矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘积的运算法则

ο1 乘法结合律：若n m C A ⨯∈,p n C B ⨯∈ , q p C C ⨯∈，则C AB BC A )()(=. ο2 乘法左分配律：若A 和B 是两个n m ⨯矩阵，且C 是一个p n ⨯矩阵，则

BC AC C B A +=+)(.

ο3 乘法右分配律：若A 是一个n m ⨯矩阵，并且B 和C 是两个p n ⨯矩阵，则BC AC C B A +=+)(.

ο4 若α是一个标量，并且A 和B 是两个m n ⨯矩阵，则B A B A ααα+=+)(.

证明ο1

①先设n 阶矩阵为)(ij a A =,)(ij b B =, )(ij c C =,)(ij d AB =,)(ij e BC =

)(ij f ABC =,)()(ij g BC A =,有矩阵的乘法得： n j i b a b a b a d nj in j i j i ij ΛΛ2,1,.2211=+++= n j i c b c b c b e nj in j i j i ij ΛΛ2,1,.2211=+++= n j i c d c d c d f nj in j i j i ij ΛΛ2,1,.2211=+++= n j i e a e a e a g nj in j i j i ij ΛΛ2,1,.2211=+++=

故对任意n j i Λ2,1,=有：

nj in j i j i ij c d c d c d f +++=Λ2211

++++=j n in i i c b a b a b a 11212111)(Λ

++++j n in i i c b a b a b a 22222121)(Λ nj nn in n i n i c b a b a b a )(2211++++ΛΛ ++++=)(12121111nj n j j i c b c b c b a Λ

++++)(22221212nj n j j i c b c b c b a Λ

)(2211nj nn j n j n in c b c b c b a ++++ΛΛ nj in j i j i e a e a e a +++=Λ2211

=ij g

故)()(BC A C AB =

②再看 mn ik a A )(= ,np kj b B )(=,pq jt c C )(=, mp ij d AB )(= , nq kt e BC )(= ,

mq it g BC A )()(=,

有矩阵的乘法得：

n j i b a b a b a d nj in j i j i ij ΛΛ2,1,.2211=+++=

q t n k c b c b c b e pt kp t k t k kt ΛΛΛ2,1,2,1.2211==+++= q t m i c d c d c d f pt ip t i t i it ΛΛΛ2,1,2,1.2211==+++=

q t m i e a e a e a g nt in t i t i it ΛΛΛ2,1,2,1.2211==+++=

故对任意的,2,1m i Λ= ,2,1p j Λ= ,2,1n k Λ= q t Λ2,1=有：

pt ip t i t i it c d c d c d f +++=Λ2211

++++=t n in i i c b a b a b a 11212111)(Λ

++++t n in i i c b a b a b a 22222121)(Λ pt np in p i p i c b a b a b a )(2211++++ΛΛ ++++=)(12121111pt p t t i c b c b c b a Λ

++++)(22221212pt p t t i c b c b c b a Λ

)(2211pt np t n t n in c b c b c b a ++++ΛΛ

6nt in t i t i e a e a e a +++=Λ2211 =ij g

.

故)()(BC A C AB = 证明ο2

设ij A 表示矩阵A 的第i 行，第j 列上的元素，则有 []kj k

ik ik

ij C B A

C B A ∑+=+)()(

kj k

ik k

kj ik

C B C A

∑∑+=

=ij ij BC AC )()(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明ο

3

同理矩阵乘法左分配律可得 ij ij BC AC )()(+kj k

ik k kj ik

C B C A

∑∑+=

kj k

ik ik

C B A

∑+=

)(

= []ij C B A )(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明ο

4

设⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m n n mn

ij a a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ2122221

11211)(，⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m n n mn

ij b b b b b b b b b b B Λ

M M M ΛΛ

212222111211)(， 可得=+B A ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a Λ

M M

M Λ

Λ221

12222

2221

211112121111，

)(B A +α⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡+++++++++=)()()()()()()()()(22112222

2221211112121111mn mn

m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a αααααααααΛ

M

M M Λ

Λ