苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文解析版

１．导数的概念（１）平均变化率一般地，函数f（x）在区间[x１，x２]上的平均变化率为错误!.（２）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数１定义：设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0时，此值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）．２几何意义：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点（x0，f（x0））处的切线的斜率．相应地，切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．（３）函数f（x）的导函数若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数．２．基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝xαf′（x）＝αxα—１f（x）＝sin x f′（x）＝cos_xf（x）＝cos x f′（x）＝—sin_xf（x）＝a x（a＞0，且a≠１）f′（x）＝a x ln_af（x）＝e x f′（x）＝错误!f（x）＝log a x（a＞0，且a≠１）f′（x）＝错误!f（x）＝ln x f′（x）＝错误!３．导数的运算法则（１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（２）[Cf（x）]′＝Cf′（x）（C为常数）；（３）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（４）错误!′＝错误!（g（x）≠0）．[小题体验]１．设f（x）＝x ln x，若f′（x0）＝２，则x0的值为________．解析：由f（x）＝x ln x得f′（x）＝ln x＋１．根据题意知ln x0＋１＝２，所以ln x0＝１，因此x0＝e.答案：e２．曲线y＝x３—x＋３在点（１,３）处的切线方程为________．答案：２x—y＋１＝0３．已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋２是曲线y＝f（x）在x＝３处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（３）＝_____.解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝３处切线的斜率等于—错误!，所以f′（３）＝—错误!，因为g（x）＝xf（x），所以g′（x）＝f（x）＋xf′（x），所以g′（３）＝f（３）＋３f′（３），又由题图可知f （３）＝１，所以g′（３）＝１＋３×错误!＝0．答案：0１．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式（xα）′＝αxα—１与指数函数的求导公式（a x）′＝a x ln a混淆．２．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．３．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]１．函数y＝x cos x—sin x的导数为________．解析：y′＝（x cos x）′—（sin x）′＝x′cos x＋x（cos x）′—cos x＝cos x—x sin x—cos x＝—x sin x.答案：—x sin x２．已知直线y＝—x＋１是函数f（x）＝—错误!·e x图象的切线，则实数a＝________.解析：设切点为（x0，y0），则f′（x0）＝—错误!·e0x＝—１，所以e0x＝a，又—错误!·e0x＝—x0＋１，所以x0＝２，a＝e２.答案：e２３．若存在过点（１,0）的直线与曲线y＝x３和y＝ax２＋错误!x—9都相切，则a＝________.解析：因为y＝x３，所以y′＝３x２，设过（１,0）的直线与y＝x３相切于点（x0，x错误!），则在该点处的切线斜率为k＝３x错误!，所以切线方程为y—x错误!＝３x错误!（x—x0），即y＝３x错误!x—２x错误!，又（１,0）在切线上，则x0＝0或x0＝错误!，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax２＋错误!x—9相切，可得a ＝—错误!，当x0＝错误!时，由y＝错误!x—错误!与y＝ax２＋错误!x—9相切，可得a＝—１．答案：—１或—错误!错误!错误![题组练透]求下列函数的导数．（１）f（x）＝x３＋x；（２）f（x）＝sin x＋x；（３）f（x）＝e x cos x；（４）f（x）＝错误!—ln x.解：（１）f′（x）＝（x３＋x）′＝（x３）′＋（x）′＝３x２＋１．（２）f′（x）＝cos x＋１．