辽宁省六校协作体2020-2021学年高三第一次联考数学试题
2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷(理科)(Word解析版)
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题.1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2} 2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．1126．点M（5，3）到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（）A．y＝12x2B．y＝﹣36x2C．y＝12x2或y＝﹣36x2D．y=112x2或y=−136x27．函数y＝cos2x+sin x﹣1的值域为（）A．[−14，14]B．[0，14]C．[﹣2，14]D．[﹣1，14]8．函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位10．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为（ ）A ．20√6海里B ．40√6海里C ．20(1+√3)海里D ．40海里11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张 D ．甲得10张，乙得2张12．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= ． 14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 石．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 ．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 ． 三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数．求X 的分布列和期望．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，（满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0． （1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|． （Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m+1n的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝（）A．{0，x2，1，2}B．{2，0，1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，−√2，√2，2}【分析】利用交集性质求出x2＝2，由此能求出M∪N．解：∵集合M＝{0，x2}，N＝{1，2}，M∩N＝{2}，∴x2＝2，∴M∪N＝{0，1，2}．故选：C．【点评】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于（）A．1﹣i B．1+i C．12−12i D．12+12i【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（1﹣i）z＝|2i|＝2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．设a→，b→是向量，则“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．解：若“|a→|＝|b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是菱形；若“|a→+b→|＝|a→−b→|”，则以a→，b→为邻边的平行四边形是矩形；故“|a→|＝|b→|”是“|a→+b→|＝|a→−b→|”的既不充分也不必要条件；故选：D．【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a→|＝|b→|”与“|a→+b→|＝|a→−b→|”表示的几何意义，是解答的关键．4．若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l3B．l1与l3既不垂直又不平行C．l1∥l3D．l1与l3的位置关系不确定【分析】空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知正三棱锥P﹣ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的体积为（）A．16B．12C．13D．112【分析】由正三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，然后求解三棱锥的体积．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴（√3）2＝PA 2+PB 2+PC 2＝3PA 2⇒PA ＝PB ＝PC ＝1， 所以三棱锥的体积为：13×12×1×1×1=16，故选：A ．【点评】考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键． 6．点M （5，3）到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是（ ） A ．y ＝12x 2B ．y ＝﹣36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝﹣36x 2D ．y =112x 2或y =−136x 2 【分析】根据点M 到准线的距离为|3+14a|＝6，分a ＞0和a ＜0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．解：当a ＞0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2， 当a ＜0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |＝6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．【点评】本题主要考查了抛物线的性质．属基础题． 7．函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1的值域为（ ） A ．[−14，14]B ．[0，14]C ．[﹣2，14]D ．[﹣1，14]【分析】由条件根据y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，再利用二次函数的性质求得函数的最值，可得函数的值域．解：∵函数y ＝cos 2x +sin x ﹣1＝﹣sin 2x +sin x =−(sinx −12)2+14，sin x ∈[﹣1，1]，故当sin x =12时，函数y 取得最大值为14；当sin x ＝﹣1时，函数y 取得最小值为﹣2，故函数y 的值域为[﹣2，14]．故选：C ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．8．函数f(x)=e x +1|x|(e x −1)（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用函数的奇偶性，和特值进行验证．解：f （x ）为奇函数，排除A ，B ．又当x ＞0时，f （x ）＞0，且f(x)=1|x|(1+2e x −1)单调递减，故C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．9．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，为了得到y ＝sin2x 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π2)的图象可得A＝1，T=2πω=2[π3−(−π6)]=π，∴ω＝2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ＝0，∴φ=π3．故函数的f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+π3）＝sin2（x+π6）．故把f（x）＝sin2（x+π6）的图象向右平移π6个单位长度，可得g（x）＝sin2x的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）A．20√6海里B．40√6海里C．20(1+√3)海里D．40海里【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．解：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，∴AD＝20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD=√2CD＝40√2．在△ABD 中，由余弦定理得AB =√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6． 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．11．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ） A ．甲得9张，乙得3张 B ．甲得6张，乙得6张 C ．甲得8张，乙得4张D ．甲得10张，乙得2张【分析】由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）． 其中甲获胜有3种，而乙只有1种， 所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14．所以甲得到的游戏牌为12×34=9，乙得到圆心牌为12×14=3； 当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌， 故选：A ．【点评】本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．12．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上（不含端点）存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是（ ）A ．(1，√5+12)B ．(1，√3+12)C ．(0，√5+12)D ．(32，√3+12)【分析】求出直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0，利用直线与圆的位置关系，结合a ＜b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．解：由题意可设F （c ，0），B （0，b ），则直线BF 的方程为bx +cy ﹣bc ＝0， ∵在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i ＝1，2），使得∠A 1P i A 2=π2， ∴线段BF 与以A 1A 2为直径的圆相交，即√b 2+c2a ，化为b 2c 2＜a 2（b 2+c 2）， 又b 2＝c 2﹣a 2，即有a 4+a 2b 2﹣b 4＞0，可得0＜b 2a2＜1+√52，在线段BF 上（不含端点）存在两个不同的点P i （i ＝1，2）， 使得∠A 1P i A 2=π2， 可得a ＜b ，可得1＜b 2a2＜1+√52，故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，则f(√10)+f(0)= 3 ．【分析】推导出f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1，f （0）＝20+1＝2，由此能求出f(√10)+f(0)的值．解：∵函数f(x)={log 9(x 2−1)，x ＞02x+1，x ≤0，∴f （√10）＝log 9（10﹣1）＝1， f （0）＝20+1＝2，f(√10)+f(0)=1+2＝3． 故答案为：3．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．我国古代数学名著《数术九章）有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有 170 石．【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252，解得x ＝170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．【点评】本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为 y ＝（12）x5730．【分析】根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 解：依题意可设y =(12)ax ，当x ＝5730时，y =12，即有12=(12)5730a ，解得a =15730， 故答案为：y ＝（(12)x5730．【点评】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16．已知f （x ）＝x （e +lnx ），g （x ）=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g（x ）恒成立，则m 的取值范围为 m ≥23e √e −√e ． 【分析】分离参数m ，即要使原式成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立．构造函数h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12，利用导数求该函数的最大值即可．解：由题意，要使对于∀x ∈[12，+∞）时都有f （x ）≤g （x ）恒成立，只需m ≥−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12时恒成立，令h(x)=−13x 3+(e −32)x +xlnx ，x ≥12， 则h′(x)=−x 2+lnx +e −12，易知h′(√e)=0，而h″(x)=−2x +1x =1−2x 2x ，当x ∈[12，√22)时，h ″（x ）＞0，h ′（x ）递增；当x ∈(√22，+∞]时，h ″（x ）＜0，h ′（x ）递减．结合h′(12)=e −ln2−34＞0，h′(√22)=e −1−12ln2＞0，∴x ∈[12，√e)时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增；x ∈(√e ，+∞]时，h （x ）递减．故h(x)max =h(√e)=23e √e −√e ．所以要使原式恒成立，只需m ≥23e √e −√e ．故答案为：m ≥23e √e −√e ．【点评】本题考查导数在研究不等式恒成立问题中的应用，不等式恒成立问题，一般是先转化为函数的最值，然后再利用导数研究函数的单调性来处理，能分离参数的一般要分离参数．同时考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于较难的题目．三、解答题（6个小题共70分）17．数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1＝3． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=2log3a n−1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1＝3a n，再由a1＝3可求得a n；（2）根据（1）中求出的a n可得b n＝（2n﹣1）（13）n，再利用错位相减法求出T n．解：（1）由S n=32a n−12a1①，可得S n+1=32a n+1−12a1②，由②﹣①可得a n+1=32a n+1−32a n，即a n+1＝3a n．又a1＝3，所以数列{a n}是首项、公比均为3的等比数列，∴a n＝3n；（2）由（1）知a n＝3n，∵b n=2log3a n−1a n，∴b n=2n−13n，∴T n=13+3×（13）2+5×（13）3+⋯+2n−13n③，13T n＝（13）2+3×（13）3+…+（2n﹣3）（13）n+2n−13n+1④，由③﹣④可得23T n=13+2[（13）2+（13）3+…+（13）n]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−1 3n+1=23−2+2n3n+1，∴T n＝1−1+n 3n．【点评】本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18．港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n天，从这n天中任取两天，设X为这两天中客流量超过7万人的天数．求X的分布列和期望．【分析】（1）①由频率分布直方图中的数据即可得解；②设中位数为x，根据中位数的性质列出关于x的方程，解之即可得解；（2）先由频率分布直方图中的数据分别求出100天中客流量超过5万人次和超过7万次的天数，确定X的取值为0，1，2，再根据超几何分布逐一计算每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，进而可得数学期望．解：（1）①客流量的平均数为（2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05）×1＝4.15；②设中位数为x，则0.20+0.25+0.40（x﹣4）＝0.5，解得x＝4.125，故客流量的中位数为4.125．（2）从频率分布直方图可知，客流量超过5万人次的频率为0.05×3×1＝0.15，∴n＝100×0.15＝15，而客流量超过7万人的天数为100×0.05×1＝5天，∴随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）=C102C50C152=45105=37，P（X＝0）=C101C51C152=50105=1021，P（X＝0）=C100C52C152=10105=221．∴X的分布列为：X012P371021221数学期望E（X）=0×37+1×1021+2×221=23．【点评】本题考查频率分布直方图中的数字特征、超几何分布和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点． （1）证明：B 1C 1⊥CE ；（2）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√26．求线段AM 的长．【分析】（1）证明CC 1⊥B 1C 1，B 1C 1⊥C 1E ，可得B 1C 1⊥平面CC 1E ，即可证明结论； （2）连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，求出EH ，利用余弦定理建立方程，即可求线段AM 的长．【解答】（1）证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥B 1C 1．因为AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点， 所以B 1E =√5，B 1C 1=√2，EC 1=√3，从而B 1E 2＝B 1C 12+EC 12，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ．又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1， 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE ．（2）解：连结D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1， 连结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH =√26x ，AH =√346x ．在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1=√2，得EH =√2MH =13x ．在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2+EH 2﹣2AE •EH cos 135°，得1718x 2＝1+19x 2+√23x ．整理得5x 2﹣2 √2x ﹣6＝0，解得x =√2（负值舍去）， 所以线段AM 的长为√2．