用相似三角形测量高度
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第六节利用相似三角形测高
2. 测量方法
知2－讲
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；
(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测
者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直
线上，测量出观测者的脚与标杆底端间的距离以及
与被测物体底端间的距离；
(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，
利用对应边成比例求出被测物体的高度.
时刻测量参照物与被测物体的影长.
感悟新知
知1－练
例 1 某一时刻，身高1.6m的小明在太阳光下的影长是0.4m，
同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗
杆的高度是( )
A．1.25 m
B．10 m
C．20 m
D．8 m
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻
太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
他与镜子的水平距离CE=0.5m，镜子E与旗杆的
底部A 处的距离AE=2m，且A，E，C三点在
同一水平直线上，则旗杆AB的高度为( D )
A．4.5 m
B．4.8 m
C．5.5 m
D．6 m
课堂小结
利用相似三角形测高
相似的 应用
测量高度 工具
光线 平面镜 标杆或皮尺
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
感悟新知
知2－练
解题秘方：本题关键是找出相似的三角形，然后根 据对应边的比相等列出方程求解.
感悟新知
解：∵∠DEF =∠BCD=90°，∠D=∠D，
知2－练
∴△DEF∽△DCB.∴BECF
=
DC DE
.
∵ DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，CD=8m，
4.6 利用相似三角形测高 课件(共26张PPT)
自主解答：解：(1)由 CD∥AB，得△FDM∽△FBG，同理由 C1D1∥AB，得△F1D1N∽△F1BG；
(2)设 BG＝x，GM＝y，由△FDM∽△FBG 得MBGD＝MFGF，即 CDB－GCM＝MFC＋EGM，所以1x.5＝2＋2 y化简得 2x－1.5y＝3，同理 △F1D1N∽△F1BG，所以1x.5＝2＋6＋3 3＋y，化简，得 3x－1.5y＝ 16.5，解两个方程所组成的方程组，得 x＝13.5，y＝16，所以 AB ＝13.5＋1.5＝15.
Байду номын сангаас
解析：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°. 由“入射角等于反射角”，得∠APB＝∠CPD， ∴△ABP∽△CDP. ∴CADB＝DBPP， ∴CD＝DBPP×AB＝132×2＝8(米)．
2．如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，并且 建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条 直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 54米 ．
解析：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴CADB＝DGD＋GBD， EAFB＝FH＋FDHF＋BD， ∵CD＝DG＝EF＝2 米，DF＝52 米， FH＝4 米，
∴A2B＝2＋2BD， A2B＝4＋524＋BD， ∴2＋2BD＝4＋524＋BD， 解得：BD＝52(米)， ∴A2B＝2＋252， 解得 AB＝54(米)．
相似三角形的应用
相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。
本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。
一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。
例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。
类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。
2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。
当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。
3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。
通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。
二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。
通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。
2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。
例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。
相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。
3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。
根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。
总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。
通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。
九上数学 第19讲 利用三角形相似测高
