(线面积分)计算方法总结

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高数线面积分

则下面的四个命题等价：
10 沿D内任何一闭路L上的积分为零，即 Pdx Qdy 0 ;
L
20 曲线积分 Pdx Qdy与路径无关，只与起点 A与终点B有关;
L( AB )
30 P Q 在D内恒成立； y x
40 在D内存在二元函数 u( x, y),使du Pdx Qdy .
.
等价的意义是：若其中一个成立，另外三个也成立。
I a 2 x 2 y 2 dxdy a 2 x 2 y 2 (dxdy)
.
.
Dxy
Dxy
.
2
a 2 x 2 y 2 dxdy 2
2π
d
a
a 2 r 2 rdr
4π a3
.
Dxy
0
0
3
二4 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
一型：对面积
二型：对坐标
三重积分
高斯公式
1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较
曲线积分标准形式物理意义
计算方法
相似处
不同处
第一型 (对弧长)
第二型 (对坐标)
f ( x, y)ds
L
f ( x, y, z)ds
L
L指曲线
⌒
AB
当 f ( x, y) 0,
f ( x, y)ds表示
L
线密度为 f ( x,
y)的曲线型构
件的质量 M .
设曲线
L： x y
φ(t) (t)
t
1.都是化曲线积分为定积分计算。
Pdx Qdy W Pdx Qdy 2.都要把曲线表示式 L
L
Pdx Qdy Rdz
表示力F P,Q

线面积分

y =0 a x
4
x = x L1 y=0
x = x L3 y = x
I =∫
a
0
+ ∫ eaad θ e dx 0
x
4
π
2. 第二类曲线积分变力沿曲线所作的功. 变力沿曲线所作的功设一质点受如下变力作用
恒力沿直线所作的功
F
W = F AB cosθ
B
= F ⋅ AB
F( x, y, z) = (P , Q, R)
z
n
Σ
y
第二类曲 o Γ 化面积分 x 空间的封闭曲线弧为空间曲面∑的边界线. Γ是空间的封闭曲线弧, 为空间曲面∑的边界线曲线弧
Γ
∫
Pd x + Qd y + Rd z =
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ( − )d yd z + ( − )d z d x + ( ∂x − ∂y )d xd y ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∑
求其质量. 求其质量
M = ∫∫ f ( x, y, z)d S
o x
y
又称为对面积的曲面积分若 f ( x, y, z) ≡ 1 得曲面面积为 S =
∫∫ d S
Σ
第一类曲面积分计算
转化
二重积分
∫∫ g( x, y)dxdy
Dxy
1. 把空间曲面写成方程: z = z( x, y) Σ xoy 并将Σ投影到面上: ( x, y) ∈ Dxy
t :α → β ,
dx = x′(t )dt dy = y′(t )dt dz = z′(t )dt
=∫
+ Q[ x(t ), y(t ), z (t )]y′(t ) + R[ x(t ), y(t ), z (t )] z′(t )}d t

第二型线面积分

dx dy 计算 , L 为以 A (1, 0), B (0, 1), C ( 1, 0), L x y D (0,1)为顶点的正方形边界如图), 逆时针方向 ( .
例 4
例 5 ydx zdy xdz L为螺线 a cot, y a sint , z bt x
D xz
两类曲面积分的关系
F ( M ) n ( M )dA F ( M ) dA
L
P ( x , y( x )) Q( x , y( x )) y( x ) dx
b a
注第二型曲线积分化成定积分时,必须定积分的下限对应于L的起点,上限对应于终点,而不必考虑上下限的大小。
两类曲线积分的联系
Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos ) ds
Pdx Qdy
y u( x2 , y2 ) u( x1 , y1 ) u( x , y ) |(( x
(x0,y0) (x,y)
u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 ) x
Pdx Qdy C
y y0 x
P ( x , y0 )dx Q( x , y )dy C
例11
计算 (e x sin y my )dx (e x cos y m )dy，其中L为由点
L
A(a ,0)至点O(0,0)的上半圆周x y ax (a 0).
2 2
( x y )dx ( x y )dy ，其中为沿 L 例12 计算L 2 2 x y x t sint 摆线从t 0到t 2的弧段。 y 1 cost