【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，考查余弦定理，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题． 20．已知椭圆C 的标准方程是x 26+y 22=1设F 是椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝﹣3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． （1）证明：线段OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） （2）当|TF||PQ|最小时，求点T 的坐标．【分析】（1）设T 的坐标，可得直线TF 的斜率，由题意可得直线PQ 的斜率，进而求出直线PQ 的方程，将直线PQ 与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ 的中点坐标，求出直线OT ，OM 的斜率可得斜率相等可得线段OT 平分线段PQ ； （2）由（1）得|PQ |的长，|TF |的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T 的坐标解：（1）证明：由题意设T （﹣3，m ），椭圆的左焦点F （﹣2，0），所以K FT =m−3+2=−m ， 所以k PQ =1m， 设直线PQ 的直线方程为：y =1m（x +2），即x ＝my ﹣2， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设PQ 的中点M ，将直线PQ 与椭圆的方程联立{x =my −2x 26+y 22=1整理可得：（3+m 2）y 2﹣4my ﹣2＝0，y 1+y 2=4m 3+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣4=−123+m 2， 所以中点M （−63+m2，2m 3+m 2），因为k OT =m −3=−m 3，k OM =2m3+m 2−63+m 2=−m3， 所以k OT ＝k OM ，所以线段OT 平分线段PQ ．（2）由（1）可得：|PQ |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√16m 2(3+m 2)2−4⋅−23+m 2=2√6(1+m 2)3+m 2， 而|FT |=√m 2+(−3+2)2=√1+m 2， 所以|FT||PQ|=22√6√1+m 2=2√6⋅2+(√1+m 2)2√1+m 2，令t =√1+m 2≥1，所以2+t 2t=2t+t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号，即m ＝±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T （﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝cos x +x sin x +e x ﹣ax ．（1）若函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线与x 轴平行，求实数a 的值及函数f （x ）在区间[−π2，π2]上的单调区间；（2）在（1）的条件下，若x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2），求证：f′(x 1+x 22)＜0．（f '（x ）为f （x ）的导函数）【分析】（1）根据切点处的导数为0，可求出a 的值，然后令导数大于0或小于0，即可求出单调区间；（2）根据（1）的结论，将结论转化为证明x 1+x 2＜0，结合f （x 1）＝f （x 2），进一步转化为f （x ）﹣f （﹣x ）＞0，x ∈(0，π2]成立．构造函数h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），利用导数研究单调性容易证明．解：（1）f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣a ，k ＝f ′（0）＝e 0﹣a ＝0，∴a ＝1． ∴f ′（x ）＝x cos x +e x ﹣1，当x ∈[−π2，0)，f′(x)＜0，f(x)递减； 当x ∈(0，π2]时，f′(x)＞0，f(x)递增．所以函数f （x ）的递增区间为[0，π2]，递减区间为[−π2，0]． （2）由（1）可知，x 1，x 2异号，不妨设−π2≤x 1＜0＜x 2≤π2． 则−π4＜x 1+x 22＜π4，因为f （x ）在[−π2，0]上递减， 故要证f′(x 1+x 22)＜0，只需证x 1+x 22∈[−π2，0]，即证x 1＜﹣x 2． 因为x 1，−x 2∈[−π2，0]，所以只需证f （x 1）＞f （﹣x 2），又x 1≠x 2，f （x 1）＝f （x 2）， 只需证f （x 2）＞f （﹣x 2），即f （x 2）﹣f （﹣x 2）＞0． 不妨令h （x ）＝f （x ）﹣f （﹣x ），x ∈∈[0，π2]．∵h ′（x ）＝f ′（x ）+f ′（﹣x ）＝x cos x +e x ﹣1﹣x cos （﹣x ）+e ﹣x ﹣1 =e x +e −x −2＞2√e x ⋅e −x −2=0．所以h （x ）在[0，π2]递增，∴h （x ）＞h （0）＝0． 所以f(x 1+x 22)＜0． 【点评】本题考查导数的几何意义及导数在研究函数的单调性、与不等式有关的问题之应用．同时体现了对学生的逻辑推理、数学运算、以及直观想象等数学核心素养的考查．属于较难的题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．（1）若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；（2）若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P （3，0），满足|PM |+|PN |＝5|MN |．求sin α的值．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π）转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣3＝0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cos θ＝0．转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x ＝0，转换为（x +1）2+y 2＝1，所以圆心（﹣1，0）到直线的距离d =4√2=2√2＞1，所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．（2）将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα（t 为参数，0≤α＜π），代入x 2+y 2+2x ＝0，整理得t 2+8t cos θ+15＝0，所以t 1+t 2＝﹣8cos θ，t 1t 2＝15．由于满足|PM |+|PN |＝5|MN |．所以|t 1+t 2|＝5|t 1﹣t 2|，整理得24（﹣8cos θ）2＝100×15．所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|．（Ⅰ）解不等式：f （x ）≥﹣3x +4；（Ⅱ）若函数f （x ）的最小值为a ，且m +n ＝a （m ＞0，n ＞0），求1m +1n 的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出a 的值，根据m +n ＝4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣2|+|2x +4|={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可得当x ＜﹣2时，﹣3x ﹣2≥﹣3x +4，即﹣2≥4，所以无解；当﹣2≤x ≤2时，x +6≥﹣3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x ＞2时，3x +2≥﹣3x +4，得x ≥13，可得x ＞2．∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． （Ⅱ）根据函数f(x)={−3x −2，x ＜−2x +6，−2≤x ≤23x +2，x ＞2可知当x ＝﹣2时，函数取得最小值f （﹣2）＝4，可知a ＝4，∵m +n ＝4，m ＞0，n ＞0，∴1m +1n =14(m +n)(1m +1n )=14(1+1+n m +m n )≥14(2+2)=1． 当且仅当n m =m n ，即m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴1m +1n的最小值为1． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题
2020-2021学年度（上）省六校高三期中联考数学试题一、单项选择题1. 已知,a b ∈R ，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 当20a b +=成立时，不妨设0a b ，此时不满足2ab=-， 所以，“20a b +=”不能推出“2ab=-”； 当2ab=-，则有2a b =-，即20a b +=， 所以，“2ab=-”能推出“20a b +=”．因此，“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件．故选：B ．2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．3. 8122x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. 235x B. 220x C. 470x D. 435xC根据二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，再根据通项公式可求得结果.由二项式系数的性质，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值，所以二项式系数最大的项是()44445812702T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：C.4. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈，都有11n n a a n +=++，则1299111a a a ++=（ ） A. 9998B. 2C.9950D.99100C首先根据题设条件可得11n n a a n +-=+，然后利用累加法可得(1)2n n n a +=，所以()122211n a n n n n ==-++，最后利用裂项相消法求和即可. 由11n n a a n +=++，得11n n a a n +-=+，则()()()()()1122111112n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-++=，所以1222(1)1n a n n n n ==-++， 12991111111119921212239910010055a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C . 5. 设函数()()2log 1,04,0x x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=（ ）A. 9B. 11C. 13D. 15B首先根据自变量所属的范围，结合题中所给分段函数的解析式，代入求得结果.∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()223l log 22og 9(3)log 3log 4224f f ++=-+==2+9=11．故选B ．6. 设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A. B.C.D.B根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案.1()ln 1xf x x x +=-定义域为：(1,1)-11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，512BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A. 14-B. 38+-C. 14-D. 48-C先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且112cos 4BCACB AC ∠==，所以2211cos1442cos 7212144︒︒⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==，故选：C 8. 若23121==>x y z ，则48++x yz xy的取值范围是（ ） A. []1,4 B. [)1,+∞C. ()+∞D. [)4,+∞D首先利用指对互化，得到211x y z +=，变形48++x yz xy后，利用基本不等式求最值.设23121x y x k ===>，所以2log 0x k =>，3log 0y k =>，12log 0z k =>，1log 2k x =，1log 3k y =，1log 12k z=，所以211x y z +=，所以12444z z y x z ⎛⎫++=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2z =时，等号成立.故选：D二、多项选择题9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为5- B. 复数z 的共轭复数15=-z iC. z =D. z 在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-， 因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得：1a =-， 所以15z i =--，A.复数z 的虚部是-5，正确；B.复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C.()()221526z =-+-=，正确；D.z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 南宋杨辉在他1261年所著的《详解九章算术》一书中记录了一种三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即现在著名的“杨辉三角”．下图是一种变异的杨辉三角，它是将数列{}n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成的，其中{}n a 是集合{220s ts t +≤<，且s ，}t Z ∈中所有的数从小到大排列的数列，13a =，25a =，36a =，49a =，510a =…下列结论正确的是（ ）A. 第四行的数是17，18，20，24B. ()11232-+=⋅n n n aC.()11221-+=+n n a n D. 10016640a =ABD采用逐一验证的方法，利用(,)s t 来表示每一项，寻找规律，可得结果 对于A ：用(,)s t 来表示每一项，则 第一行：3(0,1)， 第二行：5(0,2),6(1,2)， 第三行：9(0,3),10(1,3),12(2,3)，第四行：17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4)，故A 正确； 对于B ：()12n n a +表示第n 项第n 列，则()11122232n n n n n a -+-=+=⋅，故B 正确； 对于C ：()112n n a -+表示第n 项第1项，则()10122212n n nn a -+=+=+，故C 错误；对于D ：100a 第14行第9项，所以1100842216640=+=a ，故D 正确，故选：ABD.11. 一组数据12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，记12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ，则（ ）A. a =7B. a =11C. b =12D. b =9BD根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E (X )，D (X )，进而求得平均值a ，方差b .12321,21,21,,21n x x x x +++⋯+的平均值为7，方差为4，设()123,,,,n X x x x x =⋯，∴(21)2()17E X E X +=+=，得E (X )=3，D (2X +1)=4D (X )=4，则D (X )=1，12332,32,32,,32n x x x x +++⋯+的平均值为a ，方差为b ， ∴a =E (3X +2)=3E (X )+2=11，b =D (3X +2)=9D (X )=9.故选：BD .12. 在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A. x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B. x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C. f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D. 函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解；D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=+=+，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈)4πθ+∈，即C 正确；函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<，∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得极大值，为1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为2，即D 错误．故选：AC ． 三、填空题 13. 设随机变量()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，则()11P ξ-<<=______.0.3.本题首先可根据()()31P P ξξ<-=>得出1μ=-，然后根据正态分布的对称性即可得出结果. 因为()2,N ξμσ，且()()310.2P P ξξ<-=>=，所以1μ=-，()110.50.20.3P ξ-<<=-=， 故答案为：0.3.14. 将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种 150每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时，根据分类计数原理得到结果． 当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有2235331902C C A =种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有3135231602C C A =种结果，∴根据分类计数原理知共有9060150+=种.故答案为：150．15. 已知0a >，1a ≠，若函数()()2log a f x ax x =-在[]3,4是增函数，则a 的取值范围是______．()1,+∞对参数a 分类讨论，结合对数函数单调性和二次函数单调性，即可列出不等式求得结果，注意函数定义域即可.当1a >时，log a y x =是单调增函数，要满足题意， 则有：2t ax x =-在[]3,4是单调增函数，且其最小值大于零.故132a≤且930a ， 解得13a >，又1a >，故此时()1,a ∈+∞；当01a <<时，log a y x =是单调减函数，要满足题意， 则须：2t ax x =-在[]3,4是单调减函数，且其最小值大于零. 故142a≥，且1640a ->， 不等式无解.综上所述，()1,a ∈+∞. 故答案为：()1,+∞.16. 设m ，n R ∈，那么22()()n m m e n e -+-的最小值是__________． 2由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，分别曲解曲线x y e =和曲线ln y x =上的切线方程，根据两平行线之间的距离公式，即可求解．