法向量求二面角-空间向量
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P
F
A
C
D
E B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。
2、立体几何Leabharlann Baidu题求解的思想方法的发展趋势
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的 发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几 何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体 几何问题是学好立体几何的基础。
=
2
( =<BA , n > )
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
zＡ
Ｆ
Ｂ
x
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 ABC按它的一个法向量n平移到A1B1C1 D, E分别是BC,CC1的中点，AB AA1 2
(1)证明：BE AB1;
(2)求二面角B AB1 D的大小。
C1 A1
B1 E
C A
D
B
2.(广州二模）如图，PA 平面ABC,BAC 900 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的 中点，求二面角M-EF-N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D A
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0）
E
(0,-1,0)
x
O 30º
y
C (0,1,0)
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2， ACB=90º，又BCD=30º，BDC=90º，故 BD=1，CD=3，由D点向BC作垂线DE，则 DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2) ,面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量 为n=(23,-3,1)
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0） 点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º, 求二面角D-BA-C的大小
(0,-1/2,3/2) z D
B
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
例 ２ ． 在 四 面 体 ABCD 中 ， AB⊥ 面 BCD ，
BC=CD，∠BCD＝900，∠ADB= 300 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
A1
E（2，1，2）
N（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{
x=y z=0
令x=y=1,则n=(1,1,0)
M
C1
N B1
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余 角。
n
B
C
如图：直线AB与平面所成的角
Cy
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
A1
E
n=（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1) cos<m,n>=10/5 由题意可知，所
F
A
C
D
E B
小结： 1、本节主要复习了法向量在求线面角和二面 角方面的应用，注意所求角与法向量的联系， 掌握基本的思想方法。
2、立体几何Leabharlann Baidu题求解的思想方法的发展趋势
用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的 发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几 何问题的主要工具，故，学会用向量法解立体 几何问题是学好立体几何的基础。
=
2
( =<BA , n > )
例
2、利用平面法向量求二面角的大小
m n
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2、利用平面法向量求二面角的大小
指入、指出平面的法 向量的夹角的大小就 是二面角的大小。
zＡ
Ｆ
Ｂ
x
Ｅ
Ｄ
y
Ｃ
广州一模
1.如图,正 ABC按它的一个法向量n平移到A1B1C1 D, E分别是BC,CC1的中点，AB AA1 2
(1)证明：BE AB1;
(2)求二面角B AB1 D的大小。
C1 A1
B1 E
C A
D
B
2.(广州二模）如图，PA 平面ABC,BAC 900 D,E,F分别是AB,BC,CP的中点，AB=AC =1,PA=2.(1)求直线PA和平面DEF所成的 角的大小； (2)求点P到平面DEF的距离。
m n
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例1：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的 中点，求二面角M-EF-N的大小
D1
M
C1
A1
E
N B1
D A
C
F B
(2)
解：（1）建系如图
所示，设正方体棱长
为2,则M（0，1，2）
F（1，2，0）
E
(0,-1,0)
x
O 30º
y
C (0,1,0)
A (1,1,0)
解：由题可知B（0，-1，0），C（0，1，0）， 又A（1，1，0），得AC=1，AB=5，又BC=2， ACB=90º，又BCD=30º，BDC=90º，故 BD=1，CD=3，由D点向BC作垂线DE，则 DE=3/2，OE=1/2，得D（0，-1/2，3/2）， E（0，-1/2，0）， ED=(0,0,3/2),BA=(1,2,0),BD=(0,1/2,3/2) ,面ABC的法向量为ED，可求得面ABD的法向量 为n=(23,-3,1)
{
x=0 y=2z
求二面角为锐角，故所求二面角的 大小为arccos(10/5)
（2）如图，在空间直角坐标系中，BC=2， 原点O为BC的中点，点A的坐标是（1，1，0） 点D在平面yoz上，且BDC=90º，DCB=30º, 求二面角D-BA-C的大小
(0,-1/2,3/2) z D
B
cos<ED,n>=1/4<ED,n>=arccos(1/4)
二面角D-BA-C的大小为arccos(1/4)
例
例 ２ ． 在 四 面 体 ABCD 中 ， AB⊥ 面 BCD ，
BC=CD，∠BCD＝900，∠ADB= 300 ．E、F
分别是AＣ、AD的中点。 １）求证 平面BEF⊥平面ABC； ２）求二面角ＥＦ－Ｂ－ＣＤ的大小。
A1
E（2，1，2）
N（1，2，2） 则
MF=（1,1，-2）
NF=（0，0，-2）
EF=（-1，1，-2），
设平面ENF的法向量 A
为n=(x,y,z),
x
D1 z E
D
{ 则
EFn=0 NFn=0
{
-x+y-2z=0 -2z=0
{
x=y z=0
令x=y=1,则n=(1,1,0)
M
C1
N B1
平面法向量 在立体几何中的应用
——利用法向量求二面角
(一)平面的法向量的定义：
如果n,那么向
量n叫做平面的
法向量
n
（二）平面法向量的应用
1、利用平面法向量求直线 A 与平面所成的角：
直线与平面所成的
角等于平面的法向 量所在的直线与已 知直线的夹角的余 角。
n
B
C
如图：直线AB与平面所成的角
Cy
F B
2
解：（2）建系如图， D1 z
M
C1
由（1）得：面ENF
的法向量为
A1
E
n=（1，1，0），又
N B1
MF=（1，1，-2）
EF=（-1，1，-2）
D
设面EMF的法向量
Cy
为m=（x,y,z) ，则
F
{ MF.m=0 EFm=0
{-xx++yy--22zz==00
A
B
x
令z=1,则m=(0,2,1) cos<m,n>=10/5 由题意可知，所