人教版数学高一-平面向量的数乘向量同步学案

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【教案】向量的数乘运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3向量的数乘运算一、内容和内容解析内容：向量的数乘运算．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容．实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义.（2）了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质．目标解析：（1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义．学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.（2）学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的数乘运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：与物理中的矢量对比，从大小和方向两个角度分析.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：数形结合，借助图象加强理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量数乘运算的法则，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过问题串的形式引导学生分析问题，解决问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情景引入新知[问题1]实数运算,x+x+x=3x,思考→→→+ +aaa能否写成→a3呢?1.创设情境，生成问题夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．2.探索交流，解决问题教师1：提出问题1．学生1：学生思考．可以,即3a a a a++=.问题引入：通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定[问题2]→a3与→a的方向有什么关系?→a3-与→a的方向呢?[问题3]按照向量加法的三角形法则,若→a为非零向量,那么→a3的长度与→a的长度有何关系.[问题4]实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a ,若把实数a,b换成向量→a,→b,上式是否仍成立?教师2：提出问题2．学生2：→a3与→a的方向相同,→a3-与→a的方向相反.教师3：提出问题3．学生3：→a3的长度是→a的长度的3倍,即若|→a|=λ,则|→a3|=3λ.教师4：提出问题4．学生4：成立,向量同样满足分配律、结合律.理.明确概念，理解定理[问题5]阅读课本，回答以下问题：（1）向量的数乘运算定义；（2）它的大小和方向如何确定？（3）数乘的运算律有哪些？教师5：提出问题5．学生5：定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.学生6：规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.学生7：运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.教师6：我们把向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从【练习1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则( ) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|C．a与b的方向相同D．a与b的方向相反【练习2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8b[问题6] a＝λb⇒a与b共线，对吗？[问题7]若a与b共线，一定有a＝λb吗？[问题8]若两个非零向量→a,→b共线,是否一定存在实数λ使得→b=→aλ?教师6：完成【练习】学生8：第一题答案：C∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．学生9：第二题答案D教师6：提出问题6．学生10：对．教师7：提出问题7．学生11：不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.教师8：提出问题8．学生12：一定存在,且是唯一的.教师9：向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养.典例探究落实巩固1.向量的线性运算例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．2.向量共线定理及其应用例2.已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果AB→＝e1+e2，BC→＝2e1+8e2，CD→＝3(e1-e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．教师10：完成例1．学生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]＝12(3a－23a＋2b－b)－76(12a＋12a＋37b)＝12(73a＋b)－76(a＋37b)＝76a＋12b－76a－12b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.教师11：小结：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.教师12：完成例2．学生14：(1)证明：因为AB→＝e1＋e2，BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.所以AB→，BD→共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k－λ＝0，λk－1＝0，所以k＝±1.教师13：完成例3．学生15：因为AB→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，所以AB→例1：巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．例2：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．例3.如图，ABCD 是一个梯形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知 AB →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量AC →,MN →.[课堂练习1]已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________． [课堂练习2]如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =.（1）用AB ，AD 表示DC ；（2）若2AE EB =，34DP DE =，用AB ，AD 表示AP .＝2DC →，DC →＝12AB →.(1)AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2.教师18：布置课堂练习1、2．学生16：完成课堂练习，并核对答案．1. 答案：－13由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.2.（1）因为DC DA AB BC =++，所以1122DC DA AB AD AB AD =++=-；（2）因为14AP AE EP AE DE =+=- ()14AE AE AD=--，所以3132144434AP AE AD AB AD =+=⋅+ 1124AB AD =+.课堂练习1：让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．课堂练习2：利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2b B．－2bC．0D．b－a2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若AB→＝a，AC→＝b，则AM→等于教师19：提出问题9．学生17：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.C 3.D 4.－2师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深( )A.12(a －b ) B.－12(a －b )C.12(a ＋b ) D.－12(a ＋b )3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( ) A ．12AB →＋12AD →B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D ．12AB →－12AD →4.已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

高中数学第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.4

2.1.4数乘向量
一、【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。

二、【重点难点】
重点：数乘向量的定义、运算律；
难点：正确的运用法则、运算律，进行向量的线性运算.
三、【学习目标】
1、理解并掌握数乘向量的定义及数乘运算的满足的运算律；
2、正确运用法则、运算率，进行向量的线性运算；
四、自主学习
1、数乘向量的定义及其几何意义：
2、数乘向量运算满足的运算律：
例1、计算下列各式：
（1）2
1)2(⨯
-；（2）)(3)(2--+；（3）))(())((+---+μλλμ
例2设是未知向量，解方程0)(3)(5=-++b x a x .
例3如图所示，已知A O =OA 3，B A ''=AB 3，说明向量OB 与B O 的关系.
B '
O A A '
五、合作探究
1、化简下列各式：
（1）)23(5)32(4-+- （2）)32(3)43(2-+-+-
（3）b 4
1)25(612(41+--+
2、求未知向量x ：
（1）)(2=++ （2）3)(4=-+
（3）0)3(2
1)31(2=++---
b c x b a x
3、在ABC ∆中，设D 为边BC 的终点，求证：
（1）)(2
1+=；（2）223=++
六、总结升华
1、知识与方法：
2、数学思想及方法：。

