重积分的数值计算[文献综述]
重积分的计算方法
重积分的计算方法重积分是微积分中的重要概念之一，它用于求解曲线、曲面以及空间中的体积、质量、质心等物理量。
本文将围绕重积分的计算方法展开讨论，介绍定积分和二重积分的概念，并详细阐述它们的计算方法。
一、定积分的计算方法定积分是重积分中最基本的一种形式，它用于计算曲线下的面积、质量等物理量。
在计算定积分时，我们首先需要确定积分的上下限，并将被积函数表示为x的函数形式。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：通过几何图形的面积来计算定积分。
例如，计算一个曲线下的面积，可以将曲线分割成多个小矩形，然后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的值。
2. 面积法：将被积函数表示为x的函数形式后，可以利用面积的性质进行计算。
例如，计算一个曲线下的面积，可以将曲线分割成多个小矩形，然后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的值。
3. 积分基本公式法：利用积分基本公式，将被积函数进行分解后逐个求积分，最后将结果相加即可得到定积分的值。
这种方法适用于被积函数是多项式、三角函数等简单函数的情况。
二重积分是重积分中的一种形式，它用于计算曲面下的体积、质量等物理量。
在计算二重积分时，我们需要确定积分的范围，并将被积函数表示为两个变量的函数形式。
二重积分的计算方法主要有以下几种：1. 直角坐标法：将被积函数表示为两个变量的函数形式后，利用直角坐标系下的面积求解方法进行计算。
例如，计算一个曲面下的体积，可以将曲面分割成多个小长方体，然后将这些小长方体的体积相加即可得到二重积分的值。
2. 极坐标法：当被积函数的形式在直角坐标系下不易处理时，可以考虑使用极坐标系进行计算。
通过将直角坐标系下的被积函数转化为极坐标形式，可以简化计算过程。
3. 变量代换法：对于一些复杂的被积函数，可以通过变量代换将其化简为简单的形式，然后再进行计算。
变量代换法常用的代换方式有线性代换、平移代换等。
总结：重积分是微积分中的重要概念，定积分和二重积分是其中常见的两种形式。
数学专业文献综述范文
数学专业文献综述范文篇一：数学专业文献综述数学是一门极具挑战性的学科，它以抽象的概念和形式化的符号作为基础，独特的思维方式和逻辑分析方法在人类文明进程中扮演着极为重要的角色。
本文将综述数学专业文献的相关领域、研究方向以及一些热门问题。
一、代数学代数学是数学的一个分支，它的研究对象是关于数及其运算规则的抽象结构的理论。
其中，基本群和同态方程、群及其表示、环的理论和模论、域的理论和算术几何等是代数学研究的主要内容。
在着重研究代数系统中的代数方程时，人们发现通过与有限域运算的关系，可以为解决某些长期存在的代数问题打开新的研究方向。
对于关于特种函数中的代数问题，如艾里约函数和模重模等，代数学家们也在持续的研究中试图在解决实际应用问题的同时探索数学本身内在的奥秘。
二、拓扑学拓扑学是研究几何图形变形不变的一种数学领域，它的核心是同伦、同调和纤维丛等概念。
在拓扑学中，人们研究的是几何图形之间的变形关系。
例如，人们对流形、拓扑群、同伦群、曲面等的研究都是在拓扑学中展开的。
通过拓扑学的相关研究，人们逐渐发现了许多几何结构的性质及它们之间的联系，发现了一些惊人的规律。
近年来，拓扑学的重要性在所有领域中都得到了广泛的认可，并被认为是理论物理中的一部分，它在化学、生物、医学等专业计算机应用中也有着重要的应用价值。
三、微积分学微积分学是数学的一个基础分支，主要研究无穷小量和极限的概念，以及它们之间的关系和应用。
微积分学是物理，化学，工程学等工具学科，在研究这些学科中很重要。
涉及到的内容包括微积分的基本原理和应用、微分和积分上的应用、连续函数和微积分的极限等。
微积分学的发展有着较为悠久的历史。
从牛顿时期开始，人们就开始思考如何用数学方法更好地描述自然现象，微积分就成为这个时期困扰人们的主要问题之一。
近些年来，微积分的应用越来越广泛，例如，用它研究金融、经济等领域中的经济活动以及它们之间的关系。
总的来说，在这些数学的分支理论以及它们的相互关系中，数学专家正在努力探索，以发现更多神奇的数学规律和定理，从而促进数学应用的创新和发展。
高等数学-重积分PPT课件
重积分的性质
线性性质
若α、β为常数，则∫[αf+βg]=α∫f+β∫g。
积分区域的可加性
若D1、D2是两个不相交的区域，则∫[D1∪D2]f=∫[D1]f+∫[D2]f。
保序性
若在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则∫[D]f≤∫[D]g。
绝对可积性
若f在D上可积，则|f|在D上也可积，且|∫[D]f|≤∫[D]|f|。
课件内容与结构
课件内容
本课件主要介绍重积分的基本概念、性质、计算方法和应用实例，包括二重积分和三重积分的定义、性质、计算 方法和应用等。
课件结构
课件按照“概念引入-性质探讨-计算方法-应用实例”的逻辑顺序进行编排，层次分明，条理清晰，便于学生理解 和掌握。
02
重积分的定义与性质
重积分的定义
二重积分的定义
计算消费者剩余和生产者剩余
02 重积分可用于计算消费者剩余和生产者剩余，通过对
需求函数和供给函数进行积分得到。
计算社会福利
03
重积分可用于计算社会福利，通过对消费者剩余和生
产者剩余进行加总得到。
06
重积分的数值计算方法
矩形法则与梯形法则
矩形法则
将积分区间划分为若干个小矩形，每个小矩形的面积近似等于其底边长度与高的乘积，将所有小矩形 的面积相加得到积分的近似值。
计算转动惯量
重积分可用于计算物体绕某轴的 转动惯量，通过对物体质量分布 和到轴距离的平方进行积分得到。
计算引力
重积分可用于计算两个物体之间 的引力，通过对两物体间的质量 分布和距离进行积分得到。
在工程学中的应用
计算面积和体积
重积分可用于计算平面图形或立体图形的面积和体积，通过对图形 的边界函数进行积分得到。
【文献综述】极限计算的方法与技巧
文献综述数学与应用数学极限计算的方法与技巧一、极限的发展史与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。
到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。
首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，但关于极限的本质他仍未说清楚。
到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。
之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。
二、国内外现状在国内，数学分析方面的著作如[1]开始一般都先提出极限的思想，极限的计算方法，然后在此基础上提出连续函数,导数,定积分,级数的敛散性,多元函数的偏导性,重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
其中裴礼文在[2]也重点提出了极限计算的10种左右的方法. 张再云, 陈湘栋, 丁卫平, 涂建斌在[3]提出了10种的方法。
三、进展情况我们知道，极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。
重积分的数值计算[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学重积分的数值计算一、前言部分多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数(多变量的函数)，例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分.设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有εσηξ<-∆∑=ni iiiJ f 1),(,则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D 上的二重积分，记作σd y x f J D⎰⎰=),(，其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y 称为积分变量，D 称为积分区域.[1]定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分时求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限[2].定积分的几乎所有性质都可以推广到重积分[3].重积分计算是数值计算方法中的一个分支，数值计算方法又是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等.科学计算是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段.在计算机技术与计算机得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学.将科学技术中的实际问题转化为数学问题，即根据相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件.实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的.因此，只好通过数值计算方法求其近似值.重积分是数值计算方法里重要的一个部分，应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域. [4]二、主题部分2.1 梯形求积公式及其复合公式2.1.1 梯形求积公式当我们需要计算函数),(y x f z =在xOy 平面的某个区域上的定积分时候，必须要计算多重积分.在初等微积分中已经学过，2重积分可以化成累次积分计算.于是我们有⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ad cbad cAdy dx y x f dx dy y x f dA y x f )),(()),((),(, (2.1.1)在式(2.1.1)中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域d y c y b x a x ====,,,.事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种情况放到后面来讨论.在累次积分过程中，当对y 积分时设x 是常数.当求积节点取为等距节点kh a x k += (k =0,1,…,n,h=(b-a)/n ) (2.1.2)时，记x=a+th ,则得求积系数⎰⎰-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-==+-+--ban k k k k k k n k k k b ak n kdx x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x l )())(()()())()(()()(1101110)(ω=⎰⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅-+-+-⋅⋅⋅----nk n n k dt n t k t k t t t k n k h 0.,,1,0,)()1)(1()1()!(!)1( (2.1.3) 求积节点为等距节点的求积公式， ∑==nk k n kf f Qn 0)(][ω称为牛顿-科茨公式.在牛顿-科茨公式求积系数公式中，当n=1时有),(21)1()(10)1(0a b dt t a b -=---=⎰ω(2.1.4)).(21)(10)1(1a b tdt a b -=-=⎰ω (2.1.5)将求积系数)1(1)1(0,ωω代入求积公式∑==nk k n kf f Qn 0)(][ω得到)).()((2][b f a f ab f Qn +-=(2.1.6) 称为梯形求积公式，它的余项是⎰∈--=bab a dx b x a x f f R ).,(,))()((''21][1ξξ (2.1.7)设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=, (2.1.8)它的每一边平行于坐标轴，令B y b y A x a x ====1010,,,于是得到4个点)1,0,)(,(=l k y x l k .如果f 在R 内连续，则有⎰⎰⎰⎰=R),(),(BbA ady y x f dx dxdy y x f (2.1.9)利用梯形公式计算内部积分dx y x f y x f b B dxdy y x f Aa)],(),([2),(10R+-⎰⎰⎰， (2.1.10)对上式右边再次应用梯形公式，可得⎰⎰+++--=Ry x f y x f y x f y x f a A b B dxdy y x f )],(),(),(),()[)((41),(11100100. (2.1.11)这式(2.1.11)即梯形求积公式在重积分上的形式.2.1.2 复合梯形求积公式应用高阶的Newton-Cotes 型求积公式计算积分⎰badx x f )(会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形)又往往因为积分区间步长过大使得离散误差大.然后，若积分区间愈小，则离散误差小.因此，为了提高求积公式的精确度，可以把积分区间分成人若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来.这种公式称为复合求积公式.由于））（b x a x x --=)((π在区间[a,b ]上不变号，故由积分中值定理知，存在）（b a ,∈η使得).('')(121))(()(''21][31ηηf a b dx b x a x f f R b a --=--=⎰ (2.1.12)记h=(b-a)/m,.,,1,0,m k kh a x k ⋅⋅⋅=+=在每个小区间],[1+k k x x 上使用梯形求积公式，便得到)2(2][110)(1∑-=++=m k k m m f f f hf Q， (2.1.13)称之为复合梯形求积公式，它的余项为),(''12)()(''12)(''12][2313)(1ηηηf h a b f mh f h f Rmk k m --=-=-=∑= (2.1.14)其中),(b a ∈η.(2.1.10)的第2个等号的推导用到了介值定理.把上面的矩形R 的边分别分为n 等分和m 等分，这样便把R 分为边长为h 和k 的mn 个小矩形.在每个小矩形上应用梯形求积公式得)],(),(),(),([4),(1111101++++-=-=+++≈∑∑⎰⎰i i i i i i n i i i m j Ry x f y x f y x f y x f hk dy dx y x f ， (2.1.15)其中),,1,0(),,1,0(m j jk y n i ih x j i ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==.