第六章定积分
定积分的部分应用
第六章 定积分的应用§6-1 微元法用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.若某量在[a ，b ]上的变化率f (x )，求它在[a ，b]上的总累积量S ： 因为分割区间、取i 都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：再简化一下，则变成：称为微元．以求曲边梯形面积A 问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x ，x +dx ]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA =f (x )dx ，所以A =⎰ba dx x f )(．§6－2定积分在几何中的应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下平面图形的面积 (1)X －型与Y －型平面图形的面积把由直线x =a，x =b (a <b )及两条连续曲线y =f 1(x )， y =f 2(x )，(f 1(x )≤f 2(x ))所围成的平面图形称为X y =d (c <d )y ) ≤g 2(y ))注意 构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点．把X －型图形称为X －型双曲边梯形，把Y －型图形称为Y －型双曲边梯形．１）用微元法分析X －型平面图形的面积取横坐标x 为积分变量，x ∈[a ，b ]．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，该微段上的图形的面积dA 可以用高为f 2(x )－f 1(x )、底为dx 的矩形的面积近似代替．因此dA =[ f 2(x )－f 1(x )]dx ， 从而 A =.)]()([ 12⎰-ba dx x f x f (1)２）微元法分析Y －型图形的面积A =.)]()([ 12⎰-dc dy y g y g (2)对于非X －型、非Y －型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X －型图形和Y －型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积．例1 求由两条抛物线y 2=x ， y =x 2所围成图形的面积A ．解 解方程组,,22x y x y ==得交点(0，0)，(1，1)．将该平面图形视为X －型图形，确定积分变量为x ，积分 区间为[0，1]．由公式(1)，所求图形的面积为A =1 0 31 0 23132)(23x x dx x x -=-⎰=31． 例2 求由曲线y 2=2x 与直线y =－2x +2所围成图形的面积A ． 解解方程组,22 ,22+-==x y x y 得交点(21，1)，(2，－2)． 积分变量选择y ，积分区间为[－2，1]．所求图形的面积为 A =12- 31 2- 22]6141[]21)211[(y y y dy y y ⎰--=--=49．例3 求由曲线y =sin x ，y =cos x 和直线x =2π及y 轴所围成图形的面积A ．解 在x =0与x =2π之间，两条曲线有两个交点： B (4π，22)，C (45π，－22)． 由图易知，整个图形可以划分为[0，4π]，[4π，45π]，[45π，2π]三段，在每一段上都是X －型图形．应用公式(1)，所求平面图形的面积为A =⎰⎰⎰-+-+-4455 02)sin (cos )cos (sin )sin (cos πππππdx x x dx x x dx x x =42．2. 极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线r =r (θ)及两条射线θ=α， θ=β，(α<β)所围成的平面图形为曲边扇形．在[α，β]上任取一微段[θ，θ+d θ]，面积微元dA 表示1这个角内的小曲边扇形面积，dA =21[r (θ)]2d θ 所以 A =⎰βαθθ 2)]([21d r ． (3) 例5 求心形线r =a (1+cos θ)，(a >0)所围成图形的积A ．解 因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积 A 是极轴上方图形A 1的两倍．极轴上方部分所对应的极角变化范围为θ∈[0，π]，由 公式(3)，所求图形的面积为A =2⨯⎰βαθθ 2)]([21d r=⎰⎰++=+ππθθθθθ 022 02)cos cos 21()]cos 1([d a d a=)23|2sin 41sin 22302=++ ⎝⎛πθθθa πa 2．二、空间立体的体积 1. 一般情形设有一立体，它夹在垂直于x 轴的两个平面x =a ， x =b 之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中a <b ，如图所示．如果用任意垂直于x 轴的平面去截它，所得的截交面面积A 可得为A =A (x )，则用微元法可以得到立体的体积V 的计算公式．过微段[x ，x +dx ]两端作垂直于x 轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元dV =A (x )dx ． 因此立体体积V =.)( ⎰ba dx x A (4)例5 经过一如图所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角α的一平面，可截得圆柱体一块楔形块， 求此楔形块的体积V ．解 据图，椭圆方程为64422y x +=1． 过任意x ∈[－2，2]处作垂直于x 轴的平面，与楔形块 截交面为图示直角三角形，其面积为A (x )=21y ⋅y tan α=21y 2tan α=32(1－42x )tan α=8(4－x 2)tan α， 应用公式(4)V =⎰--22 2)4(tan 8dx x α=16tan α⎰-22)4(dx x =3256tan α．2. 旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l 旋转一周而成的空间立体，其中直线l 称为该旋转体的旋转轴．把X －型图形的单曲边梯形绕x 旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积A (x )是很容易得到的．如图，设曲边方程为y =f (x )， x ∈[a ，b ](a <b )，旋转体体积记作V x ．过任意x ∈[a ，b ]处作垂直于x 轴的截面，所得截面是半径为|f (x )|的圆，因此截面面积 A (x )= π|f (x )|2．应用公式(4)，即得V x =π⎰ba dx x f 2)]([ (5)类似可得Y －型图形的单曲边梯形绕y 轴旋转得到的旋转体的体积V y 计算公式 V y =π⎰d c dy y g 2)]([ (6)其中的x =g (y )是曲边方程，c ，d (c <d )为曲边梯形的上下界．例6 求曲线y =sin x (0≤x ≤π)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x ．解 V x =π⎰b a dx x f 2)]([=π⎰π0 2)(sin dx x=⎰-=-ππππ0 0 ]22sin [2)2cos 1(2x x dx x =22π． 例7 计算椭圆2222bya x +=1(a >b >0)绕x 轴及y 轴旋转而成的椭球体的体积V x ，V y ． 解 (1)绕x 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作上半椭圆y =22x a ab-及x 轴围成的单曲边梯形绕x 轴旋转而成的，由公式(5)得V x =π⎰-a a dx x a a b - 222)(=⎰-a dx x a a b 02222)(2π =a 0 3222]3[2x x a a b -π=34πab 2．