高中数学第7讲-点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用共8页文档
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=Θ.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2．抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）A. 21=x （y ＞21）B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3．（03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________.解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x .∴所求的中点坐标是)2,3(.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x 上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又Θ点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x Θ直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0. ∴m ＜2-，或m ＞0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5．已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围.解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=.由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 例7．已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.例8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k .由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k . Θ直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222φk k k解之得：k ＞1-且0≠k . ∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .例10．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.例11．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 例12．已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P .根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.例13．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p m ==. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y .代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x . Θ直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.例14．(08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40k x =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x . 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x . ∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB .∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅.。
第7节 用点差法解中点弦问题
又 A 、 B 两点在椭圆上，则 x12 4 y12 16 ， x22 4 y22 16
两式相减得 (x12 x22 ) 4( y12 y22 ) 0
于是 (x1 x2 )( x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
y1 y2 x1 x2 4 1 x1 x2 4( y1 y2 ) 4 2 2
所求椭圆的方程是 y2 x2 1 75 25
例 3：已知椭圆
．
（1）求过点
且被点 P 平分的弦所在直线的方程；
（2）解求：（1斜）设率过为点 2 的平且行被点弦P的平分中的点 弦与轨椭圆迹交方与 A程（；x1，y1），B（x2，y2）点，则
=，
= ∵A，B 在椭圆上，∴
（3）过点 A（2①，1）引直线与②②椭﹣①圆得交， 于 B+、（yC2﹣两y1）点=0，，求截得的弦 B=﹣C 中点的轨迹方程．
y0 x0
a2 b2
.
典例分析：
例 1：过椭圆 x2 y2 1内一点 M (2,1) 引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 16 4
解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 )
M (2,1) 为 AB 的中点 x1 x2 4
y1 y2 2
b2 a2
.
又 kMN
y2 x2
y1 , y1 y2 x1 x1 x2
2y 2x
y x . kMN
y x
b a
2 2
.
同理可证，在椭圆 x 2 b2
y2 a2
1（ a ＞ b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于 M、N 两点，点 P(x0 , y0 )
是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线l 的斜率为 k MN ，则 kMN
解-点差法公式在抛物线中点弦问题中地妙用
“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121ΛΛΛΛmx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=Θ.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.例1．抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）A. 12-=x yB. )1(22-=x y C. 212-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =⋅得：21=⋅-y x y， 整理得：)1(22-=x y .∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.例2．抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ）A. 21=x （y ＞21）B. 21=y （x ＞21） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y 解：由22x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .由m x k MN=⋅1得：4121=⋅x ，21=∴x . 在22x y =中，当21=x 时，21=y . ∴点M 的轨迹方程为21=x （y ＞21）.故答案选A.例3．（03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________.解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =⋅0得：20=y ，.120-=∴x 从而30=x . ∴所求的中点坐标是)2,3(.例4．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在522=+y x上，求抛物线的方程.解：设抛物线的方程为)0(22≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P的坐标为),(00y x .由m y k MN =⋅0得：m y =0，.1100+=+=∴m y x又Θ点),1(m m P +在圆522=+y x 上，.5)1(22=++∴m m解之得：,2-=m 或.1=m 由⎩⎨⎧=-=.2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m xΘ直线与抛物线有两个不同的交点，4)1(42-+=∆∴m ＞0. ∴m ＜2-，或m ＞0..1=∴m故所求的抛物线方程为.22x y =例5．已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围.解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴41-=AB k . 又x y 122=，mx y 22=，∴6=m .由m y k AB =⋅0，得：6410=⋅-y ，∴240-=y . 又由m x y +=004，得：4240+-=m x .点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)24(-＜)424(12+-⨯m . 解之得：m ＜216-.故实数m 的取值范围)216,(--∞.例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由p x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102,12),18,3(),2,1(210210=+=-=+=-y y y x x x B A 由p x k AB=⋅01得：41=k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(41++=x y ，即.0414=+-y x 例7．已知直线02=--y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1.由m y k MN =⋅0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.例8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =⋅0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k . 由⎩⎨⎧=-=.8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k .Θ直线与抛物线交于不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=∆≠.016)2(16,0222φk k k解之得：k ＞1-且0≠k .∴2=k .由⎩⎨⎧=-=.8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x .设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .∴[]152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ .例9．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .例10．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）.在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，43=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,43(--. 由m y k AB =⋅0得：m =-⨯-)2(4，∴8=m .∴所求的抛物线的方程为x y 162=.例11．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x . 例12．已知抛物线22x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围.解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴41=m . 由m x k AB=⋅01，得：4110=⋅-x ，∴410-=x . 又由m x y +=00，得：m y +-=410. 点),(00y x P 在抛物线的开口内，∴2)41(-＜)41(21m +-⨯.解之得：m ＞83.故实数m 的取值范围),83(+∞.例13．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围. 解：（Ⅰ）y x 212=Θ，∴)81,0(,41F p m ==. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，kk AB 1-=. 由m x k AB=⋅01得：410=-kx ，∴kx 410-=. 若直线l 经过焦点F ，则得：0004181y y kx +=+-=，410-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F.（Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，810-=x ，直线l 的方程为4120++=y x y ， ∴它在y 轴上的截距410+=y b ，410-=b y . 