曲边梯形的面积(赵秋明)
辽宁省沈阳市第二十一中学高二人教B版数学(理)选修2-2教案：1.4.1曲边梯形的面积与定积分
1.4.1 曲边梯形的面积与定积分【教课目的】 1.理解求曲边梯形面积的过程和步骤—切割、以直代曲、乞降、取极限；认识定积分的看法及几何意义； 2.领会化曲为直的极限思想； 3.浸透“质量互变、对峙一致”的看法 .【教课要点】定积分的看法一、课前预习：阅读教材【教课难点】以曲代直36 页—38 页，达成以下问题例 1：求曲线y x 2与直线x1, y0 所围成地区的面积.（1）切割：将区间 [0,1] 平分红 n 个小区间，第一个小区间为 [0, 1] ，第二个小区n间为[1,2]，第三个小区间为，第个 i小区间为，，第n nn 个小区间为.每个小区间的长度为x(2)以直代曲：过各分点做轴的垂线，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底作小矩形，则第一个小矩形的高为，第二个小矩形的高为，第三个小矩形的高为，，第 i 个小矩形的高为，，第 n 个小矩形的高为.它们的面积分别为.（ 3）近似乞降：全部个小矩形的面积的和记为 S n，则 S n =（ 4）取极限：S lim Snx 0二、课上学习：1. 定积分的概念：设函数y f ( x) 定义在区间 [ a, b] 上，用分点a x0x1 x2... x n 1x n b将区间平分红个小区间，其长度挨次为，记为这些小区间长度的，当趋近于 0 时，全部小区间的长度都. 在每个小区间上，作和式：当0时，假如和式的（即无穷趋近于常数），那么称和式为函数 f (x) 在区间 [ a,b] 上的定积分。
记为：，此中 f ( x) 称为， a 叫做， b 叫做，叫做被积式 .思虑：将教材例1，例 2 的结果用定积分怎样表示？2.定积分的几何意义说明：一般状况下，定积分的几何意义是介于x 轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．b b（ c 为常数）3.（ 1） cf ( x)dx c f ( x) dxa ab（2）设f (x), g (x)可积，则[ f ( x) g(x)]dxa。
高中数学第一章1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案含解析新人教A版选修20
n n＋ i－1 1
因为
n
3· n
i＝ 1
1n ＝ n4 (n＋i－ 1)3
i＝ 1
1n ＝ n4 [(n－ 1)3＋ 3(n－ 1)2i ＋ 3(n－ 1)i2＋ i3]
1
所以 S＝ li m n→∞
n
3· n
i＝ 1
3
1 15
＝ 1＋ ＋ 1＋ ＝ .
2
44
n＋ n－ 1
n
， 2 ，每个小区间的长度为Δ
n＋ i n＋ i－ 1 1 x ＝ n － n ＝ n (i＝
1,2,3，…， n)．过各分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，它们的
面积分别记作Δ S1，ΔS2，…，ΔSn. (2)近似代替
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近
精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值． 求由直线 x＝ 1， x＝ 2，y＝ 0 与曲线 y＝2x2 所围成的曲边梯形的面积．
解： (1)分割
在区间上等间隔地插入
n－ 1 个分点，把区间等分成
n＋i－ 1 n＋ i
s＝ li m n→∞
sn＝
li
m
n→∞
8 1＋ n 1＋ 2n ＋ 4 ＝ 8＋ 4＝ 12，
所以这段时间内行驶的路程为
12 km. 变速运动的路程的求法
求变速直线运动路程的问题， 方法和步骤类似于求曲边梯形的面积， 用“以直代曲”“逼 近”的思想求解．求解过程为分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的
曲边梯形的面积 课件
n
y
y f x
f b
f a
o
a
x
b
为了便于计算， i 一般用区间 x
，x 的左右端点
i 1 i
1 1
1
S n 1 1 趋向于S .
3 n 2n
n
1
S lim S n lim
n
n
i 1 n
o
y x2
i 1 i
n n
1
x
1 1
1 1
i 1
f
1 1 .
lim
n n 3 n 2n 3
Si S f
3
n
n
n
n
n
(i = 1，2，…， n)
2
'
i
2
（3）求和
y
阴影部分的面积 S n 为
2
n
n
n
i
1
(
i
1
)
1
'
S n Si f
i 1
i 1 n n i 1 n 3
1 2
2
o
3 1 2 2 n 1
1
n
2
n
i 1 i
n n
n
n
x
y
y x2
o
i 1 i
n n
1
x
方案1
方案2 方案3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”
4.5.1曲边梯形的面积_课件-湘教版数学选修2-2
(3)积零成整，精益求精． 从 0 到 b 所做的总功 W 近似地等于
n－1
ΔWi＝
i＝0
ni＝－01kxi·Δx＝ni＝－01k·inb·bn
＝knb22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝knb22·nn2－1 ＝k2b21－1n. 当 n 趋于无穷大时，W 趋于12kb2. 于是得到弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为12kb2.
n
n
S＝ΔSi≈
i＝1
i＝1
n＋ni－13·1n＝145－27n＋43n2.①
当 n 趋向于无穷大时，即1n→0，S→145时，所以 S→145. 所以由直线 x＝1，x＝2 和 y＝0 及曲线 y＝x3 围成的曲边梯形 的面积为145.