(2)绕y 轴旋转，旋转椭球体如图所示，可看作右半 椭圆x =22y b ba-及y 轴围成的单曲边梯形绕y 轴旋转而成的，由公式(6)得V y =π⎰-bb dy y b b a - 222)(=⎰-b dy y b ba 0 2222)(2π =b 0 3222]3[2y y b ba -π=34πa 2b ．f (x当a =b =R 时，即得球体的体积公式V =34πR 3． 例8 求由抛物线y =x 与直线y =0，y =1和y 轴围成的平面图形，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V y ．解 抛物线方程改写为x =y 2，y ∈[0，1]． 由公式(６)可得所求旋转体的体积为 V y =π55])[(1 0514122ππ===⎰⎰y dy y dy y ．三、平面曲线的弧长1. 表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线．若光滑曲线C 由直角坐标方程y =f (x )，(a ≤x ≤b )，则导数f '(x )在[a ，b ]上连续．如图所示，在[a ，b ]上任意取一微段[x ，x +dx ]，对应的曲线微段为AB ，C 在点A 处的切线也有对应微段AP ．以AP 替代AB ，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元d s 的计算公式d s=22)()(dy dx +， (7) 得到的公式称为弧微分公式．以C 的方程y =f (x )代入，得 ds =2)]([1x f '+dx.据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式s =⎰ba ds =⎰'+ba dx x f 2)]([1 (8)若光滑曲线C 由方程x =g (y )(c ≤y ≤d )给出，则g '(y )在[c ，d ]上连续，根据弧微分公式(7)及微元法，同样可得曲线C 的弧长计算公式为 s =⎰'+d cdy y g 2)]([1 (9)例9 求曲线y =41x 2－21ln x (1≤x ≤e )的弧长s ． 解 y '=21x －x 21=21(x －x1)，ds =2)]([1x f '+dx =)1(21)1(4112x dx x x +=-+dx ， 所求弧长为s =⎰ba ds =41]ln 21[21)1(21e1 2 1=+=+⎰x x dx x x e (e 2+1)． 例10 求心形线r =a (1+cos θ) (a >0)的全长．解 θ∈[0，2π]；又因为心形线关于极轴对称，全长是其半长的两倍，所以θ∈[0，π]．ds =22)]([)]([θθr r +'d θ=2)cos 1(2θ+d θ=2a cos 2θd θ，所以 s =2⎰πθθ2cos2d a =8a ．§6—3 定积分在物理中的部分应用一、变力做功物体在一个常力F 的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s 时，F 所作的功W =F ⋅s ．物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解．设力F 的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F 的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动．取物体运动路径为x 轴，位移量为x ，则F =F (x )．现物体从点x =a 移动到点x =b ，求力F 作功W ．在区间[a ，b ]上任取一微段[x ，x +dx ]，力F 在此微段上做功微元为dW ．由于F (x )的连续性，物体移动在这一微段时，力F (x )的变化很小，它可以近似的看成不变，那么在微段dx 上就可以使用常力做功的公式．于是，功的微元为dW =F (x )dx ． 作功W 是功微元dW 在[a ，b ]上的累积，据微元法W =⎰ba dW =⎰ba dx x F )(． (12)例1 在弹簧弹性限度之内，外力拉长或压缩弹簧，需要克服弹力作功．已知弹簧每拉长0.02m 要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1m 时，外力所做的功W ．解 据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F 和弹簧的伸长量x 成正比，即 F (x )=kx ，其中k 为弹性系数． 据题设，x =0.02m 时，F =9.8N ，所以 9.8=0.02k ，得k =4.9⨯102(N/m).所以外力需要克服的弹力为 F (x )=4.9⨯102x ．由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m 时，外力克服弹力作功W =⎰⨯1.0 0 2109.4xdx =21⨯4.9⨯1021.0 0 2x =2.45(J)．例2 一个点电荷O 会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A 产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称为电场强度．据库仑定律，距点电荷r =OA 处的电场强度为F (r )=k 2r q(k 为比例常数，q 为点电荷O 的电量)． 现若电场中单位正电荷A 沿OA 从r =OA =a 移到r =OB =b (a <b )，求电场对它所作的功W ．解 这是在变力F (r )对移动物体作用下作功问题．因 为作用力和移动路径在同一直线上，故以r 为积分变量，可应用公式(12)，得W =⎰b adr rq k 2=kq b a r ]1[-=kq (b a 11-)．二、液体的压力单位面积上所受的垂直于面的压力称为压强，即p=ρ⋅h，(其中ρ是液体密度，单位是kg/3m，h是深度，单位是m)．如果沉于一定深度的承压面平行于液体表面，则此时承压面上所有点处的h是常数，承压面所受的压力P=ρ⋅h⋅A，其中A是单位为m2的承压面的面积．若承压面不平行于液体表面，此时承压面不同点处的深度未必相同，压强也就因点而异．考虑一种特殊情况：设承压面如图那样为一垂直于液体表面的薄板，薄板在深度为x 处的宽度为f(x)，求液体对薄板的压力．薄板沿深度为x的水平线上压强相同，为ρ⋅x，现在在薄板深x处取一高为dx的微条(见图中斜线阴影区域)，设其面积为dA．微条上受液体压力为压力微元dP．近似认为在该微条上压强相同，为ρ⋅x，则dP=ρ⋅xdA；又深度为x处薄板宽为f(x)，故dA=f(x)dx，因此dP=ρ⋅x⋅f(x)dx．若承压面的入水深度从a到b(a<b)，则薄板承压面上液体总压力是x从a到b所有压力微元dP的累积．据微元法P=⎰badxxxf)(ρ=ρ⎰badxxxf)(．(13)。
6.3定积分的计算方法
二、分部积分法
设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在区间 [a , b] 上连续可 导， b b b b ∫au v′dx = ∫au dv = uv −∫av du. a
1 例
∫ 2 例 ∫ x e dx
0
1 2 x 0
1
e−1
ln(1 + x)dx key : 1
key : e − 2
1 0 t 0 −1
x = 0 ⇒ t = −1
= ln 2 x)在[−a, a]上连续，证明： 2∫0 f ( x) dx, 当 f ( x) 为偶函数时 . ∫−a f ( x) dx = 0, 当 f ( x) 为奇函数时 a 0 a f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx 证明
a
a
则 (1) 若 f ( x ) 为偶函数， f ( − x ) = f ( x ), 为偶函数， a a a ∴∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx = 2 ∫ f ( x )dx;
−a 0
0
−a
0
( 2) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( − x ) = − f ( x ), 为奇函数，
1 练习： 练习：0 ∫ 1 + 3 x dx.