直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=，即16521-+-=b x y . 代入22x y =并整理得：085242=+-+b x x .Θ直线AB 与抛物线有两个不同交点，∴)852(161+--=∆b ＞0，即932-b ＞0.∴b ＞329.故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.例14．(08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N. （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）41,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x . 当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行. 当0≠k 时，由p x k AB=⋅01得：40kx =. ∴8222k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-，即8)4(2k k x m y +-=. 代入22x y =，得：8)4(222k k x m x +-=，整理得：084222=-+-k km mx x . 0)(2)84(822222=-=+-=--=∆k m k km m k km m ，∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB 的斜率.故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.（Ⅱ）解：若0=⋅NB NA ，则NB NA ⊥，即︒=∠90ANB .∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.482200+=+=k kx y ，∴816848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由⎩⎨⎧=+=.2,22x y kx y 得0222=--kx x .设),(),,(2211y x B y x A ，则1,22121-==+x x kx x .∴)16)(1(21)44)(1(]4))[(1(||2222212212++=++=-++=k k k k x x x x k AB .∴8162)16)(1(21222+⨯=++k k k . 即4)16()16)(1(2222+=++k k k . 化简，得：416122+=+k k ，即42=k .∴2±=k .故存在实数2±=k ，使0=⋅NB NA .。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕中，假设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-by y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x 〔a ＞0，b ＞0〕中，假设直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，假设直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么m y k M N=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 m x y m x y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：〔1〕直线与抛物线有两个不同的交点；〔2〕直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝82k 2－k4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P 〔x ，y 〕，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．那么+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．〔﹣＜x ＜〕∴点P 的轨迹方程为：x+y=0〔﹣＜x ＜〕；3、〔2013秋•启东市校级月考〕中心在原点，焦点坐标为〔0，±5〕的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，那么椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1〔a ＞b ＞0〕，那么a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，弦AB 中点〔x 0，y 0〕 ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1〔09年〕椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：〔Ⅰ〕根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . 〔Ⅱ〕椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法那么知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ① 假设直线l 的斜率不存在，那么x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与x y DE FO 题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、〔2009秋•工农区校级期末〕椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，那么点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，那么，两式相减，得=0，〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕=﹣3〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕，=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷〔y 1+y 2〕，∴=﹣．所以中点M 坐标为〔，﹣〕．故答案为：〔，﹣〕．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
第7讲 点差法(解析版)
第7讲 点差法1. 点差法适用范围 （1）中点弦（2）圆锥曲线有三点P 、A 、B 且A 、B 关于原点对称 2.点差法在中点弦中推导过程1122002211222222222222121222222122221221212212120AB0x x x y 1a b x y 1a b x x y y (2)0a b y y b x x a(y y )(y y )b (x x )(x x )a 2y k k 2x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩---=-⇔=---+⇔=--+⇔=设直线与圆锥曲线交于A 、B 两点，且A （x ,y )、B （,y )AB 的中点为M （,y )以焦点在x 轴的椭圆为例分析推导过程（1）代点：作差：222200AB AB AB 0M 2200y y 0b c a k k k e 1x x 0a a--===-=-=--3点差法在对称中的推导过程1122000M PBpA OB pA PB222pA OB pA PB222222pA OB pA PB222x x O M AB PA k k k k k k b e 1x a k k k k a1-y b e 1b e 1x a k k k k a 1y b e 1∴==⎧-=-⇔⎪⎪∴==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩设A （x ,y )、B （,y )PA 的中点为M （,y )、分别是、的中点根据中点弦的推导可得焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴4.点差法在圆锥曲线中的结论2220ABAB 0M 222222ABAB 0M 222AB 0AB 0AB 0AB b e 1x a y k k k x a1-y b e 1b e 1x a y k k k x a1y be 1pk y pk y x k px k p⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下总结：小题可以直接利用结论解题，解答题需要写推导过程技巧1 点差法在椭圆在的应用【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线1y kx =+与椭圆2214xy +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-（4）．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>与直线40x y -+=交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点所在的直线的斜率为13-，则椭圆的离心率为（ ） A．3BCD【答案】（1）C （2）D （3）B （4）B【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814k x x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1，所以24114k k -=+，解得12k =-.故选:C （2）设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D.（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B （4）设()11,A x y ，()22,B x y ，中点坐标()00,M x y ，代入椭圆方程中，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式子相减得到22221212220x x y y a b --+=，()()()()222121212222121212y y y y y y b a x x x x x x -+-=-=---+， 结合12121y y x x -=-，1202x x x +=，1202y y y +=，且0013y x =-，代入上面式子得到2213b a =，e === B.【举一反三】1．（2020·广东珠海市·高三一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F，离心率2，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【解析】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=， 所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-. 故选：C2．（2020·安徽安庆市·高三其他模拟）已知椭圆22:1(0)2x y E m m m+=>的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则椭圆E 的方程为（ ）A ．221189x y +=B ．2212718x y +=C ．2213627x y +=D ．2214536x y +=【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(),0F c所以221122221212x y mm x y mm⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222221202x x y y m m --+=， ∴1212121202x x y y y y m x x m+-++⋅=-， 即1212121212y y y y x x x x +-⋅=-+-，又∵122x x +=，122y y +=-， 所以121210111AB y y k x x c c ---===---，即1112c =-， 解得3c =，又22c m m =-， ∴9m =．即椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：A ．3．（2020·全国高三专题练习）椭圆()2210,0ax by a b +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为2，则b a 的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题知：()22212101ax by a b x bx b y x⎧+=⇒+-+-=⎨=-⎩，122b x x a b +=+. 设线段AB 中点为C ，则C bx a b=+. 将C b x a b =+代入1y x =-得到C a y a b=+.因为2OC aa ab k b b a b+===+，故b a =.故选：B4．（2019·北大附中深圳南山分校高三）已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于AB 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ） A ．1 BCD．2【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π ∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =——① 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =B ．