概率论与数理统计---第三章多维随机变量及其分布}第三节：条件分布

0|Y
1}
P{X 0,Y 1} P{Y 1}
p01 p.1
0 6/8
0,
P{X
1|Y
1}
P{X 1,Y 1} P{Y 1}
p11 p.1
3/8 6/8
1, 2
P{X
2|Y
1}
P{X 2,Y 1} P{Y 1}
p21 p.1
3/8 6/8
1, 2
P{X
3|Y
1}
试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布. 解: 依题意, {Y=n} 表示在第n次射击时击中目标,
且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表示首次击中目标时射击了m次 .
1 2 ……m…………. n-1 n
n次射击 击中
击中
1 2 ……m…………. n-1 n 概率论
n次射击 击中
击中
每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}=？
f (x, y) fY ( y)
ex y ,
y
故对y >0,
P{X>1|Y=y}
ex y dx
1y
x0
ex y e1 y 1
条件分布是一种概率分布, 它具有概率分布的一切性质.
例如：P X xi Y y j 0 i=1,2, … P X xi Y y j 1 i 1
例1: 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设 X为三次抛掷中正面出现的次数, 而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,
概率论
P{X
体重X
身高Y
的分布
身高Y 的分布
体重X
现在若限制 1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X的条件分布,
这就要从该校学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来,
然后在挑出的学生中求其体重的分布. 容易想象, 这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.
一、离散型随机变量的条件分布
概率论
定义: 设 (X, Y) 是二维离散型随机变量,
对于固定的 j, 若 P{Y = yj }>0, 则称:
P
X xi | Y y j
P
X xi ,Y y j P Y yj
pi j , i=1,2, … p• j
为在 Y = yj 条件下随机变量 X 的条件分布律.
类似定义在 X=xi 条件下 随机变量Y 的条件分布律.
p2 (1 p)m12 1 (1 p)
p2 (1 p)n2 n m 1
p(1 p)m1 ( m=1,2, … )
n1
Y 的边缘分布律是：PY n PX m,Y n
m1
n1
p2 (1 p)n2 (n 1) p2 (1 p)n2 ( n = 2,3, … ) m 1
于是可得：
概率论
第三节 条件分布
离散型随机变量的条件分布 连续型随机变量的条件分布
概率论
事件的条件概率: P(A | B) P(AB) P(B)
推广到随机变量
设有两个随机变量 X, Y, 在给定Y 取某个或某些值的条件下, 求 X 的概率分布.
例如, 考虑某大学的全体学生, 从其中随机抽取一个学生, 概率论 分别以 X 和 Y 表示其体重和身高. 则 X 和 Y 都是随机变量, 它们都有一定的概率分布.
不论m(m<n)是多少, P{X=m,Y=n}都应等于:
PX m,Y n p2 1 p n2
由此得X和Y的联合分布律为:
PX m,Y n p2 1 p n2
( n=2,3, …; m=1,2, …, n-1)
概率论
X的边缘分布律是：PX m PX m,Y n
nm1
p2 (1 p)n2 n m 1
p(1 p) , nm1 n=m+1,m+2, …
二、连续型随机变量的条件分布
概率论
1. 定义: 设 X和 Y 的联合概率密度为 f (x, y),
(X, Y)关于 Y 的边缘概率密度为 fY(y), 若对于固定的 y, fY(y)>0,
则称 记为:
fffYXx|Y,y(yx 为| y在) Y=fyf(Y的x(,y条y))件下
对于固定的 i, 若 P{X = xi }>0, 则称:
P Y yj | X xi
P
X xi ,Y y j
PX xi
pi j , j=1,2, … pi•
为在 X = xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律.
概率论
作为条件的那个r.v.,认为取值是给定的， 在此条件下求另一r.v.的概率分布.
f (x, y) fX (x)
概率论
FY
X
y
x
y
f x, y fX x dy
PX
xY
y
FX Y
x
y
x
f x, y fY y dx
fX Y x
y
d dx
FX
Y
x
y
f x, y fY y
例3: 设(X,Y)的概率密度是:
概率论
f
( x,
y)
e
x
ye y y
,
0 ,
求: PX 1 Y y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0 x , 0 y 其它
解:
PX
1Y
y
1
f X|Y ( x |
y)dx
因此, 我们需先求出：f X|Y ( x | y)
fY ( y) f ( x, y)dx
概率论
y
ex ye y dx e y [ yex y ]
0
y
y
0
y
ey, 0 y
oy
x
于是对 y>0,
f X|Y ( x | y)
X
的条件概率密度.
称:
x
f X Y
x y dx
x f x, y fY y dx
为在 Y=y 的条件下, X 的条件分布函数.
记为: PX x Y y 或FX Y x y
即:
PX
xY
y
FX Y
x
y
x
f x, y fY y dx
类似地,可以定义:
fY|X ( y | x)
P{X 3,Y 1} P{Y 1}
p31 p.1
0 6/8
0.
在 Y=1的条件下，X 的条件分布律为:
Xk
0 1 23
P{X k|Y 1} 0 1/ 2 1/ 2 0
例2: 一射手进行射击, 击中目标的概率 p(0<p<1), 概率论 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数， 以 Y 表示总共进行的射击次数 .
概率论
当n=2,3, …时，PX m Y n
P{X m,Y n} P{Y n}
联合分布 边缘分布
(n
p2 (1 p)n2 1) p2 (1 p)n2
1, n1
m=1,2, …,n-1
当m=1,2, …时，PY n X m
P{X m,Y n} P{X m}
p2 (1 p)n2 p(1 p)m1