初三代几综合题

5．（2009天津市）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与 边交于点．
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标； （2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析 式，并确定的取值范围； （3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移 多少个单位长度？ A B C O x y
8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两 点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4， 0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限， 设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标； （2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
3．如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位
的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．
两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．
（1）梯形的面积等于
；
（2）当时，点离开点的时间等于 秒；
（3）当三点构成直角三角形时，点离开点的时间是
8．（2010
江苏省徐州市）如图①，将边长为4cm的正方形纸
片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、
CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD 交于点
P，连接EP． （1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长 cm；②求证：EP=AE+DP； （2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重 合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx－2的解集是______________．
二、图形运动中的函数关系
这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点 （或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化（或不变化），求对 应的未知函数（即在求出解析式前不确定函数的类型）的解析式和自变 量的取值范围．
（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标 为x，当时，求x的取值范围．
7．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标； （2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点 P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出 点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平
初三数学——代数与几何综合题
【解题策略】 1．认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条
件；再将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论． 2．分析结构理清关系——注意题目的逻辑结构，搞清楚它的各个
小题之间的关系是“平行”的，还是“递进”的．这一点非常重要． 3．从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连
5．（2010盐城）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共 点．
A x y O B
（1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交 点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点 B，求P点的坐标； （3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M， 试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐 标；若不在，请说明理由．
（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ O M A N B C y x
（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变 量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存 在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关 系．找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线 段、三角形相似等．求自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置 （极限位置）和根据解析式求解．
1．（2010桂林）如图，已知正方形ABCD的边长为4
，E是BC边上
的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于F，设BE=，FC=，则当点E从点B运
x y B O A
x y B O A x y B O A
6．（2009 云南省昆明市） 如图，在平面直角坐标系中，四边 形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（4， 3），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动 点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两 个点的运动时间为t（秒）．
动到点C时，关于的函数图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
பைடு நூலகம்
2．如图，已知△ABC中，BC=8，BC边上的高h=4，D为BC边上一 个动点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设E到BC的距离为x， △DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．如图，在直角梯形中，，，cm，cm，cm，点从点出发，以 1cm/s的速度向点运动，点从点同时出发，以2cm/s的速度向点运动．当 其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四 边形的面积与两动点运动的时间的函数图象大致是（ ）．
（2）如图（b），将（1）中的∠AEF绕E点逆时针旋转为∠A′EF ′，EF′交CD边于F′点，且F′点与D点不重合，射线EA′交AB边于点M， 作F′N∥EA′交AD边于点N，设BM为x，△NF′D中，F′D边上的高为y， 求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围．
图（a）
图（b）
7．如图，在中，，，，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D 出发沿DE方向运动，过点P作于Q，过点Q作交AC于R，当点Q与点C重 合时，点P停止运动．设，．
9．（2010 青海省西宁市） 如图，直线y=kx－1与x轴、y轴分别交 与B、C两点，tan∠OCB=．
（1）求B点的坐标和k的值； （2）2若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx－1上的一个动点.当 点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）探索： ①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是； ②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角 形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理 由．
（3）若在直线（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b 的取值范围； （4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符 合条件的b值．
【中考汇编】 1．（2009 山西省太原市） 如图，AB是半圆O的直径，点P从点O
出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻 画与之间关系的是（ ）． P A O B s t O s O t O s t O s t A． B． C． D．
A．
B．
C．
D．
4．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路
返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为
半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（ ）．
O
S
t
O
S
t
O
S
t
O
S
t
A
P
B
A．
B．
C．
D．
5．（2010成都）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速
度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重
合）．如果、分别从、同时出发，那么经过_____________秒，四边形
的面积最小．
6．已知：如图（a），梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB ＝BC＝4，CD＝6．
（1）E为BC边上一点，EF∥AD，交CD边于点F，FG∥EA，交AD 边于点G，若四边形AEFG为矩形，求BE的长；
10．（2010 福建省龙岩市） 如图①，将直角边长为的等腰直角三 角形绕其直角顶点顺时针旋转角，得交于点分别交于于点连接．
线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表 示y与x之间函数关系的图象大致为（ ）． C A B x y O B． x y O C． x y O A． x y O D．
4．（2009 湖北省襄樊市） 在中，为的中点，动点从点出发，以每 秒1的速度沿的方向运动．设运动时间为，那么当 秒时，过、两点 的直线将的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
2．（2008 盐城） 如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从 圆心O出发，沿O — C — D — O路线作匀速运动．设运动时间 为t（s），∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当 的是（ ）．
A． B． C． D． 3．（2010 南京）如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直
1．（2009十堰）已知函数的图象与
轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线
交于点A、D，若AB+CD= BC，则k的值为 ． P y x ·
2．（2010义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛
物线y2的图象，则y2=
；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y
轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为
7．（2010 内蒙古鄂尔多斯市） 如图，四边形是一张放在平面直角 坐标系的矩形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在上取一点，使 得沿翻折后，点落在轴上，记作点．
（1）求点、点的坐标； O x y C B M N A
（2）将抛物线向右平移个单位后，得到抛物线，经过点，求抛物 线的解析式；
（3）①抛物线的对称轴上存在点，使得点到两点的距离之差最 大，求点的坐标；②若点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作 交于，设的长为，的面积为，求与之间的函数关系式，并说明是否存在 最大值．若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
接代数与几何的桥梁关键点．灵活运用数学思想方法，如数形结合思 想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等．
【题型特点】 一、用函数的观点看方程（组）和不等式（组）
1．若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0与1之间（不 含0和1），则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D． 2．直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点
秒．
A
C
Q
D
P
B
4．（2009武汉）如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A（－1， 0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式； （2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直 线BC对称的点E的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，若点P为抛物线上一点，且 ∠DBP＝45°，求点P的坐标．
6．（2008常州）如图，抛物线与x轴分别相交于点B、O，它的顶 点为A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得 到直线l，设P是直线l上一动点．
（1）求点A的坐标； （2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直 角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；
（1）求点D到BC的距离DH的长； （2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）若点P使为等腰三角形．请直接写出所有满足要求的x的值． A B C D E R P H
Q
三、坐标几何问题 这通常是先给定直角坐标系和几何图形，求已知函数（即在求出解 析式前就已知函数的类型）的解析式，然后进行图形的研究，求点的坐 标或研究图形的某些性质．然后根据所求的函数关系进行探索研究，探 索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角 形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似； ④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值 等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等． 求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标， 而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）． y x A B C D O