常微分方程课件：常微分方程的常见解法
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第4章常微分方程数值解法PPT课件
f(xn,yn)
y y0 n 1 y(y x n 0 )h f(xn,yn) n0,1,2,
根据 y0 可以一步步计算出函数 y y(x) 在 x1, x2, x3 x4, …上的近似值 y1, y2, y3, y4 , …
常微分方程数值解是一组离散的函数值数据，它的 精确表达式很难求解得到，但可以进行插值计算后 用插值函数逼近 y(x)
四 常微分方程数值解法
1
整体概述
概述一
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概述二
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概述三
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2
常微分方程数值解法
引言（常微分方程数值解法概述） 显式欧拉法、隐式欧拉法、二步欧拉法 局部截断误差与精度 改进的欧拉方法 龙格-库塔方法 收敛性与稳定性简述 一阶常微分方程组与高阶常微分方程
即积分区间为：[xn1, xn1]，则：
xn1 xn1
ydxy(xn1)y(xn1)
xn1 xn1
f[x,y(x)]dx
(xn1xn1)f[xn,y(xn)] 中矩形公式
2hf[xn,y(xn)]
以 y(x) 在 xn 1, xn 上的近似值代替精确值可得：
yy0n1 y(yxn01)2hf(xn,yn)
3
引言
一阶常微分方程初值问题：
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
定理：若 f (x, y) 在某闭区域 R ：
微分方程 初始条件
| x x 0 | a ,| y y 0 | b ( a 0 , b 0 )
上连续，且在 R 域内满足李普希兹 (Lipschitz) 条件， 即存在正数 L，使得对于 R 域内的任意பைடு நூலகம்值 y1, y2，下 列不等式成立：
常系数线性微分方程的一般解法
多领域交叉
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
常微分方程第一章课件
数值解法的稳定性
数值解法的稳定性是指数值解法对于离散化误差的敏感程度，如果数值 解法对于离散化误差敏感，则会导致数值解的精度下降甚至失去意义。
数值解法的稳定性可以分为条件稳定性和无条件稳定性，其中条件稳定 性是指数值解法在一定条件下是稳定的，无条件稳定性是指数值解法在
任何条件下都是稳定的。
对于不稳定的数值解法，可以采用一些改进的方法来提高其稳定性，例 如减小步长、增加迭代次数等。
04
微分方程的应用
物理中的应用
力学
描述物体的运动规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。
电磁学
解释电磁现象，如振荡电路、交流电等。
光学
研究光的传播规律，如波动光学中的干涉和衍射等。
经济中的应用
1 2
金融
预测股票价格、债券收益率等金融产品的动态变 化。
供需关系
分析商品价格与市场需求和供应之间的关系。
微分方程的几何意义
总结词
微分方程的几何意义是通过图形表示未知函数和其导数的变化规律，有助于直观理解方 程的性质和求解方法。
详细描述
通过作图，可以直观地表示微分方程的解，即未知函数的导数随自变量的变化规律。例 如，一阶常微分方程描述了一条曲线的斜率变化规律，二阶常微分方程描述了曲线的弯 曲程度等。通过观察图形，可以更好地理解微分方程的性质和求解方法，例如，通过观
察斜率的变化规律可以求解一阶常微分方程。
02
一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义
应用
形如y'=ay+b的微分方程，其中a和b 为常数，a≠0。
描述物理、工程等领域的线性现象。
解法
通过变量代换y=e^(at)，将其转化为 线性方程。
计算方法―-常微分方程的数值解法316精品PPT课件
0.00000 0.35287 0.50049 0.50073 0.45425 0.40227
y(xn) 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
2021/2/4
17
这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题。 也就解决了高阶方程的定解问题。
2021/2/4
18
9.2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
2021/2/4
19
1. 简单的欧拉(Euler)方法 考虑模型：
a
2
得 yn1 yn (xn 1 xn ) f (xn , y(xn ))
hf (xn , y(xn ))
或用向前差 商近似导数
y(xn )
y(xn1 ) h
y(xn )
x0
x1
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) yn h f (xn , yn )
2021/2/4
23
yi1 yi h f (xi , yi ) (i 0, ... ,n 1)
x y 2
2
2021/2/4
z 2
二阶偏微分方程
12
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲， 我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个定义范 围内的一系列离散点上的近似值。
y(xn) 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
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这些解法都可以写成向量形式 用于一阶常微分方程组的初值问题。 也就解决了高阶方程的定解问题。
2021/2/4
18
9.2、初值问题的数值解法―单步法
简单的数值方法与基本概念
1. 简单欧拉法（Euler） 2．后退的欧拉法 3．梯形法 4．改进Euler法
2021/2/4
19
1. 简单的欧拉(Euler)方法 考虑模型：
a
2
得 yn1 yn (xn 1 xn ) f (xn , y(xn ))
hf (xn , y(xn ))
或用向前差 商近似导数
y(xn )
y(xn1 ) h
y(xn )
x0
x1
y(xn1) y(xn ) hy(xn ) yn h f (xn , yn )
2021/2/4
23
yi1 yi h f (xi , yi ) (i 0, ... ,n 1)
x y 2
2