人教版高中数学高一A版必修4学案向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题导学一、向量数乘的基本运算活动与探究1计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a ．迁移与应用化简：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．二、向量的共线问题活动与探究2已知向量e 1和e 2不共线．(1)若AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1＋8e 2，CD ＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．迁移与应用1．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2．若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．2．如图，已知AD ＝3AB ，DE ＝3BC ，试判断AC 与AE 是否共线．共线向量定理是判断两个向量是否共线的依据，即对于非零向量a ，b ，a ∥b 是否成立，关键是能否确定唯一的实数λ，使b ＝λa ．而对于三点共线问题可转化为两个向量共线问题，再依据定理进行解决：要证A ，B ，C 三点共线，只需证AB ＝λAC (λ∈R )或AB ＝λBC (λ∈R )；要证AB ∥CD ，只需证AB ＝λCD (λ∈R )．三、向量的线性运算活动与探究3如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA =a ，OB =b ，用a ，b 表示向量OC ，DC ．迁移与应用在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF 等于( )A ．14a ＋12bB ．23a ＋13b C ．12a ＋14b D ．13a ＋23b用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解．当堂检测1．下列计算正确的有( )①(－7)×6a ＝－42a ；②a －2b ＋(2a ＋2b )＝3a ；③a ＋b －(a ＋b )＝0．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知λ，μ∈R ，则下面关系正确的是( )A ．λa 与a 同向B ．0·a ＝0C ．(λ＋μ)a ＝λa ＋μ aD ．若b ＝λa ，则|b |＝λ|a |3．已知向量a ，b ，且AB ＝a ＋2b ，BC ＝－5a ＋6b ，CD ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知e 是任一向量，a ＝－2e ，b ＝5e ，用a 表示b ，其结果是__________．5．点C 在直线AB 上，且AC ＝3AB ，则BC ＝__________AB ．答案：课前预习导学【预习导引】1．向量向量的数乘 λa (1)|λ||a | (2)相同相反 0预习交流1 提示：1．从代数角度来看，(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量；(2)λa ＝0的条件是a ＝0或λ＝0．2．从几何的角度来看，对于向量的长度而言，(1)当|λ|＞1时，有|λa |＞|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|λ|倍；(2)当0＜|λ|＜1时，有|λa |＜|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|λ|倍．2．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb3．唯一一个 b ＝λa预习交流2 提示：定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ．4．(1)加、减、数乘运算 (2)λμ1a ±λμ2b课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可综合运用向量数乘的运算律求解．解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a ；(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0； (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c ．迁移与应用解：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ；(2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b ．活动与探究2 思路分析：对于(1)，欲证明A ，B ，D 三点共线，只需证明存在λ，使BD ＝λAB 即可．对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．解：(1)∵AB ＝e 1＋e 2，BD ＝BC ＋CD ＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB ， ∴AB ，BD 共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2．由于e 1与e 2不共线，只能有0,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩则k ＝±1．迁移与应用 1．解：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴2,1,k λλ=⎧⎨=-⎩∴k ＝－2． 2．解：∵AE ＝AD ＋DE ＝3AB ＋3BC＝3(AB ＋BC )＝3AC ，∴AC 与AE 共线．活动与探究3 思路分析：解题的关键是建立OC ，DC 与a ，b 的联系，为此需要利用向量加、减、数乘运算．解：∵AC ＝BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ＝12(OB ＋OC )，∴OC ＝2OA －OB ＝2a －b ． ∴DC ＝OC －OD ＝OC －23OB ＝2a －b －23b ＝2a －53b ．迁移与应用 B解析：易知△DFE ∽△BAE ，又∵E 是OD 中点，∴DF ＝13DC ，AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13DC ＝(AO ＋OD )＋13(OC －OD ) ＝12AC ＋12BD ＋131122AC BD ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23AC ＋13BD ＝23a ＋13b ．【当堂检测】1．C 解析：a ＋b －(a ＋b )＝0，故③错误，①②正确． 2．C 解析：当a ≠0，λ＜0时，λa 与a 反向，且λ|a |＜0，则A ，D 错误．又∵0·a 的结果为0，则B 错误．由运算律知C 正确．3．A 解析：∵BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋4b ＝2AB ，且有一个公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．4．b ＝－52a 解析：由a ＝－2e ，得e ＝－12a ，代入b ＝5e ，可得b ＝－52a ． 5．2 解析：BC ＝AC －AB ＝3AB －AB ＝2AB ．。

6.2.3向量的数乘-新教材2021-2021学年高一数学人教A必修第二册同步高效学案

6.2.3 向量的数乘1．数乘向量(1)定义：一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：(i)当λ＞0时，与a的方向相同；(ii)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.上述实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量．(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(3)运算律：设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？[提示](1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．1．下列各式中不表示向量的是()A．0·a B．a＋3bC．|3a| D.1x ye(x，y∈R，且x≠y)C[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．]2．(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2b B．－2bC．0 D．b－aB[原式＝2a－2a－b－b＝－2b.]3．4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a－2b B．aC．a－6b D．a－8bD[4(a－b)－3(a＋b)－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]4．已知向量a＝2e，b＝－e，则a＝________b.－2[a＝2e＝－2(－e)＝－2b.]【例1】(1)．(2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.①用BC表示AB；②用CB表示AC.[思路探究]根据数乘向量的定义运算求解．(1)x>12由定义可知，2x－1>0，即x>12.(2)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.①如图b，向量AB与BC方向相同，所以AB＝2BC；②如图c，向量AC与CB方向相反，所以AC＝－3CB.【规律方法】对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；λ＝0时，λa＝0.提醒：当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.1．设a是非零向量，λ是非零实数，判断下列说法是否正确．(1)a与λa的方向相反；(2)|－λa|＝a；(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ||a|.[解]由已知可得(1)若λ<0，则a与－λa的方向相同，故(1)错误；(2)实数与向量不能比较大小，故(2)错误；(3)a与λ2a方向相同，故(3)正确；(4)|－2λa|＝2|λ||a|正确.(1)a＝0，则λa＝0.()(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．()(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．()(1)√(2)√(3)√[(1)正确．(2)正确．(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．]2．化简：11(28)(42)32a b a b⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦的结果是()A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a－bB原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(6b－3a)＝2b－a.]3．O为平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1＝________.OD(或BO)[设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝BE BF BO OD+==.4．化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2) 16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．[解析](1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘课堂导学案