5．（2020·湖南长沙市·浏阳一中高三）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】B【解析】令AB 的中点为M ，坐标为(1,1)-，则()011312AB MF k k --===-，1OM k =-因为A 、B 两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x 轴，所以2112AB OM k k e ⋅=-=-则2e =故选：B 技巧2 点差法在双曲线在的应用【例2】（1）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E ：24x －22y ＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为（ ） A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0（2）（2020·沙坪坝区·重庆一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的离心率为2，过点()2,1P 的直线m 与双曲线E 交于A ，B 两点.若P 是AB 的中点，则直线m 的斜率为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8（3）．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( ) A ．43B ．2 CD（4）（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=【答案】（1）C （2）C （3）D （4）B【解析】（1）依题意，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有22112222142142x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得22124x x -＝222y y -，即1212y y x x --＝12×1212x x y y ++.又线段AB 的中点坐标是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝（－1）×2＝－2， 所以1212y y x x --＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝11()42x --，即2x ＋8y ＋7＝0.故选：C ． （2）由题,双曲线E 中2ca =,又焦点(),0c 到渐近线0ax by ±=的距离d b ===且222c a b =+,解得2221,3,4a b c ===.故双曲线22:13y E x -=.设()()1122,,,A x y B x y 则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得 ()221222121212121233x x y y y yx x x x y y +---=⇒=-+ .又AB 中点()2,1,故()121212123322621x x y y k x x y y +-⨯⨯====-+⨯.故选：C（3）设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a =∴c e a ===:D. （4）∵k AB =015312++=1,∴直线AB 的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c 2=9. 设双曲线的标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则22x a -()223x b -=1.整理,得(b 2-a 2)x 2+6a 2x-9a 2-a 2b 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2226a a b -=2×(-12),∴a 2=-4a 2+4b 2,∴5a 2=4b 2. 又a 2+b 2=9,∴a 2=4,b 2=5.∴双曲线E 的方程为24x -25y =1.故选B.【举一反三】1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ） A ．20x y --= B ．2100x y +-= C ．20x y -= D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选C 2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C 交于两点A ，B ，若线段AB 的中点为(4，1)，则双曲线C 的渐近线方程是 A ．2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C±y ＝0D ．x＝0【答案】B【解析】设直线方程为y x m =+，联立22221x y a b y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()20b a x a mx a m a b ----=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点为(4,1)，所以212122228,822a mx x y y m b a+==+=+=-，解得3m =-， 所以22268a b a-=-，所以2a b =，所以双曲线C 的渐近线方程为12y x =±，即20x y ±=，故选B. 3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】B【解析】设()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线方程作差有:()()()()1112121222x x x x y y y y a b -+-+=，有2121221212()()2()()y y y y b a x x x x -+==-+，所以223c a=，e =B ．4．（2020·全国高三专题练习）过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10. 所以|AB |＝故选:D.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①222212x y -=. ② ①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1.则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |＝故选：D5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（ ） A ．2 BC ．3D【答案】A【解析】设()()1122,,,B x y D x y22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-= 整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-= 可得2ce a==． 故选：A.技巧3 点差法在抛物线在的应用【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-=D ．230x y ++=（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点.若线段AB中点的纵坐标为p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】（1）A （2）C【解析】（1）设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.故选：A.（2）设直线方程为y x m =+，联立22y px y x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得206y y m p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=，因为线段AB中点的纵坐标为12y y +=2p =.故选：C. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ） A．3B．3 C．3D．3【答案】B【解析】设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-， 所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以AB ===故选：B.1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ．B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212728x y +=D ．221189x y +=【答案】D【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=， ① 2222221x y a b+=， ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选：D ．2．（2020·全国高三专题练习）椭圆2249144x y +=内有一点(3,2)P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A ．23-B ．32-C ．49-D ．94-【答案】A【解析】设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ． 则221149144x y +=，222249144x y +=，两式相减得121212124()()9()()0x x x x y y y y +-++-=， 又126x x +=，124y y +=，1212y y k x x -=-，代入解得462943k =-⨯=-．故选：A ．3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为()110k k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC (O 为坐标原点)的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ）A ．14-B ．4-C ．12-D ．2-【答案】B【解析】设A ()()1122,,,x y B x y ，()00,C x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，11002212,y y y k k x x x -==- A ()()1122,,,x y B x y ，代入椭圆方程2214y x +=得：222212121144y y x x +=+=，，两式相减可得：()()()()1212121204y y y y x x x x +--++=，化简可得：()()010*******y y y x x x -+=-，即：()()202011104y y y x x x -+=-，12104k k ⋅∴+= 124k k ∴⋅=-故选：B4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=， 两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-， 所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-， 故选：C ．5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为（）A．222217525x y+=B．2217525x y+=C．2212575x y+=D．222212575x y+=【答案】C【解析】由已知得c＝2222150x ya a+=-，联立得222215032x ya ay x⎧+=⎪-⎨⎪=-⎩，消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数关系得x1＋x2＝()221250 10450aa--，由题意知x1＋x2＝1，即()221250 10450aa--＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为221 2575x y+=.故选：C6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中，则mn的值是（）A．2B．3C．2D【答案】A【解析】由2211mx nyy x⎧+=⎨=-⎩得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2nm n+，所以y1＋y2＝2mm n+，所以线段MN 的中点为P (,)n mm n m n++，. 由题意知，k OP＝2，所以2m n =． 故选：A.7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，所以2222121222x x y y a b--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======故选：B.8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．32D【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a ==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则e = D 9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x ya b-=(0a >，0b >)交于A ，B 两点，点()1,4P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．