[数学]第五章相交线与平行线复习课件

M A
D
C
O
N
B
h
31
垂直的定义的应用格式
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角
中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵∠AOC=90°（已知）， ∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这
个推理过程可以写成: ∵AB⊥CD（已知），
O
h
35
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一 端是一个点，另一端是垂足。
P
A D
h
B
36
AD
1、下列说法正确的是（ D ）
C
B
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
如图: ∠ A和哪个角是同位角?
（∠COE、 ∠COB）
∠ A和哪个角是 内错角?
(∠C、 ∠AOD)
∠ A和哪个角是同旁内角?
(∠B 、 ∠AOB、 ∠AOE)
A
h
E
A
21
34
B
65
D
C 78
F D
O
C E
B
39
观察 如图:怎样描述这三条直线的位置关系？
直线AB、CD被EF所截
A C
被截直线
截线
2
B
1
3
O4 A
D
如图，直线AB与CD相交，∠1和 ∠3有公共顶点，并且它们的两边分 别互为反向延长线，具有这种关系 的两个角叫做互为对顶角。
h
7
猜想
1、对顶角在数量上有什么关系？
2、你可以用哪些方法进行验证？
h
8
对顶角相等
C 2（O B
已知：直线AB与CD相交 1（ ） ）3
于O点(如图),说明∠1=∠3、 ∠2=∠4的理由
（4）由直线AB、CD被直线EF所截成
的同位角有
；
∠1 和∠9、 ∠4和 ∠12、∠2和∠10、
∠3 和∠11
（5）∠7和 ∠12是 同旁内 角 ；
h
E 2A 13 4
C5 6 87 B
9 10 D 12 11
F
在判断两个角时一定 要先知道由哪两条直 线被哪条直线所截呦！
45
（4）.如图所示5个角中， ∠1 和∠3是_对__顶___角， ∠1 和∠4是_内__错__ 角， ∠2和∠5是_同__旁__内 角， ∠1 和∠5是__邻__补__ 角， ∠3和∠4是_同__位__ 角。
E
1
B
2
34
65
78 D
F
１ 探索交流
图中的∠1与∠2是同位角吗？
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角。
在形如字母“F”的图形中有同位角。
１ 探索交流
图中的∠1与∠2都是内错角吗？
图中的∠1与∠2都是内错角 图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角。
课堂练习 识别哪些角是同位角、内错角、同
旁内角。
h
1
邻补角
邻补角互补
两条 直线
一般情况
对顶角
对顶角相等
相交
相
特殊
交
线
垂直
存在性和唯一性 垂线段最短 点到直线
的距离
两条直线被 第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定
平 行 线
平行公理 及其推论
平行线的性质
h
2
一、相交线：
A O
D
C
A B
C
E
A
21
OB
34
B
65
D
C 78
D
F
斜交
垂直
三线八角
如图“直线AB 垂直于直线CD ”，就记作“AB⊥CD ”，交 点O 叫做垂足。
“ ”是图形中“垂直”(直角)的标记
我们把其中一条直线叫做另一条直线
的垂线
h
10
画已知直线AB的垂线 D
A
B
O
C
➢垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
A
则所画直线AB
请同学们
是过点A的直线l的垂
而∠AOC=∠BOD=25o (对顶角相等)
答： ∠BOE=65o，∠AOC=25o
h
29
1、直线AB、CD相交于点O，∠1=28°
求∠2和∠3.
A
D
2
3 1
C
O
B
变式1：若∠AOC＋∠BOD＝100° 求∠BOC的度数.
h
30
变式2：若OM、ON分别平分∠AOD、 ∠BOD，求∠MON的度数.
C
A
B
D
h
17
过一点画已知直线的垂线的方法
过一点画垂线的方法可归纳为“一靠、二过、三画、四标” 1.一靠：把三角板的一条直角边靠在已知直线上； 2.二过：让三角板的另一条直角边经过已知点； 3.三画：沿着已知点所在的直角边画直线； 4.四标：标上直角符号“ ”。
∟
A
P
B
h
18
A
注意他们 的区别！
段的长度,叫做这点到这条直线的距离.
