺少的一部分。
更在分式的约分、通分，分式的加减乘除运算，化简，解方程等变形中都具有广泛的应用。
因式分解思路新探(论文)
因式分解思路新探张桂庆 (江苏省丰县顺河初级中学 221721)摘 要 因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。
总的思路是先考虑有无公因式,再看是几项的,然后根据项数确定该用哪种方法。
此外,还有一些特殊方法即 先整理法 、 补项法 和 拆项法 。
关键词 因式分解 公因式 公式 分组 十字相乘在纷繁复杂、趣味无穷的数学王国里,有一朵光彩夺目的秀丽奇葩 因式分解,它以独特的知识结构、丰富多彩的科学内容,吸引着无数莘莘学子。
它在分式的约分、通分等许多数学领域都有着广泛的应用,因此,学好因式分解就显得格外重要。
那么,因式分解的思路问题也就成了解题的关键。
本人积多年数学教学工作的经验,就这个问题发表一下粗浅的见解,也许对数学战线的教育教学工作者有一些有益的启示。
大家都知道,因式分解有四种基本方法即提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法。
除这四种基本方法外,还有一些特殊方法即 先整理法 、 补项法 和 拆项法 等。
那么,对于这么繁多的方法到底先考虑哪种呢?这些方法又分别适用于什么场合呢?这就涉及一个思路问题。
教材中对因式分解的一般步骤,说得也比较清楚。
但从课堂提问和作业来看,同学们对分解的思路还是有点乱。
通过对大量习题的分析研究,我总结出了一套切实可行、便于记忆的分解思路,学生普遍反映良好。
1 因式分解思路的探索1.1 先考虑公因式 如果一个多项式的各项有公因式,那一定要先提出来,否则,将使后面的步骤无法进行或非常麻烦。
如,多项式ax2-ay2,如果不先提出a,就无法用平方差公式,而对于多项式4x2-36y2,如果不先提出公因式4,而直接用平方差公式,那么过程就显得很麻烦。
试比较:方法一:4x2-36y2=4(x2-9y2)=4(x+3y)(x-3y)方法二:4x2-36y2=(2x+6y)(2x-6y)=2(x+3y) 2(x-3y)=4(x+3y)(x-3y)不难看出,方法二是复杂的,既然公因式早晚都得提出来,那为什么不早提而导致问题复杂化呢?1.2 再看是几项式 只有确定了项数,才能采取相应的措施。
因式分解的思考方法(论文)
31理化之窗摘要：因式分解是中学数学的重要内容之一，思想、内容和方法贯穿于整个中学数学教学之中。
因此，在中学数学教学中这部分内容应使每个学生切实掌握好。
本文谈谈中学数学中的因式分解方法。
关键词：因式分解公因式公式分组在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练，因此学好因式分解是十分必要的。
关于因式分解的基本方法，数学教材作过专门介绍，这里只介绍几种典型的常用方法与技巧。
1．首先看多项式的各项是否有公因式可取，若有，先提取公因式。
2．然后看是否可用公式。
（公式有平方差公式，完全平方公式）3．若上述方法都不能奏效，则应考虑用分组分解法分解因式。
步骤：（1）提公因式法基本步骤：①第一步找公因式，可按照确定公因式的方法先确定系数，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，再确定字母，字母取各项的相同的字母，最后确定指数，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“－”号时，多项式的各项都要变号。
②第二步提公因式，并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别去除原多项式的每一项，所得到商的和作为另一个因式。
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
如：－am＋bm＋cm ＝－m （a－b－c ）；再如：a （x－y ）＋b （y－x ）＝a （x－y ）－b （x－y ）＝（x－y ）（a－b ）。
（2）公式法基本步骤：平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b ）（a－b ）；完全平方公式：a 2±2ab＋b 2＝（a±b ）2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
关于因式分解的论文
初中数学因式分解常用的方法与技巧阿舍中学曹金凤【摘要】多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分。
因式分解在代数的运算、解方程等方面都有极其广泛的应用。
本文阐述了因式分解概念，并详细地介绍了因式分解的方法【关键词】多项式因式分解应用因式分解是中国数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地初中数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
一、多项式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
二、多项式因式分解的方法（一）提公因式法定义：把多项式中每项都含有的公因式提出来，从而把多项式化成两因式相乘的形式叫提公因数法。
提公因式法基本步骤1.找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；2.提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
