二数值计算的基本概念

(2.1.1)中用上式左端近似 f ( x0 )，误差总数存在，但 步长越小时，(2.1.1)的近似程度越好.(2.1.3)中的
T1
h 2!
f
( x0 )
O(h2 )
(2.1.4)
称为算法(2.1.1)的截断误差。它来源于有限差分替代了
无限的过程。
类似地：可以分析(2.1.2)的截断误差，其结果为
(2.1.2)
给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工：
1. 对同样的h，比较(2.1.1)和(2.1.2)的计算结果。
2. 针对高阶导数的算法，比较h取不同值的计算结果。
实验要求：选择具有代表性的函数 f (x)（最好选择多 个），利用 Matlab 提供的绘图工具画出该函数在某个区间 的导数曲线 f (s)( x)，再将数值计算的结果用 Matlab 画出来， 认真思考实验的结果。
第二章 数值计算的基本概念
2.1 浮点数与舍入误差 2.2 计算机算术的若干问题 2.3 计算方法及其计算复杂性 2.4 算法的稳定性 2.5 问题的病态性
数值计算的基本概念
构造算法的基本手段：近似。
研究算法的核心问题：近似对计算结果的影响。
计算地球表面公式：
A 4 r 2
包含了许多近似。
A 模型：地球被看成一个球，这是简单的理想模型，与 实际情况差别很大。
问题提出：设一元函数 f : R R，则 f 在 x0的导数定义 为
f ( x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f
( x0 ) 。
实验内容：计算在 x0的导数值可以用算法
f ( x0 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
(2.1.1)
或
f ( x0 )
f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
2.2.3 舍入误差的精度表示
产生：计算机表示的实数受限于尾数的固定精度，故不得 不舍入而近似表示真值，产生舍入误差。
用o表示 ＋ 、—、× 、÷中任一种运算（除法中分母不 为零），则有
fl( fl( x) o fl( y)) ( fl( x) o fl( y))(1 ) 其中， 2t 。
B 测量仪器的误差：地球半径要经过测量得到，无论使 用什么手段，其误差是无法避免的。
C 截断误差：公式中的 是物理数，在计算机中无法精
确表示，只能将它截断到有限字长。 D 舍入误差：输入的数据和公式的计算都被舍入。
§2.1 浮点数与舍入误差
计算机中的数二进制表示，使用 IEEE 国际通用标 准。进行数值计算，并不需要时刻关注这这样的细节，但 了解其特殊性，对建立数值计算的基本概念十分重要。
T2
h2 3!
f ( x0 ) O(h3 )
比较两种算法，后者比前者好。
注意：在实际计算中，并不是所有计算都是h越小越好， 如图 P25,2.3 图。
§2.2 计算机算术的若干问题
2.2.1 误差与有效数字
定义 1 设 x是某实数的精确值， x*是它的一个近似值，
则e* x x*称为近似值 x*的绝对误差，简称误差。x x* 称 x
定义 3 设 x*是 x的一个近似值，写成： x* 10k 0.a1a2a3 L an L
它可以是有限或无限小数的形式。其中ai（i 1,2L , n） 是0,1,L ,9中的数字，且a1 0，k 为整数。如果 x*满足条件：
x x* 0.5 10kn
则称 x*为 x的具有n位有效数字的近似值，且 x*具有n位 有效数字。
有效数字的位数：
如果近似值 x的误差界 *是某一位上的半个单位，则若
该位到 x*的第一位非零数字共有n位，称 x*具有n位有效数 字。
相对误差界：
若用式子
x* 10k 0.a1a2a3 L an L 表示的近似数 x*具有n为有效数字，则其相对误差界满足：
* r
*
x*
1 10(n1) 2a1
2.2.4 数Hale Waihona Puke Baidu运算的误差估计
( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ) ( x1* x2* ) x1* ( x2* ) x2* ( x1* )
机器有关。
实数的机器数：
对于非零实数 x 作估计 21 2 ，其中 为整数。若 2s 1,2s 1 ， 则 存 在 一 个 与 x 最 接 近 的 形 如 2k 0.12L t 的机器数，记为 fl( x)，它就是实数 x的机器数
表示。
设 x R，21 x 2 ， [2s 1, 2s 1]，则存在 ，使得 fl( x) x(1 )，其中 2t 。
Matlab 中数的范围 21022 x 21023，这一区间的全 体数称为浮点数。
舍入误差：实数中的绝大部分在计算机上总不能精确 表出，总要经过“舍”或“入”，由一个与之相近的浮点 数代替，由此引起的误差称为舍入误差，这也是误差的主 要来源。
实验 2.1 （数值微分精度及步长的关系）
实验目的：数值计算中的误差是不可避免的，通过实 验初步认识数值分析中的两个重要概念：截断误差和舍入 误差，并认真体会误差对计算结果的影响。
2.2.2 计算机的浮点数表示
机器数：计算机所能表示的数的集合。
机器数的二进制浮点表示为：2k 0.12L t ，其中k 称为
阶。
用二进制表示k 有k 12L s。其中1 1 ， j 0或 1 （ j 2, 3,L t ），s是阶的位数，0.12L t 称为尾数，且1 1， j 0或 1（ j 2,3,L t ），t 是尾数部位的位数。s和t 与具体的
实验分析：不论采用怎样的算法，计算结果通常总是 有误差，如对算法(2.1.1)，由泰勒 有
所以有
f ( x0
h)
f ( x0 ) hf ( x0 )
h2 2!
f ( x0 ) O(h3 )
f ( x0 h) h
f ( x0 )
f ( x0 )
h 2!
f ( x0 ) O(h2 )
(2.1.3)
为 x*的相对误差。注意当 x 0时，相对误差没有意义。实
际上精确值
x
往往是未知的，所以常常把
x
x* x*
作为
x*的相
对误差。
定义 2 设 x是某实数的精确值， x*是它的一个近似值，
若 x*的绝对误差满足 x x* *，则称 *是 x*的绝对误差界，
简称误差界。称
* r
|
*
x*
为 x*的相对误差界。 |