8
(2)∫ x2 a2 − x2 dx
0
a
a4 key : (1)3 ln 3; ( 2) π 16
在作三角代换时， 要当心条件 是否满足！！！ 2是否满足！！！ 在作三角代换时，尤其
1 ∫−11 + x2dx =
1
令x =
1 t
1 1 ∫−1 1 2 ⋅ (− t 2 )dt 1+ t
6高等数学-第六章 定积分及其应用
（2）定义中要求积分限 a < b ，我们补充如下规定：
当 a = b b时f，(x)dx 0 a
b f；(x当)dxa > b
a
f (x)dx
a
b
时， （3）定积分的存在性（两个充分条件） 。
定理 设 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则 f (x) 在 [a, b] 上
可积。 定义 设 f (x) 在区间 [a, b] 上有界且只有有限个间断点，
积 分 号
积 分 下 限
被
积
被 积
积 表
分 变
积 分
（ 黎
函
达
量
和曼
数
式
式和 ）
11
第一节 定积分的概念及性质 定积分定义的说明：
二、定积分的定义
（1）定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关，
而与积分变量采用什么字母无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
第一节 定积分的概念及性质
第一节 定积分的概念及性质 曲边梯形的面积：
一、定积分问题举例
设函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f (x) ≥ 0，则称由直
线 x = a， x = b， y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的平面图形为曲边梯
形。 其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应区间[a, y b] 的线段称为底边。
则 f (x) 在 [a, b] 上可积。
12
第一节 定积分的概念及性质
三、定积分的几何意义
由定积分的定义可以知道，图
y
中曲边梯形的面积为：
y = f (x)
第六章 定积分
第六章定积分基本要求一、理解定积分的概念和基本性质，了解积分中值定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。
二、理解变上限积分定义的函数，并会求它的导数。
三、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解一些简单的经济应用题。
四、了解广义积分收敛与发散的概念，掌握计算广义积分的基本方法。
习题六2、利用定积分的性质证明下列不等式：（1）⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x ；证明：∵]4,0(π∈x ∴x x x 23sin sin ,1sin 0≤<<.当0=x 时，0sin sin 23==x x∴⎰⎰≤402403sin sin ππxdx xdx x □（2）3sin 626ππππ≤≤⎰xdx .证明：∵]2,6[ππ∈x ∴1sin 21≤≤x ∴⎰⎰⎰≤≤26262621ππππππdx xdx dx ，即3sin 626ππππ≤≤⎰xdx □3、估计下列定积分的值： （1）⎰-202dx e xx；解：∵]2,0[∈x 令41)21(22--=⇒-=x y x x y ，即函数有最小值41-=y又∵2,020====x x y y ∴函数有最大值2=y∴22412222412222e dx e edx e dx edx e xxxx ≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰----（2）⎰4342sin ππxdx .解：∵]43,4[ππ∈x ∴1sin 212≤≤x∴⎰⎰⎰≤≤43443424341sin 21ππππππdx xdx dx 即2sin 44342ππππ≤≤⎰xdx4、计算下列函数的导数)(/x g ：（1）⎰=x t tdt x g 1sin )(； 解：xxx g sin )('= （2）⎰=xtdt x g 124sin )(；解：22'4'sin )1(sin )(xxx x x g -=⋅=（3）⎰+-=xx du u u x g 3211)(； 解： 12)12(213)13(3)2(1212)3(1313)('''+--+-=+--+-=x x x x x x x x x x x g （4）⎰+=2tan 411)(x xdt tx g .解; xx xx x x x x x g 428'4'242'tan 1sec 12)(tan )(tan 11)()(11)(+-+=+-+=4、求曲线⎰++=x dtt y t 0211的凹向区间：解：由题知曲线定义域为ℜ∈x∵2'11x x y ++=令0)1(2122''=+++-=x x x y 得21-=x∴曲线在)2,(--∞上凹，在),2(+∞-下凹6、计算下列定积分： (1)⎰-+-0324)1465(dx x x ；解：原式231)1436(0325=+-=-x x x(2)⎰-3142)11(dt tt ； 解：原式8128)311(313=+-=t t(3)()()⎰-+-11231dx x x ；解：原式2)22()23(1123112=--=--=--⎰x xx dx x x (4)⎰--9111dx x x ；解：原式9123239191])1([32)1()1)(1(1-+=-+=-+---+=⎰⎰x x dx x x dx x x x x x x )2813(34+=(5)⎰--212||dx x x ；解：令1,00212==⇒=-x x x x ， ∴原式⎰⎰⎰-+---=-21212012)()()(dx x x dx x x dx x x611)23()23()23(212310230123=-+---=-x x x x x x (6)⎰--+-252411dx x x .解：原式36)3()1(253252=-=-=----⎰x x dx x7、计算下列定积分： （1）⎰+412111dx xx；1255324)11(32)11(11412341-=+-=++-=⎰xx d x （2）⎰--32232)(13dx x x x ； 解：原式81)(1)()(132332323=--=--=⎰x x x x d x x （3）⎰⋅202cos cos sin πxdx x e x ；解：原式4412cos 412sin 21122cos 202cos 202cos --=-=-==⎰⎰e e e x d e xdx e xx x πππ（4）⎰-+22621sin ππdx xxx ； 解：令621sin x x x y +=，则621sin xxx y +=是奇函数，且该积分为对称区间上的积分 ∴原式0=（5）⎰-211dx x x ；解：原式1516)35(2)(1035102412=+=+=⎰=-=t t dt t t tx tdt dx（6）⎰+130321xdx；解：原式6432331231212332=======⎰=+=t tdt tx dtt dx （7）⎰-2221x x dx ；解：原式1243tan sec tan sec 134sec tan πππππ=-=⋅⋅======⎰==tdt t t t tx dtset dx （8）⎰242csc ππxdx x ；解：原式2ln 214sin ln 4cot cot )cot (24242424+=+=+-=-⎰⎰ππππππππππx xdx x x x xd *(9)⎰23212arcsin dx xx ； 解：原式⎰⎰-+-=-=232122321232111arcsin 1)1(arcsin dx x x x x x d x)332ln(9323cot csc ln 9323csc 33323636sin cos ---==---=++-=====⎰==ππππππππt t tdt tx xdt dx *(10)⎰edx x 1|ln |；解：原式1ln ln 111=-==⎰⎰eeedx x x xdx*(11)⎰πn dx x x 0|sin |；解：原式 +++-=⎰⎰⎰+ππππππk k xdx x xdx x xdx x 2220sin sin sin+-++-=⎰⎰⎰+ππππππk k x xd x xd x xd 2220cos cos cos++-+-++-=⎰⎰⎰++ππππππππππππk k k k xdx x x xdx x x xdx x x 22222200cos cos cos cos cos cos++++++++++=0]2)12[(0)2(0πππππk kπππππ2])1(2[2n n n =+-+++= *(12)()()⎰+--422114dx x x x .解：原式881ln23)21(23)21(ln32ln 449)21(13)2(214424242242=++-+++=-++++=⎰⎰x x x dx x x d x 8、用阴影表示下列曲线所围成的图形，并求出其面积：(1)x y x y 2,32=-=；解：曲线交点如右图所示332)233(]2)3[(133132=--=--=--⎰x x x dxx x S(2)2,1,5,2=-=+==y y x y x y ；解：曲线交点如右图所示233)523()]5([2123212=+-=--=--⎰y y y dyy y S(3)0,,===x e y e y x；解：曲线交点如(3)图所示1)()(101=-=-=⎰x xe ex dxe e S(4)4,22+-==x y x y ；解：曲线交点如(4)图所示17)624(]2)4[(2432242=--=--=--⎰y y y dy y y S（3）图（4）图2x -x 2(5) y ax 2=；)0(,2>=a x ay ； 解：曲线交点如(5)图所示3)332()(2032312aa x x a dxax ax S aa =-=-=⎰(6) 2,2=+=y x x y ； 解：曲线交点如(6)图所示29)322(])2[(1232122=--=--=--⎰x x x dx x x S (7)2,,1===x x y xy ； 解：曲线交点如(7)图所示2ln 23)ln 2()1(21221-=-=-=⎰x xdxxx S (8)1,,===-x e y e y x x ；解：曲线交点如(8)图所示21)()(101-+=+=-=--⎰ee e e dx e e S x x x x (9))0(ln ,ln ,0,ln >>====a b b y a y x x y ；解：曲线交点如(9)图所示ab edye S b ay bay -===⎰ln ln ln ln* (10)x y x y x y 2,,2===.解：曲线交点如(10)图所示 67)3(2)2()2(21321221212=-+=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x S*9、求曲线233+-=x x y 在两个极值点范围内的曲线弧段，过两个极值点与x 轴垂直的y =2x =y=lnby直线及x 轴所围成的平面图形的面积. 解：令0332'=-=x y 得驻点1,121=-=x x又∵x y 6''= ∴06,061''1''>=<-==-=x x y y∴11-=x 为极大值点，12=x 为极小值点.如右图得4)2234()23(1124112=+-=+-=--⎰x x x dx x x S .10、求下列诸曲线所围图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1） 0,4,1,4====y x x xy ；绕x 轴；解：所谓图形见(1)图阴影部分πππ1216)4(41412=-==⎰xdx x V（2） πxy x y 2,sin ==； 绕x 轴；解：所谓图形见(2)图阴影部分6)342s i n 4121(2]322c o s 1[2])2()[(s i n 220322022222ππππππππππ=--=--=-=⎰⎰x x x dxxx dxxx V（3）4,1,0,====x x y x y ；绕y 轴；解：所谓图形见(3)图阴影部分ππππππ5124531)(112425212212=-=-⨯⨯+⨯⨯=⎰y dy y V*(4)66,10622-+-=+-=x x y x x y ；绕y 轴.解：所谓图形见(4)图阴影部分，（2）图662-+x x106+-xππππ2416)3(2424324])33()33[(23223323222-=---=-=----+=⎰⎰y dyy dy y y V11、已知某产品的边际成本85.1006.0)(2'+-=x x x c ，固定成本150)0(=C 万元，其中x 为产品的件数，求多少万元？解：∵4020'10150)85.1006.0()0()()(⨯++-=+=⎰⎰xxdx x x C dx x C x C423402310150843002.010150)843002.0(⨯++-=⨯++-=x x x x x x x∴生产2000件这种产品的总成本为:6.1451)2000(=C （万元） 12、已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率（边际收益）为0,100200)(''≥-==x xx R R（1） 求生产了50个单位时的总收益；（2） 如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.解：∵0,100200)(''≥-==x xx R R ∴2002000)200200()0()100200()(2020x x x x R dx x x R xx-=+-=+-=⎰（1）∴5.9987)50(=R （2）设已生产了100个单位，在生产100个单位时的总收益为R ∆. ∴19850)100()200(=-=∆R R R13、某产品的总成本C C （万元）的变化率（边际成本）1'=C ，总收益R （万元）的变化率（边际收益）为生产量x （百台）的函数x x R R -==5)(''. （1） 求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大？（2） 从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？ 解：14、判断下列广义积分的敛散性.如收敛，则求其值. (1)⎰∞--12)32(1dx x ；解：原式21)3211(lim 21321lim 21)32()32(1lim 21112=----=--=--=-∞→-∞→-∞→⎰a x x d x a a a a a∴该积分收敛. (2)()()⎰∞+++0321dxx x ；解：原式0)32ln 32(ln lim 32ln lim )3121(lim 00=-++=++=+-+=+∞→+∞→+∞→⎰b b x x dx x x b bb bb∴该积分收敛.