线面积分的计算小结

转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中为半球面
z
（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分）（4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分，线面积分间的关系）。（6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx

x
y
P
Q
dxd y
yz

1 3

(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性）（3）计算方法（化为二重积分）（4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分

曲线积分与曲面积分(10)

(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧. 解（法一）ds adt ==,故原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形(图10.1)边界. 解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰1101xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lx y ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决1、积分限，2、被积函数，3、弧微分）点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如图10.2所示解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dy dx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰ 解（法二）因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，则dy dx =；当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，则dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图10.2⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；【例1】求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技巧)；【定理10.1】格林（Green ）公式设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算对于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必须使用代入技巧,消去分母,否则工作量太大.因为L 是反向的,所以使用格林公式是需要补加一个负号.解将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x L e x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 根据格林公式，原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰ 22a π=-。

高等数学的线与面积分

其中
是沿 C 的微线元。如果 Fˆ 表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径做的功。
2
问题 2：（答案写在后面的答题页上！）
我们来计算
沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。
还是将路径分为三段 C1 , C2 和 C3 ，分别计算其贡献。
作为示范，我们先来进行沿
由 dsr = dxˆi ，我们有
C1
球面的曲面微元为积分得假定电荷均匀分布在半径为r的球面上则球面上的总电荷为这里是电荷密度
麻省理工学院
物理系
解题 1：线积分和面积分
A. 线积分标量函数 f (x, y, z) 沿路径 C 的线积分定义为
这里C被细分成N段，每一段长度 ∆si。为了计算这个线积分，我们可以用弧长参数s来刻画C。借助
于 x = x(s) ， y = y(s) 和 z = z(s) ，上述线积分可改写为普通定积分：例 1：
作为例子，我们来考虑如下二维积分：这里 C 是从原点到(1, 1)的直线，如右图所示。令 s 是从原点测得的弧长。我们有
端点(1, 1)对应于 s = 2 。因此，线积分变成
1
问题 1：（答案写在后面的答题页上！）
本题中我们打算对例 1 中的同一被积函数 x + y 进行积分，只
是取不同的路径 C′ = C1 + C2 ，如右图。积分可分成两部分：
∫∫ r
(b) 试求 y > 0 的柱侧面上的电通量 E ⋅ nˆ d A S
9
问题 1：
∫ (a)
I1 =
(x + y)ds =
C1
∫ (b)
I2 =
(x + y)ds =
C2
(c) I ′ = I1 + I2 =

第10章线面积分2

Σ
即
∫∫ f ( x, y, z)dS = lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆Si λ→0 i =1
Σ
n
叫被积函数，其中f ( x, y, z)叫被积函数，Σ叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质 2.对面积的曲面积分的性质
若Σ可分为分片光滑的曲面Σ1及Σ2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分 2 2 的公式中, 的公式中有因子 1+ zx + zy , 试说明这个因子的几何意义. 这个因子的几何意义
思考题解答
是曲面元的面积, dS是曲面元的面积
2 x 2 y
cos(n, z) =
1
2 1+ zx + z2 y
故 1+ z + z 是曲面法线与z 轴夹角的余弦
( 其中 ∆σ )xy 表示投影区域的面积.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. 实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向 v ,有量向平面区域 A,求单位假定密度为1) 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ(假定密度为 1).
v
θ
A
n
0
流量 Φ = A v cosθ = Av ⋅ n = v ⋅ A
都在Σ上连续, 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 时间内流向Σ指定侧的流体的质量Φ.
x
z
Σ
o
y
1. 分割把面分 n 小 ∆s (∆s 同也表曲 Σ 成块 i 时代 i 第i 小曲的积块面面 ), vi 在∆si 上取点任一 z ∆Si ni (ξi ,ηi ,ς i ) (ξi ,ηi ,ζ i ), 则该点流速为 vi . 法向量为 ni .

