统计预测与决策 第五章 时间序列平滑法 PPT

这里需要注意一点： 线性二次移动平均法并不是用二 次移动平均值直接进行预测，而 是在二次移动平均的基础上建立 线性模型，然后用模型进行预测。
14
Ft m at bt m
其中：m为预测超前期数
使用移动平均法进行预测的局限性
1.计算移动平均必须具有N个过去观察值，必须存储大量数 据. 2.N个过去观察值中每一个权数都相等，早于（t-N+1）期的 观察值的权数等于0，而实际上往往是最新观察值含更多 信息，应具有更大权重。
α xt+(1-α )Ft α xt+(1-α )[α xt-1+(1-α )Ft-1 ] α xt+α (1-α )xt-1+(1-α )2 Ft-1 „ α xt +α (1-α )xt-1+ α (1-α )2 xt-2 + „ + α (1-α )n xt-n
可见：随着时间向前的推移，各期的的权重不是相同的， 而是按指数规律递减，这也是指数平滑法的由来。 19
时间序列平滑预测法
小组成员
张良瑮 邢媛 宗建佳 李奕龙
1
2
时间序列平滑预测是指用平均的方 法，把时间序列中的随机波动剔除 掉，使序列变得比较平滑，以反映 出其基本轨迹，并结合一定的模型 进行预测。
3
本章目录
• • • • • • 第一节：一次移动平均法 第二节：一次指数平滑法 第三节：线性二次移动平均法 第四节：线性二次指数平滑法 第五节：二次曲线指数平滑法 第六节：温特线性与季节性指数平滑法
来自百度文库
39
根据数据我们可以得到如下散点图
40
根据计算机求解，可得平滑常数的最佳值为0.6，此时它所 对应的均方差最小，逐年预测，m=1，计算结果如下表
年度 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 观察增加值 88.2422 90.3017 94.3456 106.7187 129.7831 162.2813 186.1138 200.606 226.7779 253.1581 281.5274 319.593 372.593 433.3305 520.17
4
第一节
一次移动平均法
5
一、基本原理及步骤
所谓“移动平均”是指每当得到一个最近时期的数据， 就立即把它当做有效数据，而把最老的那个时间的数 据剔除掉，重新计算出新的平均值用它来进行下一期 的预测。
6
二、公式
设时间序列为x1，x2，....一次移动平均法可以表示为：
1 t Ft 1 xt xt 1 ... xt N 1 / N xi N t N 1
α =0.3 et * 3.97 -2.55 0.53 Ft *
α =0.9 et * 3.97 -4.93 1.83
76.61 77.80 77.04
76.61 80.18 75.74
5
6 7
76.67
88.07 *
76.91
76.88 78.00
-0.24
11.19 *
77.20
77.04 80.35
94.35 106.72 129.78 162.28 186.11 200.61 226.78
年份
增加 值
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
253.16 281.53 319.59 372.59 433.33 520.17 632.39 720.48 816.23
二、关于α值的影响
某商场销售额如表.预测11月份的销售额:
万
300
α = 0.9 α = 0.5 α = 0.1
200
100
t
0 可见：α取值较大时，预测值能较快反应时间序列的实际变 化情况，当α较小时，预测值对时间序列反应比较慢，但较 为平滑。 20
三、α值的确定
一次指数平滑法比较简单，但也有问题。问题之一便是力 图找到最佳的α 值，以使均方差MSE最小，从而得到最精 准的预测值。
15
16
Part 1
Part 2
第二节
一次指数平滑法
17
一、基本原理及公式
公式其实就是由一次移动平均法演变而来的：
1 Ft+1= — (xt+xt-1+ „ + xt-n+1)
n
Ft =
1(x — t-1+xt-2 n
+ „+ xt-n )
n
1 1 → Ft+1= — xt + Ft - — xt-n
27
二、公式
平滑公式为： St(1) =α xt + (1－α ) St-1(1) St(2） =α St(1) + (1－α )St-1(2) 由两个结果可以计算线性平滑模型的两个参数：
at = 2×St(1) － St(2)
bt = [α /(1－α )][ St(1) － St(2)] 得到线性平滑模型： Fm+t = at +btm ｍ为预测的超前期数
n n
1 1 → Ft+1= — xt +(1- — )Ft
n
1 用α 代替 —，即α 在0和1之间，则公式变为 n
Ft+1=α xt+(1-α )Ft
可以看出，它是一种加权平均，权数为α ,它不再需要保留很 多历史数据，只需本期的观察值xt和上期对本期的预测值Ft。
18
把基本公式展开：
Ft+1= = = = =
bt
*
-0.19 -0.14 0.71 1.06
Ft+T(m=1)
*
* 175.85 173.96 184.25
1
2 3 4 5
180
164 171 206 193
6
7 8 9 10
207
218 229 225
183.94
190.75 198.40 203.72
179.94
182.10 185.36 189.03
=218.41+3.67m
求下一期销售量的预测值
t=10
m=10-9=1
F10=F9+1=a9 + b9×1 = 222.08（万件）
31
霍尔特双参数线性指数平滑法
一、基本原理
霍尔特指数平滑法是一种线性指数平滑方法。最突出的 优点是对具有趋势变动的时间数列，不用二次指数平滑， 而是对趋势直接进行平滑并对时间数列进行预测。这种 方法因具有很大的灵活性而被广泛地使用。
均方差MSE的公式推导： 1.et= xt - Ft
2.MSE=1/n-k+1 ∑(xt- Ft)2 3.MSE=1/n-k+1 ∑et2
21
一次指数平滑法应用实例—— 在消费预测中的应用