上式可以改写为),(4),(00j i n i mj ij Ry x f kh dxdy y x f ∑∑⎰⎰==≈λ, (2.1.16) 其中ij λ是下面矩阵Λ的相应元素，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ122 (22)1244...442244...442..................244...442244...442122 (221)， (2.1.17) 式(2.1.17)称为复合梯形求积公式.2.2.1 抛物线求积公式梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数.如果用2次或者3次插值多项 式那么逼近效果会更好.抛物线求积公式建立的基础就是这种逼近.我们给出两个公式：抛物线求积公式和复合抛物线求积公式.抛物线求积公式也叫辛普森求积公式, 复合抛物线求积公式也叫复合辛普森求积公式.我们用2次牛顿-格雷格里向前多项式推到抛物线求积公式，其中结点210,,x x x 是均与分布的，相邻两点的距离是h ：)3122()46(2)2)1(()2)1(()(02002023022020200200200020022f f f h s s f h s f h s hf dsf s s f s f h x d f s s f s f dx x f x x x x ∆+∆+=-∆+∆+=∆-+∆+=∆-+∆+≈⎰⎰⎰).4(3210f f f h++=(2.2.1) 通过对多项式误差的积分得到积分误差：20)4(5),(901x x f h <<-ξξ. (2.2.2) 抛物线求积公式需要将积分区间分成偶数个小的子区间. 设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=,分别用点A h a x h a x a x =+=+==2,,210，和B k b y k b y b y =+=+==2,,210.划分区间[a,A ]和[b,B],其中)(21),(21b B k a A h -=-=.这样得到9点)2,1,0,)(,(=j i y x j i ,点的分布为1414164141,利用式(2.1.9)，并对内部积分用抛物线求积公式，有 ]),(),(4),([3),(210⎰⎰⎰⎰⎰++=A a A a AaRdx y x f dx y x f dx y x f k dxdy y x f . (2.2.3)再对上式右边的每个积分应用抛物线公式，有{+++++≈⎰⎰),([4)],(),(),(),([9),(0122022000y x f y x f y x f y x f y x f khdxdy y x f R}),(16)],(),(),(11211210y x f y x f y x f y x f +++ (2.2.4)此公式称作抛物线公式.[5]2.2.2 复合抛物线求积公式相似地，对被积函数的4个插值结点的3次牛顿-格雷戈里插值多项式及其插值误差函数积分，我们能推导出复合抛物线求积公式：)3(83)()(3205333f f f hdx x P dx x f x x x x ++=≈⎰⎰. (2.2.5) 误差=3101)4(5),(503x x f h <<-ξξ. 如果子区间数能被3整除，则可以用复合抛物线求积公式.显然复合抛物线求积公式的误差比抛物线求积公式的大，这两个公式的局部误差都是)(5h O .它们的整体误差都是)(4h O ，原因同梯形求积分公式的情况.既然复合抛物线求积公式的误差大，为什么还要使用它呢？他的一个重要的应用是计算子区间的个数为奇数时的积分值.另外，对于奇数个子区间上的积分.在前3个或者后3个子区间应该用在被积函数近似的直线区间上.[6]在重积分上，设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=,把矩形R 的每边分别分成n 等分和m 等分,这就得到了nm 个小矩形，再把每个小矩形等分为四部分，这样就把R 剖分成更小的矩形，并把这些矩形的顶点用作求积公式中的节点.[7]令maB k n a A h 2,2-=-=, (2.2.6) 那么节点的坐标为⎩⎨⎧⋅⋅⋅==+=⋅⋅⋅==+=),2,,1,0,(),2,,1,0,(0000m j b y jh y y n i a x ih x x ji (2.2.7) 在第一次分R 的nm 个矩形上应用公式并记),(j i j y x f fi =后，有12,222,121022,222,22222,21(4),([9),(+++-=++++-=+++++≈∑∑⎰⎰j i j i n i j i j i j i j i m j Rf f f f f f hk dxdy y x f ]16)12,1212,222,12++++++++j i j i j i f f f . (2.2.8)改写上式可以得到ij n i mj ij Rf hk dxdy y x f ∑∑⎰⎰==≈20209),(λ (2.2.9)其中系数ij λ是矩阵Λ的相应的元素，Λ定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=Λ1424242418168168168164284848482284848482416816868164142424241 (2.2.10)2.3 Gauss 型求积公式2.3.1 Gauss 型求积公式首先，不论求积节点如何选取，n+1点求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω的代数精确度不能打到2n +2[8]. .事实上，对任意给定的节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅和任意给定的求积系数)(n k ω,取2)()(∏=-=ni i x x x f , (2.3.1)则f(x)是2n +2次多项式，用求积公式计算得0)(0)(=∑=nk k n kx f ω， (2.3.2)项式，而积分值⎰>badx x f 0)(.这说明对任意给定的n +1点求积公式，都可以找到一个2n +2次多项式，使得求积公式对该多项式的积分是不精确的.[9]其次，通过适当选择插值结点n x x x ,,,10⋅⋅⋅和求积系数，可使求积公式∑==nk k n k n f f Q 0)(][ω的代数精确度达到2n +1，这是这个求积公式可能具有的最高的代数精确度.考虑计算区间[-1,1]上的积分dx x f I ⎰==11)(的两点(n =1的情形)求积公式⎰-+≈111100)()()(x f w x f w dx x f , (2.3.3)这时求积公式的代数精确度不超过2n +1=3,将求积节点10,x x 和求积系数10,ωω作为4个待定参数，依次取被积函数f(x)为1，32,,x x x ,代入求积公式，得到关于参数10,x x ,10,ωω 的方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+.010,3210,0,231302120110010x x x x x x ωωωωωωωω (2.3.4) 由此，可解出,110=+ωω33,3310=-=x x .这样便得到求积公式， ⎰-+-=≈111).31()31(][)(f f f Q dx x f (2.3.5)上述方法是将求积节点和求积系数视为同等的参数进行求解.对一般的求积公式，也可以用此方法将求积节点和求积系数一并求出，从而得到具有最高代数精确度的求积公式，但由于此时的求积公式一定是插值型，只要求积节点确定下来，求积系数便可随之确定.因此，确定求积节点就成为公式构造的关键.[10]若[a,b]区间上一组节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅使得相应的求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω具有2n +1次代数精度，则称此点组为Guass 点组，相应的求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω为高斯型求积公式.高斯点组可直接通过求解相应的方程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定.设区间[a,b]=[-1,1]，在[-1,1]上取权函数1)(≡x ρ，那么相应的正交多项式为勒让德多项式n P ，])1[(!21)(2nnn n n x dxd n x P -= (2.3.6) 设]1,1[-∈C f ，那么高斯求积公式化为⎰∑-=+=111][)()(nk n k k f R x f A dx x f ， (2.3.7)其中高斯点n x x x ,,,21⋅⋅⋅为勒让德多项式)(x Pn 的零点，求积公式(2.3.7)称为高斯-勒让德求积公式.公式(2.3.7)中求积系数)(')(121k n k n k x P x P n A -=. (2.3.8)由式(2.3.7)得∑⎰=-≈ni i i t g A dt t g 111)()(， (2.3.9)对2n -1次的代数多项式是精确成立的，定积分的高斯-勒让德求积公式很容易推广到重积分⎰⎰--=1111),()(dxdy y x f f I (2.3.10)的求积，求积公式⎰∑∑⎰-==-≈111111),(),(n i j i nj j i t t f A A dxdy y x f (2.3.11)对于二元函数120,120,1,1,),(-≤≤-≤≤≤≤-=n n y x y x y x f βαβα精确成立.这式 (2.3.11)也称为重积分的高斯型求积公式.[11]2.3.2 另外几种高斯型求积公式在物理和力学中常常遇到一些带有权函数的广义积分，对于这些积分使用其他求积公式会遇到困难.对于不同的权函数，便有不同的直交多项式，从而得到不同的具体高斯型求积公式.而针对权函数和积分区间，选择适当的节点构造代数代数精确度最高的高斯型求积公式进行计算，通常是有效地.当然要构造高斯型求积公式，计算节点和求积系数是比较麻烦的.对于一些常用的特定的权函数，前人已算出他们的节点和求积系数表，计算这些积分时可以直接查表得到求积公式，[12]下面给出几种常用的高斯型求积公式的节点和求积系数表，并举例说明如何使用这种方法.1)Gauss-Laguerre 求积公式,)()(0)(⎰∑∞=-≈nk k n k xx f dx x f eω (2.3.12)节点和求积系数如表1 Gauss-Laguerre 求积公式的余项为)()!22())!1((][)22(2ξ+++=n n f n n f R . (2.3.13) 表1 Gauss-Laguerre 求积公式节点和求积系数例 应用Gauss-Laguerre 求积公式计算⎰∞-==0)21(sin xdx e I x .我们用3个节点(n=2)的公式计算：.490298.02899451.6sin 0103893.02942804.2sin 2785177.04157746.0sin 7110930.0sin 0=⨯+⨯+⨯≈=⎰∞-xdxe I x2)Gauss-Hermite 求积公式,)()(0)(2∑⎰=∞∞--≈nk k n k x x f dx x f eω (2.3.14)节点和求积系数如表2表2 Gauss-Hermite 求积公式节点和求积系数±0.7071068 0.8862269 ±2.3506050 0.0045300 ±0.5246476 0.8049141 ±0.3811870 0.6611470 ±1.6506801 0.0813128 ±1.1571934 0.2078023 ±0.4360774 0.7246296 ±1.9816568 0.0170780 ±1.3358491 0.1570673±2.9306374 0.0001996Gauss-Hermite 求积公式的余项为)()!22(2)!1(][)22(1ξπ++++=n n n f n n f R . (2.3.15) 例应用Gauss-Hermite 求积公式计算积分⎰∞∞--=.sin 22xdx e I x它的精确值是.5602023.02/)1(1≈--e π[13]我们使用4个节点的Gauss-Hermite 求积公式计算：.5655102.0))6506801.1(sin 6506801.1(sin 0813128.0)5246476.0(sin 5246476.0(sin 8049141.02222=-+⨯+-+⨯≈I3)Gauss-Chebyshev 求积公式,))1(212(cos11)(0112∑⎰=-+++≈-nk n k f n dx x x f ππ(2.3.16)这里权函数的1/21x -，节点π)1(212cos ++=n k x k ，求积系数).1/(+=n n kπω）（求积公式的余项为))(22()!22(22][R 22ξπ++=+n f n f n n . (2.3.17) 一般的，高斯型求积公式的基点式无理数，并且不是等距的.几点和求积系数需要查表，这就带来不便，并且若需增加基点，原先计算得函数值对当前的计算没有用处.但是，高斯求积公式具有较高的代数精确度，对于给定的误差容限，所需计算函数值的次数较其他许多求积公式少得多.并且，高斯型求积公式可以用来计算反常积分.[16]2.4 累次积分法设f(x,y)在D=[a,b]*[c,d]上可积.1． 如果对每个),(],,[y x f d c y ∈在[a,b]上可积，则⎰=badx y x f y ),()(ϕ在[c,d ]上可积，并有⎰⎰⎰⎰==Dbadcd cf dx y x f dy dy y ),()(ϕ. (2.4.1)2．如果对每个),(],,[y x f b a x ∈在[c,d]上可积，则⎰=bady y x f y ),()(ϕ在[a,b]上可积，并有⎰⎰⎰⎰==dcDb ab af dy y x f dx dx x ),()(ψ. (2.4.2)证明：设,A f D=⎰任给ε>0，存在δ>0，只要分割T 的宽度T <δ，对任],[],[11j i i i ij ij y y x x D M --⨯=∈，就都有εε+<∆∆<-∑A y x M f A j i ji j i ,)(, (2.4.3)任取],[],,[11j j j i i i y y x x --∈∈ηξ，并取)(,j i ij M ηξ=,于是(2.4.3)可以写成εηξε+<∆∆<-∑∑==A x f y A ni i j i m j j 11),(. (2.4.4)对于给定的][,1j j y y -∈η,∑=∆ni i jix f 1),(ηξ是),(j x f η在[a,b]上的Riemann 和，故有)(),(10||||lim j i ni jiT x f x ηϕηξ=∆∑=→. (2.4.5)由(2.4.3)可知，只要δ<T ，就有εηϕε+<∆<-∑=A y A mj j j 1)(. [15](2.4.6)由此可知）（y ϕ在[c,d]上可积，并有⎰⎰==Ddcf A dy y )(ϕ. (2.4.7)三、总结部分重积分的数值计算是许多科学与工程计算的核心.重积分的出现和发展，提高了求解定积分的效率. 