2.1.4 向量数乘课堂导学三点剖析一、向量数乘的概念及几何意义 1.对向量数乘定义的理解注意:①λa 中的实数,叫做向量a 的系数.②关于对向量数乘λa 的理解:我们可以把向量a 的长度扩大(当|λ|>1)时,也可以缩小(当|λ|<1时),同时可以不改变向量a 的方向(当λ>0时),也可以改变向量a 的方向(当λ<0时).③向量数乘的特殊情况:当λ=0时,λa =0,而λ≠0,若a =0,也有λa =0. ④实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如λ+a ,λ-a 就无法运算. 2.向量数乘的几何意义向量数乘的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小. 【例1】已知a ,b 是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并说明理由. (1)2a 的方向与a 的方向相同,且2a 的模是a 的模的2倍; (2)-2a 的方向与5a 的方向相反,且-2a 的模是5a 的模的52; (3)-2a 与2a 是一对相反向量; (4)a -b 与-(b -a )是一对相反向量; (5)若a ,b 不共线,则0a 与b 不共线. 思路分析:利用λa 中λ的作用.解：(1)真命题.∵2>0,∴2a 与a 同向,且|2a |=2|a |. (2)真命题.∵5>0,∴5a 与a 同向,且|5a |=5|a |. -2<0,∴-2a 与a 反向,且|-2a |=2|a |. ∴-2a 与5a 反向,且|-2a |=32|5a |. (3)真命题.(4)假命题.-(b -a )=-b +a =a -b .(5)假命题.∵0a =0,0与任一向量共线. 温馨提示对数乘运算的理解,关键是对数的作用的认识,λ>0时,λa 与a 同向,模是|a |的λ倍;λ<0时,λa 与a 反向,模是|a |的-λ倍;λ=0时,λa =0. 各个击破类题演练 1如图(1),已知非零向量a ,求作向量2a ,21a ,-3a ,31 a . 思路分析:据向量数乘的定义作出图形即可.作法:将向量a 依次同向伸长到原来的2倍,同向缩短到原来的21倍,反向伸长到原来的3倍,反向缩短到原来的31倍,得到图(2). 变式提升 1已知点C 在线段AB 的延长线上,且43=AC AB . (1)用表示; (2)用表示.思路分析:本例已知中没有涉及方向,但欲求结果中却涉及了方向.因此,解答此类问题,要把握好从单一的长度要素向长度,方向双重要素的过渡. 解:如图①,由已知,点C 在线段AB 的延长线上,且43=AC AB , ∴43=+BC AB AB ,解得AB=3BC.同理,可得AC=4CB.(1)如图②,向量与的方向相同,所以=3. (2)如图③,向量AC 与CB 的方向相反,所以AC =-4CB .温馨提示确定向量,有两个方面的要求,一是指出向量的方向;二是指出向量的大小. 二、向量数乘的运算律及应用设λ,μ为实数,则 (1)(λ+μ)a =λa +μa ; (2)λ(μa )=(λμ)a ;(3)λ(a +b )=λa +λb (分配律). 【例2】设x,y 为未知向量. (1)解方程5(x +a )+3(x -b )=0;(2)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-b y x y x 21,021解：(1)原方程可化为5x +5a +3x -3b =0, ∴8x +5a -3b =0. ∴8x =3b -5a .∴x=83b -85a .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2.(21)1(,021b y x y x①×2-②得(x -2y )-(x -21y )=2a -b , ∴23-y =2a -b . ∴y=32b -34a .代入①得21x =a +32b -34a ,∴x=2a +34b -38a =34b -32a .类题演练 2 化简下列各式:(1)31［21(2a +8b )-(4a -2b )］; (2)32［(4a -3b )+31b-41(6a -7b )］.解:(1)原式=31(a +4b -4a +2b )=31［(1-4)a +(4+2)b ］=31(-3a +6b )=2b -a ； (2)原式=32(4a -3b +31b -23a +47b )=32［(4-23)a +(-3+31+47)b ］=32(25a -1211b )=35a -1811b .温馨提示(1)实数与向量积的运算问题,必须按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算. (2)实数与向量的积的运算,可对照实数与单项式的运算进行. 变式提升 2 将121［2(2a +8b )-4(4a -2b )］化简成最简式为( ) A.2a -b B.2b-a C.a -b D.b -a思路分析:这是关于实数与向量的积的有关运算问题,只需按照实数和向量的积所满足的运算律进行运算即可. 解:原式=121(4a +16b -16a +8b ) =121［(4-16)a +(16+8)b ］=-a +2b =2b -a . ∴应选B. 答案:B三、向量的线性运算向量的加法,减法和实数与向量积的综合运算,通常叫做向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c 是由另一些向量的线性运算得到的,我们说这个向量c 可以用另一些向量线性表示,如2a ,-3a ,-31a 都是a 的线性表示,2a +3b ,-3a +5b ,21a -31b 等都可以由a ,b 线性表示. 【例3】梯形ABCD(如图)中,AB∥CD且AB=2CD,M 、N 分别是DC 与AB 的中点.若AB =a ,AD =b ,试用a ,b 表示BC 和MN .解法一:连结CN,N 为AB 中点.∵AN∥DC,AN=DC,∴ANCD 为平行四边形. 有-==-b . 又∵++=0, ∴=--=b -21a . ∴MN =CM CN - =CN +21AN =41a -b . 解法二:梯形ABCD 中,有++-=0,即a ++(-21a )+(-b )=0. 可得=b -21a .在四边形ADMN 中,NA MN DM AD +++=0, 即b +41a +MN +(-21a )=0.∴MN =41a -b . 温馨提示解答本题应注意应用向量平行的充要条件以及封闭图形,首尾顺次连结的各向量和为0的结论. 类题演练 3如图所示,△ABC 的重心为G,O 为坐标原点,OA =a ,OB =b ,OC =c ,试用a ,b ,c 表示OG .解:如图,设AG 交BC 于点M,则M 是BC 的中点.=b -a ,=c -a ,=c -b , =+21=b -a +21(c -b )=21(c +b -2a ), 32=31(c +b -2a ), 所以=+=a +31(c +b -2a )=31(a +b +c ). 变式提升 3证明三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.思路分析:数学语言分为三种形式:文字语言,符号语言,图形语言.解答用文字语言给出的数学问题,必须用符号语言写出已知,求(求证),然后再去解(证明),这是规矩.已知:如图,DE 是△ABC 的中位线. 求证:DE21BC. 证明:如图,非零向量AC AE BA DA BC DE ,,,,,. ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴D,E 分别是BA,AC 的中点.∴=21,=21. ∵DE =DA +AE 21BA +21=21(BA +)=21,即DE =21BC ,①①式有两个方面的含义,即∥. 又DE 与BC 没有公共点, ∴DE∥BC.②。