例1 ()c b a m cm bm am ++=++；()()()()()()()()b a y x y x b y x a x y b y x a x y b y x a --=---=-+-=-+-（二）运用公式法运用公式分解因式，就是把一些形如公式的多项式按公式的形式分解成几个 因式的乘积的形式的方法。
平方差公式：()()b a b a b a -+=-22； 完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±；注：(1)首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，同号正，异号负（2）公式法的关键是寻找首尾项，符号同中央。
初等数学研究学年论文
浅谈因式分解的解题方法和技巧刘永青系别：数学系专业：数学与应用数学班级：1501班学号：***********摘 要 因式分解在初中数学中占据着重要的地位，它是我们解决一元二次方程和高次方程必不可少的方法，对于分式的运算也影响甚大。
本文主要是讲述因式分解的解题方法和技巧。
通过由浅入深，循循渐进地介绍提公因式法、分组分解法、十字相乘法等解题方法。
理论结合例题，使这些方法更加易于理解。
关键词 多项式；因式分解；例题；方法1 引言众所周知，因式分解是中学数学里最重要的恒等变形之一。
在初等数学中，因式分解被广泛应用。
它是我们在解题中不可缺少的有力工具。
然而，在因式分解的学习过程中有太多的坎坷。
这是由因式分解方法灵活、技巧性强的特点所决定的。
这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，对于以后学习的其他代数内容（如：分式）也是不可缺少的前提条件。
这些方法和技巧对提高解题技能和思维能力，都有着十分独特的作用。
那么在因式分解的常规解题中有哪些方法和技巧呢？我们又该侧重于哪些解题方法？在什么情况下应该用什么方法？现在，就请和我一起在本文中寻找这些问题的答案吧。
2 因式分解的概念、解题方法和技巧首先我们要了解什么叫因式分解。
教材中是这样定义的：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
2.1 提公因式法如果多项式各项都有公因式，那么我们可以把每项的公共部分提取出来。
这种把公因式提出来再进行因式分解的方法就是提公因式法。
注意提取之后的式子若能分解要继续分解，直到不能再继续分解。
现在通过一个例子来看看这种简单的方法是怎样使用的。
例1.分解因式：321688x x x +-分析：一眼看过去很显然这个多项式每项都有8x ，这就是我们讲的多项式中的公因式。
先将其从每一项拿出来，会发现剩下的221x x +-仍然可以分解，那么就要将221x x +-继续分解。
28(21)8(1)(21)x x x x x x =+-=+-解：原式 小结：当你发现一个多项式的每一项都有公因式，这时就可以考虑提公因式法。
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位
因式分解论文：小议因式分解在数学中的地位因式分解知识在课改前，系统、全面，占用了教材的大量篇幅，中、高考中涉及因式分解的知识或者技巧题占的比重较大，相当一部分学生在学习和应用因式分解知识花去大量时间，可是学习效果并不好。
为什么因式分解知识如此重要呢？这还得从数学运算说起。
小学数学主要以数的计算为主，涉及简单的数的恒等变形，主要代表：分解质因数、乘法对加法的分配率逆运用（简便运算）。
进入中学后不但增加了负数（从而增加了符号运算），还引入了字母表示数或事件，式的恒等变形就成为中学教材中的一个重要而且难学的内容之一了，式的变形已经贯穿于整个后续数学的全体，掌握好式的各种变形（恒等、同解、非恒等、非同解）是后续学习数学的重要基础之一。
因式分解作为多项式乘法的逆向变形，其作用远远超过了逆向变形这个看似作用不大的变形，它在后续学习中地位非常重要：快速求解存在有理根的一元二次方程、分式的运算（包括解分式方程）、高次方程或高次不等式的降次、判别一个多项式的正负符号（比较两式的大小、探求函数的单调区间等）等。
课程改革以后，在初中教材中，因式分解的知识只介绍了最基本的内容：提取公因式法和公式法，所用课时在4节课左右，在附录里介绍了x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)及其简单的运用。
删除了十字相乘法和分组分解法，学生学习这部分知识轻松了，其连锁反应：分式的化简和异分母加减法变得非常简单，口算能力强的学生可以直接写出化简或者异分母加减运算的结果；由于去掉了十字相乘法，解一元二次方程时，去掉了因式分解法的方法，主要运用开平方法和公式法，使得原本可以用因式分解法来解的一元二次方程用开平方法或者公式法，所用解题时间增加一倍以上，本人认为删除因式分解法解一元二次方程是不应该的，因为这种方法还运用到“降次”的数学思想（属于转化思想之一：化繁为简），事实上绝大多数初中（或高中）数学教师都给学生补充讲解了十字相乘法和分组分解法。
初等代数论文
浅谈多项式研究学号：班级：姓名：摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。
关键词：多项式恒等定理因式分解初等数学1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。
有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。
另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。
若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。
能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。
