达朗伯原理 山东建筑大学理论力学

FIR = -miai= -M ac
FIR
FIi
= -M(acn+act) = FIit+ FIin
21
2)惯性力系的主矩
M
I o
ri FiI
ri FinI FiI
ri FiI ri mi ai ri mi ri
miri2 Jz
M
I o
Jz
滑动,O处摩擦不计。
C
A
31
解:取系统为研究对象进行运 O
O
动分析。
物体E作平动,圆盘O作定 轴转动,杆AB作平面运动。
AB = O = 0 aE = aB = r o
aC = aB + aCB
aCB
l 2
AB
E (1)
aE
(2)
(3)
aB
B
aB ×
C
A
aCB AB
32
进行受力分析画受力图.
取杆AB为研究对象
o'
x'
an
a M a
y'
a
x
aM a an a
an l
a l
7
进行受力分析并画受力图. y
Fn 0
T ml mg sin
ma cos (1)
F 0
o
ml mg cos ma sin
o'
x'
T
an
ma
ma
a M a
y'
a
x
mg man
(2)
d dd dd d d (3) dt dt d d dt d d
静止开始运动的瞬时,OA杆的角加速度为1, AB杆 的角加速度为2。试画出整个系统的惯性力系。 并分别用1和2表示。
B
A
O
2
1
25
FCI
FOI
B
A
C1
C2
O
M
I C
2
M
I O
aC2
aC1 1
解:取系统为研究对象进行运动分析。
OA杆作定轴转动。AB杆作平面运动。
1 aC1 2 l 1
aC 2
l
1
1l 2
P2
x
14
13-2.质点系的达朗伯原理
z
FIi
(1)质点系的达朗伯原理
Mi
设有n个质点组成的非自
FNi
由质点系 ,取其中任一质量
ai Fi
为mi 的质点 .该质点上作用
ri
有主动力Fi ,约束反力FNi .
o
y
在某一瞬时质点具 x
有加速度 ai ,则该质点的惯性力为FIi= - mi ai . 根据质点的达朗伯原理对每一个质点写出平衡
(1)质点的达朗伯原理
设有质量为m的质点M 在主动力F和约束反力N的
FI M
F
作用下作某一曲线运动.
在图示瞬时,其加速度为a.
FN
由质点动力学方程得: F + FN = m a
亦即F + FN + (-ma) = 0
令FI = - ma
得:F + FN + FI = 0
FI = - ma 称为质点 M 的惯性力.
0.4m 0.4m
C
10
0.3m
解: 取货物为研究对象。
货物不滑动的条件:
0.4m 0.4m
Xi 0 F FI 0 (1)
a
F f mg FI ma
货物不翻倒的条件:
C
FI
0.3m
A
M A(Fi ) 0 0.3FI 0.4mg 0
(2)
联立(1)(2)两式得:
a 0.3g
由vt
2
FOI maC1
FCI maC2
M
I O
1 3
ml 21
M
I C
1 12
ml22
26
例题13-5.用长为l的两根
绳子AO和BO把长l 重 P
O
的匀质细直杆AB悬在点
O如图。且=60o当杆处
于水平静止时，突然剪断
绳子BO，求刚剪断瞬时
另一绳子AO 的拉力及杆 A
B
AB的角加速度。
27
解:取杆AB为研究对象进行 运动分析。
O
绳子BO剪断后杆AB作 平面运动。点A作以O为圆 心AO为半径的圆周运动。
AB = 0 vA = 0
aC = aA + aCA
(1)
aCA
l 2
(2)
α
A
B
C
aA
aCA
aA
28
进行受力分析画受力图。
P FIcA g aA
FIc
l 2
P g
(3)
M Ic
1 12
P l2 g
O
T
FIcA
A MIc
m1aCB
(r
l 2
)
m1 (
g
aB
)(r
l 2
)
0
(5) 33
联立(1)----(5)式得:
aE
m1 4m3 m1 2m2 4m3
g
ac
2m1
2m1
3m2 2m2
4m3
4m3
g
O
O YO
1 2
m2
r
2
XO
m1aCB
m2g aB m3aE
B
aB ×
C A
E
aE
m3g
1 12
m1l
2
AB
v0
at得 :
t
v0 vt a
15 0 0.3 9.8
5.1 s
11
例题13-3.图示的构架滑轮
机构中,重物 M1和 M2分别
A
重P1=2kN,P2 =1kN.略去各
杆及滑轮 B和 E 的质量.已
知AC=CB=l=0.5cm, = 45o. D
滑轮B和E的半径分别为 r1 和 r2且 r1 =2r2 = 0.2cm求重 物 M1的加速度a1和DC杆所 受的力.