高中数学第二章平面向量 2.1.4 数乘向量学案新人教

2.1.4 数乘向量[学习目标] 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．[知识链接]1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？答OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同；O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反．2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？答 λa 仍然是一个向量．当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．数乘向量(1)定义：一般地，实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa .(2)规定：|λa |＝|λ||a |.若a ≠0，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(3)几何意义：λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．λa 可以看作是把向量a 沿着a 的方向(λ>0时)或a 的反方向(λ<0时)扩大或缩小|λ|倍得到． 2．数乘向量的运算律数乘向量运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ；(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb . 3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b 以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .要点一数乘向量的运算例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .规律方法向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段．跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________.答案－16i ＋323j解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .要点二数乘向量的应用例2 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍；(2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量； (5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线．解 (1)正确．∵2>0，∴2a 与a 同向，且|2a |＝2|a |. (2)正确．∵5>0，∴5a 与a 同向，且|5a |＝5|a |. ∵－2<0，∴－2a 与a 反向，且|－2a |＝2|a |. (3)正确．(4)错误．－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b .(5)错误．若λ＝0，则0a ＝0,0与任意向量共线．规律方法对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍；λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍；λ＝0时，λa ＝0. 跟踪演练2 (1)下面给出四个命题：①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R )，则有a ＝b ； ④若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP →等于( ) A ．λ(AB →＋BC →)，λ∈(0,1) B．λ(AB →＋AD →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1) D．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22答案 (1)C (2)A解析 (2)AP →与AC →共线，且菱形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，由点P 在线段AC →上，得AP →＝λ(AB →＋AD →)，又AD→＝BC→，λ∈(0,1)，∴AP →＝λ(AB→＋BC→)，λ∈(0,1).1．若3x －2(x －a )＝0，则向量x 等于( )A ．2aB ．－2a C.25a D ．－25a答案 B2．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A.BC →＋12BA →B ．－BC →＋12BA →C ．－BC →－12BA →D.BC →－12BA →答案 B解析 CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.3．设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23[(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )]．解 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b＋13b －146a －7b ＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋－2＋29＋76b＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .4．如图所示，在▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 表示DE →和BF →.解 DE →＝DA →＋AB →＋12BC →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ；BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加、减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．一、基础达标 1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．－(b －a ) 答案 B2．已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线交点为O ，则OB →等于( ) A.12a ＋b B ．a ＋12b C.12(a ＋b ) D ．a ＋b 答案 C3．下列算式中不正确的是( ) A.AB →＋BC →＋CA →＝0 B.AB →－AC →＝BC → C ．0·AB →＝0 D ．λ(μa )＝(λμ)a 答案 B解析 AB →－AC →＝CB →，而不是BC →，故B 错误．4．如图，已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案 A解析 ∵2OA →＋OB →＋OC →＝2OA →＋2OD →＝0， ∴AO →＝OD →.5．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 答案－326．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________.答案421a －17b ＋17c7．如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.解 ∵BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )．∴OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .∵CN →＝13CD →＝16OD →，∴ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )， MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .二、能力提升8．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上答案 D解析 PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →， ∴PC →＝－2PA →，∴P 在AC 边上．9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.10．如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，下列向量：①CA →；②－DF →；③AB →＋FE →；④BC →－DE →；⑤OB →＋OC →＋OD →＋OE →.其中与FA →＋AB →＋2BO →＋ED →相等的向量有________．(填对应向量的序号即可) 答案 ②③④⑤解析 FA →＋AB →＋2BO →＋ED →＝(FA →＋AB →＋BE →)＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →＝－DF →，与②相等，与①不相等；∵AB →＋FE →＝AB →＋BC →＝AC →，∴与③相等； ∵BC →－DE →＝BC →＋ED →＝BC →＋AB →＝AC →，∴与④相等；∵OB →＋OC →＋OD →＋OE →＝OC →＋OD →＝AB →＋BC →＝AC →，∴与⑤相等．故填②③④⑤.11．已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．证明取以A 为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点， ∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又AC →＝AD →＋DC →， ∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)．12．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →、EF →、FC →.解 ∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 是DC 、AB 的中点， ∴FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b ，EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .三、探究与创新13．在△ABC 的内部有一点O 满足OA →＋OC →＋3OB →＝0，求S △AOB S △AOC的值．解设AC 的中点为D ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴2OD →＋3OB →＝0，即OB →＝－23OD →，∴S △AOBS △AOC＝S △AOB2S △AOD＝12×23＝13.。

平面向量的运算单元教学设计学年高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)

6.2 平面向量的运算（单元教学设计）一、【单元目标】（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。

（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。

理解两个平面共线的含义。

（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。

（4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。

（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。

（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】学生已具备了一定的观察问题、分析问题的学习习惯，以及能从简单的物理背景及生活背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的基础．从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．另外，向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．再有，向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．向量的每一种运算都具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构．这对学生整体理解每一种向量的运算也带来一定的困难．平面向量的加法具有丰富的物理背景，平面向量的线性运算蕴含着特定的几何意义，学生们原有的物理学习、几何学习的差异性也会直接影响他们对向量线性运算的学习．两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响。

高中数学人教A版第二章平面向量向量数乘运算及其几何意义导学案新必修_

1 A.a－ b
2 1 C.a＋ b 2 答案 D 解析连接 CD，OD，如图所示.
1 B. a－b
2 1 D. a＋b 2
7
∵点 C，D 是半圆弧 AB 上的两个三等分点，
1 ∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝ ×90°＝30°.
3
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，∴AC∥DO.
量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用 b＝λa(a≠0)，还要说明向量 a，b
有公共点.
→
→
→
跟踪训练 2 已知非零向量 e1，e2 不共线，如果AB＝e1＋2e2，BC＝－5e1＋6e2，CD＝7e1－
2e2，则共线的三个点是________.
答案 A，B，D
→
→→→
解析 ∵AB＝e1＋2e2，BD＝BC＋CD
→→→ 4.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，A，P，B 三点共线⇔m＋n＝1.6Fra bibliotek课时作业
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.λa 与 a 的方向不是相同就是相反
B.若 a，b 共线，则 b＝λa
C.若|b|＝2|a|，则 b＝±2a
D.若 b＝±2a，则|b|＝2|a|
→→ 2.在△ABC 中，M 是 BC 的中点，则AB＋AC等于( )
1→ → → → A. AM B.AM C.2AM D.MA
2 答案 C 解析如图，作出平行四边形 ABEC，M 是对角线的交点，故 M 是 BC 的中点，且是 AE 的中点，
→→→ → 由题意知，AB＋AC＝AE＝2AM，故选 C.

《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习

《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。

实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。

实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。

向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。

特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。

【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。

【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。

【教学过程】。

特点:首尾相接，连首尾。

2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。

3.向量减法的三角形法则。

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。

即。

的方向与的方向相同，。

类似地，，其方向与的方向相反，。

AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。

高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.4数乘向量示范教案新人教B新人教B高一数学教案

2.1.4 向量数乘示范教案整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广与简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着密切的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程；掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.理解数乘向量所表达的几何意义；2．理解并掌握向量的线性运算．教学难点：数乘向量分配律所表达的几何意义．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比引入)我们知道，平面几何中的全等与平行的问题，与向量加法及其运算律有着密切的联系，在几何中，一个重要问题是研讨图象的“放大”“缩小”和相似性质．我们是否也能用向量的某种运算去研究呢？由此展开新课．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究提出问题错误!活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a ，λ－a 都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa 和λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．对问题(1)，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .已知AB →(图2)，把线段AB 三等分，分点为P ，Q ，则图2AP →＝13AB →，AQ ＝23AB →，BP →＝－23AB →. 由上述分析，我们引出数乘向量的一般定义：定义实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长度|λa |＝|λ||a |.λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当λ>0时，与a 同方向；当λ<0时，与a 反方向.当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0(图3)．图3λa 中的实数λ，叫做向量a 的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证数乘向量运算满足下面的运算律．设λ、μ为实数，那么①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb (分配律)．特别地，我们有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .对问题(3)，向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ；当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．讨论结果：(1)数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定．(2)它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．(3)略．(4)略．应用示例例1设a ，b 为向量，计算下列各式：(1)－13×3a ； (2)2(a －b )－(a ＋12b )； (3)(2m －n)a －m b －(m －n)(a －b )(m ，n 为实数)．活动：本例是数乘运算的简单应用，可让学生自己完成，要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律．教学中，点拨学生不能将本题看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点．同时向学生点出，向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .解：(1)原式＝(－13×3)a ＝－a . (2)原式＝2a －2b －a －12b ＝(2a －a )－(2b ＋12b )＝a －52b . (3)原式＝2m a －n a －m b －m(a －b )＋n(a －b )＝2m a －n a －m b －m a ＋m b ＋n a －n b ＝m a －n b .点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.2如图4所示，已知OA′→＝3OA →，A′B′→＝3AB →，说明向量OB →与OB′→的关系．图4解：因为OB′→＝OA ′→＋A′B′→＝3OA→＋3AB → ＝3(OA →＋AB →)＝3OB→，所以OB′→与OB →共线且同方向，长度是OB →的3倍．3如图5，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图5活动：本例的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ， MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．4凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF→＝12(AB →＋DC →)．活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决，或创造相同起点，以建立向量间关系．鼓励学生多角度观察思考问题．解：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点．(如图6)图6∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF 12DG. ∴EF →＝12DG →.而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二：如图7，连接EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图7又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC→. 以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)．点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习，做到准确熟练运用.变式训练若非零向量a 、b 满足|a ＋b|＝|b |，则( )课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识：向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳、猜想、类比，分类讨论，等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 2,3.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a ＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a 同向，或都与a 反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa 的方向相同．还可证|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立.当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时如图8，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB→＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ，则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图8由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|.所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图9可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图9所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －aC ．b －aD ．a －b2．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 3．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF∥BC，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.4．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 5．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )．参考答案：1．B 2.C 3.－a ＋15b 4.13e 1－12e 25．证明：连接AG 并延长，设AG 交BC 于M.∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ，∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )． ∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．。