由题意，令ln n t =，原式可化为22()(ln )m m t e t -+-，其几何意义是动点(,)m m e 和(,ln )t t 的距离的平方，又曲线x y e =与曲线ln y x =关于直线y x =对称，过曲线x y e =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =+，过曲线ln y x =上的点且平行于直线y x =的切线为1y x =-，则两切，故22()()n m m e n e -+-的最小值是2. 四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（） 令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以） （2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，(6,0),(1,3)A C ，点M满足12OM OA =，点P 在线段BC 上运动（包括端点）.（1）求OCM ∠的余弦值；（2）是否存在实数λ，使()OA OP CM λ-⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由. （17；（2）12(,12][,)7λ∈-∞-+∞．（1）由题意求得(2,3),(1,3)CM CO =-=- ，再根据cos cos ,||||CO CMOCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=，运算即求得结果；（2）设(3)P t ，其中15t ≤≤，由()OA OP CM λ-⊥ ，得=0()OA OP CM λ-⋅ ，可得(23)12t λ=﹣．再根据33[1,)(,5]22t ∈，求得实数λ的取值范围：．（1）由题意可得1(6,0),(1,3),(3,0)2OM OA OC OA ====，(2,3),(1,3)CM CO =-=-，故7cos cos ,=||||CO CM OCM CO CM CO CM ⋅∠=<>=； （2）设(3)P t ，其中15,(3)t OP t λλλ≤≤=，(6,3),(2,3)OA OP t CM λλλ-=--=，若()OA OP CM λ-⊥ ，则=0()OA OP CM λ-⋅ ，即12230t λλ-+=，可得(23)12t λ=﹣， 若32t =，则λ不存在，若32t ≠，则1233=,[1,)(,5]2322t t λ∈-， 故12(,12][,)7λ∈-∞-+∞.19. 我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“321++”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[)15,45称为中青年，年龄在[)45,75称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.（1）填表见解析；有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（2）47. （1）根据调查结果填写列联表即可（其中频数指各年龄段调查人数），利用卡方检验公式求卡方值，并与参考表的值比较即可确定是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关；（2）由分层抽样概念知8人中年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，结合古典概型的概率公式求概率即可； 解：（1）依题意，22⨯列联表如图所示，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人.从8人中抽取2人的方法有2828C =种，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有114416C C ⨯=种.所以()164287P A ==. 20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，13a = ，且对任意*n N ∈ ，2n a 为213n a ++ 和1的等比中项，数列{}n b 满足()2*1n n b a n N =-∈.（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 通项公式；（2）若2log n n c b =，{}n c 的前n 项和为n T ，求使n T 不小于360的n 的最小值.（1）证明见解析，n a =；（2）18.（1）根据等比中项的定义列方程并化简，从而判断{}n b 为等比数列，写出{}n b 的通项公式，由此求得数列{}n a 的通项公式；（2）写出数列{}n c 的通项公式与前n 项和公式n T ，计算n T 不小于360时n 的取值范围，从而求得n 的最小值．（1）证明：对任意*n N ∈，2n a 都为213n a ++和1的等比中项， 所以221(2)(3)1n n a a +=+⨯，即221(2)(3)1n n a a +=+⨯，也即22143+=-n n a a ；所以222211431444(1)n n n n a a a a +-=--=-=-，因为21=-n n b a ，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 成等比数列，首项为21118=-=b a ，公比为4，所以122211·4822n n n n b b --+==⨯=； 所以22112+-=n n a ，又{}n a 为正项数列，所以n a =（2）解：由2122log log 221n n n c b n +===+， 所以12(211)(221)(21)n n T c c c n =++⋯+=⨯++⨯++⋯++2(123)n n =+++⋯++(1)22n n n +=⨯+ 22n n =+；由n T 不小于360，即22360n T n n =+，即223600n n +-， 也即(20)(18)0n n +-，解得18n 或20n -（不合题意，舍去）； 所以n T 不小于360的n 的最小值为1821. 为了解某地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y与x线性相关性很强；0.30.75x≤≤，则认为y与x线性相关性一般，0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）（2）求y与x的线性回归方程，并预测该地区2019年足球特色学校的个数（精确到个位）参考公式：()()ni ix x y yr--=∑()()2211,10, 3.6056n ni ii ix x y y==-=-=≈∑∑；()()()121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑（1）3.63.6056r=；y与x的线性相关性很强；（2）线性回归方程y=0.36x-724.76，预测A地区2019年特色学校208个（1）求出,x y，代入公式计算即可；（2）根据公式求出回归方程，根据回归方程计算预测结果.解：（1）2016521120.30.61 1.4 1.72016,155x y⨯--++++++====，()()3.60.753.6056ni ix x y yr--===>∑所以y与x线性相关很强；（2）5151()()(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.70.3641014()iii i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑，120160.36724.76a y bx =-=-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程y =0.36x -724.76， 当x =2019时，y =2.08，即A 地区2019年特色学校208个. 22. 已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．（Ⅰ）6a =，1x =为极大值点（Ⅱ）1t ≤-.（Ⅰ）求出函数的导数，求出a 的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为111x x -[2lnx 1211(1)t x x -+]＞0，根据0＜x 1＜1时，111x x -＞0.1＜x 1＜2时，111x x -＜0．即h （x ）＝2lnx 2(1)t x x-+（0＜x ＜2），通过讨论t 的范围求出函数的单调性，从而确定t 的范围即可．（Ⅰ）()228(0)x x af x x x-+=>'，()10f '=，则6a = 从而()()()213(0)x x f x x x--=>'，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；()1,3x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以1x =为极大值点. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，有两个极值点1x ，212()x x x <，则()2280t x x x a =-+=在()0,+∞上有两个不等的正实根，所以08a <<，由12121242x x a x x x x +=⎧⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩可得()1110224x a x x <<⎧⎨=-⎩从而问题转化为在102x <<，且11x ≠时()21111ln 431a x t x x x >+--成立. 即证()()111211124ln 431x x x t x x x ->+--成立.即证()11112ln 11x x t x x >+- 即证()11112ln 101x xt x x -+>- 亦即证 ()21111112ln 01t x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦. ①令()()212ln (02)t x h x x x x-=+<<则()222(02)txx th x x x++<<'= 1)当0t ≥时，()0h x '>，则()h x 在()0,2上为增函数且()10h =，①式在()1,2上不成立. 2)当0t <时，244t ∆=-若0∆≤，即1t ≤-时，()0h x '≤，所以()h x 在()0,2上为减函数且()10h =，111x x -、()211112ln t x x x -+在区间()0,1及()1,2上同号，故①式成立. 若0∆>，即10t -<<时，22y tx x t =++的对称轴11x t =->，令1min ,2a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则1x a <<时，()0h x >，不合题意.综上可知：1t ≤-满足题意.。
2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则A. 1，B. 0，1，C. 1，D. 1，，，2.已知复数z满足，i为虚数单位，则z为A. B. C. D.3.设，是向量，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线，，，满足，，则下列结论一定正确的是A. B. 与既不垂直又不平行C. D. 与的位置关系不确定5.已知，则A. B. C. D.6.已知正三棱锥P一ABC，点P、A、B、C都在直径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的底面ABC的面积为A. B. C. D.7.点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的方程是A. B.C. 或D. 或8.函数其中e为自然对数的底数的图像大致为A. B.C. D.9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位10.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西，北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为A. 海里B. 海里C. 海里D. 40海里11.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.B.C.D.12.已知双曲线的两顶点分别为，，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上不含端点存在两点，，使得，则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．14.我国古代数学名著数术九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有______石．15.考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内碳14的含量，则y与x 的关系式可以表示为______．16.已知，，对于时都有恒成立，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列的前n项和，满足，且．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．求这100天中，客流量超过4万的频率；同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．求客流量的中位数．19.如图，四棱柱中，平面ABCD，，，，，E为棱的中点证明：平面；求三棱锥的体积．20.已知椭圆C的标准方程是设F是椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F做TF的垂线交椭圆C于点P，Q．证明：线段OT平分线段其中O为坐标原点当最小时，求点T的坐标．21.已知函数若函数在点处的切线与x轴平行，求实数a的值及函数在区间上的单调区间；函数在区间上单调递增，求实数a的范围．已知连续22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，在极坐标系与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴中，曲线的极坐标方程为．若，试判断曲线和的位置关系；若曲线与交于点M，N两点，且，满足求的值．23.已知函数．Ⅰ解不等式：；Ⅱ若函数的最小值为a，且，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，，，1，．故选：C．利用交集性质求出，由此能求出．本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z满足，，故选：A．由条件解得，把的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.答案：B解析：解：“”“”“”是“”的充要条件．故选：B．“”“”即可判断出结论．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：解：空间中三条两两不同的直线，，，满足，，可得与平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．空间中三条两两不同的直线，，，满足，，画出图象，即可判断出结论．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：，，，故选A．6.答案：A解析：解：，PB，PC两两垂直，又三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．，三棱锥的底面边长为，该正三棱锥的底面ABC的面积为：．故选：A．由正三棱锥的四个顶点均在半径为的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，求出底面边长，然后求解底面面积．考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键．7.答案：D解析：解：当时，开口向上，准线方程为，则点M到准线的距离为，求得，抛物线方程为，当时，开口向下，准线方程为，点M到准线的距离为解得，抛物线方程为．故选：D．根据点M到准线的距离为，分和两种情况分别求得a，进而得到抛物线方程．本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数图象的判断，属于基础题目．利用函数的奇偶性，和特值进行验证．【解答】解：，为奇函数，排除A，B．又当时，，且单调递减，故C符合．故选：C．9.答案：B解析：【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的的解析式．再根据函数的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数，的图象可得，，．再由五点法作图可得，．故函数的的解析式为故把的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故选：B．10.答案：A解析：【分析】分别在和中利用正弦定理计算AD，BD，再在中利用余弦定理计算AB．本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【解答】解：连接AB，由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，在中，，，．在中，由余弦定理得海里．故选：A．11.答案：A解析：解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，，设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则，故选：A．由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：，由几何概型中的面积型可得：则，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．12.答案：A解析：解：由题意可设，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得，线段BF与以为直径的圆相交，即，化为，又，即有，可得，在线段BF上不含端点存在两个不同的点，使得，可得，可得，故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．13.答案：0解析：解：x，y满足约束条件，的可行域如图：目标函数结果可行域的B点时，目标函数取得最小值，由可得，目标函数的最小值为：0．故答案为：0．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．14.答案：170解析：解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x石，则，解得，估计这批米内所夹的谷有170石．故答案为：170．设这批米内所夹的谷有x石，由等可能事件概率计算公式得，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：依题意可设，当时，，即有，解得，故答案为：．根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16.答案：解析：解：，化为：，令，．对于时都有恒成立．．，函数在单调递减，，，函数在上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极大值即最大值，．．故答案为：．，化为：，令，对于时都有恒成立利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：由，可得，由可得，即．又，所以数列是首项、公比均为3的等比数列，；由知，，，，，由可得，．解析：由，可得，由可得，再由可求得；根据中求出的可得，再利用错位相减法求出．本题主要考查由数列的前n项和与第n项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.答案：解：频率为，平均数为：；设中位数为x，则，解得中位数为．解析：可以将符合题意得频率相加可得，根据平均数，中位数的公式进行运算．本题考查频率直方图，以及平均数，中位数，属于中档题．19.答案：证明：四棱柱中，平面ABCD，，，，，E为棱的中点，可得，，，则，，又平面ABCD，，，而，平面；解：，，即E到的距离为，又，．由得平面，．即三棱锥的体积为．解析：由已知求解三角形证明，再由平面ABCD，得，由直线与平面垂直的判定可得平面；由已知求出，即E到的距离为，再求出，由得平面，然后利用即可求三棱锥的体积．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．20.答案：解：证明：由题意设，椭圆的左焦点，所以，所以，设直线PQ的直线方程为：，即，设，，设PQ的中点M，将直线PQ与椭圆的方程联立整理可得：，，，所以中点，因为，，所以，所以线段OT平分线段PQ．由可得：，而，所以，令，所以，当且仅当时取等号，即，所以，这时或．解析：设T的坐标，可得直线TF的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的方程，将直线PQ与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ的中点坐标，求出直线OT，OM的斜率可得斜率相等可得线段OT平分线段PQ；由得的长，的长，求出，换元，由均值不等式可得最小值，同时求出T的坐标本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：，，，解得，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；即函数的递减区间为，递增区间为；函数在区间上单调递增，，，又在上单调递增，当时，，．即实数a的范围为．解析：由，可得，解得，于是，分与两类讨论，即可求得的单调递增区间与递减区间；函数在区间上单调递增，分离参数a，可得，利用在上单调递增，即可求得实数a的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数来求曲线某点的切线方程，考查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查分离参数法与放缩法的应用，属于难题．22.答案：解：当，所以曲线的参数方程为为参数，转换为，转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为，转换为，所以圆心到直线的距离，所以曲线和的位置关系为相离．将曲线的参数方程为为参数，，代入，整理得，所以，．由于满足．所以，整理得．所以，所以．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得．不等式的解集为．Ⅱ根据函数可知当时，函数取得最小值，可知，，，，．当且仅当，即时，取“”．的最小值为1．解析：本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．Ⅰ通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；Ⅱ求出a的值，根据以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．。