一元二次多项式的根相对容易。
三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。
四次多项式的情况也是如此。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。
数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。
另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。
2.多项式的一般概念给一个环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式：，当中 a0, …, an 是 R 的元素。
用Σ表达法，有容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环 R[x]，称为 R 上的（一元）多项式环。
（注：在最一般的定义，a2x、xa2 及axa 可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。
）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。
一个有 n 个变量的多项式，称为 n元多项式。
通常以 R[x,y,z] 表示 R 为系数环，x，y 及 z 为变量的多项式环。
在中，称为单项式，其中 a∈ R是系数而为非负整数，是的次数。
[精编]数学因式分解研究论文
![[精编]数学因式分解研究论文](https://img.taocdn.com/s3/m/b4d06d8459f5f61fb7360b4c2e3f5727a5e9242f.png)
[精编]数学因式分解研究论文题目：数学因式分解研究论文摘要：本研究论文旨在探索数学因式分解的相关概念、方法和应用。
数学因式分解是将一个数或一个代数式表示为若干乘积的形式。
本论文将从数论、代数和应用角度来讨论因式分解的重要性和应用领域。
论文将综述不同的因式分解方法并分析其特点和适用范围。
此外，我们将通过实例来展示因式分解的应用，包括解方程、简化代数表达式、寻找最大公因数和最小公倍数等。
最后，本论文将展望因式分解在未来的发展前景。
关键词：数学因式分解，数论，代数，应用，方程，代数表达式，最大公因数，最小公倍数引言：数学因式分解是数学中最基本、最重要的概念之一。
它不仅在数论和代数中有着广泛的应用，也是其他数学分支如几何和概率统计的基础。
因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式，解决实际问题，例如在工程和经济领域中的应用。
本研究论文旨在系统地分析因式分解的相关概念、方法和应用，并展望其未来的发展前景。
一、因式分解的概念和方法：本节将介绍因式分解的基本概念和方法。
我们将从整数的因式分解开始，包括质因数分解和完全平方的因式分解。
随后，我们将讨论多项式的因式分解，包括提公因式法、配方法和分组分解法等。
我们将分析每种方法的特点和适用范围，并给出具体的例子来说明。
二、因式分解的应用：本节将讨论因式分解在不同领域的应用。
首先，我们将说明如何利用因式分解来解方程，包括一次方程、二次方程和高次方程。
其次，我们将介绍如何利用因式分解来简化复杂的代数表达式，包括多项式、分式和根式。
此外，我们还将探讨因式分解在寻找最大公因数和最小公倍数中的应用。
三、因式分解的未来发展：本节将展望因式分解在未来的发展前景。
我们将研究现有的因式分解算法和方法，并提出改进和优化的方向。
此外，我们还将探讨因式分解与其他数学分支的交叉应用，并讨论可能的未来研究方向，如高维因式分解、非整数因式分解和数值因式分解等。
结论：本研究论文系统地介绍了数学因式分解的相关概念、方法和应用。
因式分解中的数学思想(论文)
怎样学好数学
—— —浅谈学习兴趣的培养
文/刘 伟
以前传统的教学模式，学生觉得上课枯燥无味，即使下课题 可以通过讨论互相启发，分析综合，在学生不易理解时讨论，同学
海连天，成绩也没有显著提高。今天课程改革犹如充满希望的新 之间可以互相取长补短，努力提高学习的效果。
生儿，以全新的教育教学理念向世人展示其生机与活力。我们教
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
例 2． 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根为 x1=1，x2=3， （2）a，b，c 是△ABC 三边，且 a（b-c）=c（b-c），那么△ABC 的
则 x2+bx+c 分解因式的结果是
。
形状是
（）
【点评】本题要理解因式分解解方程的本质过程。有两根为
节都由教师精心地讲解。教师的思维代替了学生的思维。老师讲 好思维，好方法，更有利于学生表达观点，发挥想象，互相启发，共
得太多、太细，留给学生动脑、动手的空间太小，抑制了学生主体 同发展。
作用的发挥。对于一个十几岁的青少年来说，知识单纯，但好奇心 总之，数学教学应紧密联系学生生活实际，从学生的生活经
强，教师应抓住这一特点，在教学中循循善诱，做课堂的组织者、 验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生观察、操作、
态，以亲切期待的态度、热情的赞语来拉近师生之间的距离，比
及时有效地练习是教学的一个重要环节，是巩固知识的必要
如：教师要以饱满的热情上好每一节课，把微笑送给每一个学生， 途径。要使课堂达到高效，练习设计必须符合学生心理，采用灵活
让学生从自己生动的语调、亲切的眼神中受到激励，感到振奋；教 的形式，如：自编题目，同学互测互评，直观教具的使用，一题多
