利息理论第一章-1

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第n个度量期的实际贴现率表达式：
In A(n) A(n 1) d n A(n) A(n) 对整数n 1
I n 称为“贴现金额”或“利息金额”。
3、实际贴现率与实际利率的比较
相同处:都是利息的一种度量方式，且都是一个比 例。
不同处: (1) 实际利率为该度量期上的利息比上期 初投资金额；而实际贴现率为该度量期上的利息 比期末投资的可回收金额。
i 指第一个度量期上的实际利率，实际上它是单位
本金在第一个度量期内产生的利息金额。
则：
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a(1) a(0) i 1 i i 1 i 1 a(1) a(0) a(1) a(0) a(0) A(1) A(0) A(0) I1 A(0)
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第n个度量期的实际利率表达式：
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
*
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（4）常数的单复利与实际利率的关系 假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量 期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度 量期内的实际利率，则
利息理论
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第一章 利息的基本概念 §1.1 利息度量
一、利息的概念


1、从债权债务的角度，利息是债务人为了取 得资金的使用权而支付给债权人的报酬。 例如: 某住房贷款，贷17万，20年还清，月还款额 1600元，则利息为21.4万。 2、从投资的角度看，利息是一定量的资本经 过一段时间的价值增值。
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二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

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a(n) a(n 1) (1 in) [1 i(n 1)] in a(n 1) 1 i(n 1) i 对整数n 1 1 i (n 1)
i
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in 将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
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假设每期以复利 i 计息，则在投资期间，不同度 量期将产生不同的利息；实际上
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例题
例6 某人到银行存入1000元，第一年末他 存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问第一年、第二 年的实际贴现率为多少？
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引例
某人有一张在一年以后到期的100元的票 据，由于现在急需现金到银行去贴现， 若银行只支付给他90元，即预先扣除了 10元的贴现值，则银行的实际贴现率为 10%，银行在期初支付了90元，在期末 可以得到100元，故其实际利率11.11%。
（2）从积累形式来看 在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为 投资本金在以后的时期再赚取利息。
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在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
假设I n为从投资日算起第n个度度量期的实际利率，则 In a(n) a(n 1) A(n) A(n 1) in a(n 1) A(n 1) A(n 1) 对整数n 1
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例题

例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的余额为1050元，第二年末他存折 上的余额为1100元，问：第一年、第二 年的实际利率为少？
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
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即4年后支付10000元的现值为7350.3
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1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
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0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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（3）贴现率与折现因子之间的重要关系： i 1 i 1 d 1 v 或 v = 1- d 1 i 1 i 1 i 理解：期末支付1的现值，既可以表示成v也可以表示
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
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例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
I n a(n) a(n 1) (1 i)n (1 i)n1 i (1 i)n1 i a(n 1)
令in (n 1)表示第n个度量期内的实际利率，则 a(n) a(n 1) (1 i ) (1 i) in n 1 a(n 1) (1 i)
4、实际贴现率与单、复利之间的关系
(1)若每期以单利i计息，则第n个度量期上的 a(n) a(n 1) i 实际贴现率为d n ， a ( n) 1 in 可见，d n为n的单调递减函数。
(2)若每期以复利i计息，则第n个度量期上的
a(n) a(n 1) （ i 1 i) n i 实际贴现率为d n 常数 n a ( n) (1 i) 1 i
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例2 某人投资1000元于一年期证券上，该证 券年实际利率为10%，问：一年后，此 人将得到的金额为多少？其中的利息为 多少？
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1.1.2 单利和复利
1、单利
考虑投资一单位本金，如果其在t时的积累值为：
a(t ) 1 it
则说这笔投资以每期单利 i 计息，并称这样的利息称 为单利。
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（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。 （2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
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现值的定义


为使在t个周期期末得到某积累值，而在开始时 刻必须投资的本金金额称为该积累值的现值。 注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t )是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a 1 (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
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例题1-5 已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
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例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。 3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。 注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
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贴现函数的定义
一般的，对应于积累函数a(t )，a 1 (t )就是为使在t个周期期末的 积累值为1，而在开始时投资的本金金额。a 1 (t )称为贴现函数。 1 在常数的单利i下，a (t ) ， 1 it 1 1 在常数的复利i下，a (t ) . t （ 1 i）
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在此假定下，决定积累值的两个最主要的因 素就是本金金额和投资期的长度。 投资期的长度可以用不同的时间单位来度量。 例如：日、周、月、季、半年、一年等。用 来度量投资期的长度时间的单位称为“度量 期”或“期”，最常用的是年。（以后除非 另外说明，均可认为一个度量期为一年。） 4、积累函数 （1）定义
0时刻投资一单位的本金，在t时刻的积累值称为 该时刻的积累函数，记为a(t )
I n 表示在一个时间区间上所产生的，在最后
时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
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1.1.1
实际利率
1、定义：某一个度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之 比。通常，实际利率用字母 表示。 i 注意：这里的度量期为标准的时间单位，如：年、 季、月等，本书中若无特别说明，实际利率一般指的 年实际利率 2、实际利率的公式推导
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5、“等价”的概念：
（ 1）定义
如果对于给定的投资金额，在同样长的时期内，它 们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”的。 （2）实际利率与实际贴现率等价的关系式：
一般地，若某人以d 借款1，则实际上贷出者的 本金为1 d , 而利息为d，对贷出者来说，若这笔 d 业务的实际利率为i,则i ，i d。 1 d i 将上式整理得，d 。 1 i
(2) 积累函数的性质
a(t )是t的函数，且a(0) 1
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a(t )一般为t的单增函数； a(t )一般为t的连续函数。
5、总量函数A(t)
0时刻投资的 k 单位本金在时刻t的积累值，称为总 量函数。符号为 A(t )
则有 A(t ) k a(t )
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1 a （1）定义： 称积累函数a(t ) 的倒数 (t ) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1 (1)
6、t期折现因子
简称为折现因子，并记为 v 。
（2）意义： 第t期折现因子a1 (t ) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 1 k a (t ) t期末支付k的现值为
用d1表示第一个度量期内的实际贴现率 假设0时刻投资了 1单位本金，实际利率为i，则
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1 a(1) 1 i，a (1) 。根据实际贴现率的定义，知 1 i i 1 d1 1 1 a 1 (1) 1 i 1 i I 1 a(1) 1 a(1) a(0) A(1) A(0) 1 1 a(1) a(1 ） a(1) A(1) A(1)
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例4 如果上述银行以复利计息，其他条件不变， 重解上例。 解： 5

A(5) 5000 a(5) 5000(1 6%) 6691.13
附加内容:(贴现函数或现值） 本金为1的投资在第一个度量期末将会有1+i的积累值，1+i称为 积累因子。反之，为使第一个度量期末的积累值为1，在期初 投资的本金额必须是(1+i)1。(1+i)1称为贴现因子。记为v
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注意：积累和折现的区别

积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t ) 是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 1 a 值； (t ) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
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8、利息金额
把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 I n ，则
I n A(n) A(n 1)
2、复利
t a ( t ) (1 i ) 如果其在t时的积累值为：
则说这笔投资以每期复利 i 计息，并将这样产生的利 息称为复利。
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3、单利和复利的比较 （1）从利息的角度

在常数的单利i下，每一个度量期上产生的利息量都 相同，均为常数i。
在常数的复利i下，每一个度量期上产生的利息量不同， 实际上，In a(n) a(n 1) i(1 i) n1随着n而增大。