学高中数学平面向量向量数乘运算及其几何意义教师用书教案新人教A版必修

２.２．３向量数乘运算及其几何意义学习目标核心素养１．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．（重点）２．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．（重点）３．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．（难点）４．理解实数相乘与向量数乘的区别．（易混点）１．通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，发展学生数学抽象和数学运算素养.２．通过向量共线判断的学习，培养了学生逻辑推理素养.１．向量的数乘运算（１）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：１|λa|＝|λ||a|；２当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．（２）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：１λ（μ a）＝（λμ）a；２（λ＋μ）a＝λa＋μ a；３λ（a＋b）＝λa＋λb；特别地，有（—λ）a＝λ（—a）＝—（λa）；λ（a—b）＝λa—λb.２．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示] 定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.３．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ１，μ２，恒有λ（μ１a±μ２b）＝λμ１a＋λμ２b.１．若|a|＝１，|b|＝２，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（）Ａ．b＝２aＢ．b＝—２aＣ．a＝２bＤ．a＝—２bA[因a，b方向相同，故b＝２a.]２．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）Ａ．错误!＝３错误!Ｂ．错误!＝２错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!Ｄ．错误!＝２错误!D[由题意可知：错误!＝—３错误!；错误!＝—２错误!＝２错误!.故只有D正确．]３．化简：２（３a＋４b）—8a＝________.—２a＋8b[原式＝6a＋8b—8a＝—２a＋8b.]４．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，错误!＋错误!＝λ错误!，则λ＝________.２[由向量加法的平行四边形法则知错误!＋错误!＝错误!.又∵O是AC的中点，∴AC＝２AO，∴错误!＝２错误!，∴错误!＋错误!＝２错误!，∴λ＝２．]向量的线性运算【例１】x＝________.（２）化简下列各式：１３（6a＋b）—9错误!；２错误!错误!—２错误!；３２（５a—４b＋c）—３（a—３b＋c）—7a.（１）４b—３a[由已知得３x＋３a＋２x—４a—４x＋４a—４b＝0，所以x＋３a—４b＝0，所以x＝４b—３a.]（２）[解] １原式＝１8a＋３b—9a—３b＝9a.２原式＝错误!错误!—a—错误!b＝a＋错误!b—a—错误!b＝0.３原式＝１0a—8b＋２c—３a＋9b—３c—7a＝b—c.向量数乘运算的方法（１）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．（２）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．错误!１．（１）化简错误!错误!；（２）已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式３x—２y＝a，—４x＋３y＝b，求向量x，y.[解] （１）原式＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b.（２）错误!由１×３＋２×２得，x＝３a＋２b，代入１得３×（３a＋２b）—２y＝a，所以y＝４a＋３b.所以x＝３a＋２b，y＝４a＋３b.向量共线定理[探究问题]１．如何证明向量a与b共线？提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa（a≠0）即可，一般地，把a和b 用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．２．如何证明A，B，C三点在同一直线上？提示：要证三点A，B，C共线，只需证明错误!与错误!或错误!与错误!共线即可．【例２】（１）已知e１，e２是两个不共线的向量，若错误!＝２e１—8e２，错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２，求证：A，B，D三点共线．（２）已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若错误!＝x错误!＋y错误!，求x＋y的值．思路点拨：（１）错误!→错误!→错误!（２）错误!→错误!→错误!→错误![解] （１）证明：∵错误!＝e１＋３e２，错误!＝２e１—e２，∴错误!＝错误!—错误!＝e１—４e２.又错误!＝２e１—8e２＝２（e１—４e２），∴错误!＝２错误!，∴错误!∥错误!.∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．（２）由于A，B，P三点共线，所以向量错误!，错误!在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使错误!＝λ错误!，即错误!—错误!＝λ（错误!—错误!），所以错误!＝（１—λ）错误!＋λ错误!，故x＝１—λ，y＝λ，即x＋y＝１．１．本例（１）中把条件改为“错误!＝e１＋２e２，错误!＝—５e１＋6e２，错误!＝7e１—２e２”，问A，B，C，D中哪三点共线？[解] ∵错误!＝e１＋２e２，错误!＝错误!＋错误!＝—５e１＋6e２＋7e１—２e２＝２（e１＋２e２）＝２错误!.∴错误!，错误!共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．２．本例（１）中条件“错误!＝２e１—8e２”改为“错误!＝２e１＋k e２”且A，B，D三点共线，如何求k的值？[解] 因为A，B，D三点共线，则错误!与错误!共线．设错误!＝λ错误!（λ∈R），∵错误!＝错误!—错误!＝２e１—e２—（e１＋３e２）＝e１—４e２，∴２e１＋k e２＝λe１—４λe２.由e１与e２不共线可得错误!∴λ＝２，k＝—8．３．试利用本例（２）中的结论判断下列三点共线吗？１错误!＝错误!错误!＋错误!错误!；２错误!＝—２错误!＋３错误!；３错误!＝错误!错误!—错误!错误!.[解] １中错误!＋错误!＝１，∴P，A，B三点共线；２中—２＋３＝１，∴P，A，B三点共线；３中错误!＋错误!＝错误!≠１，∴P，A，B三点不共线．１．证明或判断三点共线的方法（１）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得错误!＝λ错误!（或错误!＝λ错误!等）即可．（２）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使错误!＝x错误!＋y错误!且x＋y＝１．２．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb（b≠0）．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例３】错误!＝（）Ａ．错误!a—bＢ．错误!a＋bＣ．a＋错误!bＤ．a—错误!b（２）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，试用a，b分别表示错误!，错误!，错误!.思路点拨：先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．（１）D[错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!—错误!错误!＝a—错误!b.]（２）由三角形中位线定理，知DE错误!BC，故错误!＝错误!错误!，即错误!＝错误!a.错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋错误!a＝—错误!a＋b.错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＋错误!错误!＝—错误!a—b＋错误!a＝错误! a—b.１．本例（１）中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示错误!.[解] 因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝错误!OD＝错误!×错误!BD＝错误!BD，所以错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!a＋b.２．本例（１）中，若点F为边AB的中点，设a＝错误!，b＝错误!，用a，b表示错误!.[解] 由题意错误!解得错误!所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b.用已知向量表示其他向量的两种方法（１）直接法（２）方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．错误!２．如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，试用a，b，c表示错误!，错误!.[解] 错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋c；错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—错误!错误!—错误!＋错误!错误!＝—错误!c—b＋错误!a＝错误!a—b—错误!c.１．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ—a是没有意义的．２．λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量错误!表示与向量a同向的单位向量．３．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．４．注意记住以下结论并能运用（１）若A，B，P三点共线，则错误!＝x错误!＋y错误!且x＋y＝１．（２）在△ABC中，若D为BC的中点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．（３）在△ABC中，若G为△ABC的重心，则错误!＋错误!＋错误!＝0.１．已知a＝５e，b＝—３e，c＝４e，则２a—３b＋c等于（）Ａ．５eＢ．—５eＣ．２３eＤ．—２３eC[２a—３b＋c＝２×５e—３×（—３e）＋４e＝２３e.]２．对于向量a，b有下列表示：１a＝２e，b＝—２e；２a＝e１—e２，b＝—２e１＋２e２；３a＝４e１—错误!e２，b＝e１—错误!e２；４a＝e１＋e２，b＝２e１—２e２.其中，向量a，b一定共线的有（）Ａ．１２３Ｂ．２３４Ｃ．１３４Ｄ．１２３４A[对于１，b＝—a，有a∥b；对于２，b＝—２a，有a∥b；对于３，a＝４b，有a∥b；对于４，a与b不共线．]３．设a，b是两个不共线的向量．若向量k a＋２b与8a＋k b的方向相反，则k＝________.—４[因为向量k a＋２b与8a＋k b的方向相反，所以k a＋２b＝λ（8a＋k b）⇒错误!⇒k＝—４（因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0）．]４．如图所示，已知错误!＝错误!错误!，用错误!，错误!表示错误!.[解] 错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝—错误!错误!＋错误!错误!.。