因式分解教学过程中学生学习能力培养论文
浅谈因式分解教学过程中学生学习能力的培养初中数学作为学校学科教学的重要组成部分,对学生基础知识的掌握,学习方法的培养,解题能力的提升等方面有着重要的促进和提升作用。
初中数学学科知识中的教学内容对学生学习能力的发展起到推动作用,因式分解作为初中数学知识体系的重要组成部分,在整个初中学习阶段具有重要的地位。
广大教师在教学中深刻认识到:因式分解教学内容是数学教学中恒等变形思想的升华,是整式乘法的逆变形运算,同时,因式分解内容在整个初中代数教学体系和几何教学中发挥着重要的作用,如在分式运算中,因式分解是通分和约分的基础条件,在解答二次和高次方程或方程组时采用因式分解内容,可以有效解决方程或方程组的降次问题等等,由此可见,因式分解教学内容在初中数学教学体系中起着承上启下的重要作用,并且一直是初中数学教学中的难点和重点。
加之,新课标理念内容的深入实施,初中教师在数学教学中如何能够通过有效教学手段,提升学生学习能力和水平,本人结合自己在因式分解教学中的实践,谈一谈自己对培养学生学习能力的一些粗浅的看法。
一、认真研究教材,准确掌握教学内容学生在学习过程中要能准确、灵活地掌握教学内容,必须建立在教师对教学内容准确掌握、运用自如、丰富讲解上,因此,在进行因式分解教学时,教师要对教材内容能进行认真研究和分析,掌握教材内容的知识点和解决重难点的有效手段,确保在教学时能够做到有的放矢,循序渐进地教学。
在制定课堂教学目标过程中要遵循新课标提出的“教学目标三维性”原则,实现教学目标体现教材内容的整体性,体现学生学习的个体差异性,体现教学要求的层次性,使学生在学习过程能够得到全面的发展和整体的进步。
如在制定因式分解教学目标时,教师既要对学生整体提出学习要求:能够进行因式分解的基本运算;又对不同层次学生提出不同要求:能够掌握进行因式分解运算的一些常用解题方法(中等生),能够对因式分解知识在方程组和几何知识体系中进行有效运用(优等生)。
因式分解的重要性
因式分解的重要性引言因式分解是初等代数中重要的概念和方法之一，它是将一个数或者一个代数表达式写成几个乘积的形式。
因式分解在数学的许多领域中发挥着非常重要的作用，本文将探讨因式分解的重要性以及它在数学和实际问题中的应用。
基本概念因式分解是将一个数或者一个代数表达式分解为乘积形式的过程。
对于一个数的因式分解，就是将其分解为若干个素数的乘积。
例如，对于数10，它的因式分解为2 × 5，而对于数30，它的因式分解为2 × 3 × 5。
在代数中，因式分解是将一个多项式分解为几个乘积的多项式。
例如，对于多项式x^2 + 3x + 2，它的因式分解为(x + 1)(x + 2)。
数学中的应用因式分解在数学的许多领域中发挥着重要的作用。
首先，因式分解可以帮助我们简化复杂的代数表达式。
通过将一个多项式分解为较小的乘积形式，我们可以更容易地对其进行运算和简化。
此外，因式分解还可以帮助我们发现数学问题中的模式和性质。
通过观察因式分解后的形式，我们可以更深入地理解问题的结构和关系。
其次，因式分解在解方程和求根的过程中也起到关键的作用。
通过将方程或多项式分解为乘积形式，我们可以更容易地求解方程或找出多项式的根。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3两个解。
实际问题中的应用除了在数学中的应用，因式分解也在实际问题中发挥着重要的作用。
例如，在经济学中，因式分解可以帮助我们分析生产过程中的各种因素的作用。
通过将生产函数或成本函数进行因式分解，我们可以更加清晰地理解各个因素对产出或成本的影响。
此外，在物理学和工程学中，因式分解也广泛用于分析和解决复杂的物理和工程问题。
结论因式分解是数学中一个重要的概念和方法。
它不仅帮助我们简化复杂的代数表达式，而且在解方程和求根的过程中也起到关键作用。
此外，因式分解在实际问题中也发挥着重要的作用，帮助我们分析和解决各种问题。
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用
因式分解论文初中数学论文：因式分解在初中数学中的重要作用初中数学中，因式分解是最常用最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
例如，在八年级的《分式》教学中，处处让学生感受到因式分解的存在，不论是在约分、通分以及分式的各种运算中，都需要进行因式分解才能解答。
学生如果不能正确地进行多项式的因式分解，那将在分式学习中举步维艰，无从下手。
所以因式分解是我们解决许多数学问题的有力工具，而因式分解的方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，也是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。
一、因式分解在初中阶段最常用的方法有提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法等1．提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提公因式法。
am+bm+cm=m(a+b+c) 。
例如：-2x3-2x2 +8x=-2x(x2+x-4)2．运用公式法（1）平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2（3）立方和公式：a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)立方差公式:a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)例如： 3x6-3x2=3x2(x4 -1) = 3x2(x2 +1) (x2 -1) =3x2(x2 +1) (x +1) (x -1)3．分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后再进行分解因式的方法。