本文主要介绍了多重积分的基本思想，以及四种经典解重积分的方法——梯形法及其复合法、抛物线法及其复合法、高斯方法和累次法，重点介绍了前2者的深度解析.相比较传统定积分解法,求解高斯及其推广而出的多种方法显示出与众不同的有效性.由于编程简单且存储量小，相信随着理论分析和研究的日益深入，重积分的理论将更加完善，也将为我们提供产生更有效的解重积分的新思路,各种解法在应用上的发展也将日趋进步.四、参考文献[1] 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法[M] .北京：科学出版社,2005.8:93-128.[2] 林成森.数值计算方法(上)[M].北京：科学出版社,2004.5:196-256.[3] 萧树铁.多元微机分及其应用[M].北京:高等教育出版社,2000.5 :121.[4] 谢盛刚，李娟，陈秋桂.微机分(下)[M]. 北京：科学出版社,2005.1:110-111.[5] Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical Analysis[M].( 7th edition) 英文影印版. 北京：高等教育出版社,2003.4:241-281.[6] Curtis F.Gerald, Patrick O.Wheatley. Applied Numerical Analysis[M]. 白峰杉改编. ( 7th edition) 英文影印版.北京：高等教育出版社,2006.1.210-420.[7] 颜庆津.数值分析[M].北京：北京航空航天大学出版社,2006.7:149-177.[8] 费业泰.误差理论与数据处理[M].第4版.北京：机械工业出版社,2005:1～9.[9] 冯有钱，王国正，李炳杰，郭罗斌.数值分析[M].北京：清华大学出版社,北京：北京交通大学出版社,2005.3:92-110,161-188.[10] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南宁职业技术学院报,2009,14(6):95-97.[11] 林承初.二重积分的计算方法与技巧[J].广西财经学院学报,2006，19(增刊):336—338．[12] 许必才，石广洲．重积分的原函数法[J]．成都大学学报(教育科学版) ,2008，22(3):125—126．[13] 现代应用数学手册编委会.现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M].北京:清华大学出版社,2005.1:320-425[14] 华东师范大学数学系.数学分析[M]．北京：高等教育出版社,2001:214—215．[15] 陈志华．重心法计算重积分[J]．玉溪师范学院学报,2008，24(4):7—9．。
对称性在积分计算中的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学对称性在积分计算中的应用在数学计算中, 积分计算是一个非常重要的部分. 早在古希腊时期数学家阿基米德在《抛物线图形求积法》和《论螺线》中, 利用穷竭法, 借助于几何直观, 求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积, 其思想方法是分割求和,逐次逼近. 虽然当时还没有极限的概念, 不承认无限, 但他的求积方法已具有了定积分思想的萌芽.[1] 17 世纪中叶, 法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积, 更加接近现代的求定积分的方法. 可见, 利用“分割求和”及无穷小的方法, 已被当时的数学家普遍采用.[2]17世纪下半叶牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法. 但是, 他们留下了大量的事情要后人去解决, 首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础. 创立于17 世纪的微积分, 主要应用于天文学、力学、几何学中的计算.[3] 而到19 世纪下半叶微积分已经发展成为一门系统、严密、完整的学科. 积分概念也趋于逻辑化、严密化,形成我们现在使用的概念. 定积分的概念中体现了分割、近似、求和的极限思想. 其中分割既是将[,]a b 任意地分成n 个小间,12,,,,,i n x x x x ∆∆∆∆L L ,其中i x ∆ 表示第I 个小区间的长度, 在每个小区间上任取一点i ξ做()i i f x ξ∆并求和()i if x ξ∆∑,这体现了求和的思想, 当区间的最大长度趋于零时, 和式的极限若存在即为()f x 在[,]a b 上的定积分. 利用定积分可以解决很多实际问题,例如求由曲线围成的平面图形的面积;求由曲线绕坐标轴旋转所得旋转体的体积;平行截面面积为已知的立体的体积;求曲线的弧长以及物理中的功、水压力等等时,()ba f x dx ⎰的积分形式也可以推广: (1) 可以把积分区间[,]ab 推广到无限区间上,如[,)a +∞ 等,或者把函数推广到无界函数,也就是广义积分. (2) 可以把积分区间[,]a b 推广到一个平面区域,被积函数为二元函数, 那么积分就是二重积分; 同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分. (3) 还可以将积分范围推广为一段曲线弧或一片曲面, 即曲线积分和曲面积分. 无论积分推广到何种形式, 它始终体现了这种分割的极限思想, 比如二重积分的概念:设(,)f x y 在有界闭区域D 上有界,(1) 分割: 将D 任意分成n 个小区域i σ∆并表示面积;(2) 近似: 在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη作乘积;(3) 求和取极限:若各区域直径的最大值趋于零时, 和式(,)i i if ξησ∆∑的极限存在, 即为 (,)f x y 在D 上的二重积分. 由此我们发现定积分与重积分在概念的本质上是一致的, 同样三重积分亦是如此.[4]此外,不定积分与定积分之间关系为:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰, 这是牛顿—莱布尼兹公式. 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 它表明: 一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一原函数在区间[,]a b 上的增量. 这就给求解定积分提供了一个简便而有效的计算方法. [5]积分在数学分析中有很重要的地位; 积分的计算方法有许多种, 相关文献都对其有探讨,但是对对称性的研究却很少涉及. 对称性在积分运算中有着很重要的意义, 通常可以简化计算. 本文研究了对称性在积分运算中的应用. 积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.[6] 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能.[7] 下面我们举出几个对称性在积分计算中的例子, 张振强他的一篇对称性在二重积分中的应用论文中介绍如何利用对称性来计算二重积分, 并提出了通过适当改造被积函数和积分区城以利用对称性来简化计算的方法. 在一般情况下, 不仅要求积分区域D 具有对称性, 而且被积分函数对于区域D 也要具有对称性. 但在特殊情况下, 即使积分区域D 不对称, 或者关于对称区域D 被积函数不具备对称性, 也可以经过一些技巧性的处理, 使之化为能用对称性来简化计算的积分.[8]常见对称形式的二重积分的简化运算有三种, 一: 积分区域D关于坐标轴对称; 二: 分区域D关于=±对称. 在进行二重积分计算时, 善于观察被积原点对称; 三: 积分区域D关于直线y x函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化. 刘渭川, 在他的利用对称性计算曲线积分和曲面积分, 论文中提到, 借助于(平面)空间曲线及空间曲面的直观几何意义, 利用曲线, 曲面关于坐标轴及坐标面的对称性, 探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇(偶)函数, 如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分这种积分方法使得曲线(面)积分更为简便、快捷, 同时, 也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误. [9]因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用轮换对称性以求简便计算. [10]参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M]. 沈阳: 辽宁科技出版社, 1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 林源渠. 高等数学复习指导与典型例题分析[M]. 北京: 机械工业出版社, 2002.[6] 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的应用[J]. 毕节师范高等专科学校学报(综合版),2002, 20(3): 90～92.[7] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[8] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,(10): 181.[9] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective [J], injective, and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[10] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
导数的数值计算方法[文献综述]
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毕业论文文献综述信息与计算科学导数的数值计算方法一、 前言部分导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示．导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具]1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数]2[．最简单的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有[3]．()()()'f x h f x f x h+-≈，()()()'f x f x h f x h--≈，()()()'2f x h f x h f x h+--≈．需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化]4[．二、主题部分数学中研究导数，微分及其应用的部分称为微分学，定积分及其应用的部分称为积分学．微分学与积分学统称为微积分学．微积分学是高等数学最基本，最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界，探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一． 恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”． 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观，科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材．积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生，从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业，农业，航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代．而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学，天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生: (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值．这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]5[．下面我们就来研究几种推导数值微分公式的常用方法． （一）利用差商表求导数[67]，最简单的数值微分公式是用向前差商近似代替导数： ()()()000'f x h f x f x h+-≈． （1．1）类似地，也可用向后差商近似代替导数()()()000'f x f x h f x h--≈． （1．2）或用中心差商近似代替导数()()()000'2f x h f x h f x h+--≈． （1．3）数值微分示意图在几何图形上，这3种差商分别表示弦AB ，AC 和BC 的斜率．将这3条弦同过A 点的切线AT 相比较，从上图可以看出，一般地说以BC 的斜率更接近于切线AT 的斜率()0'f x ，因此就精确度而言，以式（1．3）更为可取．称 ()()()002f x h f x h D h h+--= （1．4）为求()0'f x 的中点公式．现在来考察用式（1．4）代替()0'f x 所产生的截断误差．首先分别将()0f x h ±在0x 处作Taylor 展开，有()()()()()()()2344000000''''''2!3!4!h h h f x h f x hf x f x f x f x ±=±+±+±()()5505!h f x +L ． 然后代入中点公式（1．4），得()()()()()245000''''3!5!h h D h f x f x f x =+++L ．所以截断误差()()()()()245000''''3!5!h h f x D h f x f x -=--+L （1．5）由此可以得到：从截断误差的角度来看，步长h 越小，计算结果越准确．但从计算角度看，h 越小，()0f x h +与()0f x h -越接近，直接相减会造成有效数字的严重损失，因此从舍入误差的角度看步长h 不宜去的太小．怎样选取合适的步长呢？可采用二分步长及误差事后估计法，即比较二分前后所得值()D h 与2h D ⎛⎫⎪⎝⎭，若()2h D h D ε⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2h 为所需的合适的步长且()0'2h D f x ⎛⎫≈⎪⎝⎭． （二）插值型求导公式 对于列表函数()y f x =x0x 1x … n xy0y 1y…n y应用插值原理，可以建立插值多项式()n p x 作为()f x 的近似．