(3)⎰+∞∞--dx xe x2；解：原式⎰⎰⎰⎰----=+=-+∞→--∞→+∞-∞--b c x b c a x a c x cx x d e x d e dx xe dx xe)(lim 21)(lim 2122222232ln )](lim )(lim [21)lim lim (21222222=-+--=+-=--+∞→---∞→-+∞→--∞→c b b a c a b c x b c axa e e e e e e ∴该积分收敛.(4)⎰-102)12(1dx x ；解：原式∞=+-=-+--=--+--=--+--=+++→+-→-+→⎰⎰⎰⎰εεεεεεεε1lim 211)121121(lim 21])12()12(1)12()12(1[lim 21)12()12(121)12()12(1210121210021012122012122102x x x d x x d x x d x x d x ∴该积分发散.(5)⎰10ln xdx x ；解：原式)2ln (lim 21)ln (lim 21ln lim211220110120εεεεεεεεεx xdx x x xdx --=-==+++→→→⎰⎰ 21)12(lim 2120-=-=+→εε ∴该积分收敛.*(6) ⎰-+40461dx x x . 解：原式]31)21(21([51)3121(5142402040⎰⎰⎰⎰+--+-=+--=dx x dx x dx x dx x x 37ln )2ln lim 2ln lim (51)37ln 2ln lim 2ln lim (51224202+---=--+-=+-+-→→→→b a x x b a b b a a ∵2ln lim 2--→a a 发散 ∴该积分发散.15、计算：（1）)3()4(2)7(ΓΓΓ；解：原式30!2!32!6=⨯⨯=（2）)29()23()3(ΓΓΓ； 解：原式10516)21(21)21(1058)27(27)21(21!2=ΓΓ=ΓΓ⨯=（3）⎰+∞-04dx e x x ；解：原式24!4)5(==Γ= （4）⎰+∞-0222dx e x x解：原式162)23(8282224102102422π=Γ=========⎰⎰∞+-∞+-==du e u du e u u u u x du udx 第六章 单 元 测 验 题1、设dt t x g dt t x f xx g ])sin(1[)(,11)(cos 02)(03⎰⎰+=+=，计算)2('πf .解：∵)]sin(cos 1[sin ))](cos sin(cos 1[)(),()(11)(2'2''3'x x x x x g x g x g x f +-=+=+=且1)0sin 1(1)2(,0)]sin(1[)2('002-=+⨯-==+=⎰ππg dt t g∴1)1(011)2()2(11)2('3'-=-⨯+=+=πππg g f 2、已知)(x f 在1=x 某邻域内可导，且2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ，求 3111)1(])([lim x dtdu u f t xtx -⎰⎰→解：原式)]()(2[lim 61)1(2)]([)(lim 31)1(3)(lim '111211x xf x f x x f x du u f x duu f x x xx x x +=---+-=--=→→→⎰⎰∵2)(lim ,0)(lim '11==→→x f x f x x ∴原式31=3、计算下列积分. （1）⎰+3)1(1dx xx ； 解：原式32arctan 2)(112332π==+=⎰x x d x （2）dx x x ⎰-++112)12(；解：原式⎰⎰⎰⎰++++-=++++-=--120121212)169()12()12()12(dx x x dx x x dx x x dx x x328)33()3(10230123=++++-=-x x x x x x（3）⎰-2141)ln 1(ln e ex x x dx ；解：原式6)1()21()21(11062141sin 21cos 2221412ln ππ=-=======--=-====⎰⎰⎰=--===du dt t dt tt u t ududt tx dte dx t（4）⎰+∞-++131xx e e dx；解：原式bx b bx xb bx x b e e e e e e de e dx e e e e 1122122arctan 21lim 1lim 1lim 1+∞→+∞→+∞→=+=+=⎰⎰ 224)1arctan (arctan lim 1ee e e b b π=-=+∞→ 4、求函数⎰+-=xedt t t t x f 12ln )(2在区间],[2e e 上的最大值. 解：∵12ln )(2'+-=x x x x f ∴函数在],[2e e 无驻点和一阶不可导点 又∵⎰⎰⎰-----=--=+-=e x ex x e xet d t t tt td dt t t t x f )21()21()21(11ln 11ln 12ln )(222xx e e x x e t t x x e ex1ln 1ln 1ln 1121)21(21)21(ln21211ln 11-+-----=+---⨯----=∴⎰=+-=ee dt t t t ef 012ln )(2，ee e ef 1ln 11)(2+++= ∴其最大值为ee e ef 1ln 11)(2+++= 5、过曲线)0(2≥=x x y 上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴围成图形的面积为121，求 （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）由上述图形绕x 轴旋转成的旋转体体积V . 解：（1）设切点A 的坐标为),(b a ∴2a b = 切点A 的切线方程为a aby x a x a f b y +-=⇒-=-2))(('- ∴其阴影部分面积为⎰-+-=b dy y a a b y 0)2(121右边⎰-+-=20)22(a dy aba y a y30232121])2(324[2a y ab a y a y a =-+-= ∴11=⇒=b a（2）切线方程为：12-=x y （3）阴影部分及相应交点如右图ππ301))12((121214=--=⎰⎰dx x dx x V。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
第六章--定积分分解
当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 m1iaxn {xi} 0 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积, 即
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
首页
上页
返回
下页
结束
铃Байду номын сангаас
二.定积分的定义 由引例知, 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结
为一个特殊和式的极限. 这种和式的极限应用极广, 可解
x2
o a x0x1
xi1 xi xi
xn b
xn1 x
II.近似代替(或以直代曲)——任意取点
在每个小区间 [xi1, xi ](i 1, 2, , n) 上任取一点 i
(xi1 i xi ), 以 f (i ) 为高、以小区间[xi1, xi ] 的长度为底
首页
上页
返回
下页
结束
铃
作窄矩形 (如右图).