高数讲座-线面积分选讲（精品pdf）

一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例.求(22LI x x y ds ⎡⎤=++⎣⎦⎰ ,其中()22:11L x y +-=.解.(((22222LLLI y ds yds ds π⎤=+=+=+=+⎦⎰⎰⎰. 例.求()I xy z ds Γ=+⎰ ,其中2221:0x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩. 解.()()()1233I xyds x y ds xy yz zx ds x y z ds ΓΓΓΓ=-+=++-++=⎰⎰⎰⎰ ()()22221110663x y z x y z ds ds πΓΓ⎡⎤++-++-=-=-⎣⎦⎰⎰ . 注.求()23I x y z ds Γ=++⎰ ,其中2221:0x y z x y ⎧++=Γ⎨+=⎩. 解.()()32333002I x y z ds xds zds x y ds ΓΓΓΓ=++=+=++=⎰⎰⎰⎰ . 例.求()2I x dS ∑=⎰⎰ ,其中222:2x y z y ∑++=.解.()()()222222222342222I x y z dS x y dS x y z dS ∑∑∑=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()441416ydS y dS dS π∑∑∑=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ .二.第二类线面积分的估值例.设()33cos :02sin x a t L t y a t π⎧=≤≤⎨=⎩,逆时针方向,()()222L ydx xdy F a x xy y -=++⎰ , 证明:()lim 0a aF a →+∞=. 解.设()222yP xxy y=++,()222xQ xxy y-=++,则()LF a Pdx Qdy =+=⎰(),max 6n LLLP Q e ds ds a ⋅≤≤=⋅⎰⎰⎰,而22222x y x xy y +++≥()3322222432a x xy y x y =≤≤+++,故 ()2192F a a ≤,因此()lim 0a aF a →+∞=.例.设∑为圆柱体()()()2200413x x y y z -+-≤≤≤的外表面,证明:()()22cos sin 2x y dydz xy dzdx dxdy ∑+++≤⎰⎰ . 证.()n n A dS A e dS A e dS A dS dS ∑∑∑∑∑⋅=⋅≤⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,证毕.注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以用格林公式和高斯公式转化为重积分.例.设22:0L x y x y +++=,逆时针,证明:22cos sin Lx y dy y x dx -≤⎰证.左式()()2222cos sin cos sin 2DDy x d x x d πσσ=+=+≤⎰⎰⎰⎰,证毕.例.设22:1L x y +=,逆时针,证明:sin sin 222545y x Lxe dy ye dx x y π--≥+⎰. 证.左式sin sin sin sin sin sin 222254545y x y x y xL D D xe ye e e e e dy dx d y x y x σ---⎛⎫+=-=+≥= ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin sin 122555x xD D e e d d σσπ-+≥=⎰⎰⎰⎰,即得,证毕. 三.第二类线积分的计算例.求224Lxdy ydxI x y-=+⎰,其中L 从()1,0A -沿y =到()1,0B ,然后再沿直线到()1,2D -的有向曲线.解一. cos :sin x tAB y t=⎧⎨=⎩,:0t π-→,:1BD y x =-+,:11x →-,故12221374cos sin 521288dt dx I t t x x ππππ---=+=+=+-+⎰⎰; 解二.由于Q Px y ∂∂=∂∂,故取()1,1C --,()1,1E -,()1,2F ,则 ACCEEBBFFDI =++++⎰⎰⎰⎰⎰;解三.除原点,Q Px y ∂∂=∂∂,取222:4C x y r +=,逆时针,则L DA DAI +=-=⎰⎰ 222222241172488CDAx y r xdy ydx dy dxdy r r y πππ+≤---=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰. 注.若在区域D 内Q Px y ∂∂=∂∂,则(1)当D 单连通时,0CPdx Qdy +=⎰ ; (2)当D 内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C ,CPdx Qdy +=⎰ 常数.例.求()()()()22222222222222L y y x xI dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+=++-⎢⎥⎢⎥-+++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ , 其中22:9L x y +=,取逆时针方向.解.取()2221:2L x y r -+=,()2222:2L x y r ++=,均为逆时针方向,则12L L I =+⎰⎰ ,而()()112222222222222r L L B y y x x dx dy d r r r x y x y σπ⎡⎤⎡⎤-+-=++-==-⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ , 类似地,22L π=-⎰ ,故224I πππ=--=-.例.求x y z dx y z x dy z x y dz I +-++-++-=,其中的Γ为曲线22211x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩上逆时针从()1,0,0A 到()0,0,1B 的一段弧.