由于多项式的求导比较容易，因此可以取()'n p x 的值作为()'f x 的近似值，这样建立的数值公式()()''n f x p x ≈ （2．1）统称为插值型求导公式[8,9]．()'n p x 的截断误差可由()n p x 的截断误差求导数得到．因为()()()()()()111!n n n f f x p x W x n ξ++-=+式中，[],a b ξ∈且依赖于x ；()()10nn j j W x x x +==∏-．于是()'n p x 的截断误差为()()()()()()()()()()1111'''1!1!n n n n n f W x df x p x W x f n n dxξξ++++-=+++．（2．2）由于ξ是x 的位置函数，因此求()()1n d f dxξ+较麻烦，一般都限定求某个节点k x 上的导数值，此时（2．2）右端的第2项由于()10n k W x +=而变为零，这时()'n p x 的截断误差为 ()()()()()()11'''1!n k n k n k f f x p x W x n ξ++-=+ ． （2．3）由于以上的原因，以下仅考察节点处的导数值，为简化讨论，假定所给节点是等距的]11,10[．1．一阶两点公式()1n =()()()()01011011''',,2hf x y y f x x h ξξ=--∈， ()()()()11022011''',,2hf x y y f x x h ξξ=-+∈．2．一阶三点公式()2n =()()()()2001211021'34''',,23h f x y y y f x x h ξξ=-+-+∈．()()()()210222021'''',,26h f x y y f x x h ξξ=-+-∈．()()()()2201233021'43''',,23h f x y y y f x x h ξξ=-++∈．利用插值多项式()n p x 作为()f x 的近似函数，还可建立高阶导数数值微分公式()()()()k k n f x p x ≈ ()1,2,...k =我们对它不作深入讨论，但要指出的是，尽管()n p x 与()f x 的值相差不多，其各阶导数的值()()k np x 与真值()()k f x 仍然可能差别很大，因此要注意误差分析]12[．数值微分的插值型公式，应用难度在于步长h 的选取．h 过大，截断误差变大；h 过小，舍入误差变大．因此，在实际计算时，恰当地选取步长h 是关键]13[．（三）理查森外推法[14]理查森外推法是科学计算领域提高算法精度的重要方法，广泛应用于数值积分，有限元和偏微分方程数值解等领域[15]． 理查森外推法是一种对低阶收敛方法进行适当的组合，从而产生较高阶收敛精度的一种方法．首先先引进数值微分公式： ()()()1'2f x f x h f x h h≈+--⎡⎤⎣⎦． （3．1） 它由泰勒定理的两种情况导出：()()()()()231''''''23!h h f x h f x hf x f x f ξ+=+++ ，（3．2）()()()()()232''''''23!h h f x h f x hf x f x f ξ-=-+- ． （3．3）我们现在就引入理查森外推的过程，并介绍如何利用它来巧妙地改进数值公式的精度．把（3．2）式和（3．3）式扩展到具有高阶项．假设()f x 用它的泰勒级数表示为()()()01!k k k f x h h f x k ∞=+=∑， （3．4）()()()()011!kk k k f x h h f x k ∞=-=∑- ． （3．5） 如果第一个等式减去第二个等式，则消去了所有k 是偶数的项，得()()()()()()535222''''3!5!f x h f x h hf x h f x h f x +--=+++L ． 重新整理得()()()1'2f x f x h f x h h=+--⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()3572461113!5!7!h f x h f x h f x ⎡⎤-+++⎢⎥⎣⎦L． 这个等式具有形式()246246L h a h a h a h ϕ=++++L （3．6）其中L 表示()'f x ，()h ϕ表示数值微分公式（3．1）；即()()()12h f x h f x h h ϕ=+--⎡⎤⎣⎦． 其中x 是指定的数值，下面设计的数值过程用于估计L ．对于0h >，可计算函数ϕ的值，但不能计算0h =，级数的项2424a h a h ++L 给出了误差．假设20a ≠，可以看出当h 充分小时，第一阶22a h 大于其他项．因此要设法消去这一占优项22a h ．我们的分析仅仅是建立在（3．6）式地基础上，并且它可应用于其他数值过程．用2h 替换（3．6）式中的h 得到()24624621664L h a h a h a h ϕ=++++L ． （3．7）（3．6）式减去4倍的（3．7）式，可消去误差级数中的第一项22a h ．结果如下：()246246L h a h a h a h ϕ=++++L ，()()()2462464646442416342341516L h a h a h a h L h h a h a h ϕϕϕ=++++=----LL．因此我们有()()464641251633L h h a h a h ϕϕ=----L ． （3．8）式（3．8）表达了理查森外推的第一步．它表明()h ϕ和()2h ϕ的一个简单组合提供了一个计算L 的方法．还有一种情况，对（3．6）式所完成的过程现在可以用于（3．8）式（做适当地修改）．相应的做法如下：在（3．8）式中令()()()41233h h h ψϕϕ=-．则()4646L h b h b h ψ=+++L ， ()464621664L h b h b h ψ=+++L ．此时()4646L h b h b h ψ=+++L ， ()()()4646661616241516234L h b h b h L h h b h ψψψ=+++=---LL． 因而，我们有()()661612201515L h h b h ψψ=---L ． （3．9） 再一次重复这个过程，在（3．9）式中令()()()16121515h h h θψψ=-． 使得()6868L h c h c h θ=+++L ．用上述相同的方法可得()()88641232526363L h h c h θθ=---L ． 事实上，可执行任意多步来得到不断增加精确度的公式．下面是完整的算法，即允许执行M 步的理查森外推算法：1. 选取一个方便的h 值（例如1h =）并且计算1M +个数()(),02n D n h ϕ= ()0n M ≤≤2. 用下列公式计算()()()41,,11,14141k k k D n k D n k D n k =------（3．10） 这里1,2,,,,1,,k M n k k M ==+L L ． （四）将微分问题转化为积分问题]3[微分是积分的逆运算，因此可借助于数值微分来计算数值积分． 设f 是一个充分光滑的函数，其导数为ϕ．由积分定义有()()xxf x f x t dt ϕ∧∧⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ． （4．1） 其中x ∧为任意指定的数．设()00,1,i x x ih i n =+=L 为一组等距节点，并设()k k y f x =．在公式（4．1）中取11,,k k x x x x ∧-+==于是式（4．1）变为()()()1111k k x k k x f x f x t dt ϕ+-+-=+⎰()1,2,,1k n =-L （4．2）对上式右端的积分采用不同的求积公式就得到不同的数值微分公式． （1）对积分采用中点公式()()()()11322''24k k x k k x h t dt h x ϕϕϕξ+-=+⎰，从而得到中点微分公式()()()()()211''''26k k k k k f x f x h f x x f h ϕξ+--==-， （4．3） 其中()111,2,,1k k k x x k n ξ-+≤≤=-L ．（2）如果对式（4．2）中的积分采用辛普森求积公式，则有()()()()()()1155114390k k x k k k k x h h t dt x x x f ϕϕϕϕξ+--+=++-⎡⎤⎣⎦⎰ （4．4） 其中1k k k x x ξ-≤≤．如果记k ϕ为()'k f x 的近似值，且在上式中略去高阶项，那么从式（4．2）可得到辛普森数值微分公式()111134k k k k k y y hϕϕϕ+--+-++=()1,2,,1k n =-L 三、总结部分本文首先介绍了导数产生的背景及发展历程和方向，让大家对导数有了初步认识．总体来说，导数主要用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．因此被广泛地应用于物理化学以及经济各个领域中．然后本文着重讲了几种推导数值微分公式的常用几种方法，如差商法，插值多项式求导法，理查森外推法，以及将微分问题转化为积分问题．还归纳总结了常用的数值微分公式，如中点公式，两点公式和三点公式等．此外，因为微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化，所以本文对于步长的选取以及截断误差的分析也进行了进一步的说明．随着导数的被广泛应用，对于导数精确度的提高也不容忽视．在将来的日子里除了继续不断寻求更简便的方法推导数值微分公式外，对于误差分析的研究也将越来越被重视．四、参考文献[1]石文．微分中值定理的应用实例[J]．高等函授学报(自然科学版)．2009，22(6):54-58．[2]Jeffery J．Leader． Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社，2008．5:328．[3]现代应用数学手册编委会．现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社，2005:245－246．[4]Michael T．Heath． Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京:清华大学出版社，2001．10:365．[5]华东师范大学数学系编．数学分析．上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社，2001．6:87-101．[6]Curtis F．Gerald，Patrick O．Wheatley著，吕淑娟译．应用数值分析[M]．北京:机械工业出版社，2006．8:212-213．[7]方春华．双曲线方程的组合差商算法研究[J]．湖南理工学院学报(自然科学版)．2008．12，21(4):7-10．[8]孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习[M]．南京:东南大学出版社，2005．7(2009．2重印):93-153．[9]蒋长锦．科学计算和C程序集[M]．合肥:中国科学技术大学出版社，1998．9:257-260．[10]周小清，邬云雯，戴薇，黄国盛．数值求导算法研究[J]．吉首大学学报(自然科学报)．2001．3，22(1):64-65．[11]封建湖，车刚明，聂玉峰．数学分析原理[M]．北京:科学出版社，2001．9:128．[12]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析[M]．南京:东南大学出版社，2002．1:226．[13]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社，2005．10:172-186．[14]David Kincaid，Ward Cheney著，王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社，2005．9:376-380．[15]杨小远，周渝志，林柏洪．N阶导数值计算的外推算法研究[J]．河南科学．2010，28(7):762-766．。
重积分的计算及应用共42页文档
1
x1
I 1x2 dx d z yd y
1
1 x 2 1 x 2 z 2
28 45
思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?
练习 P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3)
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
D
:
0Rco s
22
原式
y Rcos
o D Rx
2R3
2(1si3n)d
30
P183 7. 把积分 其中由曲面 所围成的闭区域 .
提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
1
1 x2y2
原式 d x d y f (x, y, z)dz
1 x 2
0
P183 8 (1) .计算积分
其中是两个球
1dx
0
x2 x2
1
dz
1 z x2
f ( x, y, z)dy.
练习: 将f(x,y)d化为二次. 积分
D
(1)由直 y1 线 x,yx1,y1围成的 ; 闭
(2)由抛y物 x2,线 y1x2围成的 ; 闭区
(3)由 y4x2,y2xx2,x0围成的 . 闭
(4 )闭区 xy域 2 xx 2. 解 (1)D 是 Y－型。 将 D 向 y 轴投影。
一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
重积分应用与计算
重积分应用与计算重积分是微积分中一项重要的概念，它广泛应用于各个科学领域，特别是物理学、工程学和经济学等。
重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，通过对多元函数进行积分，可以解决许多实际问题。
本文将介绍重积分的应用，并重点讨论其计算方法。
一、重积分的应用1. 质量和质心重积分可以用于计算物体的质量和质心。
对于一个二维物体，其质量可以通过计算其面积的重积分来得到。
例如，一个有界闭区域D的质量可以表示为：m = ∬D ρ(x,y) dA其中，ρ(x,y)表示单位面积上的密度函数。
质心的坐标可以由下式给出：(x_c, y_c) = (∬D xρ(x,y) dA, ∬D yρ(x,y) dA)类似地，对于一个三维物体，质量和质心的计算也可以通过重积分来实现。
2. 总量和平均值重积分可以用于计算一个区域内某个量的总量和平均值。
例如，在物理学中，可以通过对速度场进行重积分来计算液体或气体的总质量流量。
在经济学中，可以通过对产量或消费量的重积分来计算总产量或总消费量。
对于一个二维区域D，某个量f(x,y)的总量可以表示为：Q = ∬D f(x,y) dA平均值可以表示为：f_avg = (1/area(D)) * ∬D f(x,y) dA其中，area(D)表示D的面积。