人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件第六章平面向量初步数乘向量向量的线性运算

名师点睛对数乘向量的理解
1.实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.
2.若λa=0,则λ=0或a=0.
3.对于非零向量a,

||
表示a方向上的单位向量.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于任意的向量a,总有0a=0.( × )
(2)当λ>0时,|λa|=λa.( × )
(4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)错误.0a=0,0与任意向量共线.
探究点二向量的线性运算
【例2】化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
解 (1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
3
3-2 = ,①
+
7
4
b
=2
3
11
5 a- b
12
2
5 11
= a- b.
3 18
由①×3+②×2 得,x=3a+2b,代入①得Βιβλιοθήκη 3×(3a+2b)-2y=a,
-4 + 3 = ,②
解得,y=4a+3b.
探究点三用已知向量表示未知向量
【例 3】(1)如图,▱ABCD 中,E 是 BC 的中点,若 =a, =b,则=(
知识点2 向量的运算律
1.λ(μa)= (λμ)a .
2.λa+μa= (λ+μ)a .
3.λ(a+b)= λa+λb .(其中λ,μ∈R)

人教版A高一数学新教材同步课堂精讲练导学案第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(解析版)

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX XXX【学习目标】1.会实数与向量积的坐标表示2.记住两个向量共线的坐标表示3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题【自主学习】知识点1 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标;(2)设向量a ＝(x 1,y 1),则λa ＝(λx 1,λy 1)．(3)中点坐标公式:若P 1,P 2的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ,y ),则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.知识点2 两个向量共线的坐标表示(1)向量a ,b 共线的坐标表示设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)向量共线的坐标表示的推导①设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)≠0,则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．上式若用坐标表示,可写为a ∥b ⇔(x 1,y 1)＝λ(x 2,y 2),即a ∥b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ②设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)＝0时,a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.综上①②,向量共线的坐标表示为a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【合作探究】探究一平面向量数乘运算的坐标表示【例1】已知a ＝(2,1),b ＝(－3,4),求a ＋b ,a －b,3a ＋4b 的坐标．解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5),a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5, －3),3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19).归纳总结: 1相等向量的坐标是相同的,解题时注意利用向量相等建立方程组. 2进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标.求点P 的坐标时,可以转化为求以坐标原点为起点,点P 为终点的向量的坐标.【练习1】已知a ＝(－1,2),b ＝(2,1),求:(1)2a ＋3b ;(2)a －3b ;(3)12a －13b . 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7,－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 探究二两个向量共线的坐标表示【例2】已知a ＝(1,2),b ＝(－3,2),当k 为何值时,k a ＋b 与a －3b 平行?平行时它们是同向还是反向?[分析] 先计算出k a ＋b 与a －3b 的坐标,然后利用向量共线的坐标表示即可求k ,再根据符号确定方向．[解] 因为a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10,－4)．k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2),又(k a ＋b )∥(a －3b ),故－4(k －3)＝10(2k ＋2),即k ＝－13. 这时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－103，43,且a －3b 与－13a ＋b 的对应坐标异号,故当k ＝－13时,k a ＋b 与a －3b 平行,并且是反向的．归纳总结:设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),其中b ≠0.当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时,向量a ,b 共线．对条件的理解有两方面的含义:由x 1y 2－x 2y 1＝0,可判定a ,b 共线;反之,若a ,b 共线,则x 1y 2－x 2y 1＝0.【练习2】已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ),若c ∥(2a ＋b ),则λ＝ .答案12. 详细解析:2a ＋b ＝(4,2),因为c ∥(2a ＋b ),所以4λ＝2,得λ＝12.探究三三点共线问题【例3-1】已知OA →＝(3,4),OB →＝(7,12),OC →＝(9,16),求证:A ,B ,C 三点共线;[解] (1)证明:∵AB →＝OB →－OA →＝(4,8),AC →＝OC →－OA →＝(6,12)．∴4×12－8×6＝0,即AB →与AC →共线．又∵AB →与AC →有公共点A ,∴A ,B ,C 三点共线．【例3-2】设向量OA →＝(k,12),OB →＝(4,5),OC →＝(10,k ),当k 为何值时,A ,B ,C 三点共线?[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ,－7),AC →＝OC →－OA →＝(10－k ,k －12),∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.归纳总结:一般地,把三点共线问题转化成向量共线问题,而向量共线常用的判断方法有两种:一是直接用AB →＝λAC →;二是利用坐标运算.【练习3】如果向量AB →＝i －2j ,BC →＝i ＋m j ,其中i 、 j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量,试确定实数m 的值,使A 、B 、C 三点共线．解:依题意知i ＝(1,0),j ＝(0,1),则AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1,－2),BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1,m )．∵AB →、BC →共线,∴1×m －(－2)×1＝0,∴m ＝－2.即当m ＝－2时,A 、B 、C 三点共线．探究四待定系数法求向量【例4】已知a ＝(－2,3),b ＝(3,1),c ＝(10,－4),试用a ,b 表示c .解设c ＝x a ＋y b ,则(10,－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ，解得x ＝－2,y ＝2,∴c ＝－2a ＋2b .归纳总结:待定系数法是最基本的数学方法之一,它的实质是先将未知量设出来,再利用方程或方程组求解,把一个向量用其他两个向量表示,这是常用方法．【练习4】已知a ＝(10,－5),b ＝(3,2),c ＝(－2,2),试用b ,c 表示a .解设a ＝λb ＋μc (λ,μ∈R )．则(10,－5)＝λ(3,2)＋μ(－2,2)＝(3λ,2λ)＋(－2μ,2μ)＝(3λ－2μ,2λ＋2μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝3λ－2μ，－5＝2λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝－72，∴a ＝b －72c . 