43B ．2 CD【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，因为()1,4P 是弦AB 的中点，根据中点坐标公式得121228x x y y +=⎧⎨+=⎩.直线l :30x y -+=的斜率为1，故12121y y x x -=-. 因为,A B 两点在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减并化简得()()()()21212212128142y y y y b a x x x x +-==⨯=+-， 所以2b a =，所以e ==故选：D 10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A ，B 为双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）上的两个不同点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若k AB •k OM 12=，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +＝2M x ，12y y +＝2M y ，由22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=．∴ 2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 即2212AB OMb k k a ⋅==，则双曲线的离心率为e ==D ． 11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点，所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10 |AB|=12x x -|==故选D ．12．（2020·全国高三专题练习）已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．12【答案】B【解析】由于R (2，1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).根据抛物线的定义|FA |+|FB |=x A +x B +p =2×2+p =5，解得p =1，抛物线方程为y 2=2x .2222A AB By x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得22121B A B A A B y y x x y y -===-+⨯，即直线l 的斜率为1. 故选：B13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若线段AB 中点横坐标为2，则直线的斜率k =（ ）. A ．2 B ．1- C ．2- D ．1-或2【答案】A【解析】联立直线:2AB y kx =-与抛物线28y x =， 消y 整理可得()224840k x k x -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意()()()22122484401482222k k x x k k ⎧⎡⎤∆=-+-⨯>⎣⎦⎪⎨++==⎪⎩， 解()1可得1k >-，解()2可得2k =或1k =-， 综上可知，2k =. 故选：A14．（2020·全国高三月考（理））已知圆22:3O x y +=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于,A B 两点，且||AB =C 上存在关于直线:20l x y --=对称的相异两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．(2,0)C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,1)【答案】A【解析】因为,A B 关于x 轴对称，所以,A B纵坐标为 横坐标为1，代入22(0)y px p =>， 可得22y x =.设点()11,P x y ，()22,Q x y .则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又,P Q 关于直线l 对称.1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=. ∴线段PQ 的中点坐标为(1,1)-.故选:A.15．（2020·全国高三月考）已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1【答案】A【解析】因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=．∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A.16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点，并交抛物线C 于A 、B 两点，|16|AB =，则弦AB 中点M 的横坐标是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点, 交抛物线C 于A 、B 两点 则其焦点坐标为()2,0F ,准线方程为2x =-过A 向准线作垂直交准线于P 点,过B 向准线作垂直交准线于Q 点,过M 向准线作垂直交准线于N ,交y 轴于H ,如下图所示:设()()1122,,,A x y B x y由抛物线定义可知,,AF AP BF BQ ==由16AB =,可知16AB AF BF AP BQ =+=+= 因为M 为AB 的中点, 由梯形的中位线性质可知()1116822MN AP BQ =+=⨯= 则826MH MN NH =-=-=即M 的横坐标是6 故选:C17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为24x y =，动点P 的坐标为()1,t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,由题得2111212122224,()()4()4x y x x x x y y x y ⎧=∴+-=-⎨=⎩， 所以212112y y k x x -==-，故选：A18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程 . 【答案】240x y +-=【解析】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y)1(2,M 为AB 的中点124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y -+-=于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=∴12121212414()422y y x x x x y y -+=-=-=--+⨯，即12AB k =-，故所求直线的方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=．故答案为：240x y +-=19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程 . 【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b-=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--， ∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.20．（2020·全国高三专题练习）直线m 与椭圆22x ＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为________.【答案】12-【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，中点()00,P x y ，则满足221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=，整理得12121212102y y y y x x x x -++⋅=-+，即012120102y y y x x x -+⋅=-，即12102k k +⋅=， 1212k k ∴=-.故答案为：12-.21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a =====2212ca=.. 22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>△ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设△ABC 三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k 、2k 、3k 且均不为0，O 为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为2，则123111k k k ++=___________． 【答案】8-【解析】由椭圆r ：()222210x y a b a b +=>>设2a m = ，则b m =∴ 椭圆的标准方程为：222214x y m m+=设112233112233(,),(,),(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ， 故323213131212112233,,,,,222222x x y y x x y y x x y y s t s t s t ++++++====== ， 由,A B 在椭圆上，则2221144x y m += ，2222244x y m += 两式相减化简得：1212121214y y x x x x y y -+=-⋅-+ ，所以1212111212111,44y y x x sk x x y y t -+==-⋅=-⋅-+即：11114t k s =-⋅ 同理得：322233114,4t t k s k s =-⋅=-⋅，所以又因为312123,,,OD OE OM t t tk k k s s s === 3121231231114()8t t t k k k s s s ++=-⨯++=- 故答案为：8-23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线:1l y x =-与抛物线()220y px p =>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标为2,则p 的值为___________． 【答案】1【解析】联立直线:1l y x =-与抛物线22y px =，得2220y py p --=， 则122y y p +=，又12122422y y x x +=+-=-=，故22p =，1p =. 故答案为：1.24．（2020·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的方程为______.【答案】22331164x y +=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x +=，121y y +=，2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，由①－②得22221212220x x y y a b--+=，即2221222212y y b x x a -=-- 所以()()2212122212122b x x y y b x x a y y a+-=-=--+， 又12121012122ABy y kx x --===---， 所以22212b a =，即224a b =，又2224c a b =-=，解得243b =，2163a =，所以椭圆方程为22331164x y +=．25．（2020·江苏）椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点b a 的值为________．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则222211221,1ax by ax by +=+=，即()2222221212122212,1by by ax ax by by ax ax --=--=-- ()()()()121212121b y y y y a x x x x -+∴=--+12121AB y y k x x -==--，12121212220OMy y y y k x x x x ++=+-==-+(1)12b a ∴⨯-⨯=-3b a ∴=26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线C 的中心在原点，()2,0F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的方程是______.【答案】2213x y -=【解析】由F ，N 的坐标得1lk .设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则224a b +=.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-.由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=， 即22260lk a b -+=， ∴223a b .于是23a =，21b =，所以C 的方程为2213x y -=.故答案为：2213x y -=27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线l 与双曲线2221y x -=交于,A B 两点，当,A B 两点的对称中心坐标为()1,1时，直线l 的方程为________. 