初等代数研究因式分解的论文

多项式因式分解的方法
学院：专业：班级：学号：姓名:
摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具，在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能，发展思维能力，都有着独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作一些整理.
关键词：多项式定义因式分解转化十字相乘法拆项添项分项分组换元配方公式综合双十字相乘主元图像
在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.
（一）定义
定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.
分解因式与整式乘法为相反变形.
(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法
(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解
同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.
（二）基本方法
2.1提公因式法
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.
例1 分解因式 bm-am+cm
解：在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.
bm-am+cm
=m(b-a+c)
例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)
解1：通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.
a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(a-b)(x-y)
解2：a(x-y)+b(y-x)
=-a(y-x)+b(y-x)
=(y-x)(b-a).
2.2公式法
若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.、例3 分解因式 4a 2-9b 2
解：①∵4a 2=(2a)2,9b 2=(3b)2,那么只要把2a 和3b 看作平方差公式中的a 和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.
4a 2-9b 2 =(2a)2-(3b)2 =(2a+3b)(2a-3b)
注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.
例4 分解因式
(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 解：
题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为2
92
++x x ，故可用
换元法解：
设y= 2)
7()2(22+++++x x x x =2
92++x x
则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)2
5)(2
5(-+-y y
=64
25
2--
y =4
49
2-y
=)27
)(27(-+y y
=)2
72
9)(2
72
9(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)
注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行 例5 分解因式 (m 2+n 2+1)2-4m 2n 2 解：(m 2+n 2-1)2-4m 2n 2
=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)
=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]
=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]
=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)
例6 把下列多项式分解因式
（1）a3＋8
（2）27－8y3
解：（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.
（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).
（1）a3＋8
=a3+23
=（a+2）(a2-2a+22)
=(a+2)( a2-2a+4)
（2）27－8y3
=33-(2y)3
=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]
=(3-2y)(9+6y+4y2)
注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了
2.3分组分解法
能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.
例7 把多项式ax+ay+bx+by分解因式
解：通过观察、分析，发现此题应用二二分法：把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，利用乘法分配律，两两相配.
（法一） ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)
（法二） ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
例8、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
2.4十字相乘法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右
边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.
一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a ≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a 1×a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1×c 2， 但多项式需满足24b ac ∆=->0
把a 1，a 2，c 1，c 2，排列如下： a 1 c 1 ╳
a 2 c 2 按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1×c 2+a 2×c 1，若它正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项系数
b ，即a 1×
c 2+a 2×c 1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即ax 2+bx+c=(a 1x+c1)(a 2x+c 2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
但十字相乘法只能把某些二次三项式分解因式，而在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.
例9 把多项式x2+2x-15分解因式
解：通过观察，此题采用十字相乘法就可以了.
1 -3
╳
1 5 1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例10 把2x²-7x+3分解因式.
解：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1×2=2×1；
分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3 1×3+2×1=5
1 3
╳
2 1 1×1+2×
3 =7
1 -1
╳
2 -
3 1×(-3)+2×(-1)=-5
1 -3
╳
2 -1 1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
2x²-7x+3
=(x-3)(2x-1)
例11 把多项式(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1 1×1+2×(-2)=－3
原式=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).
2.5 拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例12分解因式 x³-9x+8．
解：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法——拆项。