第19讲 《图形的相似》培优训练4.6利用三角形相似测高学习目标：1、掌握测量旗杆高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想； 一、温故知新1． 相等， 成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是 三角形。
2．相似三角形的判定：① 对应相等的两个三角形相似．②两边对应成 ，且 相等的两个三角形相似． ③三边 的两个三角形相似．3．相似三角形的性质：相似三角形的对应角 对应边 。
二、实例讲解：利用阳光下的影长测物体的高度 示意图如下图1、原理及证明：太阳光线是平行的通过构造“ ”三角形来测量物高。
解：∵阳光AE 阳光BC ， ∴∠AEB= ， 又∵∠ABE= =90° ∴△ ∽△ ， ∴CDAB= ，即CD= . 2、待测数据： 、 、 。
3、结论：同一时刻物高与影长成比例．．．．．．．．．．．．4.若学生身高是1.6m,其影长是2m,旗杆影长5m,求旗杆高度为 .AE 人影 人B物影物高CDE人D镜子 阳光AB物高三、合作探究： 1、利用标杆测物体的高度 示意图如下1、原理：利用光的直线传播通过构造“ ”三角形来测量物高。
2、证明：∵ AB CD ，∴∠FHD=∠ ， 又∵∠FDH=∠ ，∴△ ∽△ ，∴AGDH= ， ∵FH=EC ，ＦＧ＝ＢＥ，EF=HC=GB,DH=DC-HC , 即AGDH= ，AG= . ∴物高AB=AG+GB=AG+EF3、待测数据： 、 、 、 。
4.若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度为 。
2、利用镜子的反射测物体的高度 示意图如下图1．原理：利用光线的入射角等于反射角构造出相似三角形 2.解：由入射角等于反射角， ∴∠ =∠∵∠ +∠ACB=∠ +∠ ECD =90° ∴∠ACB=∠ ， ∵∠ B=∠ D=90°， ∴△ ∽△ ， ∴DEAB= ，即AB= 。
利用相似三角形测高
9.7 利用相似三角形测高●教学目标（一）知识与能力1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）过程与方法1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感态度与价值观在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具●教具准备投影片一:（记作§2.7 A）投影片二:（记作§2.7 B）投影片三:（记作§2.7 C）投影片四:调查数据表.（记作§2.7 D）●教学过程（一）创设问题情境，引出课题今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.（对应角相等,两三角形相似;对应边成比例,两三角形相似;有两组对应边成比例且其夹角相等,两三角形相似.）（二）新课讲解首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§2.7 A）图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－34）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BCAD AB EA =可得BC =EA AD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.乙组:利用标杆.（出示投影片§2.7 B ）图4－35如图4－35，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB由DGDH GC FH =得GC =DH DG FH ⋅ ∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD .一题多解：过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF ∽△FMC∴由DHM FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF .图4－36［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§2.7 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB与观测者身高AD ，根据BCAD EB AE =，可求得BC =AE AD EB ⋅. 教师布置小组分工：同学们清楚原理后，请按我们事先分好的小组进行活动，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.（同学们紧张有序的进行测量）展示统计结果并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.（出示投影片§2.7 D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.（三）.课堂练习1.高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=CB BC '' 于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.2. 如图，在距离AB 18米的地面上平放着一面镜子E ,人退后到距镜子2.1米的D 处，在镜子里恰看见树顶.若人眼距地面1.4米，求树高.（四）课时小结• 本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？• 在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？ • 把自己在与同伴合作交流中, 最满意的表现说给大家听听.• 你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？（五）课后作业1.习题9.10 2，3，4题2.以组为单位完成一份实践报告.（六）活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？D BACE（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计。
《利用相似三角形测高》教学课件
cF
1.高4米的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时附近
一个建筑物的影长24m，则该建筑物的高为多少米?