【答案】210x y --=【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则221122222121y x y x ⎧-=⎨-=⎩，相减得到()()()()1212121220y y y y x x x x +--+-=，即240k -=，2k =.故直线方程为：21y x =-，即210x y --=.故答案为：210x y --=.【点睛】本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上存在两点A ，B 关于直线8y x =-对称，且线段AB 的中点在直线2140x y --=上，则双曲线的离心率为_________.【答案】2【解析】点A ，B 关于直线8y x =-对称，线段AB 的中点在直线2140x y --=上所以82140y x x y =-⎧⎨--=⎩得()2,6C -， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212412x x y y +=⎧⎨+=-⎩ 将()()1122,,,A x y B x y 代入双曲线，则有22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得()()()()2212121212a x x x x y y y y b-+=-+. ∵210x x -≠，∴2212122121y y y y b x x x x a-+⋅=-+， ∴22124AB k ab -⨯=. ∵点A ，B 关于直线8y x =-对称∴1AB k =-，所以()2213b a-⨯-=，即223b a =.∴双曲线的离心率为2c e a ===. 故答案为：229．（2020·全国高三月考）过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】因为双曲线方程为222y x λ-= 则0λ≠设()11,A x y ,()22,B x y因为点P 恰为线段AB 的中点则12122,2x x y y +=+= 则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ 即直线l 的斜率为2所以直线l 的方程为21y x =- 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++= 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点所以()1642210λ∆=-⨯⨯+> 解得12λ<且0λ≠所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭故答案为: ()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线22(0)y px p =>，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线20x y --=对称的相异两点A ，B ，则线段AB 的中点坐标为_________.【答案】()1,1- 【解析】焦点到准线的距离为1，∴1p =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ，21122222y px y px ⎧=∴⎨=⎩①②，①-②得：()2212122y y p x x -=-，即()1212122y y y y p x x -⋅+=-，即022AB k y p ⋅=故01y p =-=-，又因为()00,M x y 在直线20x y --=上，所以01x =，从而线段AB 的中点坐标为()1,1-.故答案为：()1,1-.。
第7讲-点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点.焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x（2）配方，得：.141)21(16122=-+y x .4141≤≤-∴x 127)61(341)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=∴x x x y x∴当41=x 时，41||min =；当61-=x 时，.621||max =NP 例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量+与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x k直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-或k ＞22. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, . （2）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2OM OQ OP =+OQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知22=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 例3已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：F F F 2222=+. 由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ……………①若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F F F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22a b x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-= ………② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例4 已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. （1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x .原点O 到l 的距离：22222|00|==--=c cd ，∴1=c . 又33==a c e ，∴3=a . 从而2=b .∴3=a ， 2=b . （2）椭圆的方程为12322=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由+=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123422=+y x .…………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k AB -=⋅得：.321-=⋅-x y x y ∴)(3222x x y --=.………………………②由①和②解得：42,43±==y x . ∴当42,43==y x 时，21-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；当42,43-==y x 时，21=-=x yk AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .金指点睛1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）A. 23B. 32C.330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222=+by a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：由4222=+y x 得12422=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22a b x y k MN -=⋅得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(211--=-x y . 即32+-=y x . .21-=k由⎩⎨⎧+-==+324222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则65,22121==+y y y y . []330)3104(54)()11(||212212=-⨯=-++=y y y y kMN故答案选C.2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x yc x y -=⋅-， 整理，得：022222=-+cx b y a x b .∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .3．解：（1） 右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c . 由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，∴22=a . ∴4222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程为14822=+y x .（2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x y k -=⋅，整理得：022=+ky a x b .a 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.4. 解：（1） 点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x .5. 解：（1）在双曲线12422=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.在抛物线y x 622-=中，6=p ，∴准线为26=y . ∴在椭圆中，262=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13922=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'l l ⊥. ∴km 1-=. 由2200ba x y k AB -=⋅得：300-=⋅x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①由1100+⋅-=x ky 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：23,200=-=y k x .又 200+=kx y ，∴2223+⋅-=kk ，即12=k . ∴1±=k .在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点. ∴k 的值为1±.。
点差法巧解椭圆中的范围问题
（λｘ０ ）２ ＋２（λｙ０ ＋２ －２λ） ２ ＝２．
消去
ｘ０ ，得
λ ＝５
３ －４
ｙ０
．而
－１
≤
ｙ０
≤ １，则
１ ３
≤ λ≤ ３，
又且 Ｍ 在 ＤＮ 之间，则 λ＜１．
所以 λ的取值范围为 １ ≤ λ＜１． ３
本题就是点差法由中点弦问题推广到弦的一般分点问题，
运用点差法简化 了 解 题 过 程．在 处 理 解 析 几 何 中 的 范 围 问 题
２．根据待证不等式所含“ 元” 的个数 我们提出“元” 数分析法，这里的“ 元” 指独立变化的字母，
当一个字母能用另一个字母表示时，只能算一个元． 以上我们介绍了用“构造函数法” 证明不等式时构造辅助
函数的六种方法，指向性十分明确．如果面对的是另类的陌生 情境，题目本身没有给出所用方法的暗示，那么我们就需要根 据问题的特征机智巧妙地选择证法．总之，在面对一个个具体 问题时，我们不应肓目地套用已有模式，而应根据题目，灵活变 通，多管齐下，多法并用．
路，迅速建立参数与坐标之间的函数关系，从而迅速解决我们
学生普遍觉得困难、麻烦的范围问题，是点差法的一种巧用．
磼 １．从待证不等式形式变化的角度 前文已总结出 ６ 种方法，即直接法、换元法、和谐法、主元
法、转化法、联想法．其中直接法、主元法、联想法操作性最强， 换元法、和谐法次之，转化法对含有指数式或超越式的不等式， 提出了具体的操作方法．
的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差，求出直线的
斜率，然后利用中点求出直线方程．其特点是计算简便，尤其是
在椭圆中，运用起来方便、快捷，可以达到“ 设而不求” 的目的，
同时降低解题的运算量，优化解题过程．该方法的原型为：
运用点差法巧解椭圆的中点弦问题
5x 9 y 14 0
课堂小结
1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明 快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明 显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利 于培养学生的解题能力和解题兴趣。
2.弦中点问题的两种处理方法
（1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理；
2
2
小结：弦中点、弦斜率问题的两种处理方法
1.点差法:设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解 因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.
2.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决.
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
y
A
O
M B
x
点差法用途：可以解决与中点弦有关的一切问题.