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z 2
二阶偏微分方程
12
4.什么是微分方程的数值解?
虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法 只能够求解一些特殊类型的方程，从实际意义上来讲， 我们更关心的是某些 特定的自变量在某一个定义范 围内的一系列离散点上的近似值。
《常微分方程》全套课件(完整版)
捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结 果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规 律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自 然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
常微分方程数值解法5262115页PPT文档
x 1 ( t ) 表示时刻 t 食饵的密度，x 2 ( t ) 表示捕食者的密度；
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
50 0 0
30 20 10
0 0
10
20
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30
20
10
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8
6
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2
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0
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
r 表示食饵独立生存时的增长率；
d 表示捕食者独立生存时的死亡率；
a 表示捕食者的存在对食饵增长的影响系数，反映捕
食者对食饵的捕获能力；
b 表示食饵的存在对捕食者增长的促进系数，反映食
饵对捕食者的喂养能力
150 100
令 y 1 y ,y 2 y ',y 3 y '', ,y n y ( n 1 )
可以将以上高阶微分方程化为如下一阶常微分方程组
y1 ' y2 y2 ' y3 yn ' an(x)y1
a1(x)yn f (x)
例：P120,1(a),Bessel方程
常微分方程的数值解
一般地，凡表示未知函数，未知函数的导 数与自变量之间的关系的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的，叫常微分方 程;未知函数是多元函数的，叫做偏微分方 程．
如
y ' x y'x2y2 y''y'xy
Matlab实现 [t,x]=ode45(f,ts,x0,options,p1,p2,......)
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高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程
y ( n ) a 1 ( x ) y ( n 1 ) a ( n 1 ) ( x ) y ' a n ( x ) y f( x )
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
算法大全第15章_常微分方程的解法
-1-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22dyy x dx=+，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是(,)()dyf x y a x bdxy a y ⎧=≤≤⎪⎨⎪=⎩ (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数(,)f x y 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y (x )在若干点012N a x x x x b =<<<<=处的近似值(1,2,,)n y n N =的方法，(1,2,,)n y n N = 称为问题（1）的数值解，1n n n h x x +-=称为由n x 到1n x +的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商()()1n n y x y x h+-代替()n y x '代入（1）中的微分方程，则得()()()()1,(0,1,)n n n n y x y x f x y x n h+-≈=化简得()()()()1,n n n n y x y x hf x y x +≈+如果用()n y x 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为()1n y x +的近似值，记为1n y +， 则有()1,(0,1,)n n n n y y hf x y n +=+=(2)这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题()10,(0,1,)()n n n n y y hf x y n y y a +⎧=+=⎨=⎩ (3) 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出1y ,2y ,…。
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程ppt课件
f1(t) fn (t)
14
拉普拉斯逆变换实例
例3 求 F (s)
Laplace 反变换
s2
s3 3s
2
的
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
x0
,
x(0)
x0,,
x(n1)
(0)
x (n1) 0
a i 为常数
令 X (s) L[x(t)] est x(t)dt
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
1
s
X (s) s(s 1)3
11
1
1
X (s) s s 1 (s 1)2 (s 1)3
x(t) 1 et tet 1 t 2et 1 1 (t 2 2t 2)et
2
2
23
作业 求下列初值问题的解：
x 9x 6e3t , x(0) x(0) 0
如果 f (t), g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L[f (t) g(t)] L[ f (t)] L[g(t)]