3. 概率和期望值在概率论中，重积分可以用于计算概率和期望值。
对于一个二维区域D上的离散随机变量，其概率函数可以表示为p(x,y)，概率p(x,y)在区域D上的积分即为该随机变量落在D内的概率。
期望值可以表示为：E[f(x,y)] = ∬D f(x,y) * p(x,y) dA其中，f(x,y)是随机变量的函数。
二、重积分的计算方法1. 二重积分二重积分用于计算平面二维区域上的积分。
常用的计算方法包括直角坐标系下的面积法和极坐标系下的极坐标法。
面积法：设D为平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的连续函数。
则D上f的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dx dy其中，[a,b]和[c,d]分别为D在x轴和y轴上的投影区间。
《重积分计算方法》课件
计算引力场中的力
01
在物理学中，重积分常用于计算物体在引力场中所受的力。例
如，地球上物体的重力就是地球质量的重积分结果。
弹性力学中的应力分析
02
在弹性力学中，重积分用于分析物体在受力后内部的应力分布
情况。
电场和磁场中的高斯定理和安培环路定理
03
重积分在电场和磁场理论中有重要应用，如高斯定理和安培环
路定理的证明。
重积分计算方法
目录
• 重积分概述 • 重积分的基本计算方法 • 重积分的换元法 • 重积分的分部积分法 • 重积分的近似计算方法 • 重积分的应用实例
01
重积分概述
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的函数 ，$D$ 是二维平面上的一区域，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的重积分表示为 $int_{D} f(x, y) dsigma$。
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(x^2+y^2)dy ∫dx=π/2*∫(x^2+y^2)dy，其中D是 积分区域。
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz=∫(x^2 +y^2+z^2)dz∫(x^2+y^2)dy∫dx= π^2/6*∫(x^2+y^2+z^2)dz，其中 Ω是积分区域。
体积
当 $f(x, y) = z$ 时，$int_{D} dsigma$ 表示以 $D$ 为底面，高为 $f(x, y)$ 的立体的体积。
02
重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小矩形，然后对 每个小矩形进行积分，最后求和得到 结果。
多重积分计算方法小结
摘要多重积分的形式是各种各样的，掌握其计算方法及技巧是解答问题的关键。
本文主要从直角坐标、坐标变换、对称性、分部积分法、转化成曲线积分或曲面积分等方面讨论了二重积分及三重积分的几种计算方法和技巧，并分别举例说明。
此篇论文较为全面地总结了多重积分的计算方法，而且剖析了各种方法在运用中的常见错误，希望能够给初学者提供一定的借鉴作用。
关键词：二重积分；三重积分；计算方法AbstractThe form of multiple integral is various. Mastering calculation methods is the key to solve problems. This paper mainly discusses several calculation methods of double integral and triple integral, from every aspects such as rectangular coordinates, coordinate transformation, symmetry,integration by parts, converting curvilinear integral or surface integral and so on, meanwhile giving some examples respectively. This paper more comprehensively summarizes the calculation methods of multiple integral, and analyzes the common errors in the use of various methods, hoping to provide certain reference for beginners.Keywords:double integral; triple integral; calculation methods目录摘要 .....................................................I ABSTRACT ................................................... I I1. 引言 (1)2. 二重积分的计算方法 (1)2.1直角坐标系下二重积分的计算 (1)2.2用变量变换法计算二重积分 (6)2.3用极坐标计算二重积分 (8)2.4对称性在二重积分计算中的应用 (13)2.5用分部积分法计算二重积分 (15)2.6曲线积分在二重积分计算中的应用 (16)3. 三重积分的计算方法 (17)3.1直角坐标系下三重积分的计算 (17)3.2用变量变换法计算三重积分 (22)3.3用柱面坐标计算三重积分 (22)3.4用球坐标计算三重积分 (23)3.5用广义球坐标计算三重积分 (25)3.6对称性在三重积分计算中的应用 (26)3.7用分部积分法计算三重积分 (28)3.8曲面积分在三重积分计算中的应用 (30)4. 结束语 (31)参考文献 (32)致谢 (33)多重积分计算方法小结1. 引言积分学在古希腊时期初步出现，是微积分学的一个分支,它的发展经历了一个漫长的时期。
《重积分计算法》课件
02 重积分计算法概述
什么是重积分
重积分分为二重积分、三重 积分等
重积分是积分的一种，用于 计算多元函数的积分
重积分的计算方法包括直角 坐标系、极坐标系等
重积分在物理、工程等领域 有广泛应用
重积分的计算方法
矩形法：将区域划分为矩形，计算每个矩 形的面积
梯形法：将区域划分为梯形，计算每个梯 形的面积
计算积分值
确定积分区域：确定积分的区间和边界 确定积分函数：确定积分的函数表达式 计算积分值：使用积分公式或数值积分方法计算积分值 验证结果：检查计算结果是否正确，必要时进行修正
验证结果
计算结果与理论值比较 误差分析 结果修正 结果验证
05
重积分计算法的实例解 析
计算平面图形的面积
确定积分区域：确定积分区域为平面图形的面积 确定积分函数：确定积分函数为平面图形的面积函数 计算积分：计算积分区域的面积函数 结果：得到平面图形的面积结果
计算立体的体积
立体的定义：三 维空间中的几何 体
体积的计算公式： V=∫∫∫f(x,y,z)d xdydz
实例解择 积分变量、计算 积分值
计算曲面的面积
曲面积分的 定义
曲面积分的 应用实例
曲面积分的 计算方法
曲面积分的 计算技巧
解决实际问题
添加标题
添加标题
工程领域：计算物体的受力、应力、 应变等
生物领域：计算细胞的体积、密度、 分布等
03 重积分计算法的原理
微积分基础
微积分的定义：微 积分是研究函数、 极限、导数、积分 等概念的数学分支
微积分的发展：微 积分起源于古希腊， 经过牛顿、莱布尼 茨等人的发展，成 为现代数学的重要 基础
微积分的应用：微 积分在物理学、工 程学、经济学等领 域有着广泛的应用
重积分的数值计算方法
重积分的数值计算方法邢会超;李锋;赵鹏军【摘要】数值积分法是数值分析中的最基本方法之一,数值积分的研究无论是在数学的理论上还是在工程实践中都是具有非常重要意义的.为解决二重积分的近似计算问题,研究了矩形区域上二重数值积分的计算问题,给出了梯形求积公式和Simpson求积公式以及复化的梯形求积公式和复化的 Simpson求积公式,并通过几个典型的例子验证公式的有效性.%Numerical integration method is the basic method in numerical analysis. The study of numerical integration is significant not only in mathematical theory but also in engineering practice. In order to solve the double integral approximation problem, this paper studies the calculation of double integral in rectangular area, and presents several formulas, including trapezoid quadrature formula, Simpson quadrature formula, the complex of the trapezoid quadrature formulas and complex of the Simpson quadrature formula. The validities of these formulas are proved by several typical examples.【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2018(037)003【总页数】7页(P1-7)【关键词】二重积分;数值积分;梯形求积公式;Simpson求积公式【作者】邢会超;李锋;赵鹏军【作者单位】云南师范大学数学学院,云南昆明 650500;云南师范大学数学学院,云南昆明 650500;商洛学院数学与计算机应用学院,陕西商洛 726000【正文语种】中文【中图分类】O241.50 引言重积分是数值计算方法里重要的一个部分, 应用极为广泛.对重积分的计算问题，目前, 许多学者研究的重点集中在以下几个方面: (1)面对不同的权函数, 构造不同的直交多项式, 然后得到不同的高斯型求积公式, 然后进行检验. (2)构造新的重积分的计算公式, 在已公式下证明算法的精确性. (3)二者结合, 构造新的算法, 然后从理论上证明其精确性. (4)充分利用高斯公式, 研究牛顿迭代的变形. (5)讨论和别的最优化方法的结合, 比如牛顿法和共轭梯度法的结合, 但这方面的研究还需要我们好好完善. (6)几种求积公式精度的比较[1,2].用数值计算公式在MATLAB中计算出重积分的近似值, 不但减少了运算量, 而且可以解决许多实际问题.1 数值积分的计算1.1 数值积分的基本思想假设f(x)为定义在有限区间[a,b]上的可积函数, 我们要计算定积分f(x)dx.如果F(x)是f(x)的一个原函数, 那么可以直接利用牛顿—莱布尼兹公式:f(x)dx=F(b)-F(a)计算[3,4]. 但是在实际问题中, 这样做往往有困难: 有些被积函数f(x)的原函数不能用初等函数表示出来, 有些被积函数, 尽管他们的被积函数可以用初等函数表示, 但是表达式却很复杂. 对于这些问题, 利用这个公式来计算定积分是不方便的. 甚至有些被积函数f(x)没有具体的解析式, 仅知道f(x)在某些离散点的值, 这就更无法应用这个公式了, 因此, 有必要研究计算定积分的数值计算方法.1.2 数值积分的计算方法若f(x)在区间[a,b]上连续, 则由积分中值定理可知, 在积分区间[a,b]内存在一点ξ, 使得f(x)dx=(b-a)f(ξ)成立. 就是说底为b-a, 而高为f(ξ)的矩形面积恰好等于所求的曲边梯形的面积. 问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的, 所以难以准确的计算出f(ξ)的值. 我们将f(ξ)称为区间[a,b]的平均高度. 这样, 只要对平均高度提供一种算法, 相应的便获得一种数值计算方法[5,6].如果我们用两端点高度f(a)与f(b)取算术平均值作为平均高度的近似值, 这样就导出我们熟知的梯形公式一般地, 我们可以在区间[a,b]上适当选取某些节点xk后用f(xk)加权平均值得到平均高度f(ξ)的近似值, 构造出如下的求积公式, 即其中xk称为求积节点,Ak称为求积系数.Ak仅与节点xk的选取有关, 而不依赖于被积函数f(x)的具体表达式.下面给出牛顿—科特斯型数值积分公式, 设[a,b]为有限区间, 并且节点a=x1<x2<…xn+1=b为等距节点,即步长相应的式便称为牛顿科特斯型求积公式, Ai称为Cotes系数(i=1,2,…,n). 此时令Wn+1(x)=(x-xi)(x-x2)…(x-xn)(x-xn+1)=hn+1t(t-1)…(t-n)，则dx=hdt，x-xi=h(t-i+1) i=1,2,…,n.Wn+1(x)=(x-xi)(x-x2)…(x-xn)(x-xn+1)=hn+1t(t-1)…(t-n)，则求积系数可以通过下式计算, 即(t-i)…(t-n)dt，i=1,2,…,n.考虑两个简单的Newton-Cotes, 则有因此，即为梯形公式.当n=2时, 取三个节点, 即有因此其中常称I2(f)为抛物线公式或者Simpson公式.1.3 复化的梯形求积公式和复化的Simpson求积公式因为梯形公式和Simpson公式的步长过大使得离散误差较大, 且积分区间越小, 离散误差就越小[7]. 因此为了提高求积公式的精确度, 可以把积分区间分成若干个子区间, 在每个子区间上使用低阶的梯形公式和Simpson公式, 然后将结果加起来. 就会得到复化的梯形公式和Simpson公式.用点a=x1<x2<…<xn+1=b将区间[a,b]分成n个相等的子区间[xi,xi+1], 其中i=1,2,…,n.即xi=a+(i-1)h,i=1,2,…,n.在每个区间[xi,xi+1]上使用梯形公式得于是假设f″在[a,b]上连续, 则在[a,b]上必存在一点ξ, 使得从而有于是我们得到了复化的梯形公式且I(f)=f(x)dx=Tn(f)+Rn(f).其中a<ξ<b.同样地，用n+1个点a=x0<x2<…<x2m=b将积分区间[a,b]分成m个相等的子区间[x2i-2,x2i],i=1,2,…,n.设子区间的中点为x2i-2, 且在每一个子区间上使用Simpson公式得于是若f(4)在[a,b]上连续, 则其中a<ξ<b.这样便得到了复化的Simpson公式其离散误差为[8,9]：a<ξ<b.2 二重积分的数值计算方法在这里主要讨论矩形域上二重积分a≤x≤b,c≤y≤d}的数值计算方法.2.1 二重牛顿—科特斯积分公式首先剖分区域G, 设a=x0<x1<…<xm=b,c=y0<y1<…<yn=d. 对于二元连续函数z=f(x,y)((x,y)∈D)的二元Lagrange插值多项式为：二元牛顿—科特斯积分是用二元等距Lagrange插值多项式代替被积函数的数值算法[10], 对于用Lmn(x,y)代替f(x,y)后的表达式为其中分别表示m阶Newton-Cotes积分中的第i个Cotes系数和n阶Newton-Cotes积分的第j个Cotes系数,则为二元Cotes积分系数,2.2 二重梯形公式和辛普森公式要计算其中G={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d}，f的插值多项式为从而得到记可以看出实际上是x方向和y方向上的Newton-Cotes求积公式. 