机器人动力学
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第六章 机器人动力学
2020/6/28
1
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） 操作机的动力学分析；
（4）二连杆 机r 构的动力学分析；
（5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
2020/6/28
6.1 机器人动力学研究概述
d dt
L
L
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方
向r上的力应为
Fr
d dt
Lr
L r
2020/6/28
9
6.2.4 拉格朗日方程的特点
• 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程 式的数目和系统的自由度数是一致的；
• 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时 只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
2020/6/28
6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力 学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的 机械系统，其Lagrange方程应为
d dt
T qi
T qi
V qi
D qi
Fqi
其中，qi 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； Fqi 为作用在系统上的广义力；
T ,V和D 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
6.3.2 建立拉格朗日函数
N
r
M
m2
（1）求动能T
先对 m1 求 T1
x1 r1 cos 显然 y1 r1 sin
r1
m1
0
而
o
r1 0
于是 x1 r1sin y1 r1cos
由于 v12 x1 2 y1 2
r122 sin 2 r122 cos2
r122
根据动能的公式
（3）求得拉格朗日
函数L L
T
V
1 2
m1r122
1 2
m2r2
1 2
m2r22 m1gr1 sin
m2gr sin
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6.3.3 广义力的计算
（1）求力矩 L
T
V
1
2
m1r122
1 2
m2r2
1 2
m2r22
m1gr1
sin
m2gr sin
绕转动执行元件施加的力矩
d dt
• Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了 列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个 是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个 是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
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10
d dt
qTi
T qi
Qi
i 1,2,3......... s
其中， q1, q2 ,..., qs是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2 ,..., Qs 是作用在此力学体系上的广义力；
T
是系统总动能。百度文库
分析力学注重的不是力和加速度，而是具有 2更020/6广/28 泛意义的能量，扩大了坐标的概念。 7
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
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例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
加上负载的 r 操作机
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N
r
M
m2
r1
m1
o
操作机的物理学模型
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（2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程
• 如同运动学，动力学也有两个相反问题 （1）正问题
（2）逆问题
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4
动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
T1
1 2
m1r122
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N
再对 m2 求 T2
由于 x2 r cos y2 r sin
且 0
r 0
r
M
m2
r1
m1
o
有 x2 rcos rsin
y2 rsin rcos
v22 rcos rsin 2 rsin rcos 2
r2 r 22
则 得总动能
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
• 动力学方程f的(一,般形,式)：
F
g(r,
r, r)
式中 , F, , r分别表示力矩、力、角位移和线位
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牛顿－欧拉方程
• 牛顿方程……面向平动
f ma
• 欧拉方程……面向转动
L
L
L m1r12 m2r2
d dt
L
m1r12
m2r2
2m2rr
L
g cos m1r1
m2r
则 (m1r12 m2r2) 2m2rr g cos m1r1 m2r
式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。
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6.1 机器人动力学研究概述
• 本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题；
• 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程；
• 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程
T2
1 2
m2
r2
r22
T
T1
T2
1 2
m1r122
1 2
m2r2
1 2
m2r22
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（2）求势能
V根据势能的公式 V mgh
式中 h 为垂直高度，则
N
r
M
m2
r1
m1
o
对于 m1 有 对于 m2 有
得总势能
V1 m1gr1 sin V2 m2gr sin V V1 V2 m1gr1 sin m2gr sin
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本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） 操作机的动力学分析；
（4）二连杆 机r 构的动力学分析；
（5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
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6.1 机器人动力学研究概述
d dt
L
L
若操作机的执行元件控制某个移动变量r时，则施加在运动方
向r上的力应为
Fr
d dt
Lr
L r
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6.2.4 拉格朗日方程的特点
• 它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式，方程 式的数目和系统的自由度数是一致的；
• 理想约束反力不出现在方程组中，因此建立运动方程式时 只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力；
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力 学体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
6.2.2 用于非保守系统的拉格朗日方程
对于同时受到保守力和耗散力作用的、由n个关节部件组成的 机械系统，其Lagrange方程应为
d dt
T qi
T qi
V qi
D qi
Fqi
其中，qi 为广义坐标，表示为系统中的线位移或角位移的变量； Fqi 为作用在系统上的广义力；
T ,V和D 是系统总的动能、势能和耗散能，分别为
6.3.2 建立拉格朗日函数
N
r
M
m2
（1）求动能T
先对 m1 求 T1
x1 r1 cos 显然 y1 r1 sin
r1
m1
0
而
o
r1 0
于是 x1 r1sin y1 r1cos
由于 v12 x1 2 y1 2
r122 sin 2 r122 cos2
r122
根据动能的公式
（3）求得拉格朗日
函数L L
T
V
1 2
m1r122
1 2
m2r2
1 2
m2r22 m1gr1 sin
m2gr sin
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6.3.3 广义力的计算
（1）求力矩 L
T
V
1
2
m1r122
1 2
m2r2
1 2
m2r22
m1gr1
sin
m2gr sin
绕转动执行元件施加的力矩
d dt
• Lagrange 方程是以能量观点建立起来的运动方程式，为了 列出系统的运动方程式，只需要从两个方面去分析，一个 是表征系统运动的动力学量—系统的动能和势能，另一个 是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange 方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
2020/6/28
10
d dt
qTi
T qi
Qi
i 1,2,3......... s
其中， q1, q2 ,..., qs是所研究力学体系的广义坐标；
Q1,Q2 ,..., Qs 是作用在此力学体系上的广义力；
T
是系统总动能。百度文库
分析力学注重的不是力和加速度，而是具有 2更020/6广/28 泛意义的能量，扩大了坐标的概念。 7
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
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例 6.3 r 操作机的动力学分析
6.3.1 r 操作机的动力学模型
加上负载的 r 操作机
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N
r
M
m2
r1
m1
o
操作机的物理学模型
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（2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程
• 如同运动学，动力学也有两个相反问题 （1）正问题
（2）逆问题
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动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
T1
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N
再对 m2 求 T2
由于 x2 r cos y2 r sin
且 0
r 0
r
M
m2
r1
m1
o
有 x2 rcos rsin
y2 rsin rcos
v22 rcos rsin 2 rsin rcos 2
r2 r 22
则 得总动能
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
• 动力学方程f的(一,般形,式)：
F
g(r,
r, r)
式中 , F, , r分别表示力矩、力、角位移和线位
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牛顿－欧拉方程
• 牛顿方程……面向平动
f ma
• 欧拉方程……面向转动
L
L
L m1r12 m2r2
d dt
L
m1r12
m2r2
2m2rr
L
g cos m1r1
m2r
则 (m1r12 m2r2) 2m2rr g cos m1r1 m2r
式中第一项为惯性项，第二项为哥氏项，第三项为重力项。
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6.1 机器人动力学研究概述
• 本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题；
• 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程；
• 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程
T2
1 2
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r2
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T
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T2
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1 2
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（2）求势能
V根据势能的公式 V mgh
式中 h 为垂直高度，则
N
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对于 m1 有 对于 m2 有
得总势能
V1 m1gr1 sin V2 m2gr sin V V1 V2 m1gr1 sin m2gr sin