2020年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=，下列说法正确的是（）A. z的虚部为-iB. z对应的点在第一象限C. z的实部为-1D. z的共复数为1+i2.若集合A={x|1≤x＜2}，B={x|x＞b}，且A∩B=A．则实数b的范围是（）A. b≥2B. 1＜b≤2C. b≤2D. b＜13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为（）A.B.C.D.4.下列判断错误的是（）A. “|a|＜|b|”是”|am|＜|bm|”的充分不必要条件B. 若￢（p∨q）为真命题，则p，q均为假命题C. 命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是“∃x∈R，ax+b＞0“D. 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）=0.72，则P（ξ≤-1）═0.285.已知cosα=，α∈（-，0），则的值为（）A. -B.C. -D.6.将函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，到的函数g（x）是奇函数．则下列结论正确的是（）A. t的最小值是，g（x）的对称中心为是（），k∈ZB. t的最小值为，g（x）的对称轴为x=，k∈ZC. t的最小值为，g（x）的单调增区间为（kπ-，kπ+），k∈ZD. t的最小值为，g（x）的周期为π7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是（）A. n≤6？B. n＞6？C. n≤5？D. n＞5？8.设F1，F2是双曲线C：（s＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则C的离心率为（）A. 2B. 3C.D.9.函数的图象大致为（）A. B.C. D.10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对（x，y）的个数m；第三步，估计π的值．若n=100，m=31，则估计π的值（）A. B. C. D.11.若两个非零向量，满足||=||=||，则向量与的夹角是（）A. B. C. D.12.斜率为且过抛物线C：y2=4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若，则实数λ为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知展开式中x2的系数为0，则正实数a的值是______．14.正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为，若6cos A•cos C=1，b=3，则∠ABC=______．16.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（），求数列{b n}的前n项和T n．18.从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者统计），得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．（1）求a，b的值；（2）若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9，5.1）中有的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9，5.1）和[5.1，5.3）中抽取4名同学，4人中有资格（仅考虑视力）考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，点P（，）满足=0．（1）求椭圆C的方程；（2）直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1•k2的值．20.已知在四棱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F是线段BC的中点．（1）求证：PF⊥FD；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值；（3）画出平面PAB与平面PDF的交线l．（不写画法）21.已知函数．（1）若1是函数的一个极值点，求实数a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）在（1）的条件下证明：．22.在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方程（α为参数）；曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；（2）若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．23.设函数f=|x+1|-|2x-4|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z==1-i，∴z的虚部为-1；z对应的点的坐标为（1，-1），在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b＜1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b＜1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.【答案】C【解析】【分析】由异面直线角的作法得：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，由解三角形得：在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题.【解答】解：连接BD，BA1，因为B1D1∥DB，故∠A1DB（或其补角）为异面直线A1D与B1D1所成角，在△A1DB中，设AD=1，则A1D=，DB=，A1B=即∠A1DB=，故选：C．4.【答案】A【解析】解：A．当m=0时，若“|a|＜|b|”，则”|am|＜|bm|”不成立，即充分性不成立，故A错误，B．若￢（p∨q）为真命题，则p∨q为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，C．命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是“∃x∈R，ax+b＞0“正确，故C正确，D．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤3）=0.72=P（ξ＞-1），则P（ξ≤-1）═1-P（ξ＞-1）=1-0.72=0.28，故D正确，故错误的是A，故选：A．A．利用充分条件和必要条件的定义进行判断B．根据复合命题真假关系进行判断C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断D．根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．由已知求得sinα，再由倍角公式求解的值．【解答】解：由cosα=，α∈（-，0），得sinα=，∴==．故选C．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=sin（2x-）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，得到g（x）=sin（2x+2t-），由于函数g（x）是奇函数．所以：2t-（k∈Z），解得：t=，由于t＞0，所以：当k=0时，t的最小值为，且函数的最小正周期为π．故选：D．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：第一次，s=2，a=4，不满足条件．n=2，第二次，s=2+4=6，a=6，不满足条件．n=3，第三次，s=6+6=12，a=8，不满足条件．n=4，第四次，s=12+8=20，a=10，不满足条件．n=5，第五次，s=20+10=30，a=12，不满足条件．n=6，第六次，s=30+12=42，a=14，满足条件．输出S=42，即n=6满足条件．，n=5不满足条件．则条件应该为n＞5？，故选：D．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=4a，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，所以|F1F2|=2c，|PF1|=3a，|PF2|=a，△PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，由余弦定理，可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，即a2=4c2+9a2-2×2c×3a×，c2-2ca+2a2=0，即c=a，所以e==．故选：C．利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，是基础题．判断函数的奇偶性，排除选项B，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．【解答】解：由题意，函数f（x）=e|x|-2|x|-1是偶函数，排除选项B，当x＞0时，函数f（x）=e x-2x-1，可得f′（x）=e x-2，当x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x＞ln2时，f′（x）>0，函数是增函数，排除选项A，D，故选C．10.【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对（x，y）满足，其表示图形的面积为1．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，则不等式组表示图形的面积为-．则：．解得．故选：B．两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2-1＜0，且，x+y＞1，从而不等式组表示图形的面积为-．由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11.【答案】D【解析】解：∵；∴；∴；∴；∴，且；∴=；又；∴与的夹角是：．故选：D．根据即可得出，从而得出，，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），联立，化为：y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1．∵，∴4=-λ×（-1），解得λ=4．故选：C．抛物线C：y2=4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直线方程为：y=（x-1），与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】求出（ax+1）6展开式中含x2项的系数以及x项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．【解答】解：中中x2的系数为：，x项的系数为：，展开式中含x2项的系数为0，可得：-+=0，则15a=6，所以a=，故答案为：．14.【答案】【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：=．故答案为：．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15.【答案】【解析】解：∵△ABC的面积为=ac sin B，b2=ac sin2B，∴由正弦定理可得：sin2B=sin A sin C sin2B，∴可得：sin A sin C=，∵6cos A•cos C=1，可得：cos A cos C=，∴cos∠ABC=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）=sin A sin C-cos A cos C=-=，∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=．故答案为：．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sin A sin C=，又由6cos A•cos C=1，可得cos A cos C=，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC 的值，结合范围∠ABC∈（0，π），即可得解∠ABC=．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-1【解析】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1--==1⇒x0=-⇒-a=，则有：f（x0）=x0+-a ln x0=x0+1⇒ln x0-x0+1=0，令h（x）=ln x-x+1⇒h′（x）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，=2n-1（首项符合通项），故：a n=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：b n=（）=，则：，所以：数列{b n}是以首项为，公比为的等比数列．故：．【解析】（1）首先求出数列的通项公式，（2）利用（1）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得：，解得b=0.5，a=1．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，E（ξ）==2．【解析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．（2）在[4.9，5.1）中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1，5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）依题意F1（-c，0），∴=-c2+3=0，即c=∵e==，∴a=2，∴b2=a2-c2=1，∴椭圆C的方程为+y2=1，（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2-1）=0，则x1+x2=，x1x2=，∵k1，k，k2成等比数列，∴k1•k2=k2==，则（x1+x2）=3，即=，解得k2=故k1•k2=．【解析】（1）依题意F1（-c，0），由=-c2+3=0，即c=，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程（2）设直线l的方程为y=k（x-），M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20.【答案】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，∴P（0，0，h），B（1，0，0），D（0，2，0），C（1，2，0），F（1，1，0），E（，0，0），∴，，∴，则PF⊥FD；（2）解：∵PA⊥底面ABCD，∴PB在底面ABCD的投影为BA，∴∠PBA为PB与平面ABCD所成角，即∠PBA=45°，∴△PBA为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即h=1．∴平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，∴平面APD的法向量为，设二面角A-PD-F的平面角为θ，可知θ为锐角，∴cosθ=|cos＜＞|=；（3）解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．【解析】（1）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设|PA|=h，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明，则PF⊥FD；（2）由PA⊥底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到∠PBA为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A-PD-F的余弦值；（3）延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l．本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.【答案】解：（1），（x＞0），，故a=0，（2），方程的判别式，①当a≥时，，，在（0，+∞）递减，②当0＜a＜时，方程的根为，且，故在（0，x1）递减，在（x1，x2）递增，在（x2，+∞）递减，③当a=0时，，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，④当a＜0时，方程的根为，且，，故在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增；（3）在（1）的条件下，，，令，，（x＞0），故在（0，+∞）递增，又h（）＜0，h（e）＞0，故∃x0∈（，e），使得h（x0）=0，即，在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，故，故．【解析】（1）求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρ∈R）；曲线C1的普通方程为+y2=1；曲线C2的普通方程为（x-3）2+（y-2）2=13．（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2=，曲线C2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ，∴|OM|=6cos+4sin=5，|ON|==，可得|MN|=|ON|-|OM|=5-=．【解析】（1）直线l的极坐标方程为θ=，（ρ∈R）；利用sin2α+cos2α=1可得C1和C2的普通方程；（2）将C1，C2化成极坐标方程后将θ=代入可求得|OM|，|ON|，再相加．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）|x+1|-|2x-4|＞2，等价为或或，可得x∈∅或＜x≤2或2＜x＜3，即为＜x＜3，则原不等式的解集为（，3）；（2）关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，可得t2+2t＜f（x）max，由f（x）=|x+1|-|x-2|-|x-2|≤|x+1-x+2|-0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t＜3，解得-3＜t＜1．【解析】（1）运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；（2）由题意可得t2+2t＜f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。