22
某组员月话费额：
月分
1 2 3 4
消费
76.61 80.58 75.25 77.57
α =0.1 Ft * 76.61 77.01 76.83 et * 3.97 -1.76 0.74 Ft *
23
(1)平滑常数α =0.1 MSE=1/5∑et2 =28.9256
(2)平滑常数α =0.3 MSE=1/5 ∑et2 =28.9863 (3)平滑常数α =0.9 MSE=1/5 ∑et2 =34.4553 显然α =0.1所对应的均方差最小，所以选定0.1为平滑常数
则
F7 =α
×x6
+(1-α )×F6
用y对相邻两次平滑值进行修正，并将修正值加上前期趋势
估计值乘以(1-γ )。 Ft+m= St +btm 最后进行预测，预测值为基础值加上趋势值乘以超前期数。
33
Part 1
第五节
二次曲线指数平滑法
Part 5
34
60 50
销售额
40 30 20 10 0 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
=0.1×88.07+0.9×76.87 =76.99 (元)
24
Part 1
Part 4
第四节 线性二次指数平滑法
25
26
布朗单一参数线性指数平滑法
一、基本原理
布朗单一参数线性指数平滑法，其基本原理与线性 二次移动平均法相似 ，当趋势存在时，一次和二次平滑 值都滞后于实际值，将一次和二次平滑值之差加在一次平 滑值上，则可对趋势进行修正。
9
一次移动平均法应用举例—— 股市中的移动平均线
10
11
Part 1
Part 3
第三节 线性二次移动平均法
12
一、基本原理
• 一次移动平均来预测一组具有趋势的数据时，预测值（估 计值）往往高于或低于实际值 线性增加的时间序列→偏低 线性减小的时间序列→偏高
• 为了避免这种滞后误差，发展了线性二次移动平均法。即 在对实际值进行一次移动平均的基础上，再进行一次移动 平均。
St(1)
88.2422 89.4779 92.39852 100.9906 118.2661 144.6752 169.5384 188.1789 211.3383 236.4302 263.4885 297.1512 342.4163 396.9648 470.8879
13
二、公式
xt xt 1 xt 2 ... xt N 1 St N
St St1 St 2 ... St N 1 St N
a t St St St 2St St
bt 2 St St N 1
28
布朗单一参数线性指数平滑法应用实例 —— 商场销售量预测
29
某商场商品销售量：（万件）
期数 销售量
α =0.2
st(1)
180.00
176.80 175.64 180.71 183.17
st(2)
180.00
177.56 177.18 177.88 178.94
at
*
176.04 174.10 183.54 187.40
187.94
199.40 211.44 218.41
1.00
2.16 3.26 3.67
188.46
188.94 201.56 214.70 222.08
已知t=9，α =0.2，则： a9=2×S9（1）–S9（2）=218.41 b9=α /(1-α )(S9（1）-S9（2）)=3.67
30
得到线性预测模型为： F9+m=a9 + b9×m
32
二、公式
霍尔特指数平滑方法有两个基本平滑公式和一个预测公式
St =α xt + (1–α )(St-1 + bt-1 ) bt =γ (St–St-1)+(1–γ ) bt-1 ←对数据进行平滑
给St-1加上趋势增量bt-1来修正St，消除了滞后性。 ←对趋势进行平滑 用来修正趋势值bt，趋势值用相邻两次平滑值之差表示。利
式中：xt 为最新观察值 Ft+1 为下一期预测值
7
二、优缺点
• 优点：计算简单 • 缺点：1.要保留的历史数据较多 2.只能用于平稳时间序列 3.N的大小不容易确定
8
三、注意项
1.一次移动平均法只能用于平稳时间序列，即经济变量在某一
值上下波动或缓慢升降是预测效果比较好，因为，时间序列 的的基本特性发生变化时，一次移动平均法不能很快的适应 这种变化。因此，移动平均法只能用于短期预测，因为在短 期情况下，时间序列通常具有平稳特征。 2.N的选择问题： 当数据的随机因素较小时→选用小的N→有利于跟踪数据的 变化，减少预测值的滞后期数，反应灵敏。 当数据的随机因素较大时→选用大的N→有利于较大限度的 平滑由随机性所带来的严重偏差。 即：N越小反应越灵敏，N越大平滑效果越好
-0.53
11.03 *
77.39
76.74 86.94
-0.72
11.33 *
Ft+1= α xt +(1- α ) Ft α =0.1→F3=0.1×80.58+(1-0.1)×76.61=76.61
α =0.3→F3=0.3×80.58+(1-0.3)×76.61=77.80
α =0.9→F3=0.9×80.58+(1-0.9)×76.61=80.18
二、计算公式及步骤
二次曲线指数平滑法的计算过程可分为以下七个步骤
36
37
二次曲线指数平滑法应用实例 ——厦门市第三产业增加值预测
38
例题：下表为厦门市第三产业增加值的数据，请根据以下数 据预测厦门市2010年第三产业增加值。
1992-2009年厦门市第三产业增加值数据
单位：亿元 （以当年价格计算） 年份 增加 值 1992 88.24 1993 90.30 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
年度 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不 一定 有的时间序列虽然有增加或减少的趋势，但不一定是线 是线性的，可能按二次曲线的形状增加而减 少。 性的，有可能按二次曲线的形式增加或减少，这时我们
就需要用二次曲线指数平滑法进行预测。
35
一、基本原理
当采用二次曲线指数平滑法时，不仅考虑了线性增长因素， 而且还用二次抛物线的增长因素同时“修匀”历史数据，从 而可使预测结果更为准确、有效。