Schrodinger 方程

2 2
1 2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ 2 + + 2 = − 2 [ px + p2 + pz ]Ψ y 2 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
1 ∇ Ψ = − 2 p 2Ψ ℏ
2
或
ℏ2 2 p2 − ∇ Ψ= Ψ 2µ 2µ
∇=i
∂ ∂ ∂ +j +k ∂z ∂x ∂y
p2 E= 2µ
所 以
∂ ℏ2 2 iℏ Ψ = − ∇Ψ ∂t 2µ
1.经典力学用什么物理量描述物体的状态？ 量子力学用什么描述微观粒子的状态？ 2.怎么理解电子一个一个地穿过双缝发生的 衍射实验？ 3.怎么理解单电子也具有波动性？电子波同 时穿过双缝？？？ 4.波函数的统计解释？这个波与经典波的区 别与联系？ 5.态叠加原理
§2.3 Schrodinger 方程
iℏ
∂ Ψ ( r1 , r2 , ⋯ , rN ; t ) = ∂t N ℏ2 2 = [− ∑ ∇ i + U ( r1 , r2 , ⋯ , rN )]Ψ ( r1 , r2 , ⋯ , rN ; t ) i =1 2 µ i
多粒子体系 Hamilton 量
ℏ2 2 ˆ H = −∑ ∇ i + U i ( r1 , r2 , ⋯ , rN i ) i =1 2 µ i
1. 2. 3. 4. 5. 经典力学中物体的运动方程 引进量子力学运动方程的基本考虑 自由粒子满足的方程 势场 U(r) 中运动的粒子 多粒子体系的Schrodinger方程
1. 经典力学中物体的运动方程
dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m 时刻，已知初态是： dt
t = t0
• 该方程称为 Schrodinger 方程，也常称为波动方程。 方程，也常称为波动方程。
5.多粒子体系的 5.多粒子体系的 Schrodinger 方程
• 设体系由 N 个粒子组成， 个粒子组成， 质量分别为 μi (i = 1, 2,..., N) 体系波函数记为 ψ( r1, r2, ..., rN ; t) 体系的势能 U ( r1, r2, ..., rN ) 方程可表示为： 则多粒子体系的 Schrodinger 方程可表示为：
a．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ( r, t0) 且只知道这 样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的 方程只能含ψ对时间 的一阶导数。 b．ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1( r, t ) 和ψ2( r, t )是方 程的解，那末。 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是 说方程中只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶 导数的一次项，不能含它们的平方或开方项。 c．第三方面，方程不能包含状态参量，如 p, E等，否则 方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能 的状态所满足。
3.自由粒子满足的方程 3.自由粒子满足的方程
描写自由粒子波函数: 描写自由粒子波函数:
பைடு நூலகம்
i Ψ = A exp ( p • r − Et ) ℏ
应是所要建立的方程的解。 应是所要建立的方程的解。
∂Ψ i = − EΨ ∂t ℏ
→
∂ iℏ Ψ = EΨ ∂t
这不是所要寻找的方程， 这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。
中运动，则能动量关系变为： 若粒子处于势场 U(r) 中运动，则能动量关系变为：
p2 E= +V(r ) = H 2µ p2 EΨ = [ +V(r )]Ψ 2µ
ℏ2 2 ∂ iℏ Ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V ( r )]Ψ ( r , t ) 2µ ∂t ˆ = HΨ (r , t ) ˆ 算符， 式中 H 是体系的 Hamilton 算符，亦常称为 Hamilton 量。
此即自由粒子波动方程。
讨论： 讨论：
通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，将能量关 系式 E = p2/2μ中的力学量作算符替换，则可得到波 动方程。
E p 2 p ∂ ∂t
→ → →
iℏ
ˆ p = − iℏ ∇ ˆ p 2 = − ℏ 2∇ 2
4.势场 4.势场 V(r) 中运动的粒子
N
将Ψ对坐标二次微商，得： 对坐标二次微商，
i ( p x x + p y y + p z z − Et ) i ∂Ψ ∂ Ae ℏ = = pxΨ ℏ ∂x ∂x 2 px ∂ 2Ψ = − 2 Ψ， ℏ ∂x 2
同理有 py ∂2Ψ =− 2 Ψ ℏ ∂y2 p ∂2Ψ = − z2 Ψ ℏ ∂z2
dp dv d 2r F= =m =m 2 dt dt dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
2. 引进量子力学运动方程的基本考虑
关 键 微观粒子量子状态用波函数完全描述。量子力学最核心的 问题就是要解决以下两个问题： (1)在各种情况下，找出描述系统的各种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。