解一.2221:1x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在xOy 上的投影为22:0x xy y x y 'Γ++--=,22223x y x xy y ξηξηξη=-⎧⎨=+⎩++=+,故2222032x xy y x y ξηξ++--=⇒+-=2211333ξη⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令11cos 3311cos 1133cos 33121cos 33x t t t y t t tz x y tξη⎧=+-⎪⎧⎪=+⎪⎪⎪⇒=++⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=--=-⎪⎩,又:013z t ππ→⇒=-→,故3I dt ππ==⎰. 解二.()()()12121212BABAI z dx x dy y dz I I ΓΓ+=-+-+-=-=-⎰⎰⎰,其中()11,1,1rot 12,12,12121212n ijkI z x y e dS x y z z x y∑∑∂∂∂=---⋅==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰()11,1,12122,2,23332I dS ππ∑∑⎡⎤⎛⎫=---==--⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎦⎰⎰, ()()()112001211221I x dx d x x dx =--+-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,故I =.注.∑是边长为的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺. 解三.代入1z x y =--,则()()221I x y dx x y dy 'Γ=+---=⎰()()1042216216196D OAOA x dx d x dx σπ'Γ+⎛⎫--=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.求()()()22222223I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中1:2x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩,从z 轴正向看为逆时针方向.解.代入2z x y =--,则()()2222223242I x y z dx x y z dy 'Γ=-+-+-++=⎰()12221224xyxyD D x y d d σσ--+=-=-⎰⎰⎰⎰.例.求()22222ydx xdy z x y dzI x y Γ--+=+⎰,其中22221:1x y a b x y z ⎧+=⎪Γ⎨⎪++=⎩,从z 轴正向看逆时针. 解.2222rot ,,20y xz x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭,但是Γ张成的曲面均与z 轴有交点, 故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z 轴的1Γ,Γ与1-Γ均张成一个围绕z 轴的曲面,故()111I Γ+-Γ-ΓΓ=-=⎰⎰⎰ ,于是取2211:0x y z ⎧+=Γ⎨=⎩,则122DI ydx xdy d σπΓ=-=-=-⎰⎰⎰ . 四.第二类面积分的计算注.若12∑=∑+∑关于xOy 面对称,1∑与2∑在xOy 面上的投影相反, 则当()(),,,,R x y z R x y z -=时,(),,0R x y z dxdy ∑=⎰⎰;当()(),,,,R x y z R x y z -=-时,()()1,,2,,R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.例.求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑为半球面z =222x y x +=截下部分的上侧.解.由于∑关于xOz 面对称,故()()I y z dydz x y dxdy ∑=-+-⎰⎰,又22222424220x x y x zz x x y z x z y zz z +=⎧-++=⇒⇒=⎨+=⎩,y yz z -=,故 ()()()22,0,,,1x y x I y z x y dxdy y z x y dxdy z z z ∑∑---⎛⎫⎡⎤=--⋅--=-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()22222xy D x y x y x y d d σσπ+≤⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例.求2222cos cos cos dydz dzdx dxdyI x x y z z∑=+-⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=外侧. 解.()222,,211,,cos cos cos x y z I dS x x y z z R ∑⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⎰⎰ 2222221211211cos cos cos cos cos cos y dSdS dS R x y z R x z R z∑∑∑⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224tan x y R R π+≤=⎰⎰.例.求()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中()()()22211:1025167x y z z --∑++=≥ 上侧.解.取1:z ∑=()()22222211:0,12516x y z x y r ⎛⎫--∑=+≥+≤ ⎪ ⎪⎝⎭,均取下侧,则12121312I xdydz ydzdx zdxdy r π∑+∑+∑∑∑-∑=--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.若()22:212z x y z ∑=+--≤≤外侧,可取()221:24z x y ∑=+≤上侧,()222:11z x y ∑=-+≤下侧,22223:x y z r ∑++=外侧,则 ()121231231=I xdydz ydzdx zdxdy r ∑+∑+∑∑∑∑∑∑=--=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰换曲面,再用高斯公式.。

