工程制图-第三章-直线、平面的相对位置

直线、平面的相对位置

本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：

1)平行关系：直线与平面平行，

两平面平行。

2)相交关系：直线与平面相交，

两平面相交。

§1 平行关系

1.1 直线与平面平行

定理:

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

以，直线EF平行于ABC平面。

[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。

步骤：

1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL

即为所求。

d′

d l′

l

k′

k a′

a b′

e′

b

c X

[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。

作图步骤：

1）作c'm'∥a'b'；

2）根据CM在平面

SCF内，作出cm；

3）由于cm不平

行于ab，即在该

平面内作不出与

AB平行的直线，

所以，直线AB不

平行于四棱锥侧

表面SCF。

1.2 平面与平面平行

两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直

线，则此两平面平行。

所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。作图步骤：

2）作KD∥AC

(k'd'∥a'c',kd∥ac);

a'

c

a

c'

b

b'

k'

k

l'

l

d'

d

X

1）作KL∥BC

(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。

2.1 直线与平面相交

2.1.1 利用积聚性求交点

当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上

或平面上取点的方法求出。

⑴平面为特殊位置

[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

空间及投影分析

平面ABC 是一正垂面，

其V 投影积聚成一条直线，

该直线与m'n'的交点即为K

点的V 投影。

作图

1)求交点。

2)判别可见性。

由V投影可知，k'm'段在平面

上方，故H投影上km为可见。

还可通过重影点判别可见性。

2 k M (n )

b ● m ' n '

c '

b '

a '

a c ⑵ 直线为特殊位置

空间及投影分析: 直线MN 为铅垂线，其水平投影积

聚成一个点，故交点K 的水平投影也积聚在该点上。 1) 求交点 2) 判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN 上，在后。

故k ' 2'为不可见。

1' (2') k ' ● 1 ● ● 作 图:

用面上取点法 X 通过重影点判别可见性

直线EF为正垂线时

［例1］求直线MN 与铅垂面P 的交点。 解:平面P 为铅垂

面，P H 有积聚性，

故mn 与P H 的交点k

即为交点K 的H 投

影。 k ' 由于交点K 必在直

线MN 上，故可用

在直线上取点的方法，由k 求出k '。

规定：在求用迹线表

示的平面的交点和交线

时，不必分辨可见性。 k

［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。解：ABCD为水平面，其V投

影有积聚性；ABEF为铅垂面，

其H投影有积聚性，故本题可

用平面的积聚性求解。

作图步骤：

1）求m'n'与a'b'c'd'的交点k'；

2）根据k'，在mn上求得点k，

则点K(k,k')就是MN与ABCD

的交点；

3）求mn与abef的交点l；

4）根据l，在m'n'上求得点l'，

则点L(l,l')就是MN与ABEF的

交点；

5）因直线MN穿通四棱柱，所

以线段KL之间部分的投影均为

不可见。

一般位置直线与一般位置平面相交，

其投影都没积聚性，则采用换面法：

将一般位置直线或平面变成投影面的

垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用

积聚性直接求得交点的投影。然后利用所

得交点的投影返回到原体系当中，即可求

的平面与直线的交点。

2.1.2 一般位置直线与一般位置平面相交

［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。解：根据上述分析，应采

用换面法将平面ABC变换

成投影面垂直面，这样就

可以在新的投影体系中直

接求得交点的投影。

作图步骤：

1）在平面ABC上作水平

线AD(ad,a' d');

2）作X

1

轴垂直于ad;

3）求出直线MN和平面

ABC在V1投影面上的新

投影m

1' n

1

'和a

1

' b

1

' c

1

'；