（３）f′（x）＝e x cos x—e x sin x＝e x（cos x—sin x）．（４）f′（x）＝错误!—错误!＝错误!.[谨记通法]求函数导数的３种原则错误!错误![锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有：（１）求切线方程；（２）求切点坐标；（３）求参数的值（范围）．[题点全练]角度一：求切线方程１．（２0１9·泰州检测）若函数f（x）＝２错误!在点（a，f（a））处的切线与直线２x＋y—４＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线２x＋y—４＝0垂直，∴切线的斜率是错误!.∵f（x）＝２错误!，∴f′（x）＝x12-，∴f′（a）＝a12-＝错误!.解得a＝４，则f（４）＝４，故函数f（x）在点（４,４）处的切线方程为x—２y＋４＝0．答案：x—２y＋４＝0２．已知曲线y＝错误!与y＝错误!的交点为C，两曲线在点C处的切线分别为l１，l２，则切线l１，l ２与y轴所围成的三角形的面积为________．解析：由错误!解得错误!即C（４,２），由y＝错误!，得y′＝（错误!）′＝错误!，则直线l１的斜率k１＝错误!，∴l１：y＝错误!x＋１．同理可得l２：y＝—错误!x＋４，如图，易知S△ABC＝错误!×３×４＝6，即所求的面积为6．答案：6角度二：求切点坐标３．（２0１9·扬州模拟）曲线f（x）＝x３—x＋３在点P处的切线平行于直线y＝２x—１，则P点的坐标为________．解析：f′（x）＝３x２—１，令f′（x）＝２，则３x２—１＝２，解得x＝１或x＝—１，所以P（１,３）或（—１,３），经检验，点（１,３），（—１,３）均不在直线y＝２x—１上，符合题意．答案：（１,３）和（—１,３）角度三：求参数的值（范围）４．（２0１8·常州高三期末）已知函数f（x）＝bx＋ln x，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f（x）相切，则k—b的值为________．解析：设切点为（x0，bx0＋ln x0），f′（x）＝b＋错误!，则k＝b＋错误!，故切线方程为y—（bx0＋ln x0）＝错误!（x—x0），将（0,0）代入，可得x0＝e，则k＝b＋错误!，∴k—b＝错误!.答案：错误![通法在握]与切线有关问题的处理策略（１）已知切点A（x0，y0）求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′（x0）．（２）已知斜率k，求切点A（x１，f（x１）），即解方程f′（x１）＝k.（３）求过某点M（x１，y１）的切线方程时，需设出切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0），再把点M（x１，y１）代入切线方程，求x0.[演练冲关]１．曲线f（x）＝２x—e x与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为________．解析：曲线f（x）＝２x—e x与y轴的交点为（0，—１）．且f′（x）＝２—e x，所以f′（0）＝１．所以所求切线方程为y＋１＝x，即x—y—１＝0．答案：x—y—１＝0２．（２0１8·南京、盐城高三二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝错误!（m＞0）在x＝１处的切线为l，则点（２，—１）到直线l的距离的最大值为________．解析：把x＝１代入y＝错误!，得y＝错误!，则切线l过点错误!.∵y′＝—错误!，∴切线的斜率k＝y′|x＝１＝—错误!.∴切线l的方程为y—错误!＝—错误!（x—１），即mx＋４y—３m＝0．∴点（２，—１）到直线l的距离d＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!≤ 错误!＝错误!，当且仅当m＝错误!，即m＝４时取“＝”，故所求最大值为错误!.答案：错误!３．已知函数f（x）＝x３＋（１—a）x２—a（a＋２）x＋b（a，b∈R）．（１）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为—３，求a，b的值；（２）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′（x）＝３x２＋２（１—a）x—a（a＋２）．（１）由题意得错误!解得b＝0，a＝—３或a＝１．（２）因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′（x）＝３x２＋２（１—a）x—a（a＋２）＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝４（１—a）２＋１２a（a＋２）＞0，即４a２＋４a＋１＞0，所以a≠—错误!.所以a的取值范围为错误!∪错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·常州调研）函数f（x）＝e x＋x２＋sin x的导函数f′（x）＝________.