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式。
例如： m2+5n-mn-5m = m2-5m-mn+5n= (m2-5m )+(-mn+5n) = m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4．十字相乘法二次三项式x2+(p+q)x+pq型的特点是：二次项的系数是1，常数项是两个数的积，一次项系数是常数项的两个因数的和。
如何巧妙进行因式分解论文
如何巧妙的进行因式分解【中图分类号】 g633.6 【文献标识码】b 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0154-01新的教材给了我们新的启示，如何使用好新教材来进行课堂教学呢？首先我们应该打破传统的教材给予我们的束缚，不应该一味的强调只是的传授，不应该仅着于某一个方面,而应该从全局出发考虑问题。
应该把启发式教学座位中学数学教学的主要手段，来激发学生的学习兴趣，不然学生学数学就会觉得枯燥无味,而应该充分调动学生学习的的主动性，这样学生就有了自己解决问题的主动性,我们作为新时代的教师,要能够转换观念，教不能一味地在黑板上给学生灌输只是。
充分调动学生的兴趣以及学习的主动性,其效率要远远的比教师满堂灌输要好得多。
下面是本人在“因式分解”教学中的几点心得,希望能和同行们共同探讨。
一节课的新课导入是本节课的关键，怎样激发学生的兴趣,启发学生的疑问。
在教学实践中,注意引发学生积极思维。
思源于疑,学去于思,有了问题,经过思考,思维也就活跃起来了,教师的教就具有了活力。
初中数学中的概念学生容易混淆,通过设问,揭示其本质属性,可以使学生模糊的认识得到澄清。
例如“整式的乘法”和”因式分解”,它们既有区别又有联系。
在讲解因式分解时,由于因式分解我们在初一年级时就已经学习过,所以我先让学生回顾什么叫“整式的乘法”,学生很快做出正确的回答:几个整式积的结果。
如8cd(a+b)=8acd+8bcd。
并指出这个等式的左边是两个整式8cd与(a+b)的积,右边是两个整式8acd与8bcd的和。
然后我又进一步启发学生“等式有什么性质”,由于初一年级我已经给学生讲过等式具有对称性,因此学生随即回答:等式具有对称性。
即整式的左边等于右边,反过来整式的右边等于左边。
即上面的等式反过来也是成立的:8acd+8bcd=8cd(a+b)。
这时候我又要求学生仔细观察上面的等式,而且要求学生能够总结它们之间的关系。
学生经过认真观察和思考后得出:等式的左边是两个整式8acd与8bcd的和,等式的右边是两个整式8cd与(a+b)的积。
十字相乘法分解因式初探初中数学论文
论文导读:：十字相乘法分解因式初探，初中数学论文。
论文关键词：十字相乘法分解因式在实数范围内分解因式的常用方法有好多种初中数学论文初中数学论文，其中十字相乘法是常用的方法之一。
但对于有些多项式直接应用这种方法是行不通的。
本文给出了通过变形而转化为直接应用这种方法的几类多项式。
一、可化为二次三项式的多项式可化为二次三项式的多项式用十字相乘法分解因式比其他方法有规律，所以简便论文开题报告范文免费论文网。
举例说明如下：例1、把多项式a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1分解因式。
这是含有两个字母的高次多项式初中数学论文初中数学论文，由观察知，该多项式具有可化为关于a的二次三项式的特点初中数学论文初中数学论文，故重新组合后用此法分解。
解：a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1化为关于a的二次三项式 (x3+2x2+x)a2+(x2+2x+1)a+1=x(x+1)2a2+(x+1)2a+1x(x+1) 1x+11=[x(x+1)a+1][(x+1)a+1]=(ax2+ax+1)(ax+a+1).例2、把多项式ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)分解因式。
这是轮换对称多项式，乘开后可化为关于a或b或c的二次三项式。
用十字相乘法分解因式就避免了用其他方法分解的繁难。
解:ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)化为关于c的二次三项式 (a-b)c2-(a2-b2)c+ab(a-b)=(a-b)[c2-(a+b)c+ab]=(a-b)(c-a)(c-b).例3 把多项式 (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4分解因式将该式化为关于多项式x2+5xy+4y2 的二次三项式初中数学论文初中数学论文，分解更为简便.解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4=(x2+5xy+4y2)2+2y2(x2+5xy+4y2)-3y4=[( x2+5xy+4y2)+ 3y2][(x2+5xy+4y2)-y2]=(x2+5xy+7y2) (x2+5xy+3y2).例4 把多项式a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2分解因式。
浅议因式分解方法
161科技资讯 S CI EN CE & T EC HNO LO GY I NF OR MA TI ON 科 技 教 育初中数学教材课程标准要求会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数),但在解一元二次方程时用到十字相乘法,有时还会用到分组分解法,大多数同学对分解因式看着简单,但遇到题不能用合适的方法去解决,因此同学们都觉得很神秘。
