2021年初中物理竞赛及自主招生-第五节 小船过河问题初探

第五节 小船过河问题初探

一、船速与船相对于水的速度

小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速v 水、船相对于水的速度v 船、船相对地面的速度v ，现对三个速度理解如下：

（1）船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在水中，相对于水静止，对地也静止。

（2）船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂流，相对于水静止，对地速度等于水速。

（3）船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地速度v 与水速v 水、船相对于水的速度v 船的关系如图3.83所示。其

中，船相对于水的速度v 船也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，

v 船的方向总是沿着船头所指的方向。

例1 如图3.84所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大小始终不变。一开始船从岸边A 点出发，船身始终垂直河岸，船

恰好沿AB 航线到达对岸B 点耗时为1t ，AB 与河岸的夹角为

60︒。

调整船速方向，从B 点出发沿直线BA 返航回到A 点耗时2t ，则12:t t 为（ ）。

A ．1：1

B ．1：2

C ．1：3

D ．1：4

分析与解 由A 点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度v 船垂直于河岸，船相对地面的速度1v 沿着AB 方向，画出v 水，v 船，1v 所围成的三角形如图3.85所示，可知3v v =船水，12v v =水，则112AB AB s s t v v ==水

。当船由B 点返回时，其对地速度2v 沿着BA 方向，v 水，v 船，2v 围成的三角形如图3.85所示，因为v 水与2v 夹角为120︒，且3v v =船水，可知这一个等腰三角形，即2v v =水，因此22AB AB s s t v v =

=水

，可得12:1:2t t =，本题正确选项为B 。

实际上，我们也可以将船在静水中的速度v 船沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。如图3.86所示，设船与河岸夹角为θ，v 水为水流速度，则cos v v θ-船水为船实际上沿水流

方向的运动速度，sin v θ船为船垂直于河岸方向的运动速度。

二、小船过河的两个典型问题

1．过河时间最短问题

渡河时间只取决于在垂直河岸方向上的船速，即sin d t v θ=船，当90θ=︒时，渡河时间最短，min d t v =船

，此时船头应正对着对岸前进，如图3.87所示。船沿河岸方向前进的距

离为min v d

s v t v ==水水船。

2．渡河距离最短问题

河宽d 是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽d 呢？下面就这个问题进行如下分析：

要使渡河距离最小为河宽d ，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图 3.88所示，则cos v v θ=船水，cos v v θ=水

船，因为cos 1θ<，因此只有v v >船水，

小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河宽d ，渡河

时间=sin d

d t v v θ

=船对地船。 由以上分析可知，当v v <船水时，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度v 船对地与河岸的夹角尽量大，可以用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度v 水的末端为圆心，以小船在静水中的速度v 船的大小为半径作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时

让船速与过切点的半径平行，如图3.89所示，从而小

船实际运动的速度（对地速度v 船对地对）与河岸方向

的夹角最大，即v 船与v 船对地垂直时，小船渡河距离最

短。

由相似三角形知识可得v s d v =水船，解得v d s v =水船

，船与河岸的夹角θ满足cos v v θ=船水。 渡河时间仍可以采用上面的方法求得：sin s

d t v v θ=

=船对地船。 例2 某河流河道笔直，河宽为100m d =，水流速度为3m /s v =水，船在静水中的速度是4m /s v =船，求：

（1）欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离为多少？船实际通过的距离为多少？

（2）欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？

（3）如果水速增为6m /s ，则如何渡河船通过的距离最短？最短距离为多少？

分析与解 （1）当船头正对着对岸航行时，船渡河时间最短，此时v 船与河岸垂直，如图3.90（a ）所示，则最短的渡河时间min 100=s 25s 4

d t v ==船，船沿着河岸移动的距离s 与水流速度v 水有关，min 325m 75m s v t ==⨯=水，船实际通过的距离l 与船对地速度v 合

有关，

/s=5m /s v =合，则船实际通过的距

离min l v t ==合min 125m t =。

（2）欲使船渡河航行距离最短，则船对地速度v 合最好垂直河岸，由于船速v 船大于水速v 水，因此可画出图 3.90（b ）所示的速度关系图，其中船速v 船与河岸夹角为θ，则3cos =4v v θ=水船

，/s v 合

，此时渡河时间7d t v ==合。 （3）水速增为16m /s v =时，船速v 船小于水速v 水，船不能垂直河岸渡河，此时可以以水速v 水的末端为圆心，船速v 船为半径作圆，则当船对地速度v 合与半圆相切时，船渡河距离最小，此时v 合与v 船垂直，如图 3.90（c ）所示，设船速v 船与河岸夹角为θ，则2cos =3v v θ=船水

，/s v 合，此时的渡河时

间sin 3

d t v θ==

船