第十一章线面积分（何涛一）

一基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。

2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。

3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。

4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。

6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？答第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段，在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。

线面积分总结

圆Γ的形心在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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结束
的圆弧 L 对于它的对例. 计算半径为 R ,中心角为称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫

线面积分——精选推荐

线⾯积分第⼗⼀章线⾯积分内容概要与重点难点提⽰本章涉及的内容较多（共有七节），⾸先分别介绍了第⼀、第⼆类曲线积分的概念、性质和计算⽅法，格林公式揭⽰了平⾯区域内的⼆重积分与其正向边界曲线上的线积分之间的关系，曲线积分与路径⽆关和全微分求积的充要条件。

再介绍了第⼀、第⼆类曲⾯积分的概念、性质和计算⽅法，⾼斯公式揭⽰了空间区域内的三重积分与其外侧边界曲⾯积分之间的关系，曲⾯积分与曲⾯⽅程⽆关的充要条件。

斯托克斯公式揭⽰了空间曲线积分与它张成的曲⾯积分之间的关系。

最后介绍了场论中“三度”（即梯度、散度、旋度）的相关知识。

重点把第⼀、第⼆类曲线积分转化为定积分及它们之间的区别于联系，把第⼀、第⼆类曲⾯积分转化为⼆重积分及它们之间的区别于联系，三个公式的应⽤。

难点第⼀、第⼆类曲线积分和曲⾯积分计算的技巧，三个公式条件不成⽴时的处理办法。

考试内容要点讲解⼀、对弧长的曲线积分（第⼀类）（⼀）概念与性质 1、定义1(,)l i m(,)ni i i Li f x y d s f s λξη→==?∑?。

（1）可积的充分条件是(,,)f x y 在L 上连续；（2）i s ?与ds 是对应的，后者就是弧微分；（3）当L 是封闭曲线弧的时候，记为(,)Lf x y ds ?；（4）L 在第⼀类中的是没有⽅向的；（5）物理意义(,)Lf x y d s表⽰占有平⾯曲线L ，线密度为(,)f x y 的质量曲线（或者曲线型构件）的质量，即(,)Lm f x y ds =?，特别地，若(,)1f x y ≡，则Ls ds =?（表⽰L 的弧长）；（6）定义同理可以推⼴到(,,)f x y z 空间曲线Γ上，有1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d s f s λξηζΓ→==?∑?2(,)(,)(,)L L L L f x y ds f x y ds f x y ds +=+?；若(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤?；若(,)f x y 在L 上最值为()M m ，则 (,)Lm s f x y d sM s≤≤；若(,)f x y 在L 上连续，则存在(,)L ξη∈，使得(,)(,)L f x y ds f s ξη=??；特别要注意，(,)(,)ABBAf x y ds f x y ds ??=??。

线面积分整章课件

且L P( x, y)dx Q( x, y)dy
{P[ (t), (t)](t) Q[ (t), (t)] (t)}dt
特殊情形
(1) L : y y( x) x起点为a，终点为b.
则
b
Pdx Qdy {P[ x, y( x)] Q[ x, y( x)]y( x)}dx.
L
a
(2) L : x x( y) y起点为c，终点为d .
i 1
n
[P(i ,i ) xi Q(i ,i ) yi ].
i 1
n
取极限
W
lim
0
i 1
[ P ( i
,i
)
xi
Q( i
,i
)
yi
].
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义设L为 xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L 上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2,, n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段长度的最大值 0时,
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
一、问题的提出 y
实例:曲线形构件的质量

线面积分的计算小结

t sin t d t
a
2
2 t cos t sin t 0
3、计算提示: 因在上有
其中由平面 y = z 截球面从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
o
1y
z
x
原式 =

1 3 1 2 2 2 4 2 2
z
o
1y
x
4. 计算
2
z

o x
0
y
3 d x d y d z
3
0
xd ydz ydzdx zdxd y
3 R 0 2 R 3
3
2. 计算曲面积分
中是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I

( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
3 3

2
2a
3
6.
计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
x
提示:
I e sin y d x (e cos y 2)d y 2 yd x
x L L

L AB

AB
2 yd x
L
y L
x a (1 cos t ) L: t :0 y a sin t
线面积分的计算
一、曲线积分
1、第一类曲线积分（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性）（3）计算方法（化为定积分）
（4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲线积分（1）定义
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分）（4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ; （5）斯托克斯公式（空间曲线积分，线面积分间的关系）。