因式分解用到的数学思想和方法很多,下面就这方面进行讨论。
1 定义把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2 因式分解与整式乘法的关系因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即)1)(1(12x x x 从左到右是因式分解。
1)1)(1(2 x x x 从左到右是整式乘法。
3 下面我们讨论因式分解的几种办法3.1提公因式法由 mc mb ma c b a m )(,可得)(c b a m mc mb ma 。
就像这样把 mc mb ma 分解成两个因式积的形式,其中一个因式 )(c b a 是 mc mb ma 各项的公因式m ;另一个因式是除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
它们各项都有一个公因式m,我们把因式m 叫做这个多项式的公因式。
找公因式具体方法如下。
首先,看各项系数是否有公约数,如果有则提取系数的最大公约数。
其次,看各项是否有共同的字母,如果有就提取各项共同字母中指数最小的幂。
最后，若首项为负,可把符号和公因式一起提取。
提公因式法分解因式的例子。
例1：128323cab b a 42ab ×4222ab a ×3ab)32(422bc a ab 例2:))(()()(222222q p b a b a q b a p 3.2公式法(1)像多项式 42x 与多项式 492z 都可以写成两个数的平方差的形式,对于这种形式的多项式,可以利用平方差来分解因式。
因式分解方法的探究
因式分解方法的探究作者：朱宏伟来源：《学园》2014年第18期【摘要】本文通过理论与实际例题相结合，阐述了多项式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx ＋ey＋f在实数集中分解因式的方法：待定系数法、求根公式法、十字相乘法、复数开方法、综合除法等，从而展现了多项式因式分解的多样化与灵活性。
【关键词】多项式因式分解方法【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2014）18－0162－01所谓多项式的因式分解，实质上是把一个多项式分解成几个最简整式的积的形式。
同一个多项式在不同的数集中因式分解的结果可能不同，本文仅讨论多项式f（x，y）＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f在实数集中的因式分解。
在中学代数中，我们已学过提取公因式法，运用公因式法、分组分解法，可化为x2＋（a ＋b）x＋ab型的二次三项式的因式分解、十字相乘法等最基本也是最常用的方法。
本文在这些基本方法的基础上，再介绍一些进行因式分解的方法，以飨读者。
一待定系数法待定系数法就是根据恒等式的性质按下列步骤解题的一种方法：（1）假定一个含有待定系数的恒等式；（2）根据恒等式的性质列方程；（3）解方程，求出待定系数。
这里所根据的恒等式的性质有两条：（1）a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an＝b0xn＋b1xn －1＋bn，则a0＝b0，a1＝b1，…，an－1＝bn－1，an＝bn；（2）若f（x）＝g（x），则用公共定义域内的任一值代入，左右两边恒相等。
下面仅举一例说明此方法。
例1，把x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式。
解：设原式＝（x＋ky＋l）（x＋py＋q）＝x2＋pxy＋qx＋kxy＋kpy2＋kpy＋lx＋lpy＋lq＝x2＋（p＋k）xy＋kpy2＋（l＋q）x＋（kq＋lp）y＋lq与原式比较对应项系数，得方程组：解得∴x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝（x＋2y－1）（x－y＋3）对于解决二元二次式Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F在实数集内的因式分解，用待定系数法还有一种简便方法：即第一步先分解Ax2＋Bxy＋Cy2＝（ax＋by）（dx＋ey），第二步分解二次三项式Ax2＋Dx＋F＝（ax＋c）（dx＋f）或第二步分解Cy2＋Ey＋F＝（by＋c）（cy ＋f），则原式＝（ax＋by＋c）（dx＋ey＋f）。
初中因式分解方法探讨
初中因式分解方法探讨摘要：随着新课程改革的实施，启发学生思维、培养学生的能力己成为教育的主要任务。
教师是教学的组织者、引领者，不仅要教给学生知识，更重要的是要教给学生学习的方法，对学生的解题方法、技能进行指导。
只有学生掌握了一定的解题方法，才能使学生的主体性、主动性得到充分发挥，才能达到教学的真正目的。
关键词：培养解题能力意义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫多项式的因式分解。
多项式的因式分解也叫做多项式的分解因式。
因式分解在恒等变换中，占有相当重要的地位。
在中学数学中，因式分解十分重要。
一方面，它承上启下，学习它，既可以复习整式的四则运算，又为下一步学习分式打好基础，对等式的恒等变形、方程的求解等等也是不可缺少的；另一方面，因式分解的问题变化万千，方法灵活多样，有助于培养学生的观察能力、运算能力和创造能力。
因此，它是初中数学竞赛的重要内容。