上任取一 点
n
i (xi1 i xi ), 作和式 Sn f (i )xi i 1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
若当 0 时, Sn 有确定的极限值 I, 且 I 与区间[a, b]的
分法和 i 的取法无关, 则称函数ƒ(x)在区间[a, b]上可积,
并称此极限值I为ƒ(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为
当y = ƒ(x) 0 时, 曲边梯形AabB的面积怎么求呢? 中
学里会求直边多边形(特别是矩形)的面积, 下面利用矩形的
面积来求曲边梯形AabB的面积.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
分析:问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间[a, b]
第6章定积分 - 精品课程网
2、 直径为 20cm，高为 80cm 的圆柱体内充满压强为 10N/ cm2 的蒸气，设温度保持不变，要
使蒸气体积缩小一半，问需要作多少功？
3、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10m 和 6m,高为 20m,较长的底边与水面相齐，计 算闸门的一侧所受的水压力。
⎩x,
当x ∈[0,1)时，求 Φ(x) =
x
f (t)dt 在[0，2]上的表达式，并讨论
当x ∈[1,2]时.
0
Φ(x) 在（0，2）内的连续性。
∫ ∫ 8、 设 f(x) 在 [a,b] 上 连 续 且 f(x)>0,F(x)=
x
f (t)dt +
x
dt
, x ∈[a,b]. 证 明 ：
a
b f (t)
∫b) π sin 2 kxdx = π . −π
∫ 5、设 k 及 l 为正整数，且 k ≠ l,证明 π cos kx sin lxdx = 0. −π
∫ 6、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且 f ′(x) ≤ 0, F (x) = 1
x
f (t)dt. 证明在(a,b)
x−a a
4、 设有一长度为 L，线密度为 ρ 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有一质
量为 m 的质点 M，试求这 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是W = k mMh 其中 k R(R + h).
是引力常数，M 是地球的质量，R 是地球的半径；
积。
2、 证明：由平面图形 0 ≤ a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为：
∫ V = 2π
第六章 定积分及其应用
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x
1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
大学定积分
x
a
f
(t )dt 有唯一确定值与x对应
,
因此
x
a
f
(t )dt 在
[a , b]上确定了一个x的函数.
称它为变上限定积分所确定的函数（ 积分上限函数
或变上限积分）。
y
记为
x
( x) a f (t )dt.
y f (x)
x [a,b]
oa
( x)
x x x b x
2020/4/10
42
积分上限函数的性质
33
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
a
f
(
x)dx
b
a
f
(
x
)dx
c
b
f
(
x
)dx
则
b
a f ( x)dx
c
c
a f ( x)dx b f ( x)dx
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
2020/4/10
23
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
2020/4/10
32
b
[f ( x) g( x)]dx
a
b
b
f ( x)dx g( x)dx
第六章 定积分
n
f (ξi ) ∆xi
叫做f ( x)在区间[a, b]上的定积分。
[a, b] : 积分区间
定积分是特殊和式的极限
前言
积分学两大问题： 积分学两大问题： 求原函数： 求原函数：
∫ f (x)dx = F(x) + C
计面积： 计算面积： A =
∫
b
a
f ( x)dx
微 积 分 基 本 定 理
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 63
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 73
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 133
播放
例1
计算抛物线y = x 2 , 直线x = 1和x轴所围成的 曲边梯形的面积。
1 解： 把区间[0,1]n等分，则∆xi = (1) n i i 2 y （2）取ξ = ， f (ξ ) = ( )
i
n
i
n
i 2 1 作乘积 f (ξi )∆xi = ( ) ⋅ n n n i2 1 1 n 2 (3) S ≈ ∑ 2 ⋅ = 3 i n n i =1 i =1 n
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 43
定积分的概念
分割, i 如何取法, 极限
lim Sn lim f ( i )xi
0 0
i 1 n
存在, 则称此极限为f ( x )在[a, b]上的定积分,
记作 a f ( x )dx, 即
b
b
a
f ( x )dx lim f ( i )xi
0
i 1
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
近似
12
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
求和
当分割无限加细, 即小区间的最大长度 max{ x1 , x 2 , x n } 趋近于零 ( 0) 时， （1）分割
播放
5
曲边梯形如图所示， 在区间[a, b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 分割 把区间 [a , b] 分成 n y
个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
a a
b
b
2. 可积的充分条件：
闭区间[a, b] 上连续的函数必在 [a, b] 是可积的；
[a, b] 上有有限个间断点的有界函数在 [a, b] 也可积.
