自动控制原理第4章(1)

绘制根轨迹的一般法则（5） 绘制根轨迹的一般法则（
K Gk ( s ) = 2]单位反馈系统的开环传递函数为 单位反馈系统的开环传递函数为： [例4-2]单位反馈系统的开环传递函数为： s( s + 1)( s + 5)
试确定根轨迹条数， 试确定根轨迹条数，渐近线与实轴的交点和夹角和实轴上 根轨迹的分离点的位置。 根轨迹的分离点的位置。 根轨迹有3 解：根轨迹有3支。起点为开环极点 p1 = 0, p2 = 1, p3 = 5, 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。 无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。 渐近线与实轴的交点： 渐近线与实轴的交点： σ a
要求: 掌握根轨迹绘制的基本法则， 要求: 掌握根轨迹绘制的基本法则，并 熟练应用法则绘制180 根轨迹。 180° 熟练应用法则绘制180°根轨迹。
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绘制根轨迹的一般法则（1） 绘制根轨迹的一般法则（
法则1 起点（ 法则1：起点（ K* =0）——根轨迹起于开环极点 =0）——根轨迹起于开环极点
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绘制根轨迹的一般法则（11） 绘制根轨迹的一般法则（11）
K Gk ( s ) = s( s + 1)( s + 5) 5]开环传递函数为 开环传递函数为： [例4-5]开环传递函数为： 试求根轨迹与虚轴的交点处的 K 和ω值。 方法一：闭环系统的特征方程为： 方法一：闭环系统的特征方程为： 1 + Gk ( s ) = s( s + 1)( s + 5) + K = s 3 + 6s 2 + 5 s + K = 0 代入得： jω 3 6ω 2 + j 5ω + K = 0 将 s = jω 代入得：
i =1 i j =1 j
n
(k = 0, ±1, ±2L)
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第4 章
根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 用根轨迹法分析系统的暂态特性 本章小结
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4.2根轨迹绘制的基本法则 4.2根轨迹绘制的基本法则
∑ p ∑ z =
i
i
渐近线与实轴的交角： a = ± 渐近线与实轴的交角：
(2 k + 1)π = ± 60 o ,180 o nm
nm
=
1 5 = 2 30
5
×
180
o
2
××
60o
1
0
零极点分布和渐近线 红线）如图所示。 （红线）如图所示。
60o
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i i =1 i =1 n 闭环极点也就是开环零点， 闭环极点也就是开环零点，所以根轨迹必终于 n
(s ∏=∞+ p ) 根轨迹终于开环零点 终点（ 终点（ K =∞）—— ）——根轨迹终于开环零点 +z )+ 0 ∏(s∏(s = z ) 1
m
i =1 =0 闭环极点也就是开环极点 n
i i =1
d1,2
7 0.4725 = 2 ± = 3 3.5275
K = 1.12845 K = 13.13
5
×
2
××
1
0
注意： 注意：求出分离点后一定 要验证分离点是否在根轨 迹上。 迹上。
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绘制根轨迹的一般法则（7） 绘制根轨迹的一般法则（
法则6 法则6：根轨迹的起始角和终止角
p2
× p4 2
z1
×
1
根据对称性，可知 p3 点的
o
1
×p
×p
3
θ p = 26.6o 起始角为：
3
1
注意：相角要注意符号；逆 注意：相角要注意符号； 时针为正，顺时针为负； 时针为正，顺时针为负；
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绘制根轨迹的一般法则（10） 绘制根轨迹的一般法则（10）
当开环零、极点处于复平面上时， 当开环零、极点处于复平面上时，根轨迹离开开环复数极 n m 点处的切线与正实轴的夹角称为起始角 ); i = 0 , ± 1, ± 2 , ...... 点处的切线与正实轴的夹角称为起始角 θ pk；根轨迹进入开环复 z i = ( 2 k + 1)π + ( ∑ θ p j z i ∑ z j z i 数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角 数零点处的切线与正实轴的夹角称为终止角 zi 。 j=1 j=1
i j
m
zi
=0
开环有限零点，m个 开环有限零点，
∏(s + p )
pj
开环极点，n个 开环极点，
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模值条件与相角条件
课程回顾
模值条件
K =
m
∏s+ p ∏s+z
i =1 j =1 m
n
j
i
相角条件
∑∠(s + z ) ∑∠(s + p ) = (2k +1)π
p2
× p4 2
z1
×
1
o
1
×p
×p
3
③渐近线 (2 k + 1)π = ± 60 o ,180 o a = ± nm
σa
1
∑ ( p ) ∑ ( z ) = 2 3 + 2 = 1 =
i i
nm
30
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绘制根轨迹的一般法则（9） 绘制根轨迹的一般法则（
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自动控制理论
讲授人：范 娟
第4 章
根轨迹法
4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本法则 4.3 广义根轨迹 4.4 用根轨迹法分析系统的暂态特性 本章小结
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课程回顾
根轨迹方程
1+ K
i =1 n j =1
∏(s + z )
m 1 1 ∑d + p = ∑d + z j =1 i =1 j i n
(2k + 1)π θd = l
注意：如果开环系统无有限零点，则在分离点方程中应取 注意：如果开环系统无有限零点，
1 ∑d+ p =0 j =1 j 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
n
绘制根轨迹的一般法则（4） 绘制根轨迹的一般法则（
i
=0
* j =1 m
j
i
绘制根轨迹的一般法则（2） 绘制根轨迹的一般法则（
法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性—— 法则2：根轨迹的分支数、对称性和连续性——根轨 ——根轨 迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大 迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n 者相等，它们是连续的并且对称于实轴。 者相等，它们是连续的并且对称于实轴。 法则3 根轨迹的渐近线——当开环有限极点数n 法则3：根轨迹的渐近线——当开环有限极点数n ——当开环有限极点数 大于有限零点数m 大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与 实轴交角为 a 、交点为 σ a 的一组渐近线趋向无 穷远处， 穷远处，且有 π (2k + 1) ,(k = 0,1,Ln m 1) a = ±