6.7第一型线面积分

2、第一型面积分的计算
设光滑曲面的方程为 z z( x, y),且在xoy平面的
投影域为 D, 如果f ( x, y, z)在上连续, z ( x, y, z)
则有d
dS cos
dS
d cos
n
M dS
又n { zx , z y ,1}
cos
1
1
z
2 x
z
2 y
o
(x, y) y
x
d
8 D xy
1
z
2 x
z
2 y
d
a dxdy
a2 x2
S1
y
D xy
x
x2 y2 a2
8a 2
16
小结
1、第一型线积分的计算
f ( x, y, z)ds
f ( x(t), y(t), z(t))
x 2 y 2 z2 dt
(C )
其中(C )为光滑曲线 : x x(t), y y(t), z z(t), ( t ),
R2 x2 y2
2R
2 d
0
R 0
r 3 dr R2 r2
8 R4
3
m 4R2 2 mR2
3
15
例4 计算圆柱面 x 2 y 2 a 2 截割另一圆柱面
x 2 z 2 a 2所截得部分的曲面面积 (a 0).
z
解
x2 z2 a2
S 8S1 8 dS (S)
8 D xy
a2 x2 y2
y
A 4
a
dxdy
Байду номын сангаас
D1 a2 x2 y2
4a
2 d
a cos

高等数学习题课-线面积分的计算

这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x
a
a
x
2
d
x
20
例4. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
思考:
y
C
L
B o Ax
(利用格林公式)
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
o1
取辅助曲面 1 : y 3 取右侧 x
y
3 1
且有 I
1
1
26
求
2
I (8y 1)xdydz 2(1 y )dzdx 4yzdxdy
P Q R
1
(
x
y
z
)dxdydz
z
2
(8y 1 4y 4y)dxdydz
3
dv 1 dy dxdz
Dxz
3
( y 1)dy
2 ,
(沿L的正向) 格林公式
10
3.三重积分与曲面积分的联系
(P x
Q y
R)dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz
( z
)dzdx (
x
x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
11
（三）场论初步
梯度
gradu
利用对称性
2(x z) d S 0
25
例2

第七讲线面积分

S : z = z0 + r2 − ( x − x0 )2 − ( y − )y0 2 ，方向向上，若对任何点 ( x0, y0, z0 ) 和
r>0，第二型曲面积分
S
Pdydz
+
Rdxdy
=
0
。证明
P x
=
0
（2016
年，第
7
届决赛，14 分）
斯托克斯公式
6
( ) ( ) ( ) 例 22 求 I = y2 + z2 dx + z2 + x2 dy + x2 + y2 dz ，L 是球面 x2 + y2 + z2 = 2bx L
（1） S
(
z x, y,
z
)dS
；（2） S
z
(
x
+
3
y
+
z
)dS
（2011
年，第
2
届决赛，
16 分）
对坐标的曲面积分Βιβλιοθήκη 例15计算
axdydz + (
x2 +
z+ y2
a +
)2 dxdy
z2
，Σ
是下半球面 z = −
a2 − x2 − y2 的上
侧， a 0 。（2010 年，首届决赛）
例 16
的上侧。
答案：2
2．计算第一型曲面积分
S
(1 n r
)
dS
，其中曲面
S：
z = 1+ x2 + y2 (z 2) ， r = x2 + y2 + z2 ，而 n = (cos, cos , cos ) 为 S 的

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（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：
1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ
方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广
2.
方法①：197P 计算公式（2-1）
方法②：
y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==)
,(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）
方法①：199P 计算公式（2-1）的推广
方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）
（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）
3.第一类曲面积分：
dS
z y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.
解题步骤：①根据曲面∑选好投影面
②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS
③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.
方法②：高斯公式）（'
23216P -转为三重积分。

4.第二类曲面积分：
⎰⎰∑++Rdxdy
Qdzdx Pdydz 格林公式
方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式
（5P
230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）
（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按
按照曲面积分的不同情况分为以下三类：
（1）若曲面
][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑
∑=（3）若曲面
])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：
1.应根据曲面∑选好投影面.
2.确定投影域并写出曲面
∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.
小结：
与路径无关的四个等价命题
条件在单连通区域D上)
,
(
)
,
(y
x
Q
y
x
P，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立
等价命题（1）在D内⎰+
L
Qdy
Pdx与路径无关
（2）⎰=
+
C
,0
Qdy
Pdx闭曲线D
C⊂
（3）在D内存在),
,
(y
x
u使Qdy
Pdx
du+
=
（4）在D内，
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
感谢高数老师大人的总结！！！。

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