判断:
1、画出点A到直线BC的距离。（ ）
B
2、画出点A到直线BC的垂线段。（ ）
A DC
3、量出点A到直线BC的距离。 （ ）
4、垂线最短。
（）
h
16
5、如图，AC⊥BC,CD ⊥AB，垂足分别是 C点、D点。 (1)点B到CD的距离是线段___B_D__的长度； (2)点C到AB的距离是线段___C_D__的长度； (3)点A到CB的距离是线段__A__C__的长度。
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
h
32
概念辨析
1、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有
（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，
则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这
两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直
线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条
（B）如果两条直线相交所构成的四个角中有三个角度 相等，那么这两条直线一定垂直
（C）直线l上有三点A、B、C，在直线l个外有一点P， 若PB<PA、PB<PC，则BP垂直于直线l （D）两条线段垂直是指这两条线段所在的直线垂直
h
27
二、一辆汽车在直线型公路AB 上由A向B行驶， M、N分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行 驶到P位置时离村庄M最近；行驶到Q位置时离 村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出P、 Q两点的位置
A
4
D
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°、 ∠2+∠3=180°（邻补角的 定义）
∴∠1=∠3（同角或等角的补角相等）
同理可得：∠2=∠4 h
9
垂线的定义
C
1.定义：当两条直线相交所
成的四个角 中有一个角 是直
A
角 时，我们就说这两条直线
互相垂直。
B O
D
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”。
张庄
P
h
23
小试牛刀
1、直线m外有点P，它到直线m上点A、B、C的距离分别是6厘
D 米、3厘米、5厘米，则点P到直线m的距离( )
A等于6厘米. B.等于3厘米 C.等于5厘米 D.不大于3厘米
2、如右图，若OC⊥AB于点O，OE⊥OD，
A 则图中互余的角有( )
A. 4对
B. 3对
C. 2对
D. 1对
2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线互
相垂直（ √ ） 3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离（ × ）
4）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直（ √ ）
h
22
3、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建 一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距 离最近），请你在铁路上选一点来建火车站， 并说明理由。
·M
A P
Q
B
·N
h
28
三、如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD， OF⊥AB，∠DOF=65o，求∠BOE和∠AOC的度数。
解：∵OE⊥CD， OF⊥AB (已知)
F
∴ ∠BOF=∠DOE=90o（垂直
的定义）
A
∴∠BOD=∠BOF-∠DOF
=90o-65o=25o
C
D B
O
E
∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=90o-25o=65o
BC
l
D
如图，线段AB叫做点A到直线l 的垂线段，
点到直线的距离：
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点 到直线的距离。
线段AB的长度就是点A到直线l 的距离
h
19
一、判断题
概念辨析
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ × ）
23、 、两两条条直 直线 线相 相交 交，所有构两成组的对四顶个角角。中有一个角（是√直角，）
直线互相垂直
（ A） 4
（B） 3
（C） 2
（D） 1
h
33
直线AB,CD相交于点O，OM⊥AB于O，且
1 3 DOM =∠COM,求∠AOD的度数．
1 3
h
34
1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路， 一人在O处。
（1）此人到小屋去， ． 怎样走最近？为什么？A
（2）此人要到公路
．
去，怎样走最近？为 什么？
画一下
线.
B
l
垂线段：线段AB
h
12
垂线的性质
P
A
B
A
P
B
从上面的画图过程中，你能得到什么结论？不妨说说看！
垂线的性质（1）：平面内，过直线上一点或直线外一点有且 只有一条直线与已知直线垂直。
过一点，有且只有一条直线与已
知直线垂h直。
13
线段、射线的垂线应怎么画呢？
线段的延长线
P
或射线的反向延长线
内错角： ∠3与∠5 , ∠4与∠6.