在初中数学思维训练中，因式分解的试题以及相关联的试题屡见不鲜，对因式分解掌握的程度直接影响分式、方程等知识的训练。
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活、技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能、发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
因此学好因式分解是十分必要的。
因式分解是学好数学课的一个关键，但也是一个难题。
学习因式分解必须有多项式乘法的基础，而且，对于多项式乘法只是会还不能满足学习因式分解的要求，一定要对多项式乘法运算非常熟悉。
只有乘法的基础牢固，才能或者说才有可能学好因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆运算(逆变形)，其原理并不复杂，解题时没有固定的方法，往往需要睿敏的观察能力和较高的运算能力。
熟悉各种因式分解的方法，都是一种技能技巧，它只能在多次的练习中积累经验、归纳总结，摸索出其中的规律，才能真正掌握和熟练应用。
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多项式因式分解的方法学院：专业：班级：学号：姓名:摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具，在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能，发展思维能力，都有着独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作一些整理.关键词：多项式定义因式分解转化十字相乘法拆项添项分项分组换元配方公式综合双十字相乘主元图像在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.（一）定义定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法为相反变形.(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.（二）基本方法2.1提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.例1 分解因式 bm-am+cm解：在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.bm-am+cm=m(b-a+c)例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)解1：通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)解2：a(x-y)+b(y-x)=-a(y-x)+b(y-x)=(y-x)(b-a).2.2公式法若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.、例3 分解因式 4a 2-9b 2解：①∵4a 2=(2a)2,9b 2=(3b)2,那么只要把2a 和3b 看作平方差公式中的a 和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.4a 2-9b 2 =(2a)2-(3b)2 =(2a+3b)(2a-3b)注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.例4 分解因式(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 解：题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为292++x x ，故可用换元法解：设y= 2)7()2(22+++++x x x x =292++x x则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)25)(25(-+-y y=64252--y =4492-y=)27)(27(-+y y=)2729)(2729(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行 例5 分解因式 (m 2+n 2+1)2-4m 2n 2 解：(m 2+n 2-1)2-4m 2n 2=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)例6 把下列多项式分解因式（1）a3＋8（2）27－8y3解：（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).（1）a3＋8=a3+23=（a+2）(a2-2a+22)=(a+2)( a2-2a+4)（2）27－8y3=33-(2y)3=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]=(3-2y)(9+6y+4y2)注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了2.3分组分解法能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.例7 把多项式ax+ay+bx+by分解因式解：通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，利用乘法分配律，两两相配.