最简单的就是梯形公式其中x0=a,x1=b,y0=c,y1=d,此时m=n=1. 如果取m=n=2, 并设在x方向和y方向均等分, 则x方向和y方向均用Simpson求积公式,f(x2,y2)+4[f(x0,y1)+f(x1,y0)+f(x2,y1)+f(x1,y2)]+16f(x1,y1)}.2.3 求积公式的误差对于x方向f(x,y)dx=(Qxf)(y)+(Rxf)(y),其中可以理解为参数[f(x,y)dx]dy=Qy[(Qxf)(y)+(Rxf)(y)+RyF],其中F(y)=f(x,y)dx.记Q(f)=QY(Qxf)(y)，那么特别地, 对于梯形求积公式有注意到, 当g(y)恒等于M的梯形公式有g(y)dy=M(d-c)，因此有2.4 复化梯形公式和复化Simpson公式和梯形公式与Simpson公式一样, 为了提高计算的精度我们一般采用复化的梯形公式和复化的Simpson公式.设矩形区域G的边分别等分为n份和m份, 即相应于梯形求积公式在每个小矩形上应用此公式可以得到复化的梯形求积公式其中λij(i=0,1,…,n,j=0,1,…,m)是下边矩阵A∈R(n+1)×(m+1)的元素.复合Simpson公式也是类似的. 把矩形区域G等分为nm个小矩形, 再把每个小矩形等分为四部分, 这样把G剖分为4nm个更小的矩形, 并把这些矩形的顶点用作求积公式的顶点.令那么节点的坐标为xi=a+ihx,i=0,1,…2n,yj=c+jhy,j=0,1,…,2m. 在第一次等分nm小矩形上应用Simpson求积公式再求和得其中λij是下面矩阵B∈R(2n+1)×(2m+1)的元素.3 数值求积公式举例例1 设f(x,y)有4阶连续导数, 试证明计算二重积分I=dxf(x,y)dy的辛普森公式的截断误差为其中证明令g(x)=f(x,y)dy, 则I=g(x)dx.由定积分的辛普森公式的截断误差公式知存在ξ∈(a,b), 使得I=注意到η∈(c,d),有(1)再次应用定积分的辛普森公式的截断误差公式有[11]在上式中分别令并代入(1)式中, 得I=(2)由的连续性知存在使得将其代入(2)式, 即得其中例2 计算二重积分复化梯形公式法的MATLAB程序function q=DblTrapr1(f,a,A,b,B,m,n)% f为函数名% a为x的积分下限;A为x的积分上限% b为y的积分下限;B为y的积分上限% m为x区域的划分数; n为y区域的划分数% q为积分值if(m==1&&n==1) % 梯形公式q=((B-b)*(A-a)/4)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B}));else %复化梯形公式C=4*ones(n+1,m+1)[12,13];C(1,:)=2;C(:,1)=2;C(n+1,:)=2;C(:,m+1)=2;C(1,1)=1;C(1,m+1)=1;C(n+1,1)=1;C(n+1,m+1)=1; %C矩阵endF=zeros(n+1,m+1);q=0;for i=0:nfor j=0:mx=a+i*(A-a)/n;y=b+j*(B-b)/m;F(i+1,j+1)=subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y})[14]; q=q+F(i+1,j+1)*C(i+1,j+1);endendq=((B-b)*(A-a)/4/m/n)*q;在MATLAB输入q=DblTrapr1(‘sin(x*y_)’,0,1,0,1,15,10)结果q=0.2397例3 计算二重积分复化辛普森方法的MATLAB程序function q=Dblsimpson(f,a,A,b,B,m,n)% f为函数名% a为x的积分下限;A为x的积分上限% b为y的积分下限;B为y的积分上限% m为x区域的划分数;n为y区域的划分数% q为积分值if(m==1&&n==1) %辛普森公式q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2})); else %辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)/2/ny=b+2*j*(B-b)/2/mx1=a+(2*i+1)*(A-a)/2/n;y1=b+(2*j+1)*(B-b)/2/m;x2=a+2*(i+1)*(A-a)/2/n;y2=b+2*(j+1)*(B-b)/2/m;q=q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y2})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y2})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x,y1})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x2,y1})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{x1,y1});endendendq=((B-b)*(A-a)/36/m/n)*q;在MATLAB输入q=DblSimpson(‘sxp(x)*sin(xy)’0,1,0,1,15,1结果：q=0.4771例4 用以上两种程序计算二重积分并且与真实值比较. 在MATLAB输入q=DblTrapr1(′exp(x)*y′,0,1,0,1,15,15)结果：q=0.8595在MATLAB输入q=Dblsimpson(′exp(x)*y′,0,1,0,1,30,30)结果：q= 0.8591计算精确值通过以上的计算可以得出: 在误差允许范围内, 复化的Simpson求积公式比复化的梯形求积公式的精确度更高.【相关文献】[1] 邢诚,王建强,贾志强.多种数值积分方法比较分析[J].城市勘测,2010(1): 104-106.[2] 王少英.数值积分若干方法的比较分析[J].德州学院学报,2013,28(6):14-15.[3] 张世禄.计算方法[M].北京:电子工业出版社,2006:1-8.[4] 关治,陆金甫.数值分析[M].北京:高等教育出版社,1998:77-82.[5] 李庆扬,王能超,易大义.数值分析:第五版[M].北京:清华大学出版社,2008:15-23[6] Burden R L, Faires J D.数值分析:第七版[M].北京:高等教育出版社,2001:56-61.[7] Rainer K.数值分析[M].北京:世界图书出版公司,2003:101-119.[8] 孙志忠.计算方法[M].北京:科学出版社,2005:55-67.[9] 韩丹夫,吴庆标.数值计算方法[M].杭州:浙江大学出版社,2006:9-17.[10] 林亮,吴群英.数值分析方法与实验[M].北京:高等教育出版社,2012:99-104.[11] 孙志忠.计算方法典型例题分析:第二版[M].北京:科学出版社,2005:21-31.[12] 樊园,黄伟伟,柳华.MATLAB中几种数值积分函数的分析与比较[J].信息系统工程,2013(10):158-159.[13] 邱爱保.重积分数值解的MATLAB实现[J].宜春学院学报,2008,30(4):15-16.[14] 陈佩宁,刘竞.用MATLAB求数值积分的方法[J].石家庄技术学院学报,2008, 20(6):58-60.。
重积分的计算方法及应用
重积分的计算方法及应用重积分是数学中的一个重要分支，它在科学、工程和社会学中都有广泛应用。
重积分可以用于计算空间中的体积、质心、惯性矩以及流量等问题，其计算方法和应用十分繁多。
本文将深入探讨重积分的计算方法及应用。
一、重积分的概念重积分是对多元函数在一个特定区域内的积分，通常表示为：$I=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dxdydz$其中，$\Omega$为三维空间中的一个区域，$f(x,y,z)$为在该区域内的三元实函数。
计算重积分时，可以将区域$\Omega$分成许多小块，然后用Riemann和或迭代积分的方法将小块内的函数积分起来。
此外，还可以利用极坐标、球坐标等坐标系来简化计算。
二、重积分的计算方法1. 利用Riemann和计算重积分Riemann和法是比较基本的计算重积分的方法，它将积分区域$\Omega$分成若干小块，然后在每个小块上用矩形的面积逼近函数值。
具体来说，可以按照以下步骤计算重积分：（1）将积分区域$\Omega$分成$n$个小块：$\Omega_1,\Omega_2,\cdots,\Omega_n$。
（2）在每个小块$\Omega_i$内选择一个点$(x_i,y_i,z_i)$，作为该小块的代表点。
（3）计算每个小块$\Omega_i$上的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$。
（4）计算每个小块$\Omega_i$的体积：$V_i=\Delta x\Deltay\Delta z$。
（5）将每个小块的函数值$f(x_i,y_i,z_i)$与体积$V_i$相乘，得到小块的贡献值：$f(x_i,y_i,z_i)V_i$。
（6）将所有小块的贡献值相加得到积分：$I=\sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)V_i$。
2. 利用迭代积分计算重积分迭代积分是计算重积分的一种方法，它将三维积分转化为一系列二维积分或一维积分。
具体来说，可以按照以下步骤计算重积分：（1）将积分区域$\Omega$用某种方法描述出来，例如：$0\leqslant z\leqslant \sqrt{x^2+y^2},\quad 0\leqslant x\leqslant 1,\quad 0\leqslant y\leqslant 1$（2）选择一个自变量，例如$x$，将积分区域$\Omega$分成若干个垂直于$x$轴的小块，每个小块的底面为一个矩形，顶面为一个曲面。
三重积分计算法
柱面坐标法
柱坐标系
将直角坐标系中的点表示为柱坐标形式，适用于具有圆柱对称性的三重积分。
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对角度进行积分，最后对高度进行积分的顺序 进行计算。
球面坐标法
球坐标系
将直角坐标系中的点表示为球坐标形式 ，适用于具有球对称性的三重积分。
VS
积分顺序
通常按照先对半径进行积分，再对天顶角 进行积分，最后对方位角进行积分的顺序 进行计算。
计算质心坐标
质心坐标的定义
质心是物体质量的中心，其坐标可通过三重积分计算 得到。
质心坐标的计算公式
在直角坐标系下，质心坐标的计算公式为质量密度函 数对坐标的三重积分除以物体总质量。
质心坐标的应用
质心坐标在物理学、工程学等领域有广泛应用，如计 算物体的转动惯量、稳定性分析等。
计算转动惯量
转动惯量的定义
计算曲面面积
参数曲面面积的计算
对于由参数方程表示的曲面，可利用参数方 程求导得到曲面的法向量，进而计算曲面面 积。
显式曲面面积的计算
对于由显式方程表示的曲面，可利用偏导数求得曲 面的法向量，进而计算曲面面积。
隐式曲面面积的计算
对于由隐式方程表示的曲面，可利用隐函数 的求导法则求得曲面的法向量，进而计算曲 面面积。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
将三重积分转化为二重积分，通过投 影确定积分区域。
截面法
通过截面确定被积函数在不同区间的 表达式，进而计算三重积分。
先二后一法
逆序法
将三重积分转化为累次积分，先对两 个变量进行积分，再对第三个变量进 行积分。
变量替换法
通过变量替换简化被积函数和积分区 域，进而计算三重积分。
《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》范文
《几类分数阶微分方程解的存在性的研究》篇一一、引言近年来，分数阶微分方程作为微分方程领域的一个新兴分支，其解的存在性研究已经引起了广泛的关注。
分数阶微分方程在物理、工程、生物等多个领域有着广泛的应用，因此对其解的存在性进行研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文旨在研究几类分数阶微分方程解的存在性，以期为相关领域的研究提供一定的理论支持。
二、文献综述在过去的几十年里，分数阶微分方程的解的存在性研究已经取得了许多重要的成果。
学者们采用不同的方法，如不动点定理、Schauder不动点定理、变分法等，对各种类型的分数阶微分方程进行了研究。
然而，对于某些特殊类型的分数阶微分方程，其解的存在性仍然是一个待解决的问题。
本文将重点研究几类具有代表性的分数阶微分方程的解的存在性。
三、几类分数阶微分方程的解的存在性研究（一）具有非线性项的分数阶微分方程对于具有非线性项的分数阶微分方程，我们采用Schauder不动点定理进行研究。
首先，我们将方程转化为等价的积分方程，然后利用Schauder不动点定理证明解的存在性。
我们还将探讨非线性项对解的存在性的影响。
（二）具有时滞项的分数阶微分方程对于具有时滞项的分数阶微分方程，我们采用Banach不动点定理进行研究。
我们将证明在一定条件下，该类方程存在一个解。
同时，我们将分析时滞项对解的存在性的影响。
（三）高阶分数阶微分方程对于高阶分数阶微分方程，我们采用变分法进行研究。
我们将构造一个适当的能量泛函，然后利用变分法的基本原理证明解的存在性。
我们将探讨高阶项对解的存在性的影响。
四、研究方法与实验设计本文将采用理论分析和数值模拟相结合的方法进行研究。
在理论分析方面，我们将运用不动点定理、Schauder不动点定理、变分法等数学工具对几类分数阶微分方程进行深入研究。
在数值模拟方面，我们将利用MATLAB等软件进行数值求解和图形化展示。
在实验设计方面，我们将选取适当的初值条件和参数，以验证理论分析的结果。
三重积分的概念和方法
在数学中，三重积分可用于求解某些偏微分方程的定解问题，以及研 究多元函数的性质和行为。
02
三重积分的计算方法
先一后二法
投影法
首先将三重积分投影到某个坐标 面上，然后依次对投影区域进行 二重积分和一重积分。
截面法
通过垂直于某个坐标轴的平面截 取积分区域，对每个截面进行二 重积分，再对截面变化的一维参 数进行一重积分。
计算物体质量
三重积分也可以用于计算物体的质量 ，方法是对物体的密度函数进行三重 积分。
如果物体的密度是均匀的，那么三重 积分的结果就是物体的体积乘以密度 ；如果物体的密度是不均匀的，那么 需要对不同部分的密度进行不同的三 重积分，然后将结果相加得到总质量 。
在实际应用中，三重积分计算物体质 量的方法被广泛应用于地球物理、材 料科学、生物医学等领域。
这一性质表明，三重积分具有线性性，可以对被积函数进行线性组合，并分别对每个函数进行积分。
可加性质