2.旗杆的影长6m,同时测得旗杆顶端到其影子顶端的
距离是10m，如果此时附近小树的影子长3m,那么小树
有多高？ 3.如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内 的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1m，某一时刻 BC在地面的影长CN=1.5m，AC在地面的影长CM=4.5m, 求窗户的长度。
S
h
A
O BC
A1 B2 C1
3、如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走
到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯
A的底部，当他向前再步行12m到达点Q时，发现他
身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部，已知小
华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是9.6m。
(1)求两路灯之间的距离；
(2)当小华走到 C
（1）在横线上直接填写甲树的
高度为
米．
（2）画出测量乙树高度的示意
图，并求出乙树的高度．
（3）丙树的高度为_____
6、如图：小明想测量一颗大树AB的高度， 发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面 CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度 角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树 的高度是多少？
2
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
5.在“测量物体的高度”活动中，4名同学选择了测量 学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们 分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的 影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影 子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为 1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
北师大版数学九年级上册《6利用相似三角形测高》说课稿
北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册《6 利用相似三角形测高》这一节的内容，主要让学生掌握利用相似三角形来测量高度的方法。
在学习了相似三角形的性质的基础上，通过实际问题引入相似三角形的应用，进一步培养学生的几何思维和实际问题解决能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质，能够理解并运用相似三角形的知识解决一些简单问题。
但是，对于如何将相似三角形应用到实际问题中，测量高度等操作，还需要通过实例进行引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解相似三角形的性质，并能够运用相似三角形测量高度。
2.过程与方法：通过实际问题的引入，让学生学会如何将相似三角形的知识应用到实际问题解决中。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并运用相似三角形的性质测量高度。
2.教学难点：如何引导学生将相似三角形的知识应用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过小组合作、讨论的方式解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生直观地理解相似三角形的应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何测量一个高不可攀的物体的高度。
2.新课导入：介绍相似三角形的性质，让学生理解相似三角形在测量高度中的应用。
3.实例讲解：通过具体的实例，引导学生学会如何利用相似三角形测量高度。
4.小组讨论：让学生分组讨论，自己尝试解决实际问题，测量高度。
5.总结提升：引导学生总结利用相似三角形测量高度的方法和步骤。
6.课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固学生对相似三角形测量高度的理解和应用。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够引导学生直观地理解相似三角形测量高度的方法。
可以设计如下板书：相似三角形测量高度：1.找到一个与目标物体相似的已知高度的物体。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
4.6用相似三角形测量高度(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角相等，பைடு நூலகம்应边成比例。相似三角形在解决实际问题中具有重要应用，如测量物体的高度。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用相似三角形测量物体的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者和协助者，鼓励学生们提出自己的观点，并帮助他们分析问题。我发现，通过这种方式，学生们能够更主动地参与到学习中，他们的思考能力和创新意识得到了提升。
最后，我意识到在总结回顾环节，需要更加注重对知识点的梳理和巩固。学生在这一环节提出了一些疑问，我尽量用简洁明了的语言解答，帮助他们理清思路。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的性质和测量高度的方法这两个重点。对于难点部分，如物体与观察者不在同一水平线上的情况，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与用相似三角形测量高度相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用相似三角形测量物体的高度。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力，使其能够运用相似三角形的性质，观察和分析现实生活中的测量问题。
2.提升学生的问题解决能力，使其能够将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决测量高度的问题。
3.增强学生的数学应用意识，使其认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学习数学的兴趣。
-利用相似三角形的性质，通过测量物体在同一时刻在地面上的影子长度，计算物体的高度。
利用相似三角形测高
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
A
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
利用相似三角形测高
02 测高原理及步骤
利用相似三角形测高原理
相似三角形性质
当两个三角形对应角相等时，这 两个三角形相似。相似三角形的 对应边成比例。
测高原理
通过构造一个与待测高度相关的 相似三角形，利用已知距离和角 度信息，可以推算出待测高度。
实际操作步骤
1. 选择合适的观测点
可以计算出建筑物的高度。
确定建筑物位置
在建筑设计中，可以利用相似三 角形原理，通过已知的两个点和 角度，确定建筑物的准确位置。
评估建筑物稳定性
相似三角形可以用于分析建筑物 的倾斜度和稳定性，通过比较建 筑物不同部位的高度差和水平距 离，可以判断建筑物是否存在倾
斜或变形等问题。
航海领域应用
01
测定海上目标距离
多源数据融合提高测量精度
利用多传感器融合技术，结合相似三角形测高算法，可以 从多个角度获取测量数据，进一步提高测量精度和稳定性 。
拓展至三维空间测量
目前相似三角形测高主要应用于二维空间的测量，未来可 以将其拓展至三维空间，实现更复杂场景下的高度测量。
对个人能力提升意义
提高了分析问题和解决问题的能力
THANKS
感谢观看
注意事项
01
确保测量工具的精度和 稳定性，以减小误差。
02
在进行测量前，对测量 工具进行校准和检查。
03
选择合适的天气和时间 进行测量，避免大气折 射等因素对测量结果的 影响。
04
在计算过程中，注意单 位统一和数值准确性。
03 实际应用举例
建筑行业应用
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测 量建筑物底部到顶部的距离和建 筑物与观测点之间的水平距离，
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。
这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。
当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。
通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。
然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。
这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。
然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。
