(线面积分)计算方法总结

（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：

1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ

方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广

2.

方法①：197P 计算公式（2-1）

方法②：

y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==)

,(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）

方法①：199P 计算公式（2-1）的推广

方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）

（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）

3.第一类曲面积分：

dS

z y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.

解题步骤：①根据曲面∑选好投影面

②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS

③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.

方法②：高斯公式）（'

23216P -转为三重积分。4.第二类曲面积分：

⎰⎰∑++Rdxdy

Qdzdx Pdydz 格林公式

方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式

（5P

230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）

（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按

按照曲面积分的不同情况分为以下三类：

（1）若曲面

][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑

∑=（3）若曲面

])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：

1.应根据曲面∑选好投影面.

2.确定投影域并写出曲面

∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.

小结：

与路径无关的四个等价命题

条件在单连通区域D上)

,

(

)

,

(y

x

Q

y

x

P，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立

等价命题（1）在D内⎰+

L

Qdy

Pdx与路径无关

（2）⎰=

+

C

,0

Qdy

Pdx闭曲线D

C⊂

（3）在D内存在),

,

(y

x

u使Qdy

Pdx

du+

=

（4）在D内，

x

Q

y

P

∂

∂

=

∂

∂

感谢高数老师大人的总结！！！