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5 x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
解 : (2)5 12 9 12 45
A(1,1)在椭圆内。
设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) 12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2） 2 2 5x2 9 y2 45 5 y1 y2 5 x1 x2 kMN 9 x1 x2 9 y1 y2 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9
椭圆中点弦问题点差法(微教案)
1. 知识与技能：让学生掌握椭圆中点弦问题的解法——点差法，能运用点差法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过引导学生发现中点弦的性质，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆中点弦问题的解法——点差法。
2. 教学难点：如何灵活运用点差法解决实际问题。
三、教学方法1. 引导发现法：引导学生发现中点弦的性质，自主探究解法。
2. 案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
3. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队合作精神。
四、教学过程1. 导入新课：回顾椭圆的基本性质，引导学生关注椭圆的中点弦问题。
2. 自主探究：让学生尝试解决椭圆中点弦问题，发现解题规律。
3. 讲解点差法：根据学生的探究结果，讲解点差法的原理和步骤。
4. 案例分析：分析具体案例，让学生学会点差法的应用。
5. 巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 拓展提高：引导学生思考如何将点差法应用于其他几何问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
课后对本节课的教学进行反思，了解学生的掌握情况，针对性地调整教学方法和策略。
关注学生的个体差异，力求让每个学生都能在课堂上发挥潜能。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习反馈：分析学生的练习作业，评估学生对点差法的掌握程度及应用能力。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的合作精神和问题解决能力。
七、教学拓展1. 对比教学：对比椭圆与其他圆锥曲线的性质，探讨它们的中点弦问题解法。
2. 实际应用：引导学生关注椭圆中点弦问题在实际生活中的应用，如地球卫星轨道等。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解和展示椭圆中点弦问题的解法。
2. 练习题库：准备一定数量的练习题，供学生巩固所学知识。
用点差法巧解弦中点问题
用点差法巧解弦中点问题在解决直线被圆锥曲线所截得的弦中点有关问题时，通常有两种思路：一种是应用根与系数的关系.这种解法运算较繁,且不容易消去参数得到所求的方程.另一种就是我要重点介绍的“点差法”，点差法作为一种特殊的数学方法,在解决中点弦问题中能设而不求，用代点作差法,此法运算量小，能给人一种简洁明快，耳目一新的感觉. 例1.已知椭圆221164x y +=.⑴若它的一条弦AB 被M （1，1）平分，求AB 所在的直线方程； ⑵求过点M （1，1）的弦中点的轨迹方程.分析：用点差法设出交点，代入椭圆方程作差出现中点斜率. 解：⑴设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.② ①-②得222212120164x x y y --+=，()()()()121212120164x x x x y y y y -+-+∴+=，化简得()()()1212121212124164x x y y x x x x y y y y -+-+==--++.∴M 是弦AB 的中点，由中点坐标公式知12122,2x x y y +=+=.又设AB 的斜率为k 21424k -∴==-⨯. ∴直线AB 的方程为450x y +-=.⑵设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,又设所求动点为P (),x y ，因为P 是弦AB 的中点，由中点坐标公式得：12122,2x x x y y y +=+=.又 A 、B 在椭圆上，22111164x y ∴+=，①22221164x y +=.②①-②得222212120164x x y y --+=. 设AB 的斜率为k ,()()121212124164x x y y xk x x y y y-+-∴===--+.又M （1，1）在AB 上，∴MP 的斜率为11MP y k x -=-，而MP k k =，即114y x x y -=--.整理得点P 的轨迹方程为22440x y x y +--=.点评：这种方法巧妙，运算量小，在解决弦中点的有关问题时十分有效.例2、已知双曲线2212y x -=，是否存在被点()1,1P 平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解：假设存在被点P 平分的弦MN ，设()11,M x y ，()22,N x y ，斜率为k ，则221112y x -=，222212y x -=，两式相减，得()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-=， 即()()12121212102y y x x y y x x -+-+⋅=-. 因为12122,2x x y y +=+=,所以12202k -⨯⨯=,2k ∴= .直线MN 的方程为()121y x -=-,即21y x =-.将其代入221112y x -=，得22430x x -+=,()2442380∆=--⨯⨯=-<,所以不存在被P 点平分的弦.点评：若点P 在双曲线的内部，则以该点为中心的弦一定存在，无须检验；若点P 在双曲线的外部，则以该点为中心的弦可能存在，也可能不存在，必须检验. 例3、由点()2,0-向抛物线24y x =引弦，求弦的中点的轨迹方程.分析：设端点坐标，利用点差法找到中点坐标及斜率关系，可求弦中点轨迹. 解：设端点为()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==,两式相减得()2212214y y x x -=-.①①式两边同时除以21x x -，得()2121214y y y y x x -+=-.②设弦的中点坐标为(),x y ，则212x x x +=,122y y y +=.③ 又点(),x y 和点()2,0-在直线AB 上，所以有21212y y yx x x -=+-④将③④代入②得242yy x ⋅=+整理得()222y x =+. 故所求中点的轨迹方程是()222y x =+在抛物线24y x =的内部的部分.小结：以上三例说明，凡是涉及到圆锥曲线中点弦问题，都可采用点差法来解题，并且简捷优美.。
巧用点差法公式解决中点弦问题
巧用点差法公式解决中点弦问题解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往是非常困难的。
解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
一、抛物线【规律探踪】在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线l与抛物线相交于m、n两点，点p（x0，y0）是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0=m。
注意：能用这个公式的条件：①直线与抛物线有两个不同的交点；②直线的斜率存在.例1设a（x1，y1），b（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是ab的垂直平分线。
⑴当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点f？证明你的结论。
⑵当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程。
解析：⑴∵x2=12y，∴p=14，f（0，18）。
设线段ab的中点为p（x0，y0），直线l的斜率为k，则x1+x2=2x0 若直线l的斜率不存在，当且仅当x1+x2=0时，ab的垂直平分线l为y轴，经过抛物线的焦点f。
若直线l的斜率存在，则其方程为y=k（x-x0）+y0，kab=-1k。
由1kab·x0=p得：-kx0=14，∴x0=-14k。
若直线l经过焦点f，则得：18=-kx0+y0=14+y0，y0=-14，与y00相矛盾。
∴当直线l的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点f。
综上所述，当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点f。
⑵当x1=1，x2=-3时，a（1，2），b（-3，18），x0=x1+x22=-1，y0=y1+y22=10.由1kab·x0=p得：k=14。
∴所求的直线l的方程为y=14（x+1）+10，即x-4y+41=0二、椭圆【规律探踪】在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若直线l与椭圆相交于m、n两点p（x0，y0），点是弦mn的中点，弦mn所在的直线l的斜率为kmn，则kmn·y0x0=b2a2。
点差法 圆锥曲线与直线 进阶内容