点评 “分割、近似代替、求和、取极限”的过程是定积分中的一个难点， 要想突破它，就要单独研究一下这个过程，仔细体会各步的要旨，这对同 学们提高认知能力，培养自主学习的能力也是一种锻炼．
点评 本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是一样的，都要对 某一函数实行相同结构的数学运算．
2．物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小(N)与 位移 s(m)的关系是：F＝13s＋1，求物体运动 5 m 的过程中力 F 所做的功 W(J)．
解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[0,5]n 等分，得 Δs＝5n，si＝5ni. (2)以直代曲，估计误差． Fi＝13si＋1＝35ni＋1， 在[si，si＋1]的位移内，力 Fi 所做的功 Wi＝FiΔs＝5n35ni＋1＝32n52i＋5n.
(1)化整为零，插入等分点； (2)以直代曲，估计误差； (3)积零成整，精益求精．
自主探究
求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样 才能减小误差？ 提示 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大．为了 减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代 曲”．
【高中数学选修2-2】1.5.1曲边梯形的面积
“以直代曲”。
区间长度：△x= 1
n
把第i个小区间左端点处的函 数值 f i 1近似成小矩形的高， 得： n
第i个小区间
O i-1 i 1 x
nn
也可任取i
i
n
1
,
i n
的函数值f
i
Oa
n
s
lim
x0
sn
lim
x0
i 1
f
i
n
x lim n i1
f
i
ba n
{ xi i xi+1
x
b
x
练求习由:求连直续线曲x=线0,xy=2f(,yx=)对0与应曲的线曲y=x边2所梯围形成的面曲积边的梯“形四面步积.曲”8
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 3
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
和前两种情况相比，哪个精确？如何才能更精确？
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y
y = f(x)
如
何
求
曲
边
梯
A1
Ai
An
形
的
Oa
bx 面
将感曲悟边：梯形分分割成越细n个，小面曲积边的梯近形似，值并就用越小精矩确形。的当面分积割代无替限变细积
一般地，如果函数y=f(x)
北京市房山区房山中学高二数学(理)a层《“曲边梯形的面积”》教学设计(人教B版)
[教学内容]普通高中课程标准实验教科书选修2--2（苏教版）第41页--42页，1.5定积分中的1.5.1曲边梯形的面积。
[教学目标]⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以曲代直、逼近、求和；⑵进一步感受有限与无限的联系和极限的思想在数学和实践中的应用；⑶通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程、变力做功，初步了解定积分产生的背景。
[情感目标]培养学生辨证地看待问题，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，加深自身素质的培养及良好习惯的养成。
[教学重点]求曲边梯形的面积。
[教学难点]深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。
[教学方法]启发引导与探求相结合，以探究为主。
[班级情况]高二生源较好的理科班。
[教学过程]一、问题引入师：1.求下图中阴影部分的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于0x =，1x =，0y =，2y x =围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。
二、学生活动与意义建构1、让学生自己探求，讨论（3—4分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以OAB 的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。
（在讨论的过程中渗透分割的思想）方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。
方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。
（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。
云南省德宏州芒市第一中学高中数学 1.5.1曲边梯形的面积2教学设计 新人教A版选修2-2
1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、预习导学1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．三、问题引领，知识探究1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )所围成的图形称为 ．2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．解： （1）分割把区间[0，1]等分成n 个小区间：过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作（2） 以直代曲（3）作和],n n ,n 1n [,],n i ,n 1i [,],n 2,n 1[],n 1,0[-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n1n 1i n i x =--=∆每个区间的长度为.S ,,S ,,S ,S n i 21∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆∆n 1)n 1i (x )n 1i (f S 2i -=∆-≈∆])1n (210[n1 n 1)n 1-i (n 1)n 1-i f( S S S S S 22223n 1i 2n 1i n1i in 21-+⋅⋅⋅+++==≈∆=∆+⋅⋅⋅+∆+∆=∑∑∑===（4）逼近分割 以曲代直 作和 逼近当分点非常多（n 非常大）时，可以认为f (x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi 对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x 来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值。
《曲边梯形的面积》优秀课件
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
曲边梯形的面积2 人教课标版精品课件
1 2 n
1 n
2 2 n
1 n
n
n
1
2
1 n
1 (12 22 (n 1)2) n3
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6
1 6
1
1 n
2
1 n
.