三重积分具有可加性，即对于同一积分区域Ω 上的两个被积函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，有 ∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭f(x,y,z)dxdydz +∭g(x,y,z)dxdydzintintint [f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz = intintint f(x,y,z)dxdydz + intintint g(x,y,z)dxdydz∭[f(x,y,z)+g(x,y,z)]dxdydz=∭ f(x,y,z)dxdydz+∭g(x,y,z)dxdydz。
先二后一法
转化为累次积分
首先将三重积分转化为某个变量的一 重积分，然后对剩余的两个变量进行 二重积分。
数学学年论文毕业论文重积分的计算方法
重积分的计算方法摘要：本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从累次积分的计算、变量代换等方法阐述二重积分的计算，同时介绍了一类特殊的二重积分的计算方法，并由二重积分的计算方法推广到三重积分的计算。
关键词：二重积分，三重积分，变量代换，对称法引言：重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数()x f 推广为二元函数()y x f ,（三元函数()z y x f ,,）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。
我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。
通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。
为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。
着重介绍累次积分的计算与变量代换。
一． 二重积分的计算 1．常用方法（1） 化累次积分计算法对于常用方法我们先看一个例子（北京师范大学，2002年）]1[ 例1． 计算二重积分⎰⎰-Ddxdy x y 2，其中D 为区域20,1≤≤≤y x解：如图1所示D 可分为21D D1D 在内2x y >，在2D 内2x y <34222212111122222+=-+-=-+-=-∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--πx xD D D dy y x dx dy x y dx dxdyy x dxdy x y dxdy x y对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：第一步：画出积分区域D 的草图；第二步：按区域D 和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；第三步：计算累次积分。
需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。
积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。
重积分的数值计算和积分算法
重积分的数值计算和积分算法重积分是高等数学中的一个重要概念，其表示对于二元函数在某一区域内的积分。
而相对于一元函数积分，重积分涉及到更为广泛的应用，例如经济学、力学、物理学等诸多领域。
对于重积分的数值计算和积分算法，我们需要进行深入研究。
1. 数值计算重积分的数值计算是将二元函数的积分转化为数值计算的一种方法。
其主要思路是通过将被积函数在区域内分割成多个小矩形，然后对于每个小矩形进行面积和函数值之积的近似计算，最后将每个小矩形的计算结果加和得到总的数值积分结果。
在计算重积分时，我们需要通过一些数值方法来实现积分值的精确计算，一些经典的数值计算方法包括：中心矩形法、梯形法、辛普森法、高斯-勒让德法等。
中心矩形法是一种初步的数值计算方法，其核心思想是将积分区间的每一小段区间等分为一定数量的小区间，然后通过每个小区间中心点的函数值和小区间的长度相乘得到每个小区间的积分估计值，最后将所有小区间的积分值加和即为总的积分估计值。
梯形法是另一种常用的数值计算方法，其基本思路是通过将积分区间的每一小段区间作为梯形的底边，然后通过连接所有相邻点并形成的“梯形”来近似计算每个小区间的面积，最后将所有小区间的积分值加和得到总的积分估计值。
2. 积分算法除了数值计算以外，积分算法也是重积分领域的核心研究内容。
其中常用的积分算法包括：线性积分、带权积分、定积分等。
线性积分是针对一元函数积分的一种常用算法，在计算时需要对于每个小区间进行数值计算，并将其所有的值相加得到总的积分结果。
带权积分则是针对二元函数积分的一种算法，在计算时需要将小区间的面积乘以相应的权重，并将其加和得到总的积分结果。
定积分则是一种基本的积分算法，其核心思路是将积分区间分割成多个小区间，并通过区间长度和函数值之积的积分计算得到每个小区间的积分值，最后将所有小区间的积分值加和得到总的积分结果。
总结重积分作为高等数学中的一个基本概念，其数值计算和积分算法也是重要的研究方向。
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毕业论文文献综述信息与计算科学重积分的数值计算一、前言部分多重积分是定积分的一类，它将定积分扩展到多元函数(多变量的函数)，例如求f(x,y)或者f(x,y,z)类型的多元函数的积分.设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对于D 的任何分割T ，当它的细度T <δ时，属于T 的所有积分和都有εσηξ<-∆∑=ni iiiJ f 1),(,则称f(x,y)在D 上可积，数J 称为函数f(x,y)在D 上的二重积分，记作σd y x f J D⎰⎰=),(，其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y 称为积分变量，D 称为积分区域.[1]定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分时求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限[2].定积分的几乎所有性质都可以推广到重积分[3].重积分计算是数值计算方法中的一个分支，数值计算方法又是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的方法与理论为研究对象，其内容包括：函数插值，数值微分和积分，线性方程组的解法等.科学计算是我们人类从事科学探索和研究时必不可少的手段.在计算机技术与计算机得到迅速发展的今天，我们有了快速数字电子计算机的工具，科学计算被推向科学活动的前沿，上升为一种重要的科学.将科学技术中的实际问题转化为数学问题，即根据相关科学理论，建立数学模型，然后求解，这是进行科学计算的前提或先决条件.实际上，许多数学问题是没有办法求出其精确解的.因此，只好通过数值计算方法求其近似值.重积分是数值计算方法里重要的一个部分，应用极为广泛，无论是日常工农业生产还是国防尖端科学技术的研究，如，大、中型机电产品的优化设计、重大工程项目的设计、地质勘探与油田开发、气象预报与地震预测、新型尖端武器的研制和航天与航空的发展等都离不开它，近年来还被应用到医学、生物学及经济管理、金融和社会学等领域. [4]二、主题部分2.1 梯形求积公式及其复合公式2.1.1 梯形求积公式当我们需要计算函数),(y x f z =在xOy 平面的某个区域上的定积分时候，必须要计算多重积分.在初等微积分中已经学过，2重积分可以化成累次积分计算.于是我们有⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b ad cbad cAdy dx y x f dx dy y x f dA y x f )),(()),((),(, (2.1.1)在式(2.1.1)中，积分区域是由下面的直线围成的矩形区域d y c y b x a x ====,,,.事实上，积分区域不必是矩形的，累次积分分限也不必是常数，但是我们把这种情况放到后面来讨论.在累次积分过程中，当对y 积分时设x 是常数.当求积节点取为等距节点kh a x k += (k =0,1,…,n,h=(b-a)/n ) (2.1.2)时，记x=a+th ,则得求积系数⎰⎰-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-==+-+--ban k k k k k k n k k k b ak n kdx x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x l )())(()()())()(()()(1101110)(ω=⎰⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅-+-+-⋅⋅⋅----nk n n k dt n t k t k t t t k n k h 0.,,1,0,)()1)(1()1()!(!)1( (2.1.3) 求积节点为等距节点的求积公式， ∑==nk k n kf f Qn 0)(][ω称为牛顿-科茨公式.在牛顿-科茨公式求积系数公式中，当n=1时有),(21)1()(10)1(0a b dt t a b -=---=⎰ω(2.1.4)).(21)(10)1(1a b tdt a b -=-=⎰ω (2.1.5)将求积系数)1(1)1(0,ωω代入求积公式∑==nk k n kf f Qn 0)(][ω得到)).()((2][b f a f ab f Qn +-=(2.1.6) 称为梯形求积公式，它的余项是⎰∈--=bab a dx b x a x f f R ).,(,))()((''21][1ξξ (2.1.7)设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=, (2.1.8)它的每一边平行于坐标轴，令B y b y A x a x ====1010,,,于是得到4个点)1,0,)(,(=l k y x l k .如果f 在R 内连续，则有⎰⎰⎰⎰=R),(),(BbA ady y x f dx dxdy y x f (2.1.9)利用梯形公式计算内部积分dx y x f y x f b B dxdy y x f Aa)],(),([2),(10R+-⎰⎰⎰， (2.1.10)对上式右边再次应用梯形公式，可得⎰⎰+++--=Ry x f y x f y x f y x f a A b B dxdy y x f )],(),(),(),()[)((41),(11100100. (2.1.11)这式(2.1.11)即梯形求积公式在重积分上的形式.2.1.2 复合梯形求积公式应用高阶的Newton-Cotes 型求积公式计算积分⎰badx x f )(会出现数值不稳定，低阶公式(如梯形)又往往因为积分区间步长过大使得离散误差大.然后，若积分区间愈小，则离散误差小.因此，为了提高求积公式的精确度，可以把积分区间分成人若干个子区间，在每个子区间上使用低阶公式，然后将结果加起来.这种公式称为复合求积公式.由于））（b x a x x --=)((π在区间[a,b ]上不变号，故由积分中值定理知，存在）（b a ,∈η使得).('')(121))(()(''21][31ηηf a b dx b x a x f f R b a --=--=⎰ (2.1.12)记h=(b-a)/m,.,,1,0,m k kh a x k ⋅⋅⋅=+=在每个小区间],[1+k k x x 上使用梯形求积公式，便得到)2(2][110)(1∑-=++=m k k m m f f f hf Q， (2.1.13)称之为复合梯形求积公式，它的余项为),(''12)()(''12)(''12][2313)(1ηηηf h a b f mh f h f Rmk k m --=-=-=∑= (2.1.14)其中),(b a ∈η.(2.1.10)的第2个等号的推导用到了介值定理.把上面的矩形R 的边分别分为n 等分和m 等分，这样便把R 分为边长为h 和k 的mn 个小矩形.在每个小矩形上应用梯形求积公式得)],(),(),(),([4),(1111101++++-=-=+++≈∑∑⎰⎰i i i i i i n i i i m j Ry x f y x f y x f y x f hk dy dx y x f ， (2.1.15)其中),,1,0(),,1,0(m j jk y n i ih x j i ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==.上式可以改写为),(4),(00j i n i mj ij Ry x f kh dxdy y x f ∑∑⎰⎰==≈λ, (2.1.16) 其中ij λ是下面矩阵Λ的相应元素，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ122 (22)1244...442244...442..................244...442244...442122 (221)， (2.1.17) 式(2.1.17)称为复合梯形求积公式.2.2.1 抛物线求积公式梯形公式建立的基础是用线性插值多项式逼近被积函数.如果用2次或者3次插值多项 式那么逼近效果会更好.抛物线求积公式建立的基础就是这种逼近.我们给出两个公式：抛物线求积公式和复合抛物线求积公式.抛物线求积公式也叫辛普森求积公式, 复合抛物线求积公式也叫复合辛普森求积公式.我们用2次牛顿-格雷格里向前多项式推到抛物线求积公式，其中结点210,,x x x 是均与分布的，相邻两点的距离是h ：)3122()46(2)2)1(()2)1(()(02002023022020200200200020022f f f h s s f h s f h s hf dsf s s f s f h x d f s s f s f dx x f x x x x ∆+∆+=-∆+∆+=∆-+∆+=∆-+∆+≈⎰⎰⎰).4(3210f f f h++=(2.2.1) 通过对多项式误差的积分得到积分误差：20)4(5),(901x x f h <<-ξξ. (2.2.2) 抛物线求积公式需要将积分区间分成偶数个小的子区间. 设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=,分别用点A h a x h a x a x =+=+==2,,210，和B k b y k b y b y =+=+==2,,210.划分区间[a,A ]和[b,B],其中)(21),(21b B k a A h -=-=.