根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。
最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。
这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。
然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。
根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。
最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。
在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。
此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。
因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。
利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝ 米，FQ ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析 【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+， 解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+， 解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下： 由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==， 解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。
4.5利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，CD(标杆高)，
BD(人距标杆的距离)，DF(标杆距旗杆的距离)；待测数据：
EF(旗杆高度)．
(3)计算理由：
因为CD∥EF(均与水平面垂直)，所以∠AGC＝
∠AHE，∠ACG＝∠AEH.所以△AGC∽△AHE，所以
AG AH
＝
CG EH
6 利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
解：如图4－6－7所示，作AH⊥EF，垂足为H，交CD 于点G，由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形， 所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF， 所以∠AGC＝∠AHE＝90°. 又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH， 所以AAGH＝CEHG，即19＝2－EH1.5， 所以EH＝4.5，EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)． 所以大树EF的高为6 m.
解：由题意可知∠BEF＝∠DEF，∠AEF＝∠CEF， 所以∠BEA＝∠DEC.
ACBD⊥⊥AACC⇒∠BAE＝∠DCE＝90°⇒
∠BEA＝∠DEC
△BAE∽△DCE⇒AAEB＝DCCE
⇒AB＝13.44(米)．
AE＝21，CE＝2.5，DC＝1.6
所以教学大楼的高度AB是13.44米．
4.6 利用相似三角形测高
D
1
2
CE
A
一 测高方法三：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利 用镜子的反射测量高度”的原理解决.
一 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
一 测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同 一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
一例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一
好久 不见
认识你很 开心
欢迎
你好
HELLO
Welcome
4.6 利用相似三角形测高
世界上最高的树 —— 红杉
乐山大佛
台北101大楼
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
一 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古 代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相 似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金 字塔的原理吗？
根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距
27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知
小明的眼高1.6m，求树的高度. C
E
A
N
BF
D
解析：人、树、标杆是相互平行ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
一 测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用标杆测量高度”的原理解决.
一例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、
皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
《利用相似三角形测高》说课稿-九年级上册数学北师大版
《利用相似三角形测高》教学设计说课稿各位各位领导、评委老师：大家好！我说课的内容是义务教育教科书北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》中第六节教学内容《利用相似三角形测高》。
本节课利用相似三角形测高，将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，借助学生已有的相似三角形的知识，探究并归纳不同的解决问题的方案加以解决。
本教学设计以新课程理念为指导，以素质教育为目标，发展学生分析讨论、合作探究、实践操作能力为手段，通过应用相似三角形的性质和判别条件，归纳利用相似三角形测高的一般方法。
为提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力奠定基础，以便有效的积累数学活动经验，应用数学知识为现实生活服务。
教学《利用相似三角形测高》一课，是对学生知识技能和活动经验进行充分了解、分析的前提下进行设计的。
在知识技能基础方面，学生通过对相似三角形的判定和性质的学习，学生已经初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实问题的基础知识。
但是，学生综合运用相似三角形知识解决问题不一定熟练，将实际问题抽象为数学问题的能力也比较差，因此要在本节课进行有意识的培养。
在活动经验基础方面，学生平时学习过程中经历过一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验，已经养成了分组活动、小组合作、全班交流研讨的习惯，具有了一定的合作学习的经验以及合作与交流的能力。
生活中的一些不同情境的实际问题常常可以归纳为同一数学模型，本节利用相似三角形测高就是相似三角形数学模型，由题意所画出的图形和解题思路都是相似的，只要掌握了基本图形和解法，就会融会贯通，将问题迎刃而解。
本节课的教学内容有着较强的实践性与探究性，同时渗透数学建模思想，从而提高学生认知能力和解决实际问题的能力，增强数学应用意识。
为此我确定了以下教学目标：1）知识与技能：使学生进一步熟悉三角形相似的判定条件和性质，掌握测量的原理和方法，会实地测量并计算一些物体的高度或长度，积累数学活动经验，运用数学知识解决实际一些问题。
利用相似三角形测高(课件)九年级数学上册(北师大版)
代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．
探究新知
归纳总结 利用阳光下的影子测量高度
类型
原理
利用阳光下的 同一时刻物高 影子测高(如测 与影长成比例 量旗杆的高度)
操作图
操作说明
相关算式
(1)需测参照物(
AB DF
=
BC EF
,
人)的高度及参 则AB= DF BC
随堂练习
1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15 米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC 为3米,则楼高为( A ) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米
随堂练习
2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度， 当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影 子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高 度是( C ) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米
解析：画出示意图如图,
由题意得 AB = BC ,则B’C’=
A'B' B'C '
A' B ' BC AB
12 2
=3
=8(m).