nx
n
y
y
O 12 nn
O 12 nn
二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地——汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。 又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！
y x2
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限 n
把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
n
的近似值。 S lim f 有理由相信，分 x i1
i x
点越来越密时，即分
课件4：1.4.1曲边梯形的面积
(
1
x
)
dx
1
1
(1x)dx
x)dx
1
1
1 . .
(
1
1
0
0
0
22
22
2
2
.
练习：
试用定积分表示下列各图中影阴部分
的面积。
= 2
y0
1
2
x
= ()
0
= ()
b
利用定积分的几何意义说明下列各式.
1）．
2
0
2）.
0
sin xdx 0
sin xdx 2 2 sin xdx
0
例3：利用定积分的几何意义说明等式 sin xdx 0成立。
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
解： 在右图中，被积函数() =
在[− ， ]上连续，且在[− ，0]上
2 2
2
≤ 0, 在[0， ]上 ≥ 0, 并有
2
1 = 2 , 所以
y f ( x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
v
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
t
b
O a
[a, b] —叫做积分区间。
即
定积分的定义：
b
a
ba
f ( x)dx lim
f (i )
n
n
i 1
n
按定积分的定义，有
苏教版高中数学选修连云港灌云县四队教案曲边梯形的面积
四队中学教案纸 备课
时间
教学 课题 教时 计划 1 教学 课时 1 教学
目标 1. 通过实例直观了解微积分基本定理的含义。
2. 理解以直代曲的思想
重点难
点
微分与积分
教学过程 一．情境创设
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
二．新授
直线x =0、x =1、y =0及曲线y =x2所围成的图形（曲边三角形）面积S 是多少？
为了计算曲边三角形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。
分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S 。
x y 0 x
y
0 x
O 1 x
y
o。
曲边梯形的面积(初三)
曲边梯形的面积(初三)
石春蕊
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2006(000)004
【摘要】扇形从直观上看类似三角形(一边为曲边), 扇形的面积公式S=1/2lr,从形式上看类似三角形的面积公式S=1/2ah．因此,我们可以把扇形看作曲边三角形,把弧长l看作底,半径r 看作底边上的高．
【总页数】1页(P9-9)
【作者】石春蕊
【作者单位】河北省唐山十一中;063000
【正文语种】中文
【中图分类】G634.63
【相关文献】
1.基于认知负荷理论的数学核心概念教学——以《曲边梯形的面积》一课为例
2.《1.5.1曲边梯形的面积》教学设计
3.《曲边梯形的面积》说课稿研究
4.巧用极限思想感悟"曲边梯形的面积"课例教学的数学美
5.依托"问题导学"落实立德树人——以《曲边梯形的面积》教学为例
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曲边梯形的面积
一、教学内容解析
本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分》的第一课，能够了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程。
从而知道曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．让学生认识到定积分是微积分的核心概念，有极其丰富的实际背景和广泛的应用．
二.学生学情分析：
本节课的教学对象是普同中学的学生，学生的比数学基础较差，理解能力、运算能力和学习交流能力较弱．
学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限思想”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值，也是前n项和的极限是数列所有项的和在几何中的应用。
三、教学目标分析
依据课标，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：
（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:用现代多种多体媒手段经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；
（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学产生的过程中数学思想起到的作用，伟大的实践必有伟大的理论――极限思想，同时体验“量变到质变”的辩证观点.
四、教学重点、难点：
重点：“分割、近似代替、求和、取极限”的求曲边梯形面积的方法，用多媒体手法让学生体会无限逼近的过程。
难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，就是一种极限思想产生的方法.
五、教学策略分析：
根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“问题引领，小组互助”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。
针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用现代多种多体媒手段展示，让学生从感性上升到理性，从个性到共性，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．
六、教具分析
借助教学课件形象直观的展示问题；利用现代多种多体媒手段分割变细过程，利用现代多种多体媒手段感悟无限逼近的极限思想.