这样得到9点)2,1,0,)(,(=j i y x j i ,点的分布为1414164141,利用式(2.1.9)，并对内部积分用抛物线求积公式，有 ]),(),(4),([3),(210⎰⎰⎰⎰⎰++=A a A a AaRdx y x f dx y x f dx y x f k dxdy y x f . (2.2.3)再对上式右边的每个积分应用抛物线公式，有{+++++≈⎰⎰),([4)],(),(),(),([9),(0122022000y x f y x f y x f y x f y x f khdxdy y x f R}),(16)],(),(),(11211210y x f y x f y x f y x f +++ (2.2.4)此公式称作抛物线公式.[5]2.2.2 复合抛物线求积公式相似地，对被积函数的4个插值结点的3次牛顿-格雷戈里插值多项式及其插值误差函数积分，我们能推导出复合抛物线求积公式：)3(83)()(3205333f f f hdx x P dx x f x x x x ++=≈⎰⎰. (2.2.5) 误差=3101)4(5),(503x x f h <<-ξξ. 如果子区间数能被3整除，则可以用复合抛物线求积公式.显然复合抛物线求积公式的误差比抛物线求积公式的大，这两个公式的局部误差都是)(5h O .它们的整体误差都是)(4h O ，原因同梯形求积分公式的情况.既然复合抛物线求积公式的误差大，为什么还要使用它呢？他的一个重要的应用是计算子区间的个数为奇数时的积分值.另外，对于奇数个子区间上的积分.在前3个或者后3个子区间应该用在被积函数近似的直线区间上.[6]在重积分上，设积分区域是矩形},|),{(B y b A x a y x R ≤≤≤≤=,把矩形R 的每边分别分成n 等分和m 等分,这就得到了nm 个小矩形，再把每个小矩形等分为四部分，这样就把R 剖分成更小的矩形，并把这些矩形的顶点用作求积公式中的节点.[7]令maB k n a A h 2,2-=-=, (2.2.6) 那么节点的坐标为⎩⎨⎧⋅⋅⋅==+=⋅⋅⋅==+=),2,,1,0,(),2,,1,0,(0000m j b y jh y y n i a x ih x x ji (2.2.7) 在第一次分R 的nm 个矩形上应用公式并记),(j i j y x f fi =后，有12,222,121022,222,22222,21(4),([9),(+++-=++++-=+++++≈∑∑⎰⎰j i j i n i j i j i j i j i m j Rf f f f f f hk dxdy y x f ]16)12,1212,222,12++++++++j i j i j i f f f . (2.2.8)改写上式可以得到ij n i mj ij Rf hk dxdy y x f ∑∑⎰⎰==≈20209),(λ (2.2.9)其中系数ij λ是矩阵Λ的相应的元素，Λ定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=Λ1424242418168168168164284848482284848482416816868164142424241 (2.2.10)2.3 Gauss 型求积公式2.3.1 Gauss 型求积公式首先，不论求积节点如何选取，n+1点求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω的代数精确度不能打到2n +2[8]. .事实上，对任意给定的节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅和任意给定的求积系数)(n k ω,取2)()(∏=-=ni i x x x f , (2.3.1)则f(x)是2n +2次多项式，用求积公式计算得0)(0)(=∑=nk k n kx f ω， (2.3.2)项式，而积分值⎰>badx x f 0)(.这说明对任意给定的n +1点求积公式，都可以找到一个2n +2次多项式，使得求积公式对该多项式的积分是不精确的.[9]其次，通过适当选择插值结点n x x x ,,,10⋅⋅⋅和求积系数，可使求积公式∑==nk k n k n f f Q 0)(][ω的代数精确度达到2n +1，这是这个求积公式可能具有的最高的代数精确度.考虑计算区间[-1,1]上的积分dx x f I ⎰==11)(的两点(n =1的情形)求积公式⎰-+≈111100)()()(x f w x f w dx x f , (2.3.3)这时求积公式的代数精确度不超过2n +1=3,将求积节点10,x x 和求积系数10,ωω作为4个待定参数，依次取被积函数f(x)为1，32,,x x x ,代入求积公式，得到关于参数10,x x ,10,ωω 的方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+.010,3210,0,231302120110010x x x x x x ωωωωωωωω (2.3.4) 由此，可解出,110=+ωω33,3310=-=x x .这样便得到求积公式， ⎰-+-=≈111).31()31(][)(f f f Q dx x f (2.3.5)上述方法是将求积节点和求积系数视为同等的参数进行求解.对一般的求积公式，也可以用此方法将求积节点和求积系数一并求出，从而得到具有最高代数精确度的求积公式，但由于此时的求积公式一定是插值型，只要求积节点确定下来，求积系数便可随之确定.因此，确定求积节点就成为公式构造的关键.[10]若[a,b]区间上一组节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅使得相应的求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω具有2n +1次代数精度，则称此点组为Guass 点组，相应的求积公式∑==nk k n kn f f Q 0)(][ω为高斯型求积公式.高斯点组可直接通过求解相应的方程组得到，也可借助正交多项式的零点来确定.设区间[a,b]=[-1,1]，在[-1,1]上取权函数1)(≡x ρ，那么相应的正交多项式为勒让德多项式n P ，])1[(!21)(2nnn n n x dxd n x P -= (2.3.6) 设]1,1[-∈C f ，那么高斯求积公式化为⎰∑-=+=111][)()(nk n k k f R x f A dx x f ， (2.3.7)其中高斯点n x x x ,,,21⋅⋅⋅为勒让德多项式)(x Pn 的零点，求积公式(2.3.7)称为高斯-勒让德求积公式.公式(2.3.7)中求积系数)(')(121k n k n k x P x P n A -=. (2.3.8)由式(2.3.7)得∑⎰=-≈ni i i t g A dt t g 111)()(， (2.3.9)对2n -1次的代数多项式是精确成立的，定积分的高斯-勒让德求积公式很容易推广到重积分⎰⎰--=1111),()(dxdy y x f f I (2.3.10)的求积，求积公式⎰∑∑⎰-==-≈111111),(),(n i j i nj j i t t f A A dxdy y x f (2.3.11)对于二元函数120,120,1,1,),(-≤≤-≤≤≤≤-=n n y x y x y x f βαβα精确成立.这式 (2.3.11)也称为重积分的高斯型求积公式.[11]2.3.2 另外几种高斯型求积公式在物理和力学中常常遇到一些带有权函数的广义积分，对于这些积分使用其他求积公式会遇到困难.对于不同的权函数，便有不同的直交多项式，从而得到不同的具体高斯型求积公式.而针对权函数和积分区间，选择适当的节点构造代数代数精确度最高的高斯型求积公式进行计算，通常是有效地.当然要构造高斯型求积公式，计算节点和求积系数是比较麻烦的.对于一些常用的特定的权函数，前人已算出他们的节点和求积系数表，计算这些积分时可以直接查表得到求积公式，[12]下面给出几种常用的高斯型求积公式的节点和求积系数表，并举例说明如何使用这种方法.1)Gauss-Laguerre 求积公式,)()(0)(⎰∑∞=-≈nk k n k xx f dx x f eω (2.3.12)节点和求积系数如表1 Gauss-Laguerre 求积公式的余项为)()!22())!1((][)22(2ξ+++=n n f n n f R . (2.3.13) 表1 Gauss-Laguerre 求积公式节点和求积系数例 应用Gauss-Laguerre 求积公式计算⎰∞-==0)21(sin xdx e I x .我们用3个节点(n=2)的公式计算：.490298.02899451.6sin 0103893.02942804.2sin 2785177.04157746.0sin 7110930.0sin 0=⨯+⨯+⨯≈=⎰∞-xdxe I x2)Gauss-Hermite 求积公式,)()(0)(2∑⎰=∞∞--≈nk k n k x x f dx x f eω (2.3.14)节点和求积系数如表2表2 Gauss-Hermite 求积公式节点和求积系数±0.7071068 0.8862269 ±2.3506050 0.0045300 ±0.5246476 0.8049141 ±0.3811870 0.6611470 ±1.6506801 0.0813128 ±1.1571934 0.2078023 ±0.4360774 0.7246296 ±1.9816568 0.0170780 ±1.3358491 0.1570673±2.9306374 0.0001996Gauss-Hermite 求积公式的余项为)()!22(2)!1(][)22(1ξπ++++=n n n f n n f R . (2.3.15) 例应用Gauss-Hermite 求积公式计算积分⎰∞∞--=.sin 22xdx e I x它的精确值是.5602023.02/)1(1≈--e π[13]我们使用4个节点的Gauss-Hermite 求积公式计算：.5655102.0))6506801.1(sin 6506801.1(sin 0813128.0)5246476.0(sin 5246476.0(sin 8049141.02222=-+⨯+-+⨯≈I3)Gauss-Chebyshev 求积公式,))1(212(cos11)(0112∑⎰=-+++≈-nk n k f n dx x x f ππ(2.3.16)这里权函数的1/21x -，节点π)1(212cos ++=n k x k ，求积系数).1/(+=n n kπω）（求积公式的余项为))(22()!22(22][R 22ξπ++=+n f n f n n . (2.3.17) 一般的，高斯型求积公式的基点式无理数，并且不是等距的.几点和求积系数需要查表，这就带来不便，并且若需增加基点，原先计算得函数值对当前的计算没有用处.但是，高斯求积公式具有较高的代数精确度，对于给定的误差容限，所需计算函数值的次数较其他许多求积公式少得多.并且，高斯型求积公式可以用来计算反常积分.[16]2.4 累次积分法设f(x,y)在D=[a,b]*[c,d]上可积.1． 如果对每个),(],,[y x f d c y ∈在[a,b]上可积，则⎰=badx y x f y ),()(ϕ在[c,d ]上可积，并有⎰⎰⎰⎰==Dbadcd cf dx y x f dy dy y ),()(ϕ. (2.4.1)2．如果对每个),(],,[y x f b a x ∈在[c,d]上可积，则⎰=bady y x f y ),()(ϕ在[a,b]上可积，并有⎰⎰⎰⎰==dcDb ab af dy y x f dx dx x ),()(ψ. (2.4.2)证明：设,A f D=⎰任给ε>0，存在δ>0，只要分割T 的宽度T <δ，对任],[],[11j i i i ij ij y y x x D M --⨯=∈，就都有εε+<∆∆<-∑A y x M f A j i ji j i ,)(, (2.4.3)任取],[],,[11j j j i i i y y x x --∈∈ηξ，并取)(,j i ij M ηξ=,于是(2.4.3)可以写成εηξε+<∆∆<-∑∑==A x f y A ni i j i m j j 11),(. (2.4.4)对于给定的][,1j j y y -∈η,∑=∆ni i jix f 1),(ηξ是),(j x f η在[a,b]上的Riemann 和，故有)(),(10||||lim j i ni jiT x f x ηϕηξ=∆∑=→. (2.4.5)由(2.4.3)可知，只要δ<T ，就有εηϕε+<∆<-∑=A y A mj j j 1)(. [15](2.4.6)由此可知）（y ϕ在[c,d]上可积，并有⎰⎰==Ddcf A dy y )(ϕ. (2.4.7)三、总结部分重积分的数值计算是许多科学与工程计算的核心.重积分的出现和发展，提高了求解定积分的效率. 本文主要介绍了多重积分的基本思想，以及四种经典解重积分的方法——梯形法及其复合法、抛物线法及其复合法、高斯方法和累次法，重点介绍了前2者的深度解析.相比较传统定积分解法,求解高斯及其推广而出的多种方法显示出与众不同的有效性.由于编程简单且存储量小，相信随着理论分析和研究的日益深入，重积分的理论将更加完善，也将为我们提供产生更有效的解重积分的新思路,各种解法在应用上的发展也将日趋进步.四、参考文献[1] 黄明游，刘播，徐涛.数值计算方法[M] .北京：科学出版社,2005.8:93-128.[2] 林成森.数值计算方法(上)[M].北京：科学出版社,2004.5:196-256.[3] 萧树铁.多元微机分及其应用[M].北京:高等教育出版社,2000.5 :121.[4] 谢盛刚，李娟，陈秋桂.微机分(下)[M]. 北京：科学出版社,2005.1:110-111.[5] Richard L.Burden, J.Douglas Faires. Numerical Analysis[M].( 7th edition) 英文影印版. 北京：高等教育出版社,2003.4:241-281.[6] Curtis F.Gerald, Patrick O.Wheatley. Applied Numerical Analysis[M]. 白峰杉改编. ( 7th edition) 英文影印版.北京：高等教育出版社,2006.1.210-420.[7] 颜庆津.数值分析[M].北京：北京航空航天大学出版社,2006.7:149-177.[8] 费业泰.误差理论与数据处理[M].第4版.北京：机械工业出版社,2005:1～9.[9] 冯有钱，王国正，李炳杰，郭罗斌.数值分析[M].北京：清华大学出版社,北京：北京交通大学出版社,2005.3:92-110,161-188.[10] 刘绪军.几种求积公式计算精确度的比较[J].南宁职业技术学院报,2009,14(6):95-97.[11] 林承初.二重积分的计算方法与技巧[J].广西财经学院学报,2006，19(增刊):336—338．[12] 许必才，石广洲．重积分的原函数法[J]．成都大学学报(教育科学版) ,2008，22(3):125—126．[13] 现代应用数学手册编委会.现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M].北京:清华大学出版社,2005.1:320-425[14] 华东师范大学数学系.数学分析[M]．北京：高等教育出版社,2001:214—215．[15] 陈志华．重心法计算重积分[J]．玉溪师范学院学报,2008，24(4):7—9．。