探究五利用向量共线解决几何问题【例5】已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),O (0,0),求直线AC 与OB 交点P 的坐标．[解] 设点P (x ,y ),则OP →＝(x ,y ),OB →＝(4,4),∵P 、B 、O 三点共线,∴OP →∥OB →.∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ,y )－(4,0)＝(x －4,y ),AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．∵P 、A 、C 三点共线,∴AP →∥AC →,∴6(x －4)＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6x －4＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. ∴点P 的坐标为(3,3)．归纳总结: 1向量共线在几何中的应用可分为两个方面:①已知两向量共线,求点或向量的坐标;②证明或判断三点共线、直线平行. 2解题时要注意联系平面几何的相关知识,由两向量共起点或共终点确定三点共线,由两向量无公共点确定直线平行.【练习5】如图,已知直角梯形ABCD 中,AD ⊥AB ,AB ＝2AD ＝2CD ,过点C 作CE ⊥AB 于E ,M 为CE 的中点,用向量的方法证明:(1)DE ∥BC ;(2)D ,M ,B 三点共线．证明:如图,以E 为原点,AB 所在直线为x 轴,EC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,令|AD →|＝1,则|DC →|＝1,|AB →|＝2.∵CE ⊥AB ,且AD ＝DC ,∴四边形AECD 为正方形．∴可求得各点坐标分别为E (0,0),B (1,0),C (0,1),D (－1,1),A (－1,0)．(1)∵ED →＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1),BC →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)．∴ED →＝BC →,∴ED →∥BC →,即DE ∥BC .(2)如图,连接MB ,MD ,∵M 为EC 的中点,∴M (0,12),∴MD →＝(－1,1)－(0,12)＝(－1,12), MB →＝(1,0)－(0,12)＝(1,－12)． ∴MD →＝－MB →,∴MD →∥MB →.又MD 与MB 有公共点M ,∴D ,M ,B 三点共线.课后作业A 组基础题一、选择题已知向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=,若//(2)c a b +,则m =（）A. 0B. 1C. 2D. 3 答案及详细解析:C【分析】根据向量的坐标运算,求得2(4,2)a b +=,再结合//(2)c a b +,即可求解.【详解】由题意,向量(1,2),(2,2),(,1)a b c m ==-=,可得2(4,2)a b +=, 因为//(2)c a b +,可得142m=,解得2m =.故选:C.2.已知向量()2,3a =-,()3,b m =且//a b ,则m =（）A. －2B. 2C. 92- D. 92 答案及详细解析:C【分析】由向量平行的坐标公式,即可求得. 【详解】//a b ,(2,3)a =-,(3,)b m =,∴290m --=,解得92m =-,3.已知向量(1,2)=-a ,(3,3)b =-,(1,)c t =,若向量a 与向量b c +共线,则实数t =（）A. 5B. －5C. 1D. －1答案及详细解析:B【分析】根据向量的加法运算,求得b c +的坐标,由向量共线的坐标公式,即可容易求得结果.【详解】因为b c +()4,3t =-,又a 与向量b c +共线故可得38t -=-,解得5t =-.故选:B .4.已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-,则3m =是//a b 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件答案及详细解析:A【分析】向量(,1)a m =,(3,2)b m =-,//a b ,则32mm =-（）,即2230m m --=,3m =或者-1,判断出即可．【详解】解:向量(,1)a m =,,(32)b m =-, //a b ,则32mm =-（）,即2230m m --=, 3m =或者-1,所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件,5.已知(,3)a x =,(3,1)b =,且//a b ,则x =（）A. 9B. －9C. 1D. －1答案及详细解析:A【分析】利用向量共线定理,得到90x -=,即可求解,得到答案．【详解】由题意,向量(,3)a x =,(3,1)b =,因为向量//a b ,所以90x -=,解得9x =. 故选A ．6.已知()1,0a =,()2,1b =,向量ka b -与3a b +平行,则实数k 的值为（） A. 117 B. 117- C. 13- D. 13 答案及详细解析:C【分析】利用向量共线的坐标形式可求实数k 的值.【详解】()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--,即()()2,17,3k λ--=, ∴1273,1313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩. 故选:C.7.与向量(3,4)a =平行的单位向量是（）A. (0,1)B. (1,0)C. 34,55⎛⎫⎪⎝⎭ D. (－3,－4)答案及详细解析:C【分析】由0a a a =计算即可得出答案. 【详解】与向量a 平行的一个单位向量0a a a =, 2345a =+=,所以034,55aa a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选:C 8.已知()5,2a =-,()4,3b =--,(),c x y =,若230a b c -+=,则c 等于（）A. 134,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. 81,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 138,33⎛⎫⎪⎝⎭ D. 144,33⎛⎫⎪⎝⎭答案及详细解析:A【分析】根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解. 【详解】由题知:()5,2a =-,()4,3b =--,(),c x y =,因为230a b c -+=,所以1358303263043x x y y ⎧=-⎪++=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪⎩, 故c =13433⎛⎫-- ⎪⎝⎭，, 故选:A.9.（多选题）以A (0,1),B (1,0),C (3,2)三个点为顶点作平行四边形,则第四个顶点D 的坐标是（）A. (2,3)B. (2,－1)C. (4,1)D. (－2,－1) 答案及详细解析:ACD【分析】设(),D x y 再根据向量相等分类讨论可得; 【详解】解:设(),D x y ,若AB CD =,则()()1,13,2x y -=--,即3121x y -=⎧⎨-=-⎩解得41x y =⎧⎨=⎩,即()4,1D ; 若AB DC =,则()()1,13,2x y -=--,即3121x y -=-⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩,即()2,3D ; 若AD CB =,则()()2,2,1x y --=-,即212x y =-⎧⎨-=-⎩解得21x y =-⎧⎨=-⎩,即()2,1D --; 故选:ACD二、填空题10.已知向量a =（ 1,1）,() 2b m =-，,且a ∥()2a b +,则m 的值等于__________. 答案及详细解析:－2【分析】计算2a b +,由向量共线的坐标运算可者m ．【详解】由题意2(12,3)a b m +=+-,因为a ∥()2a b +,所以123m +=-,解得2m =-．故答案为:2-．11.已知向量a =(1,1),b =(1-,2),若()//(3)a b a tb -+,则实数t =_________.答案及详细解析:－3【分析】先根据向量的坐标运算法则,计算出a b -和3a tb +,然后根据向量平行的坐标公式列式计算出t . 【详解】a =(1,1),b =(1-,2),(2,1)a b ∴-=-,3(3,32)a tb t t +=-+,又()//(3)a b a tb -+,2(32)1(3)3t t t ∴⨯+=-⨯-⇒=-.故答案为:3-.12.已知()1,3OA =-,()2,1OB =-,()1,2OC k k =+-,若A 、B 、C 三点在同一直线上,则k =______.答案及详细解析:1【分析】利用向量共线的性质列方程即可得出．【详解】(1,2)AB OB OA =-=,(,1)AC OC OA k k =-=+． A 、B 、C 三点共线,2(1)0k k ∴-+=,解得1k =．故答案为:1．13.设向量(12)(23)a b ==，，，,若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线,则λ= 。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第六章平面向量及其应用向量的数乘运算

