第六章定积分

第六章 定积分

第一节 定积分的概念

思考题：

1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）

⎰

-x x d 1

1, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 1

1

.

解：若[]⎰

≥∈x x f x f b a x a

b d )(,0)(,,则

时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线

b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f a

b d )(,0)(则在几何

上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.

（1）由下图（1）所示，0)(d 111

1=+-=⎰-A A x x .

（2）由上图（2）所示，2

πd 2

22

2

R A x x R R R

==-⎰

-.

（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π

20=--++=+-+=⎰A A A A

A A A x x .

( 2

)

( 1 )

( 3 )

(4)

（4）由上图（4）所示，1112

1

22d 61

1=⋅⋅⋅

==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？

（1）x x g x x f b

a b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.

答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.

3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？

答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算

公式是∑=n i i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f a

b d )(1.

习作题：

1. 用定积分的定义计算定积分

⎰b

a

x c d ,其中c 为一定常数.

解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间

],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间

[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：

∑∑==--=-⋅=∆⋅n i n

i i i

i

i

a b c x x

c x f 1

1

1)()()(ξ,

记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则

)()(lim )(lim d 0

a b c a b c x f x c n

i i i b a

-=-=∆⋅=∑⎰

=

→→λλξ.

2. 利用定积分的估值公式，估计定积分

⎰

-+-11

34)524(x x x d 的值.

解：先求524)(3

4

+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(2

3

=-='x x x f , 得0=x 或8

3=x . 比较 7)1(,1024

27

)83(,5)0(,11)1(=-

===-f f f f 的大小，知 11,1024

27

max min =-

=f f ，

由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 11

34min --⋅≤+-≤

--⋅⎰

-f x x x f ,

即 22d )524(512

27

1134≤+-≤-

⎰-x x x .

3. 求函数2

1)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.

解：平均值⎰-=⋅⋅=---=

1122

4

π21π21d 1)1(11x x μ. 4. 利用定积分的定义证明⎰

-=b a

a b x d .

证明：令1)(=x f ,则

⎰⎰

=b a

b a x x f x d )(d ，

任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间

[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积

⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i n

i i i i -=∆=∆⋅∑∑==1

1

)(ξ,记

}{max 1i n

i x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x n

i i i b

a -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 0

1

ξλ.

第二节 微积分基本公式

思考题：

1. ='⎰)d sin (d d 1

x

t t t ?

答：因为⎰

x

t t 1

d sin 是以x 为自变量的函数，故

⎰x

t t t

1d sin d d =0. 2. ?)d )((

2

1

='⎰

x x f

答：因为

⎰21

d )(x x f 是常数，故0)d )((2

1

='⎰x x f .

3.

=⎰b

a x x f x

d )(d d ？ 答：因为

⎰

b a

x x f d )(的结果中不含x ，故

=⎰b

a x x f x

d )(d d 0. 4. =⎰x

a

x t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰x

a

x t x d cos d d 22cos x .