9
2 原函数的微分性质
如果 f (t), f (t),, f (n) (t) 都是原函数，则有
14
拉普拉斯逆变换实例
例3 求 F (s)
Laplace 反变换
s2
s3 3s
2
的
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
x0
,
x(0)
x0,,
x(n1)
(0)
x (n1) 0
a i 为常数
令 X (s) L[x(t)] est x(t)dt
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
1
s
X (s) s(s 1)3
11
1
1
X (s) s s 1 (s 1)2 (s 1)3
x(t) 1 et tet 1 t 2et 1 1 (t 2 2t 2)et
2
2
23
作业 求下列初值问题的解：
x 9x 6e3t , x(0) x(0) 0
如果 f (t), g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L[f (t) g(t)] L[ f (t)] L[g(t)]
9
2 原函数的微分性质
如果 f (t), f (t),, f (n) (t) 都是原函数，则有
常微分方程课件
在经济中的应用
描述经济现象：通过常微分方程描述经济现象的变化趋势和规律 预测经济走势：利用常微分方程对经济走势进行预测和分析 优化资源配置：通过常微分方程找到最优的资源配置方案，提高经济效益 制定经济政策：利用常微分方程分析政策对经济的影响，制定合理的经济政策
在生物与工程中的应用
描述种群增长模型
常微分方程是描述函数随时间变化的数学模型。 常微分方程的性质包括解的存在性、唯一性和连续依赖性。 解的存在性是指对于给定的初值问题，存在至少一个解。 唯一性是指对于给定的初值问题，存在唯一的解。
分类与表示方法
线性微分方程： 形如y' = px + q的方程，其中p 和q是常数
非线性微分方程： 形如y' = f(y)的 方程，其中f(y) 是一个关于y的 函数
一阶微分方程： 只含有一个自变 量和一个导数的 微分方程
高阶微分方程： 含有多个自变量 和多个导数的微 分方程
求解方法简介
分离变量法 变量代换法 欧拉方法 龙格-库塔方法
03 一阶常微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如 y'=f(x)g(y)的 一阶微分方程， 其中f和g都是
可导函数。
求解方法：通 过变量分离法、 积分因子法、 公式法等求解。
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汇报人：
分岔与混沌
分岔：当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生突然改变的现象。 混沌：在确定性非线性系统中，由于对初值的高度敏感性而产生的复杂运动状态。 举例：Lorenz 方程。 应用：天气预报、生态学、经济学等。
定性理论的应用与限制
应用领域：物理学、生物学、经济学等 解决实际问题：解释自然现象、预测未来趋势等 限制：定性理论无法处理某些复杂系统或非线性问题 未来研究方向：如何克服定性理论的局限性，拓展其应用范围
常微分方程的常见解法
在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分、 泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。 把这个相应问题的解yn作为y(xn)的近似值。这样求得的yn就是 上述初值问题在节点xn上的数值解。
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
Euler折线法
近似导数
y(x0)
y(x1) h
y( x0 )
记为
y( x1 ) y( x0 ) hy( x0 ) y0 h f ( x0 , y0 )
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
nan (x x0 )n1
f
x,
an
(
x
x0
)n
n1
n0
展开后比较两端同次幂的系数确定
an ,
y
y0
N n1
cn1 (x n
x0 )n
例：用待定系数法求
dy x2 y2 ,
的近似解。
dx
y(0) 1
解： 令 y a n (x x0 )n, 由 y (0) 1 得 a0 1 n0
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
42常系数线性微分方程的解法
et cost, et sin t
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根 对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dnx dt n
z2
(t)]
dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)
z2
(t
)
z1
(t
)
dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
为什么？
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例2 求方程 y(4) 6y(3) 15y 18y 10y 0 的通解
解：(复单根)特征方程为：
4 63 152 18 10 0
特征根 对应的基本解组
1 1 i,2 1 i,3 2 i,4 2 i
, t k1 e 1 1 t , t k2 1e2t
, t km e 1 mt
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dnx dt n
z2
(t)]
dz1(t) dt
ห้องสมุดไป่ตู้
dz2 (t) dt
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性
dz dt [z1(t) z2 (t)]
dz1(t dt
)
z2
(t
)
z1
(t
)
dz2 (t dt
)
注意：同实值函数的微分运算法则一样。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解
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常微分方程的解法介绍
一、 向量场
设一阶微分方程
的右端函数在 平面的一个区域 中有定义,
满足解的存在唯一性定理的条件。
那么，过 中任一点
有且仅有
的一个解
，满足
从几何方面看，解
就是通过点