第2讲：点差法- 1 -- 2 -点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理：在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= 所以 2200ab x y k MN -=⋅ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.- 3 -点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用- 4 -- 5 -一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
巧用点差法公式解决中点弦问题
二、 椭 圆
所求的直线 Ａ Ｂ方程为 Ｙ 一 ２ ＝ １・ （ Ｘ 一 １ ） ， 即ｘ — Ｙ ＋ １ ＝ ０ 。 （ ２ ） 设直线 Ｃ Ｄ的方程为 ｘ Ｙ ＋ ｍ＝ ０ ， 点Ｎ （ １ ， ２ ） 在直线 Ｃ Ｄ上 ， １ ＋ ２＋ ｍ＝ Ｏ ， ｍ＝一 ３ 。． 。 ． 直线 Ｃ Ｄ的方程为 ｘ ＋ Ｙ ＝ ０ 。
中点。
ｙ ０
（ ２ ） 当Ｘ １ ：１ ， Ｘ ２＝一３时 ， Ａ（ １ ， ２ ）， Ｂ（一３， １ ８ ） ， ｘ ｏ：苎 Ｌ ２ １ ： 一１
，
＝
： ｏ ．
（ １ ） 求直线 Ａ Ｂ的方程 ； （ ２ ） ￣ Ｉ Ｉ 果线段 Ａ Ｂ的垂 直平分线 与双 曲线相交于 Ｃ 、 Ｄ两点 ， 那么Ａ 、 Ｂ 、 ｃ 、 Ｄ四点是否共 圆， 为什么 ？
② 代 人 ① ， 得 （ 一 １ ） 一 — １ （ ２ ＋ ） ＝ 等 ．
整 理 ， 得 ： ９ ２ — ４ ５ 一 １ ７ ： ０ ； 解 之 得 ： ｘ ： 早， 或 ： 一 寻。
由 ② 可 知， ： 旱不 合 题 意 。 ．
・
． ．
若直线ｚ 的 斜率存在， 则其方程为Ｙ ＝ ｋ （ ｘ — ｘ ０ ） Ｙ ０ ， ｋ Ａ Ｂ ＝一 ÷。
・ ．
．
．
…
…
…
…
…
…
…
…
・
・
解 析 ： （ １ ） 。 ・ ‘ Ｘ ２
， ・ ・ ｐ ÷， Ｆ （ ０ ， 寺） 。
②
设线段 Ａ Ｂ的中点为 Ｐ （ ０ ， Ｙ ｏ ）， 直线 ｆ 的斜率为 ， 则 ｌ ＋ ２＝２ ｘ ０ 若直线 ｆ 的斜率不存在 ， 当且仅 当 ｘ ｌ ＋ｘ ２＝０时 ， ＡＢ的垂直平分线 ｚ 为 Ｙ轴 ， 经过抛物线的焦点 Ｆ 。
中点弦点差法的应用
中点弦点差法的应用（1）在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；（2）在椭圆12222=+b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y b x a ；（3）在双曲线12222=-b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；（4）在双曲线12222=-b x a y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y b x a ；（5）在抛物线)0(22>=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k =（6）在抛物线)0(22>-=p px y 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0y p k -=。
（7）在抛物线)0(22>=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k =（8）在抛物线)0(22>-=p py x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0x p k -=。
AB 为椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB -=AB 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB的斜率0202y a x b k AB =AB 抛物线px y 22=的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则直线AB 的斜率0AB k y P=1 过椭圆141622=+y x 上一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解中点弦问题的利器--“点差法”
解中点弦问题的利器--“点差法”
章华锋
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2016(000)012
【摘要】设a（x1，y1），B（x2，y2）是圆锥曲线mx2＋ny2=1上不重合的两点，则{mx1 2＋ny1 2=1 mx2 2＋ny2 2=1（1）,两式相减得m（x1＋x2）（x1-x2）＋n（y1＋y2）（y1-y2）=0．
【总页数】3页(P46-48)
【作者】章华锋
【作者单位】江西省余干二中 335100
【正文语种】中文
【相关文献】
1.巧用点差法解中点弦问题 [J], 张景南;文芳;
2.用“点差法”妙解圆锥曲线“中点弦”的问题 [J], 胡巧玲
3.用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 [J], 胡文敏;
4.点差法与向量联手简解中点弦问题 [J], 邹生书
5.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现 [J], 李虎
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浅谈椭圆的中点弦问题
浅谈椭圆的中点弦问题作者：何小刚来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第02期已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）与直线l相交于M，N两点，点P（x0，y0）是弦MN的中点，则由点差法可得直线l的斜率k=-b2a2·x0y0。
这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题，解决这类问题通常用点差法。
本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。
例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点。
若AB的中点坐标为（1，-1），求椭圆的方程。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上得：x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1。
①②①-②得（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0。
整理得：y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2。
又因为AB的中点坐标为（1，-1），所以x1+x2=2，y1+y2=-2。
所以kAB=y1-y2x1-x2=-b2a2·x1+x2y1+y2=b2a2。
又因为kAB=0-（-1）3-1=12，所以b2a2=12，即a2=2b2。
由c2=a2-b2=b2=9，得b2=9，a2=18。
所以椭圆的方程为：x218+y29=1。
点评：本题是典型的椭圆中点弦问题，应用点差法解决。
例2椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，AB的中点为C，若AB=22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圆方程得：ax21+by21=1，ax22+by22=1。
①②①-②得a（x1+x2）（x1-x2）+b（y1+y2）（y1-y2）=0。
由题意得y1-y2x1-x2=-1，y1+y2x1+x2=kOC=22，代入上式得b=2a。
椭圆中点弦问题-----点差法(微教案)
椭圆中点弦问题-----点差法（微教案）
一、教学目标
1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦问题的方法---点差法。
2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。
3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。
二、重难点
1、重点：点差法运用。
2、难点：灵活使用点差法解决椭圆中点弦问题。
三、教具：尺子
四、学习过程
（一）课前预习。
（1）点差法的步骤：
（2）适用范围：
（二）自主学习与合作探究。
【探究】求中点弦所在直线方程问题
例1 ：过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。
*结论一（椭圆中点弦斜率公式）
三（微练习）巩固与提高：
已知双曲线C：，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
（四）课堂小结：
1、点差法的具体步骤为：
2、点差法的适用范围以及注意直线是否存在的问题。
3、点差法优点：
缺点：
五、请评价自己学习效果：本节知识点掌握了%。
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第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--=Θ.22ab x y k MN -=⋅∴ 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.典题妙解例1 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .焦点在y 上，.1,422==b a 假设直线l 的斜率存在.由22b a x y k AB -=⋅得：.41-=⋅-xyx y整理，得：.0422=-+y y x当直线l 的斜率不存在时，弦AB 的中点P 为坐标原点)0,0(O ，也满足方程。