辽宁省六校协作体2021届高三第一次联考数学试卷
数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年辽宁省高考数学一模试卷（理科）及答案解析
2020-2021学年辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）及答案解析辽宁省⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣36．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．27．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为．三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．20．已知中⼼在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离⼼率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三⾓形中⾯积的最⼤值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准⽅程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另⼀交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯⼀零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考⽣在第22、23、24题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：⼏何证明选讲]22．如图，正⽅形ABCD边长为2，以D为圆⼼、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF?FC的值．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]23．在平⾯直⾓坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，直线l 的极坐标⽅程是，圆C的极坐标⽅程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆⼼，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数⽅程是（t 为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满⾜a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．参考答案与试题解析⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?U Q=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进⾏求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，U Q={x|0＜x＜2}，则P∪?U Q={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满⾜z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利⽤复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，则{a n}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利⽤等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2=5，a4=9，∴{a n}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平⾯直⾓坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平⾯向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆⼼到直线的距离等于半径的⼀半，由点到直线的距离公式列⽅程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满⾜约束条件，则z=2x﹣y的最⼤值为（）A．B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，利⽤⽬标函数的⼏何意义，利⽤数形结合确定z的最⼤值．【解答】解：作出不等式组对应的平⾯区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最⼩，此时z最⼤．由，解得，即C（1，）将C的坐标代⼊⽬标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最⼤值为．故选：A．6．运⾏如图所⽰的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C．D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执⾏程序，依次写出前⼏次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执⾏程序，可得m=2，i=1满⾜条件i≤2016，m=﹣3，i=2满⾜条件i≤2016，m=﹣，i=3满⾜条件i≤2016，m=，i=4满⾜条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满⾜条件i≤2016，m=，i=2016满⾜条件i≤2016，m=2，i=2017不满⾜条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，⼀个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转⼀周，它的最低点P0离地⾯2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的⼀个点P从P1开始按逆时针⽅向旋转，则点P离地⾯距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【考点】在实际问题中建⽴三⾓函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利⽤待定系数法结合三⾓函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转⼀周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最⼩值2，最⼤值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最⼩值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发⽣的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到⼤于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=a x+1﹣a图象不经过第⼆象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图知该⼏何体⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，由三视图求出⼏何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出⼏何体的体积．【解答】解：由三视图得该⼏何体是⼀个直三棱柱截去⼀个三棱锥所得的组合体，其中截⾯是平⾯ABC，且棱柱和棱锥底⾯是俯视图：等腰直⾓三⾓形，两条直⾓边是2，棱柱⾼为2，棱锥的⾼是2，∴底⾯⾯积S=×2×2=2，∴⼏何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进⾏求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满⾜当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同⼀球⾯上，△ABC是边长为的正三⾓形，若点S到平⾯ABC的距离为，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．D．1【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆⼼为M，协S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴，故a⼤于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从⽽求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成⽴，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成⽴（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下⽅，故直线y=ax的斜率a⼤于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，⼜f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α= ．【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】由条件利⽤半⾓公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平⾯向量与的夹⾓为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最⼩值是．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平⽅，将问题转化为求关于λ的⼆次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最⼩值3．∴|λ+|的最⼩值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两⽀分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三⾓形，则双曲线的离⼼率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三⾓形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2?6a?4a?∴c= a∴=故答案为：．16．在正项等⽐数列{a n}中，，a6+a7=3，则满⾜a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最⼤正整数n的值为12 ．【考点】等⽐数列的前n项和；⼀元⼆次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得关于这两个量的⽅程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等⽐数列{a n}⾸项为a1，公⽐为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最⼤为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，⾓A、B、C分别是边a、b、c的对⾓，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利⽤正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利⽤⼤边对⼤⾓可得A为锐⾓，可求cosA，利⽤三⾓形内⾓和定理，两⾓和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利⽤余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB⼜∵B=60°，代⼊得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底⾯ABCD是矩形，PA⊥平⾯ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平⾯ABCD所成的⾓为45°，求⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平⾯ABCD，由线⾯垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线⾯垂直的判定定理得到DF⊥平⾯PAF，再由线⾯垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平⾯ABCD，可得∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD﹣F的平⾯⾓，解三⾓形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，⼜AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF⼜PA⊥平⾯ABCD，∴DF⊥PA，⼜PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平⾯ABCD，∴∠PBA是PB与平⾯ABCD所成的⾓，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平⾯PAD，在平⾯PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平⾯FMN，则∠MNF即为⼆⾯⾓A﹣PD ﹣F的平⾯⾓∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收⼊﹣成本）附：线性回归⽅程中系数计算公式：，，其中、表⽰样本均值．【考点】线性回归⽅程；离散型随机变量的期望与⽅差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归⽅程，得出利润函数L（x）的解析式，利⽤⼆次函数的性质求出L（x）的最⼤值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满⾜90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，。
辽宁省沈阳市重点高中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题
2020-2021学年度（上）市级重点高中联合体12月联考高三数学第I 卷（选择题）一、单项选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合 A = {—2,70.1,2},集合 B = {xly = log2（l —x ）},则 A^B=（）C先利用函数的定义域求法化简集合B,再利用交集的运算求解. 因为集合B = {x|y = log 2（l-x ）} = U|x<l （,集合心{-2,-1,0丄2}, 所以 AOB = {-2,-1.0}.故选：C.本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.C先根据复数除法法则化简，再根据复数模的定义求结果.（2 + i ）i （2 + i ）2i -4 + 3i 4 3.・• z = ------ = ---------- = -------- = ----- 1—12-i 5 5 5 5本题考查复数除法运算、复数的模，考查基本求解能力，属基础题.3・已知sin X + Y =m ,则 cosk 6丿B将角2x-二拆分成x+f 及特殊角的形式，利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理可得答3o案.A. {2}B. {12}C. {—2,70} D ・{—2,70,1}2.已知七A. 3C. 1D.心心+(|)2=1故选：CA ・1一2加$B ・ 2nr -1D ・ 2/n-l)B. 2 方法点睛：已知角的某种三角名称值，求其相关角的三角名称值问题，把题口中已知的角做体及特殊角一起，去构造需要求解的角，再利用诱导公式、倍角公式进行处理.4•等差数列｛"”｝中，已知坷>0,他+為<0,则｛陽｝前"项和S“的最小值为( )A.S4B. S、C. $6D. S?C先通过数列性质判断咳<0,再通过数列的正负判断S”的最小值.等差数列仏｝中，+^9 < 0 , A a5 +a() = 2a6 < 0 ,即a6<0.乂① >0, .•.｛©｝的前"项和S” 的最小值为Se •故答案选c本题考查了数列和的最小值，将S”的最小值转化为W”｝的正负关系是解题的关键.5.(l-x)(l + x)3的展开式中，疋的系数为()A. 2B. -2C. 3D. -3B由题意转化条件得(1 —X)(l +才=(l+x)‘—x(l+x)'，再由二项式定理写出(1 +才的通项公式, 分别令厂=3、r = 2,求和即可得解.详解】由题意(1-X)(1+ X)3=(1+ A-)3-A(1+ A-)\(1 +才的通项公式为几=C；•严•才=C；• 0 ,令广=3,则C；=C； = 1；令广=2,则CJ = C;=3；所以(l-x)(l + x)'的展开式中，F的系数为1-3 = -2.故选：B.本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.已知平面向量方，石满足”卜5, p+%4, p-b| = 6,则向量方在向量乙方向上的投影为( )A. 1B. 0C. —1D. —一2Ca-b通过条件可得bS根据公式-7■代值计•算即可.7b7解：由Q 十b =4 , a-b =6半方相减可得a 巧=一5,crb -5,所以向量方在向量乙方向上的投影为-g- = y = -1.故选：C.方=匕」）/ =也」2），计算向量方在向量乙方向上的投影的两个公式:«*aa-b（1）已知向量数量积和模长： 丁；7•抛物线C ： y 2= 4x 的焦点为N 为准线上一点，M 为）'轴上一点，ZMNF 为直角,若线段MF 的中点E 在抛物线C±,则4WVF 的面积为（）C设M （O"gE （g 冷）,E 在抛物线C 上可得〃匸±2血，由抛物线的对称性，不妨设川=2血， ”（一1/）,・・・而 =（1,271 — 〃），兩=（一2丿）••和页 =02迈-心・（-2』）=0,可得”=血，由两 点距离公式可得MN =也、NF = x/6,.\ S=-MN ・NF =JJx 点=也・2 2 2点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据MF 的中点E 在抛物线C 上， 确定M 点的坐标,再根据ZMVF 为直角，二血•万V = （l,2血-2/） = 0可得N 点的坐标, 由两点距离公式可得MN = *,NF = EU F £M N • NF =辱屁屁洋.8. 已知函数f （x ） = sin 血+acoss:,周期T<2兀,且在x= ^处取得最大值，则使得不等式用动2d 恒成立 实数兄的最小值为（)A. —B.C.D.迺 10 111213B（2）已知向量的坐标: V x 22+ y 22先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得（血卩二；■两 tan ——6⑪ 再根据/（f ） = 73,可得COS 名妇#=,②，通过①②求出d 的值，再根据三角函数的性3 6 认广+1 质可得e=i 次+ i, kwZ,求出I ^L …=H ,根据不等式川。
2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷(文科)(附答案详解)