的一条
曲线（称为积分曲线），且
就是该曲线上
的点
处的切线斜率，特别在
切线斜率
就是
尽管我们不一定能求出方程
的
解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点
3.全微分方程的积分 当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
(1) 线积分法:
或 例：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 由公式(2.3.4)得:
故通解为 其中 为任意常数
(2)偏积分法 例：求方程
解：由于
的通解.
假设所求全微分函数为
,则有
求
而 即 从而
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
变量可分离方程的求解
当,
方程（2.2.1）两边同除以
得
这样对上式两边积分得到
齐次方程
齐次函数: 函数
称为m次齐次函数, 如果
齐次方程: 形如
的方程称为齐次方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
dy
p( x) y
g(x)
初值问题 dx
y(x0 ) y0
的解为
x
x
s
y y0 exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
的切线斜率是 。
如果我们在区域D内每一点 处，都画上一个
以
的值为斜率中心在 点的线段，我们
就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程
所确定的向量场。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方
程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走
向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的
性质来研究解的性质。
令
则
4. 对特殊方程
令
则
例 求方程
的通解。
解：解方程组
得
令 代入原方程可得到齐次方程
令
得
变量分离后积分 还原后得原方程通解为
变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
可化为齐次方程的方程
形如 其中 1. 当 2. 当
(1)
的方程可化为齐次方程. 都是常数. 时, 此方程就是齐次方程. 时, 并且
此时二元方程组
有惟一解 引入新变量 此时, 方程可化为齐次方程:
(2) 若
则存在实数 使得:
或者有
不妨是前者, 则方程可变为
从几何上看，方程
的一个解
就是位于
它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的
每一点都与向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解
就是始终沿着向量场中的方向
行进的曲线，因此，求方程
满足初始值
的解，就是求通过点
的这样的一条曲线。
定理1.3 曲线 L为
的积分曲线的充要条件是：
在L上任一点，L的切线与 所确定的向量场在该
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
• 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求 解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对 了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重 要的指导意义。
三、一阶常微分方程的解法
1线性方程 2 变量可分离方程 3 全微分方程 4 变量替换法
5 一阶隐式方程 6 近似解法 7 一阶微分方程的应用
初值问题
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在 的网格点上画出了向量场
的图形，并给出了过点
的三
条积分曲线，见下图
二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直 接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大 致图形。
• 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要 特征。
点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域
内画出方程
的向量场和几条积分曲线。
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
# 画向量场及积分曲线
即
(3)凑微分法 例：验证方程
是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。
解：由于
所以方程为全微分方程。 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
利用条件
得
最后得所求初值问题得解为：
四、微分方程的近似解法
• 用一些函数去近似微分方程的解 • 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法
能得到解析解的方程：
线性方程、变量可分离的方程、 全微分 方程以及能通过各种方法化为这些类型 的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。
解法:
除方程两边 , 得
令
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)
一、 向量场
设一阶微分方程
的右端函数在 平面的一个区域 中有定义,
满足解的存在唯一性定理的条件。
那么，过 中任一点
有且仅有
的一个解
，满足
从几何方面看，解
就是通过点
的一条
曲线（称为积分曲线），且
就是该曲线上
的点
处的切线斜率，特别在
切线斜率
就是
尽管我们不一定能求出方程
的
解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点
3.全微分方程的积分 当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
(1) 线积分法:
或 例：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 由公式(2.3.4)得:
故通解为 其中 为任意常数
(2)偏积分法 例：求方程
解：由于
的通解.