将常数项8拆成-1+9．
原式=x³-9x-1+9
=(x³-1)-9x+9
=(x-1)(x²+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)．
将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x³-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)．
解法3 将三次项x³拆成9x³-8x³．
原式=9x³-8x³-9x+8
=(9x³9x)+(-8x³+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x²+x+1)
=(x-1)(x²+x-8)．
解法——添项添加两项-x²+x²．
原式=x³9x+8
=x³-x²+x²-9x+8
=x²(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x²+x-8)．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最好的一种．
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
2.6 配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
例13 把多项式x²+6x-7分解因式
解 x²+6x-7
=x²+6x+9-16
=(x+3)2-(4)2
=(x+7)(x-1)．
2.7 应用因式定理
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例14 分解因式：x²+5x+6
解：令 f(x)=x²+5x+6，则f(-2)=0，故可确定x+2是x2+5x+6的一个因式. x²+5x+6=(x+2)(x+3)
注意 1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数2.8 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.
（1）例14 把x4+7x2-30分解因式
解：这个多项式不是关于x的二次三项式，如果把x2设为y，那么这个多项式就可以转化为y²+7y-30.这是关于y的二次三项式，就可以利用上题的方法分解因式了.这里，设y=x2，把y称为辅助元，这种方法叫做换元法.
设x2=y,则多项式可化为：y2+7y-30
y2+7y-30=(y+10)(y-3)
∴x 4+7x 2-30=(x 2+10)(x 2
-3)
解2 x 4+7x 2-30=(x 2)2+7x 2-30 =(x 2+10)(x 2-3)
例15 把(a 2+a)2-14(a 2+a)+24分解因式 解：令a 2+a=u 则原式变为u 2-14u+24
因为u 2-14u+24=(u-2)(u-12) 所以(a 2+a)2+14(a 2+a)+14 =(a 2+a-2)(a 2+a-12)
=(a+2)(a-1)(a+4)(a-3)
说明 换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来
（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=222)65)(67(x x x x x +++++
设A x x =++652，则x A x x 2672+=++ ∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++ =2)(x A +=22)66(++x x
说明 换元法将原多项式化为二次三项式形式，可用十字相乘法分解因式，这是常用方法.换元的步骤可以不写出来
2.9 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x 1，x 2，x 3，……x n ，则该多项式可分解为f(x)=(x-x 1)(x-x 2)(x-x 3)……(x-x n ) ． 例16 把多项式2x 4+7x 3-2x 2-13x+6分解因式 解：令2x 4+7x 3-2x 2-13x+6=0，
则通过综合除法或整除法可知， 该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x 4+7x 3-2x 2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． 例17 分解因式 3x ³－4x ²－13x －6
分析(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数都可能是除的整除商．上例中常数项是6，则因数是±1，±2，±3，±6，最高次项系数是3,则因数是±1，±3，所以根可能是±1，±1/3，±2，±2/3，±3，±6，它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x ±1，3x±2．试除时先从简单的入手 (2)因式可能重复．
解：3x³－4x²－13x－6
=(x+1)(x－3)(3x+2)．
1 2 3 -8 3
2 5 -3
2 5 -
3 0
所以 (x-1)(2x²+5x-3)= 2x³+3x²-8x+3
最后,因式分解(2x²+5x-3)=(2x-1)(x+3)
故，可得2x³+3x²-8x+3=(x-1)(2x-1)(x+3).
我们也可以用带余除法的方法来解此题
2.10 图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x
1,x
2
,x
3
,……
x n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x
1
)(x-x
2
)(x-x
3
)……(x-x
n
)．与方法9相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确.
例18 分解因式：x³ +2x²-5x-6
解：在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³ +2x² -5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
2.11主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.
例19 分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 解：选定a 为主元，将其按次数从高到低排列
a (b-c)+
b (c-a)+
c (a-b) =a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c)
2.12 特殊值法
将2或10代入x ，求出数p ，将数p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x ，即得因式分解式.
例20 把x ³+9x ²+23x+15分解因式
解：在分解x ³+9x ²+23x+15时，令x=2，则 x ³ +9x+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x ³+9x ²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此.
2.13 待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.
例21 分解因式613622-++-+y x y xy x
解：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++
设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++
∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622 ∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622
对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==-=+6
13231
mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m
∴原式=)32)(23(+--+y x y x
2.14 双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法.
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用.
例22 分解因式 x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
解：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.
图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
①②③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中
6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错.
2.15 综合法
应用多种方法来因式分解.
因式分解中的转化思想
例23分解因式：()()()
2333
++-+-+
a b c a b b c
解：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B
∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()
()()()
A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333
322333
223333332
说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

例24 换元法与十字相乘法 把(x 2+x+1)(x 2+x+2)-6分解因式
解：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x 2+x)看成一个“字母”，把这个式子展开，就可以得到关于(x 2+x)的一个二次三项式(或设x 2+x=u ，将原式化为(u+1)(u+2)-6=u 2+3u-4，则更为直观)再利用十字相乘法进行因式分解 (x 2+x+1)(x 2+x+2)-6 =[(x 2+x)+1][(x 2+x)+2]-6 =(x 2+x)2+3(x 2+x)-4 =(x 2+x+4)(x 2+x-1)
说明 本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要继续分解. 例25 先补项后用完全平方
分解因式(1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2．
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x 2(1-y)+x 4(1-y)2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y 2)（补项） =[(1+y)+x 2(1-y)]2-2(1+y)x 2(1-y)-2x 2(1+y 2)（完全平方） =[(1+y)+x 2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x 2(1-y)+2x][(1+y)+x 2(1-y)-2x] =(x 2-x 2y+2x+y+1)(x 2-x 2y-2x+y+1) =[(x+1)2-y(x 2-1)][(x-1)2-y(x 2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
还有先分组在提公因式用平方差公式；因式分解与十字相乘法；分组分解后再用
十字相乘
（三）多项式因式分解的注意事项及一般步骤
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
参考文献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，王萼芳，石生明．高等代数.北京：高等教育出版社，2003(3)：8-12.
[2] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中. 八年级上册.人民教育出版社，2008(2):41-176.。