2020年辽宁省辽南协作校高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,x2}，N={1,2}，若M∩N={2}，则M∪N=()A. {0,x2,1,2}B. {2,0,1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,−√2,√2,2}2.已知复数z满足(1−i)z=2，i为虚数单位，则z为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.设a⃗，b⃗ 是向量，则“a⃗⊥b⃗ ”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，则下列结论一定正确的是()A. l1⊥l3B. l1与l3既不垂直又不平行C. l1//l3D. l1与l3的位置关系不确定5.已知sinα−cosα=43，则sin2α=()A. −79B. −29C. 29D. 796.已知正三棱锥P一ABC，点P、A、B、C都在直径为√3的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则该正三棱锥的底面ABC的面积为()A. √32B. √64C. √3D. √627.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A. y=12x2B. y=−36x2C. y=12x2或y=−36x2D. y=112x2或y=−136x28.函数f(x)=e x+1|x|(e x−1)(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()A. B.C. D.)的部9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f(x)的图象()A. 向右平移π个单位3B. 向右平移π个单位6C. 向左平移π个单位3D. 向左平移π个单位610.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A. 20√6海里B. 40√6海里C. 20(1+√3)海里D. 40海里11.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 1−2πB. 12−1π C. 2π D. 1π12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B 为虚轴的一个端点，若在线段BF 上(不含端点)存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2=∠A 1P 2A 2=π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是( ) A. (1,√5+12)B. (1,√3+12)C. (0,√5+12)D. (32,√3+12) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，则z =x +y 的最小值为______．14. 我国古代数学名著《数术九章)有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．估计这批米内所夹的谷有______石．15. 考古学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收碳14，从而其体内的碳14含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收碳14，其体内的碳14含量就会逐渐减少，而且每经过大约5730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时碳14的含量为1，如果用y 表示该有机体死亡x 年后体内碳14的含量，则y 与x 的关系式可以表示为______． 16. 已知f(x)=x(e +lnx)，g(x)=13x 3+32x +m ，对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立，则m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =32a n −12a 1，且a 1=3．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2log 3a n −1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥．它连通了珠海、香港、澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹．截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录．2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如图．(1)求这100天中，客流量超过4万的频率；(2)①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图．估计客流量的平均数．②求客流量的中位数．19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1⊥平面CC1E；(2)求三棱锥V E−CBB的体积．120.已知椭圆C的标准方程是x26+y22=1设F是椭圆C的左焦点，T为直线x=−3上任意一点，过F做TF的垂线交椭圆C于点P，Q．(1)证明：线段OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)(2)当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．21.已知函数f(x)=cosx+xsinx+e x−ax(1)若函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与x轴平行，求实数a的值及函数f(x)在区间[−π2,π2]上的单调区间；(2)函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增，求实数a的范围．(已知f′(x)连续)22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的单位长度，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cosθ=0． (1)若α=π4，试判断曲线C 1和C 2的位置关系；(2)若曲线C 1与C 2交于点M ，N 两点，且P(3,0)，满足|PM|+|PN|=5|MN|.求sinα的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|2x +4|．(Ⅰ)解不等式：f(x)≥−3x +4；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为a ，且m +n =a(m >0,n >0)，求1m +1n 的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合M={0,x2}，N={1,2}，M∩N={2}，∴x2=2，∴M∪N={0,1,2}．故选：C．利用交集性质求出x2=2，由此能求出M∪N．本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(1−i)z=2，∴z=21−i =2(1+i)2=1+i，故选：A．由条件解得z=21−i ，把21−i的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.【答案】B【解析】解：“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”⇔a⃗⋅b⃗ =0⇔“a⃗⊥b⃗ ”.∴“a⃗⊥b⃗ ”是“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”的充要条件．故选：B．“|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |”⇔a⃗⋅b⃗ =0⇔“a⃗⊥b⃗ ”.即可判断出结论．本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，可得l1与l3平行、相交或为异面直线．则下列结论一定正确的是D．故选：D．空间中三条两两不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，画出图象，即可判断出结论．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和同角三角函数的平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα−cosα=43，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=169，∴sin2α=−79，故选A．6.【答案】A【解析】解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，∴以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线即为球的一条直径．∴(√3)2=PA2+PB2+PC2=3PA2⇒PA=PB=PC=1，三棱锥的底面边长为√2，该正三棱锥的底面ABC的面积为：√34×(√2)2=√32．故选：A．由正三棱锥P−ABC的四个顶点均在半径为√3的球面上，且PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的正方体的对角线，由此可求得棱锥的侧棱长，求出底面边长，然后求解底面面积．考查的知识点是棱锥的外接球及棱锥的结构特征，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA ，PB ，PC 为棱的正方体的对角线，是解答本题的关键．7.【答案】D【解析】解：当a >0时，开口向上，准线方程为y =−14a ，则点M 到准线的距离为3+14a =6，求得a =112，抛物线方程为y =112x 2，当a <0时，开口向下，准线方程为y =−14a ，点M 到准线的距离为|3+14a |=6解得a =−136，抛物线方程为y =−136x 2． 故选：D ．根据点M 到准线的距离为|3+14a |=6，分a >0和a <0两种情况分别求得a ，进而得到抛物线方程．本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数图象的判断，属于基础题． 利用函数的奇偶性和特殊值进行验证． 【解答】解：定义域为{x|x ≠0}，f(−x)=e −x +1|−x |(e −x −1)=e x +1|x |(1−e x )=−f (x )，f(x)为奇函数，排除A ，B ． 又当x >0时，f(x)=1x (1+2e x −1)，f(1)=1+2e−1>0， f(2)=12(1+2e 2−1)<12(1+2e−1)=12f (1)<f (1)，排除D ． 故选：C ．9.【答案】B【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f(x)的解析式．再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律，属于中档题．【解答】由函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象可得A=1，，∴ω=2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3．故函数的f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6).故把f(x)=sin2(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2x的图象，故选：B．10.【答案】A【解析】【分析】分别在△ACD和△BCD中利用正弦定理计算AD，BD，再在△ABD中利用余弦定理计算AB．本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【解答】解：连接AB，由题意可知CD=40，∠ADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°，∴∠CAD=45°，∠ADB=60°，在△ACD中，由正弦定理得ADsin30∘=40sin45∘，∴AD=20√2，在Rt△BCD中，∵∠BDC=45°，∠BCD=90°，∴BD=√2CD=40√2．在△ABD中，由余弦定理得AB=√800+3200−2×20√2×40√2×cos60°=20√6(海里)．故选：A．11.【答案】A【解析】解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S白=4π−16(π4−12)=8，设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则P(A)=1−S白S大圆=1−84π=1−2π，故选：A．由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白=4π−16(π4−12)=8，由几何概型中的面积型可得：则P(A)=1−S白S大圆=1−84π=1−2π，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意可设F(c,0)，B(0,b)，则直线BF的方程为bx+cy−bc=0，∵在线段BF上(不含端点)存在不同的两点P i(i=1,2)，使得∠A1P i A2=π2，∴线段BF与以A1A2为直径的圆相交，即√b2+c2<a，化为b2c2<a2(b2+c2)，又b2=c2−a2，即有a4+a2b2−b4>0，可得0<b2a2<1+√52，在线段BF上(不含端点)存在两个不同的点P i(i=1,2)，使得∠A1P i A2=π2，可得a<b，可得1<b 2a 2<1+√52，故选：A ．求出直线BF 的方程为bx +cy −bc =0，利用直线与圆的位置关系，结合a <b ，即可求出双曲线渐近线的斜率平方的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查渐近线的斜率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．13.【答案】0【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0，的可行域如图：目标函数z =x +y 结果可行域的B 点时，目标函数取得最小值，由{x =22x +y =2可得A(2,−2)，目标函数z =x +y 的最小值为：0． 故答案为：0．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．14.【答案】170【解析】 【分析】设这批米内所夹的谷有x 石，由等可能事件概率计算公式得x1530=28252，由此能估计这批米内所夹的谷的数量．本题考查米内所夹的谷数量的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒．设这批米内所夹的谷有x 石，则x 1530=28252， 解得x =170，∴估计这批米内所夹的谷有170石． 故答案为：170．15.【答案】y =(12)x 5730【解析】解：依题意可设y =(12)ax ， 当x =5730时，y =12，即有12=(12)5730a ， 解得a =15730，故答案为：y =((12)x5730．根据题意建立函数模型，利用条件，即可得出解析式 本题主要考查函数模型的应用，属于基础题．16.【答案】[23e √e −√e,+∞)【解析】解：f(x)≤g(x)，化为：m ≥x(e +lnx)−13x 3−32x ， 令ℎ(x)=x(e +lnx)−13x 3−32x ，x ∈[1,+∞)．对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立⇔m ≥ℎ(x)max ． ℎ′(x)=e +lnx +1−x 2−32=lnx −x 2+e −12．ℎ″(x)=1x −2x =−2(x 2−12)x<0，∴函数ℎ′(x)在x ∈[1,+∞)单调递减， ℎ′(1)=e −32>0，ℎ′(√e)=0，∴函数ℎ(x)在[1,√e)上单调递增，在(√e,+∞)上单调递减． ∴x =√e 时，函数ℎ(x)取得极大值即最大值，ℎ(√e)=23e √e −√e ． ∴m ≥23e √e −√e ．故答案为：[23e √e −√e,+∞)．f(x)≤g(x)，化为：m ≥x(e +lnx)−13x 3−32x ，令ℎ(x)=x(e +lnx)−13x 3−32x ，x ∈[1,+∞).对于∀x ∈[1,+∞)时都有f(x)≤g(x)恒成立⇔m ≥ℎ(x)max .利用导数研究其单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由S n =32a n −12a 1①，可得S n+1=32a n+1−12a 1②，由②−①可得a n+1=32a n+1−32a n ，即a n+1=3a n ． 又a 1=3，所以数列{a n }是首项、公比均为3的等比数列， ∴a n =3n ；(2)由(1)知a n =3n ，∵b n =2log 3a n −1a n，∴b n =2n−13n，∴T n =13+3×(13)2+5×(13)3+⋯+2n−13n③，13T n =(13)2+3×(13)3+⋯+(2n −3)(13)n +2n−13n+1④，由③−④可得23T n =13+2[(13)2+(13)3+⋯+(13)n ]−2n−13n+1=13+2×(13)2[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1=23−2+2n 3n+1，∴T n =1−1+n 3n．【解析】(1)由S n =32a n −12a 1①，可得S n+1=32a n+1−12a 1②，由②−①可得a n+1=3a n ，再由a 1=3可求得a n ；(2)根据(1)中求出的a n 可得b n =(2n −1)(13)n ，再利用错位相减法求出T n ．本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求通项公式及错位相减法求数列的和，属于基础题．18.【答案】解：(1)频率为0.4+0.05+0.05+0.05=0.55，(2)①平均数为：2.5×0.2+3.5×0.25+4.5×0.4+5.5×0.05+6.5×0.05+7.5×0.05=4.15；②设中位数为x ，则0.2+0.25+0.4(x −4)=0.5，解得中位数为x =4.125．【解析】(1)可以将符合题意得频率相加可得， (2)根据平均数，中位数的公式进行运算．本题考查频率直方图，以及平均数，中位数，属于中档题．19.【答案】(1)证明：四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点，可得EB1=√5，B1C1=√2，EC1=√3，则B1C12+EC12=EB12，∴B1C1⊥EC1，又∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BC，CC1⊥B1C1，而CC1∩EC1=C1，∴B1C1⊥平面CC1E；(2)解：∵AD=CD=1，∴AC=√2，即E到CC1的距离为√2，又CC1=AA1=2，∴S△CC1E =12×2×√2=√2．由(1)得B1C1⊥平面CC1E，∴V E−CBB1=V E−CC1B1=V B1−CC1E=13S△CC1E⋅B1C1=13×√2×√2=23．即三棱锥V E−CBB1的体积为23．【解析】(1)由已知求解三角形证明B1C1⊥EC1，再由AA1⊥平面ABCD，得CC1⊥B1C1，由直线与平面垂直的判定可得B1C1⊥平面CC1E；(2)由已知求出AC=√2，即E到CC1的距离为√2，再求出S△CC1E =12×2×√2=√2，由(1)得B1C1⊥平面CC1E，然后利用V E−CBB1=V E−CC1B1=V B1−CC1E即可求三棱锥V E−CBB1的体积．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意设T(−3,m)，椭圆的左焦点F(−2,0)，所以K FT=m−3+2=−m，所以k PQ=1m，设直线PQ的直线方程为：y=1m(x+2)，即x=my−2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设PQ的中点M，将直线PQ与椭圆的方程联立{x=my−2x26+y22=1整理可得：(3+m2)y2−4my−2=0，y1+y2=4m3+m2，x1+x2=m(y1+y2)−4=−123+m2，所以中点M(−63+m2,2m3+m2)，因为k OT=m−3=−m3，k OM=2m3+m2−63+m2=−m3，所以k OT=k OM，所以线段OT平分线段PQ．(2)由(1)可得：|PQ|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=√1+m2⋅√16m2(3+m2)2−4⋅−23+m2=2√6(1+m2)3+m2，而|FT|=√m2+(−3+2)2=√1+m2，所以|FT||PQ|=22√6√1+m2=2√62+(√1+m2)2√1+m2，令t=√1+m2≥1，所以2+t2t =2t+t≥2√2，当且仅当t=√2时取等号，即m=±1，所以|FT||PQ|≥√22√6=√33，这时T(−3,1)或(−3,−1)．