假设所求全微分函数为
,则有
求
而 即 从而
解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x(t)
考虑
内湖泊中盐酸的变化。
因此有 该方程有积分因子
两边同乘以
后,整理得
积分得 利用初始条件得
变量可分离方程的求解
当,
方程（2.2.1）两边同除以
得
这样对上式两边积分得到
齐次方程
齐次函数: 函数
称为m次齐次函数, 如果
齐次方程: 形如
的方程称为齐次方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy dx
p(x)
y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
y
y0 exp(
p(x)dx)
x0
dy
p( x) y
g(x)
初值问题 dx
y(x0 ) y0
的解为
x
x
s
y y0 exp(
p( )d )
x0
g (s) exp
x0
p( )d ds
x0
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
的切线斜率是 。
如果我们在区域D内每一点 处，都画上一个
以
的值为斜率中心在 点的线段，我们
就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程
所确定的向量场。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方
程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走
向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的
性质来研究解的性质。
令
则
4. 对特殊方程
令
则
例 求方程
的通解。
解：解方程组
得
令 代入原方程可得到齐次方程
令
得
变量分离后积分 还原后得原方程通解为
变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
可化为齐次方程的方程
形如 其中 1. 当 2. 当
(1)
的方程可化为齐次方程. 都是常数. 时, 此方程就是齐次方程. 时, 并且
此时二元方程组
有惟一解 引入新变量 此时, 方程可化为齐次方程:
(2) 若
则存在实数 使得:
或者有
不妨是前者, 则方程可变为
从几何上看，方程
的一个解
就是位于
它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的
每一点都与向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解
就是始终沿着向量场中的方向
行进的曲线，因此，求方程
满足初始值
的解，就是求通过点
的这样的一条曲线。
定理1.3 曲线 L为
的积分曲线的充要条件是：
在L上任一点，L的切线与 所确定的向量场在该
([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 定义微分方程
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
• 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求 解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对 了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重 要的指导意义。
三、一阶常微分方程的解法
1线性方程 2 变量可分离方程 3 全微分方程 4 变量替换法
5 一阶隐式方程 6 近似解法 7 一阶微分方程的应用
初值问题
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在 的网格点上画出了向量场
的图形，并给出了过点
的三
条积分曲线，见下图
二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直 接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大 致图形。
• 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要 特征。
点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域
内画出方程
的向量场和几条积分曲线。
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
Maple指令：
DEtools[phaseportrait]
# 画向量场及积分曲线
即
(3)凑微分法 例：验证方程
是全微分方程，并求它满足初始条件： 的解。
解：由于
所以方程为全微分方程。 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
利用条件
得
最后得所求初值问题得解为：
四、微分方程的近似解法
• 用一些函数去近似微分方程的解 • 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法
能得到解析解的方程：
线性方程、变量可分离的方程、 全微分 方程以及能通过各种方法化为这些类型 的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。
解法:
除方程两边 , 得
令
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。
解:设t时刻雪球的体积为
，表面积为 ，
由题得
球体与表面积的关系为
引入新常数
再利用题中的条件得
分离变量积分得方程得通解为
再利用条件 确定出常数C和r代入关系式得 t的取值在 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则
是全微分方程的充要条件为:
（2.3.3)