17
6.1.3 定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
y
b a
f ( x ) dx A
曲边梯形的面积
定积分的应用
2
3
π
= 4 a2π3 . 3
例2 计算心形线ρ=a(1+cosθ)(a>0)所 + 所 围成的图形的面积. 围成的图形的面积. 解 S = 2∫π 1[a(1+cosθ]2dθ 0 2
=a2[3θ +2sinθ + 1 sin2 ]π = 3 a2π . θ0 2 4 2
a 2 a
计算由摆线x= − 的一拱, 例3 计算由摆线 =a(t−sint), y=a(1−cost)的一拱, 直线 =0 , = − 的一拱 直线y= 所围成的图形分别绕x轴 轴旋转而成的旋转体的体积 轴旋转而成的旋转体的体积. 所围成的图形分别绕 轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 解 所给图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积为
b a2 −x2 x 解 旋转 椭球 体可以 看作是 由半个 椭圆 y= 及 a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 轴旋转而成的立体. 轴围成的图形绕 轴旋转而成的立体.
旋转椭球体的体积为
b2 (a2 − x2)dx V =∫−aπy dx =∫−aπ 2 dx a b2 [a2x− 1 x3]a =π 2 3 −a a = 4πab2 . 3
解 dV = A( x )dx = π R 2 ( x ) dx = π ( x − 0) dx 4 1 2 4 16π V = ∫ π x dx = π x = = 8π 0
2 0 2
绕固定轴旋转所成旋转体的体积
V = π ∫ [ R ( x) − r 2 ( x)]dx
2 a
b
绕y 轴 旋转生 成的立 体体积:
2
0
π
大学微积分教材_第六章
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
(x) x f(t)dt，x[a,b] a
G(x)
x
0a
x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x的 一 个 矩 形 的 面 积 。
一般称 1
b
f(x)dx为连续函数f(x) 在[a,b]
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
性质2
b
b
k(fx)dxk f(x)dx
(k为常数)
a
a
性质1,2合称线性性质.
b
c
b
性质3 af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, abc,
c
b
c
af(x)d xaf(x)d xbf(x)d x
b
a
（ 2） 当 ba时 ，f(x)d xf(x)d x.
a
b
5. 定积分的几何意义：
f(x)0,
b
f (x)dx A
曲边梯形的面积
a
f(x)0, bf(x)dxA曲边梯形的面积的负值 a
牛顿–莱布尼茨公式
将它分成 在每个小段上物体经
过的路程为
2) 常代变.
得
si v(i )ti (i 1, 2,, n)
6
3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
7
26
一、定积分的变量置换法
定理. 设函数
单值函数
1) (t) C1[ , ], ( ) a , ( ) b;
2) 在[ , ] 上
满足:
则
(t) (t)
证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 .
第六章 定积分及其应用
1
§1 定积分的概念
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义
2
一、定积分问题举例
矩形面积 梯形面积
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 y
y f (x)
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
A?
Oa
bx
3
解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼茨公式
2. 变限积分求导公式
24
作业
P144 14 ; 17 ; 18 ; 20 ； 21 ； 24 ; 27 ;
25
第三节
§4 定积分的换元法 和分部积分法
不定积分 换元积分法 分部积分法
换元积分法 定积分
分部积分法
一、定积分的变量置换法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 定积分第一节 定积分的概念思考题：1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值.（1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A A AA A A x x .( 2)( 1 )( 3 )(4)（4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 若当b x a ≤≤，有)()(x g x f ≤，下面两个式子是否均成立，为什么？（1）x x g x x f ba b a d )(d )(⎰≤⎰, （2）x x g x x f d )(d )(⎰≤⎰.答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，x x f d )(⎰与x x g d )(⎰不能比较大小，故（2）式不成立.3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但n 个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是∑=n i i a n 11,后者计算公式是⎰-b a x x f ab d )(1.习作题：1. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.2. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由 0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .3. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 4. 利用定积分的定义证明⎰-=b aa b x d .证明：令1)(=x f ,则⎰⎰=b ab a x x f x d )(d ，任取分点10x x a <=…b x n =<,把[]b a ,分成n 个小区间[]i i x x ,1-，并记小区间长度为),2,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅⋅=-=∆-，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ，作乘积⋅)(i f ξi x ∆的和式a b x x f n i ni i i i -=∆=∆⋅∑∑==11)(ξ,记}{max 1i ni x ∆=≤≤λ, 则 a b a b x f x x ni i i ba -=-=∆⋅=→=→∑⎰)(lim )(lim d 01ξλ.第二节 微积分基本公式思考题：1. ='⎰)d sin (d d 1xt t t ?答：因为⎰xt t 1d sin 是以x 为自变量的函数，故⎰xt t t1d sin d d =0. 2. ?)d )((21='⎰x x f答：因为⎰21d )(x x f 是常数，故0)d )((21='⎰x x f .3.=⎰ba x x f xd )(d d ？ 答：因为⎰b ax x f d )(的结果中不含x ，故=⎰ba x x f xd )(d d 0. 4. =⎰xax t x d cos d d 2？ 答：由变上限定积分求导公式，知=⎰xax t x d cos d d 22cos x .5. =⎰1d e d d 2xt t x ？答：=⎰1d e d d 2x t t x 22e )d e (d d 1x x t t x-=-⎰. 6. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？答：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.7. 当)(x f 为积分区间],[b a 上的分段函数时，问如何计算定积分⎰b ax x f d )(？试举例说明.答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将⎰b ax x f d )(分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若⎩⎨⎧<≤-≤≤=,01,,10,)(2x x x x x f 则x x f d )(11⎰-=x x d 01⎰-+x x f d )(11⎰-=10301232x x +-=61-. 8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.习作题：1. 