方程,可得下列平衡方程组.
Fi + FNi+ FIi= 0
(i = 1,2,…,n)
15
由于质点系中每个质点都有这样的平衡力系则作用 于部分质点或整个质点系的力系必然是一组平衡力系, 而且在一般情况下将是一组分布于空间的平衡力系. 质点系的达朗伯原理:
在质点系运动的每一瞬时,作用于质点系上的所有主 动力,约束反力与假想地加在质点系上各质点的惯性力
车上有一质量为 m 长为l
的单摆,其转角在任一瞬时
为,当 = 0时, ' = 0.求在 任一瞬时杆O'M的拉力. o
o'
x'
M
y'
a
x
6
解: 取M为研究对象进行 y 运动分析.
把静系oxy固结在地面上, 动系oxy固结在小车上.
小车的平动为牵连运动.
o
质点 M的相对运动是以o
为圆心 l 为半径的圆弧运动.
8
把(3)式代入(2)式得:
mld mg cos ma sin d
mld mg cos masin d
0
积分并化简得:
1 1g sin a1 cos
(4)
2l
把(4)式代入(1)式得:
T m3g sin a2 3cos
9
习题13-2.图示一卡车运载 质量为1000kg的货物以速 度v=54km/h行驶，求使货 物既不倾倒又不滑动的刹 车时间。设刹车时货车作 匀减速运动，货物与车板 间的摩擦系数为0.3。
FiI
(b) o 与 c重合且 α 0 , ac = 0 .简化的最后结果为 一合力偶,称为惯性力偶.McI = - Jc .
(c) o 与 c重合且 α = 0 . RI = 0 , McI = 0 .说明刚体 的惯性力系自身互相平衡.
23
(3)平面运动刚体中惯性力系的简化
本节只讨论具有质量对称平面的刚体作平面运动
M vc
dP dt
质点系惯性力系的主矢等于质点系的动 量对时间的导数,并冠以负号.
17
2)惯性力系的主矩为:
MIo mo FIi ri mi ai
ri
mi
d vi dt
d dt
(ri mi vi )
d Lo dt
质点系惯性力系对o点的主矩等于质点系
对o点的动量矩对时间的导数,并冠以负号.
18
13-3.刚体中惯性力系的简化 (1)平动刚体中惯性力系的简化
选择刚体的任意点为惯性力系的简化中心.
1)惯性力系的主矢
FIR Fie mi ai M ac
2)惯性力系的主矩
MIo mo FIi ri mi ai
mi
aC
C
rc
ri
o
aC
mi ri ac M rc ac
l
sin2 (1 3sin2
)
g
1.385
g l
30
例题13-6. 在图示系统中,均
质杆AB长l质量为m1,均质圆 盘O的半径为r质量为m2 ，物 体E的质量为m3 .系统原处于 静止, 杆AB 处于水平位置.某 瞬时,A端的绳子突然断开,求
O B
该瞬时物体E和杆的质心C的 E
加速度.设绳与轮之间无相对
B C
E M1
M2
12
XB
解:取滑轮组为研究对象,
B
进行运动、受力分析.
A
C
YB
x1 + 2xE = c1
(1)
x2 - xE = c2
(2)
由(1)和(2)式得:
D
x1 2x2 0 (3)
mB F 0
FI1
P1 g
x1
E
FI 2
P2 g
x2 M1
M2
P1
FI1 P1 r1 FI 2 P2 r2 0 (4)
构成一平衡力系. Fi FNi FIi 0
mo Fi mo FNi mo FIi 0
或 RF RN RI 0
MFo M No MIo 0
16
(2)质点系达朗伯原理的动力学实质
1)惯性力系的主矢为
RI
FIi
mi ai
d dt
mi vi
d dt
达朗伯原理: F + FN + FI = 0 FI = - ma
相对动力学方程: mar Fi FeI FcI
FeI mae
FcI mac
1)惯性力的量纲和定义方式相同
2)达朗伯原理把动力学问题转化为静力学中的平
衡问题来处理;相对动力学引进惯性力后把牛顿第
二定律推广到非惯性系.