即该建筑物的高度为8 m.
探究新知
例2:如图,直立在点B处的标杆AB高2.5 m,站立在点F处的 观察者从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线 上.已知BD=18 m,FB=3 m,EF=1.6 m,求旗杆的高CD.
EF
照物(人)的影长
;(2)测量被测物
体(旗杆)的影长
探究新知
方法二：利用标杆测量旗杆高度
如图4-27，每个小组选一名同学作 为观测者，在观测者与旗杆之间的地面 上直立一根高度适当的标杆。观测者适 当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、 标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直 线上，这时其他同学立即测出观测者的 脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚 到标杆底端的距离，然后测出标杆的高。
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方法3、利用镜子的反射
操作方法：1、选一名学生作为观C测者，在她与旗杆之间的
地面上平放一面镜子，固定镜子的位置；2、观测者看着镜子来回
调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端， C 3、测出此A时她的脚与镜子的距离、旗杆底部
与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
12
怎B么办？E
A
D 平面镜
B E 用相似三角形测量高度
聪明才智
• 如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳 子测量A、B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位 同学帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达 A、B点的点C,找到AC、BC的中点D、E,并且DE的 长为5m,则A、B两点的距离是多少？
解：∵△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ
5米
∴
５ ＡＢ
＝ＣＣＡＤ
∴∠ABC=∠ A'B' C'
常用的基本图形
⑵ （1）
（3）
⑷
用相似三角形测量高度
拓展训练
某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直时
的影长为1.5m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，
影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的
影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度。
解： ∵ AB ∥A'B'
D
利用镜子的反射.
测量数据：身高DE、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离AC.
找相似：△ADE∽△ABC.
Bபைடு நூலகம்
找比例：AE：AC=DE：BC
D
E
A
C
用相似三角形测量高度
议一议
上述几种测量方法各有哪些优缺点？
构造相似三角形----找比例----把不易直 接测量的转化为易于直接测量的 你们愿意构造相似三角形解决一些难题吗？
用相似三角形测量高度
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一”。塔的４个斜面正对东南西 北四个方向，塔基呈正方形，每边长约２３０多米。据 考证，为建成大金字塔，共动用了１０万人花了２０年 时间.原高１４６．５９米，但由于经过几千年的风吹 雨打,顶端被风化吹蚀用相.似所三角以形测高量高度度 有所降低 。
世界上最高的树
——
用相似三角形测量高度
世界上最宽的河 ——亚马孙河
用相似三角形测量高度
世界最高的大楼
目前世界第一高楼为哈利法塔（原名迪拜塔）。位于阿拉伯联 合酋长国迪拜。总高度828米，162层。2004年9月21日开始动工， 2010年1月4日竣工启用。附：2012年11月26日，长沙远大科技集团 将在长沙建造一座202层，837米的世界最高楼，比现有的世界最高 建筑迪拜塔，还要高。
杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时；
3、分别测出她的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距
C
离，学生眼睛到地面的高度，即可求出旗杆的高度；
怎么办？
E
A 31 M
B F 用相似三角形测量高度
2
N
DH
C
过A作AN⊥CD交EF于M
∵人、标杆和旗杆是互相平行的
E
∵EF∥CN
∴ ∠1= ∠2
A
又∠3= ∠3
N
∵人、标杆、树都垂直于地面
C
∴∠ABF=∠EFD =∠CDF=90º
E
A M
∴ AB ∥EF ∥CD ∴∠EMA=∠CNA ∵ ∠EAM=∠CAN ∴△AEM∽△CAN
∴ EM AM
CN AN
N ∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m
∴ 21.6 3 CN 27
B
F
用相似D三角∴形测C量N高度=3.6m,CD=3.6+1.6=5.2m 即树高为5.2m
?