计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-1d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1.（2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰103d x x=1402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰π0d sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (xx +-=2+2=4.2. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x3. 计算下列各题： （1）⎰10100d x x ， （2）⎰41d x x ， （3）⎰1d e x x , （4）x xd 10010⎰,（5）x x d sin 2π0⎰, （6）x x x d e 210⎰, （7）x x d )π2sin(2π0+⎰,（8）x x d )4π4cos(π+⎰, （9）x x x d 2ln e 1⎰, （10）⎰+102100d x x, （11）⎰4π02d cos tan x xx, （12）⎰10d sh x x , （13）⎰10d ch x x .解：（1）⎰10100d x x =101110110101=x .（2）⎰41d x x =314324123=x. （3）1e e d e 1010-==⎰x x x .（4）x xd 10010⎰=100ln 99100ln 10010=x .（5）1cos d sin 2π02π=-=⎰xx x .（6）21e 2e )(d e 21d e 121010222-==⎰=⎰x x xx x x . （7）x x d )π2sin(2π0+⎰=)π2(d )π2sin(212π++⎰x x =2π0)π2cos(21+-x =1-. （8）x x d )4π4cos(π+⎰=)4π4d()4π4cos(4π0++⎰x x =π)4π4sin(4+x =224-.(9)x x x d 2ln e 1⎰=)d(ln ln 21e 1x x ⎰=41ln 41e12=x .(10) ⎰+102100d x x =⎰+102)10(1d 1001x x =1010arctan 101x=101arctan 101. （11）⎰4π02d cos tan x x x =⎰4π0)tan d(tan x x =4π022)(tan x =21. （12）⎰⎰--=1010d 2e e d sh x x x x x =12e e xx -+=11ch 12e e 1-=-+-. （13）⎰10d ch x x =⎰-+10d 2e e x xx =12e e x x --=1sh 2e e 1=--.第三节 定积分的积分方法思考题：1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）x x x d cos cos 2π2π3⎰--=x x x d sin )(cos 2π2π21⎰-=)cos d()(cos 2π2π21x x ⎰--=0cos 322π2π23=--x.（2）⎰⎰---=-111122)sin d()(sin 1d 1t t x x =⎰-⋅11d cos cos t t t=⎰-112d )(cos t t =2⎰12d )(cos t t=22sin 211)2sin 21(d 22cos 11010+=+=+⎰t t t t . 答：（1）不正确，应该为：x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π3⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .（2）不正确，应该为：⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元)(t x ϕ=单调可导，且选择变元)(t x ϕ=的规律相同.3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律. 答：如图, 设)(x f 在[]a ,0上满足)(x f ≥0，则⎰a x x f 0d )(表示由曲线)(x f y =，直线0=x ，a x =及x 轴所围图形的面积，不妨记为A ，则当)(x f 为偶函数时，⎰⎰==-aaa x x f A x x f 0d )(22d )((如下图(1)所示)，当)(x f 为奇函数时，0)(d )(=+-=⎰-A A x x f aa(如下图(2)所示).（1）习作题:1. 计算下列定积分:(1)x x d 16402⎰-, (2)⎰+102d 41x x .解：（1）令x =t sin 4, 则t t x t x d cos 4d ,cos 4162==-,当x = 0 时，t = 0 ; 当x = 4 时，2π=t ， 于是 x x d 16402⎰-=π4)2sin 48(d )2cos 1(8d cos 4cos 42π02π020=+=+=⋅⎰⎰t t t t t t t π.（2）⎰+102d 41xx =⎰+12)2d()2(1121x x =21arctan 212arctan2110=x . 2. 计算下列定积分： （1）x x xd e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x xd πcos e10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(1033⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540xx ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5ex x x x=5155e 5e 51e 6=--x.(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x xx x xd 1223ln )1e 4ln(e 2e21⎰+--+= --+=3ln )1e 4ln(e 2x x )d 1211(e 21⎰+---+=3ln )1e 4ln(e 2()e21)12ln 21(+-x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=.(3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ x x x x πde ππsin πsin e π11010π⎰-==0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 10πx x--⎰xx x x πde ππcos πcos e π11010π⎰-= =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=. （4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ ⎰++-++=1034134d )e 313ln 34()e 313ln 34(x x x x xx x x=4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x .第四节 广义积分思考题:1. 下列解法是否正确？为什么？2ln 1ln 2ln ||ln d 12121=-==--⎰x x x .答：不正确.因为x1在[1-，2]上存在无穷间断点0=x ，⎰-21d 1x x 不能直接应用Leibniz Newton -公式计算，事实上，⎰-21d 1x x =⎰-01d 1x x +⎰20d 1x x =⎰--→+1110d 1lim εεx x +⎰+→2022d 1lim εεx x=[]1110)ln(lim εε--→-+x +[]222ln lim εεx +→=10ln lim 1εε+→+-2ln 202lim εε+→不存在,故⎰-21d 1x x 发散.2. 指出下面广义积分的计算错误:101)e 1(lim e lim d e lim d e 0=-=-=-==-∞→-∞→-∞→∞⎰⎰b b b xb b x b xx x .答：本题计算错误在于0e lim =-∞→bb ，因为0e lim =-+∞→b b ，而-∞=--∞→b b e lim ，故bb -∞→elim 不存在，从而⎰∞0d e x x 发散.习作题：1. 研究广义积分⎰∞+02d 1x x 的敛散性. 解：⎰∞+02d 1x x =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00,∴⎰∞+02d 1x x发散. 2. 计算广义积分x x d )4(6032⎰--.解：x x d )4(6032⎰-- =x x d )4(6432⎰--+x x d )4(4032⎰--=)42(3430023)4(3)4(3333340316431+=--+-⋅=-+-x x .3. 计算广义积分x x d e 1100⎰∞+-.解：x xd e1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .4. 计算广义积分⎰∞++02100d xx. 解： ⎰∞++02100d x x =20π10arctan 1010=+∞x .。