集合导学案

1．1.1 集合的含义与表示

一、元素与集合的概念

只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合 ．

2．集合元素的特性

集合元素的特性： 、 、 ．(注意对元素特性的理解)

3．元素与集合的关系

(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 集合A ，记作

(2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 集合A ，记作 .

注意：对∈和∉的理解

(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．

(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的.

二、常用的数集及其记法

实数集R ⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数集Q ⎩⎨⎧ 整数集Z ⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集无理数集

三、集合的表示

列举法：把集合的元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 描述法：(1)定义：用集合所含元素的 表示集合的方法．

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合

的组数是( )

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

[例2] (1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )

A ．0∈A

B ．a ∉A

C ．a ∈A

D ．a ＝A (2)下列所给关系正确的个数是( )

①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 [例3]已知集合A 中含有两个元素2a a 和，若1∈A ，求实数a 的值.

[例4]设集合{},3A n n Z n =∈≤，集合{}21,B y y x x A ==-∈集合

，试用列举法分别写出集合A 、B 、C.

课堂练习：

1．下列说法正确的是（ ）

（A ）所有著名的作家可以形成一个集合

（B ）0与 {}0的意义相同

（C ）集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1有限集 （D ）方程0122

=++x x 的解集只有一个元素

2.设不等式3－2x <0的解集为M ，下列正确的是( )

A ．0∈M,2∈M

B ．0∉M,2∈M

C ．0∈M,2∉M

D ．0∉M,2∉M 3.设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．

4.若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．

5、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )

A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N }

B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N }

C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N }

D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N }

(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 62＋x ∈N . ①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .．

6、集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }中只有一个元素，求a 的取值范围

(){}2,1,C x y y x x A ==-∈

1．1.2集合间的基本关系1、子集的概念

定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的

记法与读法记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”) 图示

结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即

(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则

对子集概念的理解

(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．

(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.

(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.

2、集合相等的概念

如果集合A是集合B的(A⊆B)，且集合B是集合A的(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作

对两集合相等的认识

(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．

(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.

3、真子集的概念

定义如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的

记法记作A B(或B A)

图示

结论(1)A⊆B且B⊆C，则A C；

(2)A⊆B且A≠B，则A B

(1)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.