同旁内角： ∠4与∠5 , ∠3与∠6.
h
44
练一练
（1）∠1和 ∠9是由直线 AB 、 CD 被直线 EF 所截成的 同位 角 ；
（2）∠6和 ∠12是由直线 AB 、 EF 被直线 CD 所截成的 内错 角 ；
（3）∠4和 ∠6是由直线 CD 、
EF 被直线 AB所截成的 同旁内角 ；
1
2 （1）
同位角
1
1
2
2
（2）
（3）
同位角
同位角
ba
1
2
c
(6)
同位角
1 2 (7)
1
2 (8)
内错角
12
（4）
同位角
2 1 （5）
1
1
2
2
(9)
(10)
同旁内角
如图：直线a、b被直线 l 截的8个角中
l
1
a
2
43
5
b
6
8 7
同位角： ∠1与∠5 , ∠2与∠6 , ∠3与∠7 , ∠4与∠8.
5、如图，直线AB和CD相交于点O，
OB平分∠DOF，
A
OE⊥AB，O为垂足，∠1=50°，
求∠AOC和∠COF的度数。
C
h
C
m
B A
E D
1
B O
F
25
中考在线
如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，
若α=44°，则β=（ 4）6°
βO α
M
l1 l2
h
26
练习
一、下列叙述中不正确的是（ C ） （A）经过直外一点只能画一条已知道直线的垂线
h
3
C
2
B
1
3
O4 A
D
如图，直线AB与CD相交，∠1和∠2有一 条公共边，它们的另一条边互为反向延长
线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补 角。
互为邻补角的两个角和为180。
h
4
问题
互为邻补角和互为补角有什么区别？
互为邻补角 互为补角
有一条公共边，它们的另一条边互为反 向延长线；它们的和为180。 它们的位置不确定；它们的和是180。
Leabharlann Baidu
h
37
1、如图，过点P把两条笔直的公路连接起来， 在图中画出最短连接的路线.
P
m
●
2、过一个角的顶点作这个角两边的垂线，
若这两条垂线的夹角为α，求原来已知角的
大小.
h
38
同位角: 内错角:
(三)、三线八角:
∠1与∠5; ∠4与∠8; ∠2与∠6; ∠3与∠7. ∠4与∠6; ∠3与∠5.
同旁内角: ∠4与∠5; ∠3与∠6.
C D
E
A O
B
3、如右图，直线a、b、c相交于一点，若
∠1 :∠2 :∠3=1 : 2 : 3，则∠2的度数为____6度0。
b
∠3的度数为 _______度9。0 直线a、b的位置关系是
__________互__相。垂直
h
1
3
a
2 24 c
能力挑战：
4、如右图，按要求完成下列各题：
⑴请画出由A地经过B地去河边m的最短路线； ⑵确定A地去B地的路线的依据是： __两__点__之_间__，__线__段__最_短___； ⑶确定B地去河边的路线的依据是： ___垂__线__段_最__短____。
h
5
对顶角的概念
C A
如下图所示，∠1与∠3有什么特点？
2
1
3
O4
B D
射线OA的反向延长 线是指从点A到点O 方向延长得到的一条 射线，即射线OB。
∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA、OC分别 与∠3的两边OB、OD互为反向延长线，
我们把这样的两个角叫做对顶角。∠2和∠4也是对顶角
h
6
C
那么其余的三个角也是直角。
（√ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（C）
A。∠AOC和∠BOE是对顶角；
B。∠COE和∠AOD是对顶角； C。∠BOC和∠AOD是对顶角；
A
D
D。∠AOE和∠DOE是对顶角。
O
2、如右图中直线AB、CD交于O， OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度， C
Q
A
B
O
A
h
14
1、定义：
(二)、垂直：
A 两条直线相交所形成的四个角中有一个 是直角时叫两条直线互相垂直。
C
B O
2、画法： 3、性质：
b
过一点画一条直线的垂线。
c
Q
D
p
a
b
AB C
DE
P
(2)、 垂线段最短。
(1)、过一点有且只有一条直线 垂直于已知直线。
点到直线的距离:
h
15
点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的 垂线
那么∠AOE=（C）度 （A）80；（B）100；（C）130（D）150。
h
E
B
20
如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE=
54。°
(A)36° (B) 64° (C)144° (D) 54°
D
O
A
B
C
E
随堂练习
1、判断
1）一条直线的垂线只能画一条（ × ）