七、教学过程设计：
为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，教学过程设计以“问题引领，小组互助”为教学理念．分三个环节，理论研讨，多媒体实现，总结与反思。
（-）问题引入，点出课题：
问题1：在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形，如计算开挖隧道在工程量，必须知道隧道截面面积。
曲边梯形的概念：如右图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线
()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．
问题2：求2y x =与0y =轴及1x =所围成的平面图形面积S ？ （二）引入数学思想：
研讨问题（1）地球是圆的，但我们却觉得是平的呢？
研讨问题（2） 半径很大，弧长很小的扇形可以看成三角形吗？半径可以看成三
角形的高吗？弧长小到几乎是零的时候呢？
研讨问题（3）扇形面积公式是什么？和三角形面积公式类似吗？那我们找一下联系，大扇形可以分割成多个弧长很小的扇形，弧长小到几乎是零的时候呢会出现什么结果？扇形面积是弧长很小的扇形的和，弧长小到几乎是，扇形面积公式是什么？
我们发现这样也可以解决问题，总结一下这理有什么：大扇形可以分割成多个弧长很小的扇形是分割，扇形面积是弧长很小的扇形的和是求和，弧长小到几乎是什么？是极限。
类比刘徽的割圆术（爱国主义的教育） 为什么要逐次加倍正多边形的边数？
（三）阅读教材（理解积分的过程，回答问题） 1.分割：
请讨论：如何分割？
展示学习小组的部分分割的方案：
（1）竖向分割 （2）横向分割 （3）随意分割 请讨论：分割多少份合适？
设计意图：学生只知道分割，具体分割多少份不知道如何确定，利用刘徽的割圆术，知道分割的越多，误差越小，为了便于操作，引导学生会利用n 控制分割的份数，把[0,1]分割成n 等份.
2.近似代替：
以什么样的直边图形近似代替小曲边图形？ 展示学习小组的部分近似代替的方案：
（1） （2） （3） （4）
矩形 矩形 矩形 梯形 不足 过剩 中点 代替 3.求和：
如何用n 的式子表示直边图形的面积和？ 展示学习小组部分计算结果：
（1）以左端点函数值计算：)211)(11(311n n S --=
（2）.以右端点函数值计算)21
1)(11(312n n S +
+= （3）以中间点的函数值)21
1(312
3n
S +=
4．求极限
请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ 展示学生思维结果：
（1）当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S （2）当+∞→n 时，3
1
)211)(11(312→++=n n S
（3）当+∞→n 时，31)211(3123→+=
n
S （四）总结这个曲边梯形面积的步骤 你能概括出求这个曲边梯形面积的步骤吗？
学生答案：
推广提升：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2
)(x x f =在区间],1[
n
i
n i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？
展示学生结果：0
1
1
11lim
()lim ()3
n
n
i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞
===∆==∑
∑
（五）电脑操作验证.
同学们：我们学过程序，完成对极限结果的正确性的验证.
可以用什么语言来解决这个问题？
用可编程计算器，BASIC ，EXCEL ，几何画版等简单语言实现。
我们演示一二个，有兴趣同学回家在电脑操作验证 （1）可编程计算器 （2）BASIC （3）EXCE （4），几何画版
请对等分数 n
不足近似值a(n)
过剩近似值b(n)
精确度c(n)=b(n)?a(n)
1 0.00000 1.00000 1.00000
2 0.12500 0.62500 0.50000
3 0.18519 0.51852 0.33333
4 0.2187
5 0.46875 0.25000 …
…
…
…
(六)课堂总结
请同学交流，谈谈本节课的收获？
1.求曲边梯形面积的步骤是：分割--近似代替--求和--取极限；
2.学习到的基本数学方法是：以直代曲、无限逼近。
3.用电脑操作验证结果是正确的
八、课后作业设置
1.请用数学式子表示1.5-1对应的曲边图形的面积？ 2．课本42P 练习题；
3．阅读课本4849P ，并用电脑操作验证.
（1）“曲边梯形的面积”为主题，以“探究求曲边梯形面积的方法”为主线，学生学会了求曲边梯形面积的方法，并对“以直代曲，无限逼近”的数学思想方法有了比较深刻的认识。
（2）本节课在难点突破上，教学过程设计合理，自然流畅，比较各种方案以及电脑等各种工具的有效使用，直观形象地呈现了图形动态、变化的过程，使得学生对“以直代曲，无限逼近”数学思想方法从感性升华到理性，难点突破水到渠成。
（3）本节课教学方法上以问题为主线，通过学生个体独立思考和小组合作、探究、交流、辨析相结合，学生汇报交流和老师的点拨引导相结合，激发学生的思维，从而建构知识、形成方法、培养能力，整个教学过程符合学生的认知规律，切实突出了学生的主体地位。
（4）本节课在渗透数学文化、突出数学本质、教学有效性。
但在一些细节有待于改进，如计算过程没有更深层次的体现出来，这需要可先督促学生进一步的计算，提升计算能力.。