（法一） ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)（法二） ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)例8、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --2.4十字相乘法十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a ≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a 1×a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1×c 2， 但多项式需满足24b ac ∆=->0把a 1，a 2，c 1，c 2，排列如下： a 1 c 1 ╳a 2 c 2 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1×c 2+a 2×c 1，若它正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1×c 2+a 2×c 1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即ax 2+bx+c=(a 1x+c1)(a 2x+c 2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.例9 把多项式x2+2x-15分解因式解：通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.1 -3╳1 5 1×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例10 把2x²-7x+3分解因式.解：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 3 1×3+2×1=51 3╳2 1 1×1+2×3 =71 -1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1)=-51 -3╳2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)例11 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y)2-3(x-y)-21 -2╳2 1 1×1+2×(-2)=－3原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).2.5 拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例12分解因式 x³-9x+8．解：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法——拆项。
将常数项8拆成-1+9．原式=x³-9x-1+9=(x³-1)-9x+9=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x³-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³．原式=9x³-8x³-9x+8=(9x³9x)+(-8x³+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)=(x-1)(x²+x-8)．解法——添项添加两项-x²+x²．原式=x³9x+8=x³-x²+x²-9x+8=x²(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x²+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.2.6 配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例13 把多项式x²+6x-7分解因式解 x²+6x-7=x²+6x+9-16=(x+3)2-(4)2=(x+7)(x-1)．2.7 应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例14 分解因式：x²+5x+6解：令 f(x)=x²+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式. x²+5x+6=(x+2)(x+3)注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.（1）例14 把x4+7x2-30分解因式解：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y²+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30y2+7y-30=(y+10)(y-3)∴x 4+7x 2-30=(x 2+10)(x 2-3)解2 x 4+7x 2-30=(x 2)2+7x 2-30 =(x 2+10)(x 2-3)例15 把(a 2+a)2-14(a 2+a)+24分解因式 解：令a 2+a=u 则原式变为u 2-14u+24因为u 2-14u+24=(u-2)(u-12) 所以(a 2+a)2+14(a 2+a)+14 =(a 2+a-2)(a 2+a-12)=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)说明 换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。