曲边梯形的面积(赵秋明)

曲边梯形的面积

一、教学内容解析

本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分》的第一课，能够了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程。

从而知道曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．让学生认识到定积分是微积分的核心概念，有极其丰富的实际背景和广泛的应用．

二.学生学情分析：

本节课的教学对象是普同中学的学生，学生的比数学基础较差，理解能力、运算能力和学习交流能力较弱．

学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限思想”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值，也是前n项和的极限是数列所有项的和在几何中的应用。

三、教学目标分析

依据课标，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：

（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:用现代多种多体媒手段经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；

（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学产生的过程中数学思想起到的作用，伟大的实践必有伟大的理论――极限思想，同时体验“量变到质变”的辩证观点.

四、教学重点、难点：

重点：“分割、近似代替、求和、取极限”的求曲边梯形面积的方法，用多媒体手法让学生体会无限逼近的过程。

难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，就是一种极限思想产生的方法.

五、教学策略分析：

根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“问题引领，小组互助”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用现代多种多体媒手段展示，让学生从感性上升到理性，从个性到共性，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．

六、教具分析

借助教学课件形象直观的展示问题；利用现代多种多体媒手段分割变细过程，利用现代多种多体媒手段感悟无限逼近的极限思想.

七、教学过程设计：

为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，教学过程设计以“问题引领，小组互助”为教学理念．分三个环节，理论研讨，多媒体实现，总结与反思。

（-）问题引入，点出课题：

问题1：在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形，如计算开挖隧道在工程量，必须知道隧道截面面积。

曲边梯形的概念：如右图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线

()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．

问题2：求2y x =与0y =轴及1x =所围成的平面图形面积S ？ （二）引入数学思想：

研讨问题（1）地球是圆的，但我们却觉得是平的呢？

研讨问题（2） 半径很大，弧长很小的扇形可以看成三角形吗？半径可以看成三

角形的高吗？弧长小到几乎是零的时候呢？

研讨问题（3）扇形面积公式是什么？和三角形面积公式类似吗？那我们找一下联系，大扇形可以分割成多个弧长很小的扇形，弧长小到几乎是零的时候呢会出现什么结果？扇形面积是弧长很小的扇形的和，弧长小到几乎是，扇形面积公式是什么？

我们发现这样也可以解决问题，总结一下这理有什么：大扇形可以分割成多个弧长很小的扇形是分割，扇形面积是弧长很小的扇形的和是求和，弧长小到几乎是什么？是极限。

类比刘徽的割圆术（爱国主义的教育） 为什么要逐次加倍正多边形的边数？

（三）阅读教材（理解积分的过程，回答问题） 1.分割：

请讨论：如何分割？

展示学习小组的部分分割的方案：

（1）竖向分割 （2）横向分割 （3）随意分割 请讨论：分割多少份合适？

设计意图：学生只知道分割，具体分割多少份不知道如何确定，利用刘徽的割圆术，知道分割的越多，误差越小，为了便于操作，引导学生会利用n 控制分割的份数，把[0,1]分割成n 等份.

2.近似代替：

以什么样的直边图形近似代替小曲边图形？ 展示学习小组的部分近似代替的方案：

（1） （2） （3） （4）

矩形 矩形 矩形 梯形 不足 过剩 中点 代替 3.求和：

如何用n 的式子表示直边图形的面积和？ 展示学习小组部分计算结果：

（1）以左端点函数值计算：)211)(11(311n n S --=

（2）.以右端点函数值计算)21

1)(11(312n n S +

+= （3）以中间点的函数值)21

1(312

3n

S +=

4．求极限

请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ 展示学生思维结果：

（1）当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S （2）当+∞→n 时，3

1

)211)(11(312→++=n n S

（3）当+∞→n 时，31)211(3123→+=

n

S （四）总结这个曲边梯形面积的步骤 你能概括出求这个曲边梯形面积的步骤吗？

学生答案：

推广提升：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2

)(x x f =在区间],1[

n

i

n i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？

展示学生结果：0

1

1

11lim

()lim ()3

n

n

i i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞

===∆==∑

∑

（五）电脑操作验证.

同学们：我们学过程序，完成对极限结果的正确性的验证.

可以用什么语言来解决这个问题？

用可编程计算器，BASIC ，EXCEL ，几何画版等简单语言实现。 我们演示一二个，有兴趣同学回家在电脑操作验证 （1）可编程计算器 （2）BASIC （3）EXCE （4），几何画版

请对等分数 n

不足近似值a(n)

过剩近似值b(n)

精确度c(n)=b(n)?a(n)

1 0.00000 1.00000 1.00000

2 0.12500 0.62500 0.50000

3 0.18519 0.51852 0.33333

4 0.2187

5 0.46875 0.25000 …

…

…

…

(六)课堂总结