集合导学案

1．1.1 集合的含义与表示一、元素与集合的概念只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合 ．2．集合元素的特性集合元素的特性： 、 、 ．(注意对元素特性的理解)3．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 集合A ，记作(2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 集合A ，记作 .注意：对∈和∉的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的.二、常用的数集及其记法实数集R ⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数集Q ⎩⎨⎧ 整数集Z ⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集无理数集三、集合的表示列举法：把集合的元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 描述法：(1)定义：用集合所含元素的 表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A 、2B 、3C 、4D 、5[例2] (1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A (2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *A ．1B ．2C ．3D ．4 [例3]已知集合A 中含有两个元素2a a 和，若1∈A ，求实数a 的值.[例4]设集合{},3A n n Z n =∈≤，集合{}21,B y y x x A ==-∈集合，试用列举法分别写出集合A 、B 、C.课堂练习：1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素2.设不等式3－2x <0的解集为M ，下列正确的是( )A ．0∈M,2∈MB ．0∉M,2∈MC ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M 3.设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．4.若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．5、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N }B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N }C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N }D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N }(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .．6、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，求a 的取值范围(){}2,1,C x y y x x A ==-∈1．1.2集合间的基本关系1、子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的记法与读法记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”) 图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.2、集合相等的概念如果集合A是集合B的(A⊆B)，且集合B是集合A的(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作对两集合相等的认识(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.3、真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的记法记作A B(或B A)图示结论(1)A⊆B且B⊆C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B(1)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.4、空集的概念(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合.5、判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集；其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B .(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.6、有限集合的子集个数(1)含n 个元素的集合有 个子集；(2)含n 个元素的集合有 个真子集．(3)含n 个元素的集合有 个非空子集；(4)含有n 个元素的集合有 个非空真子集；(5)若集合A 有n (n ≥1)个元素，集合C 有m (m ≥1)个元素，且A ⊆B ⊆C ，则符合条件的集合B 有 个[例1] (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A ．1B ．2C ．3D ．4[例2]（1）集合{}8,6,4,2的真子集的个数是（ ）A.16B.15C.14D.13[例3] 已知{}3A x x =<,{}B x x a =<.⑴若B A ⊆,求a 的取值范围; ⑵若A B ⊆,求a 的取值范围;课堂练习：1、下列四个命题：①{}0∅=；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个2、指出下列各组集合之间的关系：①A ＝{－1,1}，B ＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A ＝{x |x 是等边三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}；③M ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N *}．3、满足{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 有 个.4、已知集合P={x ∣},062R x x x ∈=-+，S={x ∣},01R x ax ∈=+，若S ⊆P ，求实数a 的取值集合.5、已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 北晨学校高一数学导学案 主备人：邓洪萍 审核人：付冬梅1．1.3集合的基本运算第一课时集合的并集、交集1．并集的概念文字语言一般地，由所有的元素组成的集合，称为集合A与B 的并集，记作(读作“A并B”)符号语言A∪B＝{x|}图形语言2．并集的性质(1)A∪B＝，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝，反之亦然，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次. 1．交集的概念文字语言一般地，由属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作(读作“A交B”)符号语言A∩B＝{x|}图形语言(1)A∩B＝，(2)A∩A＝，(3)A∩∅＝∅∩A＝，(4)A∩B A，A∩B B，(5)若A⊆B，则A∩B＝，理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x ∈A ，且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B的元素组成的集合为A ∩B .而只属于集合A 或只属于集合B 的元素，不属于A ∩B .例1、(1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( )(2)若集合A ＝{x |x >－1}，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B 等于( )注：并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．例2、设A=(]3,1- ，B=[)4,2，求A ∩B.注：求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．例3、已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．课堂练习：1、设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，求 A ∩B 和A ∪B2、若A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x ＝3a ，a ∈A }，则A ∩B 等于( )A ．{1,2}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{3}3、已知M ＝{1,2，a 2－3a －1}，N ＝{－1，a,3}，M ∩N ＝{3}，求实数a 的值4、设集合A={x|2x 2+3px+2=0}，B={x|2x 2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，且A ∩B={21}时，求p 的值和A ∪B5、集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________．6、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数1．1.3 集合的基本运算第二课时补集及综合应用全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.补集的概念及性质定义文字语言对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的，简称为集合A的补集，记作符号语言∁U A＝{x|}图形语言性质(1)∁U A⊆；(2)∁U U＝，∁U∅＝；(3)∁U(∁U A)＝；(4)A∪(∁U A)＝；A∩(∁U A)＝(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．[例1](1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B＝________.求补集的方法求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．练习：设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．[例3] 已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集练习：1、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．2、设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁U P，求实数a的取值范围．。