高考数学立体几何二轮复习

高考数学立体几何二轮复习

发表时间：2018-06-22T15:29:56.893Z 来源：《教育学》2018年5月总第142期作者：杨国选[导读] 立体几何在高考解答题中占有一席之地，不论是四川省自主命题还是全国卷统一命题，对其考查力度不减。

——之答题策略

杨国选四川省南充高级中学637000 立体几何在高考解答题中占有一席之地，不论是四川省自主命题还是全国卷统一命题，对其考查力度不减。考查的题型与教材内容切合度高，引导师生回归教材，所以在复习备考的过程中应更加注重基本知识、基本方法，以及注意提高运算能力，争取在这一板块不丢分。下面以高考题为例，来研究高考评分标准，以便于在平时训练时注意答题规范和步骤完整性。

一、题型概述

立体几何大题一般处于解答题第三的位置，属于得分题。立体几何常见的类型有：

1.考查线线、线面、面面关系的证明，此类题目常以解答题的第一问出现。

2.计算空间的角和距离，此类题目常以解答题的第二问出现。常见几何载体为柱、锥、台或者它们的组合体。

二、答题方法概述

1.认真审题，快速提取题目中的关键信息：位置关系、基本模型、数量关系。

2.写全解题步骤，步步为“赢”。在书写解题过程时，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据步骤评分，有则得分，无则不得分。

3.恰当建立坐标系，准确确定相关点的坐标。解题过程中，要充分利用题设中的垂直关系（必要时给予证明），要尽量使相关点在轴上，建立空间直角坐标系，看清题目中给出的各线段长度，根据图形性质，准确求出相关点的坐标，这是后续步骤的基础，应确保万无一失。

4.注意运算的准确性。利用空间向量解决线、面间的垂直、平行关系，基本思路就是将其转化为向量问题，进行空间向量的运算，因此解题中，要求方向向量、法向量的运算要准确无误。

三、例题分析

例 (2016·新课标全国Ⅱ，理）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF= ，EF交BD于点H。将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′= 10。

（1）证明：D′H⊥平面ABCD。

（2）求二面角B-D′A-C的正弦值。

解答：规范解答——阅卷标准·体会规范 (1)由已知得AC⊥BD，AD=CD。又由AE=CF得＝，故AC∥EF。1分得分点①

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H。2分得分点②由AB=5，AC=6得DO=BO= AB2-AO2=4。

由EF∥AC得＝＝。

所以OH=1，D′H=DH=3。

于是D′H2+OH2=32+12=10=D′O2，故D′H⊥OH。 4分得分点③又D′H⊥EF，而OH∩EF=H，所以D′H⊥平面ABCD。5分得分点④（2）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，HD的方向为y轴正方向，HD′的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系H-xyz。则H（0，0，0），A(-3，-1，0)，B(0，-5，0)，C（3，-1，0），D′（0，0，3），AB=（3，-4，0），AC=（6，0，0），AD′=（3，1，3）。7分得分点⑤

设m=(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，则m·AB=0 3x1-4y1=0

m·AD′=0 3x1+y1+3z1=0

所以可取m=(4，3，-5)。8分得分点⑥

设n=(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，则n·AC=0 6x2=0，

n·AD′=0 3x2+y2+3z2=0

所以可取n=(0，-3，1)。9分得分点⑦

于是cos〈m，n〉＝＝=- 。11分得分点⑧ sin〈m，n〉= 。因此二面角B-D′A-C的正弦值是。12分得分点⑨规范解答——阅卷标准·体会规范

第（1）问踩分点说明。

①由线段成比例＝得线线平行AC∥EF得1分。

②由菱形对角线互相垂直得EF⊥D′H得1分。

③得分点有两处：一是求OH、D′H的长度得1分，二是证明∠D′HO=90°得1分。

④由线面垂直判定定理得，D′H⊥平面ABCD得1分。第（2）问踩分点说明。

⑤建系，求对点的坐标及有关向量得2分。

⑥求对平面ABD′的法向量得1分。

⑦求对平面ACD′的法向量得1分。

⑧利用二面角公式求二面角余弦值得2分。

⑨利用同角间三角函数关系式求对正弦值得1分。

四、自我训练

练习1：（2017年全国三卷）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD。

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC。

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值。练习2：（2016年全国卷3）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点。

（I）证明MN∥平面PAB。

（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。