2.要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2 + ,1 − 无意义.
过关自诊
1.判断正误.（正确的画 ,错误的画×）
（1）实数与向量的积是一个向量.
（2）若 = 0,则 = 0（其中为实数）.
(√ )
()
（3） = .
2.向量的方向和大小与向量的关系是怎样的?
4
− ,
11
4
6
+ .
11
11
规律方法向量数乘运算的方法
向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同
类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因
式”指向量,实数看作是向量的系数.
2
1
变式训练1（1） − −
5
3

提示由 = 知,与共线,故,,三点共线,反之也成立,故 = 是,,三
点共线的充要条件.
02
重难探究·能力素养全提升
探究点一向量的线性运算
【例1】（1）化简下列各向量表达式:
1
3
①3 6 + − 9 + ;
解原式= 18 + 3 − 9 − 3 = 9.
课程
标准
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义.
2.理解两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 向量的数乘运算
定义
向量
一般地,我们规定实数与向量的积是一个______,这种运算叫做向量的数乘,记作

614数乘向量学案高一上学期数学人教B版

山东2024级高一数学课时学案编制人：审核人：班级小组姓名使用时间 2024年月日编号：必修228课题：数乘向量【课标要求】结合几何图形直观的说明运算法则，动手作图，借助几何直观、通过几何背景理解向量运算的几何意义，理解向量运算的本质。

采用类比的方法与实数运算比较他们的区别与联系，理解向量的线性运算。

【学习目标】1.通过实例分析，说出平面向量的定义，背过数乘运算及运算规则，默写其几何意义；2.通过数乘向量的学习，会判断两向量平行及三点共线问题。

【基础自学】自学任务一：数乘向量阅读课本145页，完成下列问题：我们知道相同的几个数相加可以转化为数乘运算，比如3+3+3+3+3=5×3，那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？1. 做出向量a a a ++与a a a ---说出它们的长度和方向与a 的关系，由此你能否得出数乘向量()R a ∈λλ,定义？① 长度： ②方向：特别：0→a = ，→0λ = .③数乘向量的几何意义：2. 尝试与发现： a a a 12)34)4(3=⨯=⨯（是否成立？()a μλ与a λμ关系是怎么样的？得出结论：3.数乘向量表示单位向量结合右图探究以下问题：若a 与单位向量e 同向，且长度为3，则a 能否用e 表示？ a 长度为3，e 为单位向量且与a 同向，则=e a 若0≠a ，则与a 同向的单位向量e 可以用a 表示为（提示：a 长度怎么表示）【自学评测】1.设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列说法中，正确的是（）A. a a λλ=B.a a λλ=C.的相同的方向与a a λD.的相同的方向与a a λ 2.设a 是非零向量，λ是非零实数，则方向相反的充要条件是与a a λ3. 化简下列各式：（1）a 421⨯ （2）a 9231⨯⨯ （3）a )21(6-⨯【自学反馈】【合作探究】探究任务一：数乘向量运算例1、已知 e a 7=⃗，e b 11-=，其中 e 为非零向量，判断与a ， b 是否平行，并求b a :的值.拓展延伸：若将本题中条件“e 为非零向量”删掉，其他不变，则a 与b 还会平行么？拓展思考：若()R a b ∈=λλ,，则a b //是否一定会成立？例2：已知 e AC e AB 5,=-=，判断 A ，B ，C 三点是否共线，如果共线，求出 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |:|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |。

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a = .
时，a λ的方向与a λ= ；)a μ= ； = ； . ⑸判断正误：向量b 与向量)()a λμ=； ⑵()λμ+()a b λλ+. 根据以上的运算律，填空： =λ ；⑵λ
二师生互动
例1 计算：
⑴()76a -⨯；
⑵()()
438a b a b a +---；
⑶()()54232a b c a b c -+--+. 例 2 已知两个两个向量1e 和2e 不共线，12AB e e =-，1228BC e e =-，1233CD e e =+，求证：A 、B 、D 三点共线.
变式：在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，证明：ABCD
是梯形.
例3 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，你能用a 、b 表示AM 、BM 、CM 、DM 吗？
变式：若O 为平行四边形的中心，14AB e =，26BC e =，则2132e e -等于多少？
例 4 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+.
a ABC 中，E 、F 分别是AB 、()2a
b + ()1a b - 122e e +，2b e =，且1e 、e 不确定 D.可能共线也可能不共线若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则= b .
下列各式计算正确的是（)
2a b c a b c ++=++
3544b a b a b ++-=-
下列向量a 、b 共线的有（ 122,a e b e ==-；②a 1212214,510
a e e
b e e =-=-
； 1212,22a e e b e e =+=-（12,e e 不共线） 8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是（[]3,8 B.()3,8 C.[]3,13 ()
⎣⎦
= 22a b c b +-=- .
值为 .。