∴
５ＢＥ＝
１ ２
∴ＢＥ＝１０
答：Ａ．Ｂ两点间的距离是１０米 用相似三角形测量高度
课堂小结
在实际生活中，我们面对不能直接测量物体 长度、高度和宽度时。可以建立相似三角形模型， 把它们转化为数学为题，把不易测的边转化为测 它的对应边的问题，再利用对应边成比例来达到 求解的目的
用相似三角形测量高度
二、 能构造并应用一些简单的相似三角形模型
∴△AME∽△ANC
M
∴
AM EM
AN CN
ANEM CN
B
F
D
AM
∵人与标杆的距离AM、人与旗杆的距离AN、标杆与人眼到地面距离的差EM
都可测量出
∴能求出CN
∵四边形ABND为矩形
∴DN=AB
∴能求出旗杆CD的高度C用D相似=C三N角+形D测N量高度
利用标杆
测量：AB EF AM AN
构造相似： △AME∽△ANC.
A
找比例： AM：AN=EM：CN
E M
C N
B
F
D
用相似三角形测量高度
例 小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高
为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距
27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上，已知
小明身高1.6m,求树的高度。
解：过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M
用相似三角形测量高度
乘胜追击
如图，在距离AB 18米的地面上平放着一面镜 子E,人退后到距镜子2.1米的D处，在镜子里恰
看见树顶，若人眼距地面1.4米，求树高。 A
分析：设树高Ｘ米
∵△ＡＢＥ∽△ＣＤＥ C
∴
ＡC ＢD＝
BE ＤＥ
1.4米
∴
1Ｘ.4＝
18 2.1
D2.1米 E
Ｘ
18米 B
X=12 即 用相似三角形测量高度 树高为12米
A
B CE
F
用相似三角形测量高度
知识要点1
1、测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用 “在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。
由相似三角形性质得: 树高 竿高
树影长 竿影长
5.4
用相似三角形测量高度
1
0.9
方法2:利用标杆
操作方法：1、在观测者和旗杆之间的地面上直立一根高
度已知的标杆；2、观测者前后调整自己的位置，当旗
用相似三角形测量高度
•利用太阳光下的影长 •利用标杆 •利用镜子
用相似三角形测量高度
方法1:利用阳光下的影子 D
D
怎么办？
A
A
B CE
F
B C E 用相似三角形测量高度
F
A
B CE
A B CE
D DF
∵太阳的光线是平行的
∴ AB∥DE
又B、C、 E、F在一条直线 上
∴ ∠ABC= ∠DEF
∵人与旗杆是垂直于地面的 ∴∠ACB= ∠DFE ∴△ABC∽△DEF
AC DF
BC EF
DF ACEF BC
F
因为同学的身高AC和她的影长 BC及同一时刻旗杆的影长EF均
可测量得出，所以代入测量数据 用相似三角形测量高度 即可求出旗杆DF的高度
利用阳光下的影子.
测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.
找相似：△ABC∽△DEF.
D
找比例：DF:AC=EF:BC