5
例题13-1.图示小车以匀加 速度a 沿水平直线运动. 小 y
P2
x
联立(3)和(4)式得: x1 a1 6.54 m / s2 13
取整体为研究对象
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YA XA
进行受力分析.
A
C
mA(F) 0
SDC D
SDC l sin FI1 P1 2l r1 FI 2 P2 2l r2 0
B
FI1
P1 g
x1
E
FI 2
P2 g
x2 M1
M2
P1
解得: SDC = 5.657 kN
MB(F) 0
1 12
m1l 2 AB
l 2
m1aCB
l 2
m1
g
aB
0
(4)
取整体为研究对象
O
O YO
1 2
m2
r
2
XO
m1aCB
m2g aB m3aE
B
aB ×
C A
E
1 12
m1l
2
AB
aCB AB
m1g
Mo(F) 0
aE
m1aB
m3g
m3 ( g
aE
)r
1 2
m2r 2o
1 12
m1l 2 AB
FIc
α
C
aCA
B
aAx
P
29
应用达朗贝尔原理得: X 0
T l P sin P sin (4) 2g
T
Mc(F) 0
T l sin P l2
2
g
FIcA
A
(5)
MIc
O
x
FIc
α
C
aCA
B
aAx
联立(1)----(5)式得:T
Psin sin2
0.266
P
P
R
a
3
质点的达朗伯原理:
F + FN + FI= 0 质点在运动的每一瞬时,作用在质点上的主动 力,约束反力与质点的惯性力构成一平衡力系. 达朗伯原理的实质仍然反映力与运动变化的 关系,属于动力学问题.这种把动力学问题转化 为静力学中平衡问题的方法称为动静法.
4
(2)达朗伯原理与相对动力学中的惯性力的比较
Mi1
o c Fi1I Mi FiI Mi2 Fi2I
20
具有质量对称平面的刚体绕垂直于该平面的 固定轴转动的情况,可以简化为具有质量的平面 图形绕平面上固定点的转动,而刚体上的惯性力 可以简化为平面任意力系.
1)惯性力系的主矢
ai
取z 轴与对称平面上交点o o
Mi
为简化中心,则主矢
acn
ac
c
ac
的情形.
设刚体有一质量对称平面,且该平面在其自身平面
内运动,惯性力系可简化为在对称平面内的平面力系.
取质心c为简化中心.
1)惯性力系的主矢
RI = -M ac 2)惯性力系的主矩
ai
Mi
ac
cM
I c
FiI
McI = - Jc α
RI
24
例题13-4. 位于铅垂平面内长度都等于l,质量都等 于m的均质直杆OA和AB,在A处用销钉连接,在O处 用铰链支座固定如图所示。设两杆从水平位置由
若选质心C为简化中心 M Ic 0
19
(2)定轴转动刚体中惯性力系的简化
具有质量对称平面的刚体绕垂
直于该平面的固定轴转动.
z
由运动学知处在平行于转轴的
直线上的所有点的加速度均相等.
因此对称质点 Mi1和 Mi2的惯性力 Fi1I = -mi1ai1和Fi2I = -mi2ai2也相等.
可将它们合成FiI =Fi1I +Fi2I后作用 于对称面内的Mi点.
惯性力系的主矢FIR和
RI
ai
o MI
Mi
acn
ac
FinI
c
ac FiI FiI
主矩MIo可进一步合成为一个合力
22
3)讨论
(a) o与c不重合且 α = 0 , 故MoI = 0.惯性力系向o点 简化的最后结果为一合力 RI = - M acn = - M rc 2.
ai
o MI
Mi
ac
c
RI
aCB AB
m1g
m1aB
34
再见
35
达朗伯原理
教案 2005.5.17
1
内容提要
13-1.质点的达朗伯原理
13-2.质点系的达朗伯原理 (1)质点系的达朗伯原理 (2)质点系达朗伯原理的动力学实质
13-3.刚体中惯性力系的简化 (1)平动刚体中惯性力系的简化 (2)定轴转动刚体中惯性力系的简化 (3)平面运动刚体中惯性力系的简化
2
13-1.质点的达朗伯原理