【解析】(1)设T的坐标，可得直线TF的斜率，由题意可得直线PQ的斜率，进而求出直线PQ的方程，将直线PQ与椭圆联立求出两根之和，进而求出PQ的中点坐标，求出直线OT，OM的斜率可得斜率相等可得线段OT平分线段PQ；(2)由(1)得|PQ|的长，|TF|的长，求出|TF||PQ|，换元，由均值不等式可得|TF||PQ|最小值，同时求出T的坐标本题考查直线与椭圆的综合及换元法的应用和均值不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=cosx+xsinx+e x−ax，∴f′(x)=−sinx+sinx+xcosx+e x−a=xcosx+e x−a，∴f′(0)=e0−a=0，解得a=1，∴f′(x)=xcosx+e x−1，∵x∈[−π2,π2 ]，∴当x∈[−π2,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(0,π2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；即函数f(x)的递减区间为[−π2,0)，递增区间为(0,π2]； (2)∵函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增， ∴f′(x)=xcosx +e x −a ≥0， ∴a ≤xcosx +e x ≤x +e x ，又y =x +e x 在x ∈(0,π2)上单调递增，当x =0时，y =1， ∴a ≤1．即实数a 的范围为(−∞,1]．【解析】(1)由f′(x)=xcosx +e x −a ，可得f′(0)=e 0−a =0，解得a =1，于是f′(x)=xcosx +e x −1，分x ∈[−π2,0)与x ∈(0,π2]两类讨论，即可求得f(x)的单调递增区间与递减区间；(2)函数f(x)在区间(0,π2)上单调递增⇒f′(x)=xcosx +e x −a ≥0，分离参数a ，可得a ≤xcosx +e x ≤x +e x ，利用y =x +e x 在x ∈(0,π2)上单调递增，即可求得实数a 的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数来求曲线某点的切线方程，考查分类讨论思想与等价转化思想的运用，考查分离参数法与放缩法的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当α=π4，所以曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)转换为{x =3+tcos π4y =tsin π4，转换为直角坐标方程为x −y −3=0． 曲线C 2的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.转换为直角坐标方程为x 2+y 2+2x =0，转换为(x +1)2+y 2=1，所以圆心(−1,0)到直线的距离d =√2=2√2>1， 所以曲线C 1和C 2的位置关系为相离．(2)将曲线C 1的参数方程为{x =3+tcosαy =tsinα(t 为参数，0≤α<π)，代入x 2+y 2+2x =0，整理得t 2+8tcosθ+15=0， 所以t 1+t 2=−8cosθ，t 1t 2=15． 由于满足|PM|+|PN|=5|MN|．所以|t 1+t 2|=5|t 1−t 2|，整理得24(−8cosθ)2=100×15． 所以cos 2θ=125128， 所以sinθ=√616．【解析】(1)利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，进一步判定曲线间的位置关系．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x −2|+|2x +4|={−3x −2,x <−2x +6,−2≤x ≤23x +2,x >2可得当x <−2时，−3x −2≥−3x +4，即−2≥4，所以无解； 当−2≤x ≤2时，x +6≥−3x +4，得x ≥−12，可得−12≤x ≤2； 当x >2时，3x +2≥−3x +4，得x ≥13，可得x >2． ∴不等式的解集为{x|x ≥−12}． (Ⅱ)根据函数f(x)={−3x −2,x <−2x +6,−2≤x ≤23x +2,x >2可知当x =−2时，函数取得最小值f(−2)=4，可知a =4， ∵m +n =4，m >0，n >0， ∴1m+1n=14(m +n)(1m+1n)=14(1+1+n m+m n)≥14(2+2)=1．当且仅当nm =mn ，即m =n =2时，取“=”． ∴1m +1n 的最小值为1．【解析】本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．(Ⅰ)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出a的值，根据m+n=4以及基本不等式的性质求出代数式的值即可．。
2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题(解析版)
2021届辽宁省抚顺市六校协作体高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{|10}M x x =->，{}2|10N x x =<，则M N =( )A ．{|x x >B ．{|110}x x <<C ．{|x x >D ．{|1x x <<【答案】D【分析】先化简集合M 和集合N ，再对M ，N 求交集得解.【详解】因为{|1}M x x =>，{|N x x =<，所以{|1M N x x ⋂=<<．故选：D2．已知z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，则21zz =-（ ） A ．3i + B ．13i -C ．1i -D ．2i -【答案】A【分析】由题意知2z i =-，进一步求出答案.【详解】由题意知2z i =-，所以()()()()()22221231111i i i z i z i i i --+===+---+． 故选：A.3．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（ ） A ．20家 B ．10家C ．15家D ．25家【答案】A【分析】确定抽样比，即可得到结果.【详解】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检10027202010015⨯=++（家）. 故选：A.4．已知抛物线2:(0)C y mx m =>上的点(,2)A a 到其准线的距离为4，则m =（ ）A ．14B ．8C ．18D ．4【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定2p的值，再根据焦半径公式求解. 【详解】21x y m=，()0m >， 因为点(,2)A a 到C 的准线的距离为4，所以1244m+=，得18m =．故选：C5．《周牌算经》是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体的影子长度增加和减少的大小相同)，二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则立秋晷长为（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸【答案】D【分析】首先根据题意转化为等差数列，根据等差数列的项求通项公式，再求项. 【详解】设从夏至到冬至，每个节气晷长为n a ，即夏至时晷长为115a =，冬至时晷长为13135a =，由每个节气晷长损益相同可知，1n n a a +-=常数，所以{}n a 为等差数列，设公差为d ，由题意知，131121512135a a d d =+=+=，解得10d =，则413153045a a d =+=+=，四十五寸即四尺五寸.故选：D6．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式0lnMv v m=⋅计算火箭的最大速度()m/s v ，其中()0m/s v 是喷流相对速度，()kg m 是火箭（除推进剂外）的质量，()M kg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s ，当总质比为500时，A 型火箭的最大速度约为（lg 0.434e ≈，lg 20.301≈）（ ） A ．4890m/s B ．5790m/sC ．6219m/sD ．6825m/s【答案】C【分析】根据题意把数据代入已知函数可得答案. 【详解】0lg5003lg 2ln 1000ln 500100010006219/lg lg M v v m s m e e-==⨯=⨯=⨯≈． 故选：C.7．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（ ）A ．BC ．2D 【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得c =，由此求得双曲线的离心率.【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =， 因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =， 因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos aOF Pc， 在12F F P 中，22212223cos cos 22a c a a F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率==ce a. 故选：B8．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则（ ） A ．12p p = B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能 【答案】B【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小. 【详解】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选：B.【点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率.二、多选题 9．在3nx⎛-⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（ ） A ．二项式系数和为64 B ．各项系数和为64 C ．常数项为135- D ．常数项为135【答案】ABD【分析】先根据题意，分别对四个选项一一验证： 求出n =6，得到二项展开式的通项公式， 对于A: 二项式系数和为2n ,可得；对于B:赋值法，令1x =，可得；对于C 、D:利用二项展开式的通项公式，可得.【详解】在3nx⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令1x =，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则22128n ⨯=，得6n =，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A 、B 正确；63x⎛- ⎝展开式的通项为()()366h k62166C 3C 13kk k k k k T x x ---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝， 令3602k -=，得4k =，因此，展开式中的常数项为()44256C 13135T =⋅-⋅=． 故D 正确. 故选：ABD.【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 10．已知函数()22ln f x a x x b =++.（ ）A ．当1a =-时，()f x 的极小值点为()1,1b +B ．若()f x 在[)1,+∞上单调递增，则[)1,a ∈-+∞ C ．若()f x 在定义域内不单调，则(),0a ∈-∞ D ．若32a =-且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与曲线x y e =-相切，则2b =- 【答案】BC【分析】A 选项用极值点的概念进行判断，B 选项由()'0f x ≥利用分离常数法来判断，C 选项结合()'fx 以及对a 进行分类讨论来进行判断，D 选项通过曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程求得b 来进行判断.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()2'2222a x af x x x x+=+=. 根据极值点定义可知，极小值点不是坐标，A 错误； 由()220af x x x'=+≥得2≥-a x ， 因为1≥x ，所以1a ≥-，B 正确；因为()22222a a x f x x x x+'=+=， 当0a ≥时，()0f x '>恒成立，当0a <时，()0f x '>不恒成立，函数不单调，C 正确；32a =-，()232f x x x'=-+，所以()11f '=-，()11f b =+，所以切线方程为()()11y b x -+=--，即2y x b =-++， 设切点横坐标为0x ，则01x e -=-，故00x =，切点()0,1-，代入2y x b =-++得3b =-，D 错误. 故选：BC【点睛】与单调性有关的恒成立问题，可利用分离常数法来进行求解.11．如图，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，下列说法正确的有（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥P BCD -四个面都是直角三角形C ．PD 与BC 3D ．过BC 的平面与PD 交于M ，则MBC △21 【答案】ABD【分析】先根据勾股定理判断BD CD ⊥，再由面面垂直得线线垂直，可判断AB ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算线线角判断C ，由点M 到BC 的距离222733477MB BC d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断D. 【详解】BCD △中，1CD =，2BC =，60A ∠=︒， 由余弦定理可得3BD =，故222BD CD BC +=， 所以BD CD ⊥，因为平面PBD ⊥平面BCD 且平面PBD 平面BCD BD =，所以CD ⊥平面PBD ，CD PD ⊥； 同理PB ⊥平面CBD ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面BPD ，A ，B 正确； 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,1,0C ，()3,0,1P，因为()3,0,1DP =，()3,1,0BC =-，所以3cos ,4BC DPBC DP BC DP ⋅==-，即PD 与BC 所成角的余弦值为34，C 错误；因为M 在线段PD 上，设()3,0,M a a ，则()33,0,MB a a =--，所以点M 到BC 的距离2222733733424477MB BC a a d MB a BC ⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪=-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当37a =时，d 取得最小值217，此时MBC △面积取得最小值12121277BC ⨯=，D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题中D 较难，解题的关键是利用空间向量计算点线距，利用的22MB BC d MB BC ⎛⎫⋅⎪=- ⎪⎝⎭，进而坐标化得最值. 12．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+(0,0)a ω>>，若()f x 的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．若06x π=-，则a =C．若022f x π⎫⎛-= ⎪⎝⎭，则a =D ．若()()2|()|g x f x f x =-在003,4x x πθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，则324ππθ≤< 【答案】BCD【分析】化简函数，由最小正周期求得参数ω，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x a x x x ωωω=-+sin2cos2)ax x x ωωωϕ=-=-，其中cos ϕ=sin ϕ=．因为()f x 的最小正周期为π，所以1ω=，故A 错误．因为对任意的x ∈R ，()0()f x f x ≥恒成立，以()0f x 是()f x 的最小值． 若06x π=-，则22()62k k ππϕπ⎫⎛⨯--=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，2()6kk πϕπ=-∈Z ．所以cos 2ϕ==，a =B 正确． 因为()0f x 是()f x 的最小值，所以02f x π⎫⎛-⎪⎝⎭2=，所以a =C 正确．因为当003,42x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ． 因为()f x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递增，所以()g x 在003,42x x ππ⎛⎫- ⎝-⎪⎭上单调递减．当00,24x x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以()()=-g x f x ．因为()f x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在00,24x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以000342x x x ππθ-<-≤-，所以324ππθ≤<，故D 正确． 故选：BCD三、填空题13．已知单位向量a ，b 满足|2|3a b -=，则a 与b 的夹角为________． 【答案】3π（或写成60︒）【分析】将等式|2|3a b -=两边平方即可. 【详解】因为222|2|443a b a a b b -=-⋅+=， 所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b 〈〉=，[],0π,3a b a b π∈=，，．故答案为：3π.14．函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量c a b =+，而c 所对应的函数值()f c 可以通过()()()f c f a f b =⋅得到，并且对另一个量d ，若d c >，则都可以得到()()f d f c >.根据自己所学的知识写出一个能够反映()f c 与c 的函数关系式：_________.【答案】()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.【分析】若()2x f x =，得f （c ）2c =，满足f （c ）f =（a ）f ⋅（b ），且()2x f x =在R 上是增函数，满足题意，所以单调递增的指数函数都可以．【详解】解：若()2xf x =，得()2c f c =，()()222a b a bf a f b +⋅=⋅=，而()()()f c f a f b =⋅，即22c a b +=，则c a b =+成立①， 又由()2xf x =在R 上是增函数，而d c >，则()()f d f c >成立②，结合①②()f c 与c 的函数关系式为：()2cf c =.故答案为：()2cf c =（单调递增的指数函数都可以）.15．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是______.①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为④三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”【答案】①②③【分析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，然后结合长方体的性质分别检验各选项即可判断．