答案：e x＋２x＋cos x２．（２0１8·镇江调研）函数f（x）＝（x＋１）２（x—１）在x＝１处的导数等于________．解析：由f（x）＝（x＋１）２（x—１）＝x３＋x２—x—１，得f′（x）＝３x２＋２x—１，所以f′（１）＝３＋２—１＝４．答案：４３．（２0１8·苏州暑假测试）曲线y＝e x在x＝0处的切线方程为____________．解析：因为y′＝e x，所以y＝e x在x＝0处的切线斜率k＝e0＝１，因此切线方程为y—１＝１×（x—0），即x—y＋１＝0．答案：x—y＋１＝0４．已知函数f（x）＝错误!cos x，则f（π）＋f′错误!＝________.解析：因为f′（x）＝—错误!cos x＋错误!（—sin x），所以f（π）＋f′错误!＝—错误!＋错误!·（—１）＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１9·苏州调研）已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋b（a，b∈R）图象上任意一点处的切线的斜率都小于１，则实数a的取值范围是________．解析：∵f′（x）＝—３x２＋２ax＝—３错误!２＋错误!，当x＝错误!时，f′（x）取到最大值错误!.∴错误!＜１，解得—错误!＜a＜错误!.答案：（—错误!，错误!）6．（２0１8·苏北四市调研）已知f（x）＝x３—２x２＋x＋6，则f（x）在点P（—１,２）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f（x）＝x３—２x２＋x＋6，所以f′（x）＝３x２—４x＋１，所以f′（—１）＝8，故切线方程为y—２＝8（x＋１），即8x—y＋１0＝0，令x＝0，得y＝１0，令y＝0，得x＝—错误!，所以所求面积S＝错误!×错误!×１0＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x２＋２xf′（１），则f′（２）＝________.解析：因为f（x）＝x２＋２xf′（１），所以f′（x）＝２x＋２f′（１），令x＝１，得f′（１）＝２＋２f′（１），解得f′（１）＝—２，则f′（x）＝２x—４，所以f′（２）＝２×２—４＝0．答案：0２．已知f（x）＝ax４＋b cos x＋7x—２．若f′（２0１8）＝6，则f′（—２0１8）＝________.解析：因为f′（x）＝４ax３—b sin x＋7．所以f′（—x）＝４a（—x）３—b sin（—x）＋7＝—４ax３＋b sin x＋7．所以f′（x）＋f′（—x）＝１４．又f′（２0１8）＝6，所以f′（—２0１8）＝１４—6＝8．答案：8３．（２0１9·淮安调研）曲线y＝１—错误!在点（—１，—１）处的切线方程为________．解析：因为y＝１—错误!＝错误!，所以y′＝错误!＝错误!，y′错误!所以曲线在点（—１，—１）处的切线斜率为２，所以所求切线方程为y＋１＝２（x＋１），即y＝２x＋１．答案：y＝２x＋１４．（２0１8·无锡期末）在曲线y＝x—错误!（x＞0）上一点P（x0，y0）处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为错误!，则x0＝________.解析：因为y′＝１＋错误!，切点P错误!，x0＞0，所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝１＋错误!，所以切线方程是y—错误!＝错误!（x—x0）．令y＝0，得x＝错误!，即A错误!；令x＝0，得y＝—错误!，即B错误!.所以S△OAB＝错误!·错误!·错误!＝错误!＝错误!，解得x0＝错误!.答案：错误!５．已知f（x）＝ln x，g（x）＝错误!x２＋mx＋错误!（m＜0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（１，f（１）），则m＝________.解析：因为f′（x）＝错误!，所以直线l的斜率为k＝f′（１）＝１，又f（１）＝0，所以切线l的方程为y＝x—１．g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），则有x0＋m＝１，y0＝x0—１，y0＝错误!x错误!＋mx0＋错误!，m＜0，解得m＝—２．答案：—２6．（２0１8·淮安高三期中）已知函数f（x）＝x３.设曲线y＝f（x）在点P（x１，f（x１））处的切线与该曲线交于另一点Q（x２，f（x２）），记f′（x）为函数f（x）的导函数，则错误!的值为________．解析：由f′（x）＝３x２，得f′（x１）＝３x错误!，所以曲线y＝f（x）在点P（x１，x错误!）处的切线方程为y＝３x错误!x—２x错误!，由错误!解得Q（—２x１，—8x错误!），所以x２＝—２x１，所以错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!7．（２0１9·南通一调）已知两曲线f（x）＝２sin x，g（x）＝a cos x，x∈错误!