④起始角
1 2
θ p = ( 2 k + 1)π + ( ∑ z
2
1
j=1
j
pi
∑θ
j=1 j≠2
2 4
4
p j pi
)
z p = 45o ; θ p p = 90o ; θ p p = 135o ; θ p p = 26.6o
2 3 2 1
∴θ p2 = (2k + 1)π + 45o 90o 135o 26.6o = 2kπ 26.6o θ p2 = 26.6o
法则7 法则7：根轨迹与虚轴的交点
根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特 根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。 征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益 K 和ω值可用如下 征方程至少有一对共轭虚根。 两种方法确定。 两种方法确定。 在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令特征方程的实、虚 然后分别令特征方程的实、 部为零即可求出增益和ω 部为零即可求出增益和ω值。 由劳斯稳定判据求解。 由劳斯稳定判据求解。
)+ K z ) ∏(s + p∏(=s +∏(s + z ) = 0 0
m
n
m
j =1
j
1+ K
∏ n-m条根轨迹终于无穷远处
j =1 j
= =0 1+ K K =∞ 开环零点，如果极点数n大于零点数m 开环零点，如果极点数n大于零点数m，则有 ∏(s + pjs)+ p ) (
j =1 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
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绘制根轨迹的一般法则（8） 绘制根轨迹的一般法则（
K (s + 2) 3]已知开环传递函数为 [例4-3]已知开环传递函数为 G k ( s ) = s ( s + 3 )( s 2 + 2 s + 2 ) 试绘制其概略根轨迹。 试绘制其概略根轨迹。
[解]：①零点： z1 = 2 零点： 极点： 极点： p = 0， p = 1 + j1, p = 1 j1, p = 3, 2 1 3 4 ②实轴上的根轨迹
绘制根轨迹的一般法则（12） 绘制根轨迹的一般法则（12）
方法二： 的值。 方法二：用劳斯稳定判据确定 ω , K 的值。 5 3 1 s 劳斯阵列为： 劳斯阵列为： 6 K s2 30 K 0 s1 6 0 s K 0 劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。 劳斯阵列中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。 劳斯阵列中可能全为零的行有二。 劳斯阵列中可能全为零的行有二。 1、令 30 K = 0 ，得临界增益为： K = 30 得临界增益为：
n m
σa =
∑( pj ) ∑(zi )
j =1 i =1
m
n
规定：相角逆时针为正，顺 规定： 逆时针为 时针为负。 时针为负。
n m 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
绘制根轨迹的一般法则（3） 绘制根轨迹的一般法则（
法则4 实轴上的根轨迹——实轴上的某一区域， 法则4：实轴上的根轨迹——实轴上的某一区域，若 ——实轴上的某一区域 其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域 其右边开环实数零、极点个数之和为奇数， 必是根轨迹。 必是根轨迹。 法则5 根轨迹的分离点和分离角—— 法则5：根轨迹的分离点和分离角——两条或两条以上 ——两条或两条以上 根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点， 根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨 迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解： 迹的分离点，分离点的坐标d是下列方程的解：
Gk ( s ) = K
∏ (s + z ) ∏ (s + pj )
j =1 i =1 n i
m
= K
N ( s) D( s )
N ' ( s ) D( s ) N ( s ) D ' ( s ) = 0
若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹，则这两相邻极点 若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹， 之间必有分离点； 之间必有分离点； 若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点）之间 若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷远零点） 有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 有根轨迹，则这相邻零点之间必有会合点。 若实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间， 若实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间，则它们之间 可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。 可能既无分离点也无会合点，也可能既有分离点也有会合点。 注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上， 注意：分离点和会合点也可能出现在复平面上，由于根轨迹对称 于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。 于实轴，所以，复平面上的分离点和会合点必对称于实轴。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
绘制根轨迹的一般法则（6） 绘制根轨迹的一般法则（
实轴上根轨迹区间是： 实轴上根轨迹区间是 (∞, 5]和[1, 0] 由图可知根轨迹在开环极点0和 之间存在分离点 之间存在分离点， 由图可知根轨迹在开环极点 和-1之间存在分离点， 1 1 1 由公式可得 + + =0 3d 2 + 12d + 5 = 0 d d +1 d +5
式中： 的矢量相角； 式中： z j zi 为除了 zi 以外的开环零点到 zi 的矢量相角；
θ p z 为各开环极点到 zi 的矢量相角。 的矢量相角。
j i
j≠i
θ p = ( 2 k + 1)π + ( ∑ z
i
m
j=1
j
pi
∑θ
j=1 j≠ i
n
p j pi
); k = 0 , ± 1, ± 2 , ......
6ω 2 + K = 0 ω = 0 , ± 5 ∴ 3 ω + 5ω = 0 K = 0 , 30
ω 当 K = 0 时， = 0 为根轨迹的起点（开环极点） 为根轨迹的起点（开环极点）
当 K = 30时， ω = ± 5，即根轨迹与虚轴的交点为 ± j 5。 华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论