【详解】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b x z c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩， 故22222a c b x +-=，22222a b c y +-=，22222b c a z +-=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a =，6b =，7c =，则x =y =z ， 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积1114323xyz xyz xyz -⨯⨯==③正确； 三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径2R ④错误.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：对棱相等的四面体可以内接于长方体，借助长方体的性质处理问题降低了思维量.四、双空题16．直线()():213430l a x a y a -+-+-=与圆()2229x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为_________；此时a =_________.【答案】2743. 【分析】判断出直线l 恒过定点()1,1，根据圆的几何性质求得弦长AB 的最小值，进而求得a 的值.【详解】∵直线()():213430l a x a y a -+-+-=恒过定点()1,1， ∴当圆心与点()1,1的连线与直线AB 垂直时，弦长AB 最小， ∵圆心()2,0与点()1,1()()2221012-+-=3，∴弦长AB 的最小值为29227-=∵圆心()2,0与点()1,1连线的斜率为10112-=--，∴此时直线l 的斜率为1， 由2113a a --=-，解得43a =. 故答案为：2743五、解答题17．a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边.已知3sin a b A =，3a =，32c =.（1）若b c <，求b ； （2）求cos 2C .【答案】（1）b =（2）13-或4751. 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得sin B ，然后求得cos B ，利用余弦定理求得b .（2）由（1）求得cos B =，由此进行分类讨论，求得cos C 的值，进而求得cos 2C 的hi.【详解】（1）因为3sin a b A =， 所以sin 3sin sin A B A =， 因为sin 0A >，所以1sin 3B =，因为b c <，所以B C <，所以B 为锐角，可得cos B =，由余弦定理可得b =（2）由（1）可知，cos B =，当cos 3B =时，b =222cos 23a b c C ab +-==-，可得21cos 22cos 13C C =-=-；当cos 3B =-时，b 222cos2a b c C ab +-==可得247cos 22cos 151C C =-=. 【点睛】利用同角三角函数的基本关系式求值时，要注意可能有两个解.18．为了解华人社区对接种新冠疫苗的态度，美中亚裔健康协会日前通过社交媒体，进行了小规模的社区调查，结果显示，多达73.4%的华人受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了某地200人进行调查，得到统计数据如下：（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，设得分结果总和为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）60，20，40，80，有；（2）分布列见解析，554. 【分析】（1）根据所给数据补全未知量，再代入公式，根据所得结果比对数据表，即可得解；（2）求出得分结果总和X 的所有可能，然后求出对应的概率，利用期望公式直接求解即可.【详解】（1）由题意得：20016040m =-=，2020y m =-=，16010060x =-=，602080n x y =+=+=，因为()2220010********* 2.083 2.072160401208012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有85%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出8人，可知8人中无疲乏症状的有6人，有疲乏症状的有2人，再从8人中随机抽取3人，当这3人中恰有2人有疲乏症状时，10X =；当这3人中恰有1人有疲乏症状时，13X =；当这3人中没有人有疲乏症状时，16X =.因为()21263831028C C P X C ===；()122638151328C C P X C ===；()03263851614C C P X C ===.所以X 的分布列如下：期望()1013162828144E X =⨯+⨯+⨯=. 19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11321n n n a a a +--+=，11a =，24a =． （1）证明：数列{}11n n a a +-+是等比数列； （2）求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）225242n n n nS ++=--．【分析】（1）由11321n n n a a a +--+=可得()1121n n n n a a a a +--=-+，等式两边同时加1，即可证明结论；（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得1112n n n a a ++-+=，即1112n n n a a ++-=-，再利用累加法求出n a ，然后利用分组求法求出n S 【详解】（1）证明：因为11321n n n a a a +--+=， 所以()1121n n n n a a a a +--=-+，即11121n n n n a a a a +--+=-+． 因为11a =，24a =，所以2114a a -+=，故数列{}11n n a a +-+是首项为4，公比为2的等比数列． （2）解：由（1）知1112n n n a a ++-+=．因为()()112n n n n n a a a a a ---=-+-()211a a a +⋅⋅⋅+-+()23222(1)1n n =++⋅⋅⋅+--+，所以122n n a n +=--．所以()231222(12)2n n S n n +=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()412(1)2122n n n n -+=---，故225242n n n n S ++=--．【点睛】关键点点睛：此题考查了数列递推关系，等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查计算能力，第（2）问解题的关键是由（1）得1112n n n a a ++-+=，再利用累加法求出通项公式，然后利用等比数列和等差数列的求和公式可求出n S ，属于中档题20．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 是BB 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝2FB ，设直线BD 1、DE 相交于点G ．（1）证明：GF ∥平面A 1A 1D 1D ． （2）求二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）53【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，根据比例关系，证明1//FG AD ，即可证明；（2）以点C 为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面DCE 和平面CED 1的法向量m 和n ，利用法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接AD 1，因为点E 是BB 1的中点，所以DD 1＝2BE ，所以BG ＝3BD 1，因为AF ＝2FB ，所以BF ＝3BA ，所以FG ∥AD 1，又因为AD 1⊂平面A 1A 1D 1D ，FG ⊄平面A 1A 1D 1D ， 所以GF ∥平面A 1A 1D 1D ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，CE ＝（0，1，12），CD ＝（1，0，0），1CD ＝（1，0，1）， 设平面DCE 和平面CED 1的法向量分别为m ＝（x ，y ，z ），n ＝（u ，v ，w ），1020CE m y z CD m x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令z ＝2，m ＝（0，﹣1，2）， 11020CE n v w CD n u w ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令w ＝2，n ＝（﹣2，﹣1，2）， 因为二面角D ﹣CE ﹣D 1为锐角， 所以二面角D ﹣CE ﹣D 1的余弦值为||55||||353m n m n ⋅==⋅⋅．【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 21．已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈，()21g x x x x =--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，且曲线()y F x =在12x x x =()y G x =，求使不等式()()F x G x <成立的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2a ⎛ ⎝. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，进而确定函数的单调性；（2）先对()F x 求导，然后结合极值存在条件可转化为()0F x '=有两个不等正实数解，结合二次方程根的存在条件及方程的根与系数关系及导数几何意义求出切线方程，构造函数()()()h x F x G x =-，结合导数与单调性关系进而可求． 【详解】解：（1）()21-='ax f x x ， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 当0a >时，易得当1x a >时，()0f x '>，当10x a<<时，()0f x '<，故()f x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， （2）()()()2ln F x f x g x a x x x =+=+-，所以()2221a x x aF x x x x-+'=+-=，0x >，因为()()()F x f x g x =+存在两个极值点1x ，2x ，所以()220x x aF x x-+'==有两个不等正实数解，即220x x a -+=有两个不等式正根，所以18002a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得108a <<， 因为122a x x =，x ==所以1F '=-，ln 222a a a F =+所以曲线()y F x =在x =()ln 1222a a a y x ⎛⎛-+=- ⎝⎝， 即()()31ln 222a a a G x y x ==-+-， 令()()()23ln ln 222a a a h x F x G x x a x =-=+-+-， ()20h x x'==>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，且0h =，故当0x <<()0h x <，即()()F x G x <， 故x的范围⎛ ⎝. 【点睛】关键点点睛：解不等式比较常用的方法是构造新函数，研究函数的单调性，明确函数的零点，即可明确不等式何时成立.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(c,0)F ，离心率12e =．（1）若P 为椭圆C 上一动点，证明P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设1c =，过定点(0,)c 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；定值12；（2）存在；(0,3)Q ． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据1c =求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点()00,P x y ，则2200221x y a b+=．因为||PF ===0c a x a=-， 点P 到直线2a x c =的距离20a d x c=-，所以20||12c a x PF c a e a d a x c-====-， 即P 到F 的距离与P 到直线2a x c=的距离之比为定值12．（2）因为1c =，12e =，所以2a =，b =C 的方程为22143x y +=．假设存在这样的一点Q ，设(0,)Q t ，直线:1l y kx =+，联立方程组221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2234880k x kx ++-=，()296210k ∆=+>． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834k x x k -+=+，122834x x k-=+．因为y 轴平分MQN ∠，所以直线QM 与QN 的斜率互为相反数， 即121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==，所以22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k ----===++，因为8(3)0k t -=与k 无关，所以3t =．故在y 轴上存在一点(0,3)Q ，使得y 轴始终平分MQN ∠．【点睛】关键点睛：由y 轴平分MQN ∠，得到直线QM 与QN 的斜率互为相反数，这是解题的关键.。
2021年辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市高三一模数学(理)试题
（Ⅰ）讨论 在 上的单调性；
（Ⅱ）设 ，若 的最大值为0，求 的值；
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 与曲线 交于P，Q两点，求 的值.
23．已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．
∵a5+a7＝8，
∴a4（a6+2a8）+a3a11＝82＝64.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题.
8．A
【分析】
A．1B． C．2D．3
4．数据5，7，7，8，10，11的中位数和标准差分别为（）
A．中位数为7，标准差为2B．中位数为7，标准差为4
C．中位数为7.5，标准差为4D．中位数为7.5，标准差为2
5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是（）
A． B．
C． ∥ D． ∥
5．C
【分析】
A.用垂直同一直线的两平面平行判断.B.面面关系的定义判断.C.面面垂直的判定定理判断.D.用垂直同一直线的两平面平行判断.
【详解】
A. ，则 ，故错误.
B. ， 可以平行，故错误.
C. ∥ ，得 ，故正确.
D. ∥ ，则 ，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查充分必要条件以及线面，面面关系，还考查了空间想象理解辨析的能力，属于基础题.
【最新】辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市高三一模数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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辽宁省六校协作体2020-2021学年高三第一次联考
数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. “”是“”成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
2. 函数的零点所在区间为（）
A．B．C．D．
3. 某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（）
A．18种B．24种C．36种D．48种
4. 若，使得成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．
5. 已知，则的值为（）
C．D．
A．
B．
6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）
A．B．
C．D．
7. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知
得
3 4 5 6 7 8 9 10
分
频
2 3 10 6 3 2 2 2
数
设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（）
A．B．C．D．
8. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，
在上单调递增，则（）
A．B．
C．D．
二、多选题
9. 设全集，集合，集合
，则（）
A．B．
C．D．
10. 已知函数的图象的一个最高点为
，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）
B．的一个单调递增区间为
A．为偶函数
C．为奇函数
D．在上只有一个零点
11. 下列说法正确的是（）
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够
成三角形的概率为；
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D．设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与
发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
12. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（）
A．是的一个“完美区间”
B．是的一个“完美区间”
C．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D．的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
三、填空题
13. 已知随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ＜2）＝0.3，则P （2＜ξ＜6）＝_____．
14. 的展开式中的系数为__________.
15. 若是函数的极值点，则的极小值为
_________ ．
四、双空题
16. 已知函数①若，则不等式的解集为
__________.②若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是__________.
五、解答题
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3），，解关于x的不等式．
19. 江苏实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生
的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选
地理的概率为．
（1）求该校最终选地理的学生概率；
（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量．
①求随机变量的概率；
②求的概率分布列以及数学期望．
20. 已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g （x）在区间上的值域．
质量指标值M
等级三等品二等品一等品
进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的
估计值（精确到0.01）
22. 已知函数，，其中，为自然对数的底数.
（1）求函数的最小值；
（2）若对于任意的，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围.。