∴所求的轨迹方程为.0422=-+y y x（2）配方，得：.141)21(16122=-+y x .4141≤≤-∴x 127)61(341)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=∴x x x y x∴当41=x 时，41||min =；当61-=x 时，.621||max = 例2 在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线l 的方程为.2+=kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,222y x kx y 得：.0224)12(22=+++kx x kΘ直线l 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，)12(83222+-=∆∴k k ＞0.解之得：k ＜22-或k ＞22. ∴k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y . （2）在椭圆1222=+y x 中，焦点在x 轴上，1,2==b a ，).1,2(),1,0(),0,2(-=∴AB B A 设弦PQ 的中点为),(00y x M ，则).,(100y x = 由平行四边形法则可知：.2=+ΘOQ OP +与AB 共线，∴OM 与AB 共线.1200y x =-∴，从而.2200-=x y 由2200a b x y k PQ -=⋅得：2122-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅k ，.22=∴k 由（1）可知22=k 时，直线l 与椭圆没有两个公共点，∴不存在符合题意的常数k . 例3已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P . 由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+. 由3262||22=+F F 得：326||2=F .∴.926)1(22=+-y x ……………①若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在. 由22a b x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-= ………② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x .解之得：317=x ，或32-=x . 由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .例4 已知椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22. （1）求b a ,的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）椭圆的右焦点为)0,(c F ，直线l 的斜率为1时，则其方程为c x y -=，即0=--c y x .原点O 到l 的距离：22222|00|==--=c cd ，∴1=c . 又33==a c e ，∴3=a . 从而2=b .∴3=a ， 2=b . （2）椭圆的方程为12322=+y x . 设弦AB 的中点为),(y x Q . 由OB OA OP +=可知，点Q 是线段OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(y x .∴123422=+y x .…………………① 若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点Q 与)0,1(F 重合，)0,2(=，点P 不在椭圆上，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k AB -=⋅得：.321-=⋅-x y x y ∴)(3222x x y --=.………………………②由①和②解得：42,43±==y x . ∴当42,43==y x 时，21-=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(，直线l 的方程为022=-+y x ；当42,43-==y x 时，21=-=x y k AB ，点P 的坐标为)22,23(-，直线l 的方程为022=--y x .金指点睛1. 已知椭圆4222=+y x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）A. 23B. 32C.330 D. 263 2.（06江西）椭圆1:2222=+by a x Q （a ＞b ＞0）的右焦点为)0,(c F ，过点F 的一动直线m 绕点F转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 为线段AB 的中点.（1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）略.3．（05上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A 、B两点，AB 的中点为M. 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）略.4. (05湖北)设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （2）略.5. 椭圆C 的中心在原点，并以双曲线12422=-x y 的焦点为焦点，以抛物线y x 662-=的准线为其中一条准线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(1:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：由4222=+y x 得12422=+y x ，∴2,422==b a . 弦MN 的中点)1,1(，由22a b x y k MN -=⋅得21-=MN k ，∴直线MN 的方程为)1(211--=-x y . 即32+-=y x . .21-=k由⎩⎨⎧+-==+324222y x y x 得：051262=+-y y . 设),(),,(2211y x N y x M ，则65,22121==+y y y y . []330)3104(54)()11(||212212=-⨯=-++=y y y y kMN故答案选C.2. 解：（1）设点P 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x yc x y -=⋅-， 整理，得：022222=-+cx b y a x b .∴点P 的轨迹H 的方程为022222=-+cx b y a x b .3．解：（1）Θ右焦点坐标是)0,2(，∴左焦点坐标是)0,2(-. 2=c . 由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222=-++-+-+--=a ，∴22=a . ∴4222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程为14822=+y x .（2）设点M 的坐标为),(y x ，由22a b x y k AB -=⋅得：22ab x y k -=⋅，整理得：022=+ky a x b .Θa 、b 、k 为定值，∴当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022=+ky a x b 上.4. 解：（1）Θ点)3,1(N 在椭圆λ=+223y x 内，∴22313+⨯＜λ，即λ＞12.∴λ的取值范围是),12(+∞.由λ=+223y x 得1322=+λλx y ，∴3,22λλ==b a ，焦点在y 轴上.若直线AB 的斜率不存在，则直线AB x ⊥轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点N 在x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在.由22ba x y k AB -=⋅得：313λλ-=⋅AB k ，∴1-=AB k .∴所求直线AB 的方程为)1(13-⋅-=-x y ，即04=-+y x .从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13-⋅=-x y ，即02=+-y x .5. 解：（1）在双曲线12422=-x y 中，6,2,222=+===b a c b a ， ∴焦点为)6(,),6,0(21F F -.在抛物线y x 622-=中，6=p ，∴准线为26=y . ∴在椭圆中，262=c a . 从而.3,3==b a ∴所求椭圆C 的方程为13922=+x y . （2）设弦AB 的中点为),(00y x P ，则点P 是直线l 与直线'l 的交点，且直线'l l ⊥. ∴km 1-=. 由2200ba x y k AB -=⋅得：300-=⋅x y k ，∴003x ky -=.…………………………………………①由1100+⋅-=x ky 得：k x ky +-=00.…………………………………………………………② 由①、②得：23,200=-=y k x .又Θ200+=kx y ，∴2223+⋅-=kk ，即12=k . ∴1±=k .在2+=kx y 中，当0=x 时，2=y ，即直线l 经过定点)2,0(M .而定点)2,0(M 在椭圆的内部，故直线l 与椭圆一定相交于两个不同的交点. ∴k 的值为1±.。