相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．解析：f′（x）＝２cos x，g′（x）＝—a sin x．设点P的横坐标为x0，则f（x0）＝g（x0），f′（x0）·g′（x0）＝—１，即２sin x0＝a cos x0，（２cos x0）·（—a sin x0）＝—１，所以４sin２x0＝１．即sin x0＝±错误!，因为x0∈错误!，所以sin x0＝错误!，cos x0＝错误!，所以a＝错误!.答案：错误!8．曲边梯形由曲线y＝x２＋１，y＝0，x＝１，x＝２所围成，过曲线y＝x２＋１（x∈[１,２]）上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P（x0，x错误!＋１），x0∈[１,２]，则易知曲线y＝x２＋１在点P处的切线方程为y—（x错误!＋１）＝２x0（x—x0），所以y＝２x0（x—x0）＋x错误!＋１，设g（x）＝２x0（x—x0）＋x错误!＋１，则g（１）＋g（２）＝—２x错误!＋6x0＋２，所以S普通梯形＝错误!×１＝—x错误!＋３x0＋１＝—错误!２＋错误!，所以P点坐标为错误!时，S普通梯形最大．答案：错误!9．（２0１9·盐城中学月考）求下列函数的导数：（１）y＝x２（ln x＋sin x）；（２）y＝错误!；（３）y＝错误!ln x.解：（１）y′＝２x（ln x＋sin x）＋x２错误!＝２x ln x＋２x sin x＋x＋x２cos x.（２）y′＝错误!＝错误!.（３）y′＝错误!ln x＋错误!·错误!＝错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—４x２＋５x—４．（１）求曲线f（x）在点（２，f（２））处的切线方程；（２）求经过点A（２，—２）的曲线f（x）的切线方程．解：（１）因为f′（x）＝３x２—8x＋５，所以f′（２）＝１，又f（２）＝—２，所以曲线在点（２，f（２））处的切线方程为y＋２＝x—２，即x—y—４＝0．（２）设曲线与经过点A（２，—２）的切线相切于点P（x0，x错误!—４x错误!＋５x0—４），因为f′（x0）＝３x错误!—8x0＋５，所以切线方程为y—（—２）＝（３x错误!—8x0＋５）（x—２），又切线过点P（x0，x错误!—４x错误!＋５x0—４），所以x错误!—４x错误!＋５x0—２＝（３x错误!—8x0＋５）（x0—２），整理得（x0—２）２（x0—１）＝0，解得x0＝２或１，所以经过点A（２，—２）的曲线f（x）的切线方程为x—y—４＝0或y＋２＝0．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知曲线f（x）＝x３＋ax＋错误!在x＝0处的切线与曲线g（x）＝—ln x相切，则a的值为________．解析：由f（x）＝x３＋ax＋错误!得，f′（x）＝３x２＋a，f′（0）＝a，f（0）＝错误!，所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y—错误!＝ax.设直线y—错误!＝ax与曲线g（x）＝—ln x相切于点（x0，—ln x0），g′（x）＝—错误!，所以错误!将２代入１得ln x0＝错误!，所以x0＝e 3 4，所以a＝—错误!＝—e3 4 -.答案：—e3 4 -２．（２0１8·启东中学高三测试）已知函数f（x）＝ax３＋３x２—6ax—１１，g（x）＝３x２＋6x＋１２和直线l：y＝kx＋9，且f′（—１）＝0．（１）求a的值；（２）是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：（１）由已知得f′（x）＝３ax２＋6x—6a，因为f′（—１）＝0，所以３a—6—6a＝0，解得a＝—２．（２）存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点（0,9），若直线l是曲线y＝g（x）的切线，则设切点为（x0,３x错误!＋6x0＋１２）．因为g′（x0）＝6x0＋6，所以切线方程为y—（３x错误!＋6x0＋１２）＝（6x0＋6）（x—x0），将（0,9）代入切线方程，解得x0＝±１．当x0＝—１时，切线方程为y＝9；当x0＝１时，切线方程为y＝１２x＋9．由（１）知f′（x）＝—6x２＋6x＋１２，１由f′（x）＝0，得—6x２＋6x＋１２＝0，解得x＝—１或x＝２．当x＝—１时，y＝f（x）的切线方程为y＝—１8；当x＝２时，y＝f（x）的切线方程为y＝9，所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9．２由f′（x）＝１２，得—6x２＋6x＋１２＝１２，解得x＝0或x＝１．在x＝0处，y＝f（x）的切线方程为y＝１２x—１１；在x＝１处，y＝f（x）的切线方程为y＝１２x—１0．所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线不是y＝１２x＋9．综上所述，y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9，此时k＝0．。