初等代数研究因式分解的论文

多项式因式分解的方法

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摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具，在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能，发展思维能力，都有着独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作一些整理.

关键词：多项式定义因式分解转化十字相乘法拆项添项分项分组换元配方公式综合双十字相乘主元图像

在初等数学中，因式分解是一个十分重要的概念，在解题过程中有着广泛的应用，借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题，因式分解也是整式乘法的一种重要变形，而转化是其中最重要的数学思想，即将高次的多项式分解转化为若干个较低次的因式的乘积.这种转化通常要通过观察、分析、尝试，应用提取公因式、乘法公式、分组分解等方法来达到目的.在解题过程中，问题变化万千，方法灵活多变.本文归纳总结因式分解的几种常用方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、简单的十字相乘法、拆、添项法、配方法、因式定理法、换元法、求根法、综合除法、整除法、图象法、主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、综合法.

（一）定义

定义把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.

分解因式与整式乘法为相反变形.

(a-b)(a+b) a2-b2 整式乘法

(a-b)(a+b) a2-b2 因式分解

同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.

（二）基本方法

2.1提公因式法

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式.

例1 分解因式 bm-am+cm

解：在多项式bm-am+cm中，每个单项式都含有字母m，故提出m就可以了.

bm-am+cm

=m(b-a+c)

例2 分解因式 a(x-y)+b(y-x)

解1：通过适当的变形可以找出公因式（x-y）或（y-x），再提出就可以了.

a(x-y)+b(y-x)

=a(x-y)-b(x-y)

=(a-b)(x-y)

解2：a(x-y)+b(y-x)

=-a(y-x)+b(y-x)

=(y-x)(b-a).

2.2公式法

若把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.、例3 分解因式 4a 2-9b 2

解：①∵4a 2=(2a)2,9b 2=(3b)2,那么只要把2a 和3b 看作平方差公式中的a 和b 即可.②将两项交换后，这两项式是平方差的形式.

4a 2-9b 2 =(2a)2-(3b)2 =(2a+3b)(2a-3b)

注 为保证解题正确要将中间步骤(2a)2-(3b)2写上，即先化为公式的左边形式.

例4 分解因式

(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 解：

题若将此式展开一定繁琐，注意到x 2+x+2与x 2+x+7的平均数为2

92

++x x ，故可用

换元法解：

设y= 2)

7()2(22+++++x x x x =2

92++x x

则(x 2+x+2)(x 2+x+7)-6 =6)2

5)(2

5(-+-y y

=64

25

2--

y =4

49

2-y

=)27

)(27(-+y y

=)2

72

9)(2

72

9(22-+++++x x x x =(x 2+x+8)(x 2+x+1)

注 此题也可以展开式子(x 2+x)2+9(x 2+x)+8再应用十字相乘法进行 例5 分解因式 (m 2+n 2+1)2-4m 2n 2 解：(m 2+n 2-1)2-4m 2n 2

=(m2+n2-1+2mn)(m2+n2-1-2mn)

=[(m2+2mn+n2)-1][(m2-2mn+n2)-1]

=[(m+n)2-12][(m-n)2-12]

=(m+n+1)(m+n-1)(m-n+1)(m-n-1)

例6 把下列多项式分解因式

（1）a3＋8

（2）27－8y3

解：（1）因为8=23，故这是形如a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，就完全可以运用立方和公式.

（2）通过变形就可以运用立方差公式 a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).

（1）a3＋8

=a3+23

=（a+2）(a2-2a+22)

=(a+2)( a2-2a+4)

（2）27－8y3

=33-(2y)3

=(3-2y)[(32+6y+(2y)2)]

=(3-2y)(9+6y+4y2)

注运用公式法分解因式时，先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，然后尝试选择何种公式进行分解，并记住公式的结构特点和应用条件，不要把因式中的符号和系数搞错了

2.3分组分解法

能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法.

例7 把多项式ax+ay+bx+by分解因式