不确定度与数据处理

不确定度与数据处理
一、 误差与不确定度
1．误差与不确定度的关系
（1）误差：测量结果与客观真值之差
x =x -A
其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果
—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等
—公认值
对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。

在上述误差公式中，由于A 不可知，显然
x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。

（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。

通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。

不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。

2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。

定量描述随机误差的物理量叫标准差。

（1）标准差与标准偏差
标准差 k
A x i k ∑-=∞
→2
)
(lim
σ
∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴
实际上也不可知，于是：
用标准偏差S 代替标准差 ： 1
)
()(2
--=
∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差
结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）
单次测量标准差最佳估计值
S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。

（并不是只做一次测量）
通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。

（2）平均值的标准差
真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）
真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值
其中 )
1()
()(2
--=
∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差
例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。

试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的
n
1，即n
X S X S )()(=。

解： n
X X i
∑=
由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 n
X u X u X u n )
()()(212++=
利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 n
X S n
X nS n
X S X S X S X u )()()
()()()(222=
=
++=
=
3．系统误差与仪器误差（限）
（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。

已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。

前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的取值围。

在物理实验中，对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。

（2）仪器误差（限）：由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过适当简化称为仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和（作用在仪器上的）被测真值之间可能产生的最大误差。

常用仪器的仪器误差（限）：
① 长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其最小分度的1/2计算。

② 指针式仪表： ∆仪＝a %⋅N m 式中N m 是电表的量程，a 是准确度等级。

数字仪表： △仪＝a %N x +b %N m 或 △仪＝a %N x +n 字
式中a 是数字式电表的准确度等级，N x 是显示的读数，b 是误差的绝对项系数，N m 是仪表的满度值，n 代表仪器固定项误差，相当于最小量化单位的倍数。

③ 电阻箱： ∆仪＝∑+⋅i
i i R R a 0%
式中R 0是残余电阻，R i 是第i 个度盘的示值，a i 是相应电阻度盘的准确度级别。

④ 直流电位差计： △仪＝a % (10
U U x +
) 式中a 是电位差计的准确度级别，U x 是标度盘示值，U 0是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的10的整数幂。

直流电桥： △仪＝a %(10
0R
R x +)
式中R x 是电桥标度盘示值，a 是电桥的准确度级别，R 0是有效量程的基准值，意义同上。

（3）B 类不确定度的处理
在物理实验中，B 类不确定度的来源通常包括以下三种：仪器误差仪、灵敏度误差灵和估计误差限估。

其中灵敏
度误差可表示为 x
n S ∆∆=
=∆/2
.02.0灵 。

B 类不确定度与各种误差限之间的关系为 3
∆
=b u 。

4．不确定度的合成
（1）直接测量 x ： u a (x ) ，u b (x )
则 )()()(2
2x u x u x u b a += （称为合成不确定度）
（2）间接测量 y =f (x 1, x 2, ⋯, x n ) 其中x 1, x 2, ⋯, x n 为相互独立的直接测量量 则 ∑∂∂=i
i i x u x f y u )()(
)(22 或 ∑∂∂=i
i i x u x f y y u )()ln ()(2
2 （3）最终结果表述形式： N ±u (N )= （单位）
结果有效数字的确定原则：① 不确定度u (N )只保留一位有效数字；
② 测量结果N 与不确定度u (N )小数位数对齐。

例2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为2
sin 2sin
A A n δ+=。

已测得A =60︒0' ±2' ，黄光（汞灯光源）所对应的 =50︒58'
±3' ，则黄光所对应的折射率n ±u (n )= 1.6479±0.0007 。

解： 6479.12
060sin 28550060sin
2sin 2sin ='︒'︒+'︒=+=A A n δ 2sin ln 2sin ln ln A A n -+=δ
δδδδδδd 2ctg 21d )2ctg 2ctg (212
sin
d 212cos 2sin )d 21d 21(2cos d ++-+=⋅-
+++=A A A A A A A A A A n n 000426
.0)180603(28550060ctg 41)180602()2060ctg 28550060ctg (41)(2
ctg 41)()2ctg 2ctg (41)(22222
222=⨯'︒+'︒+⨯'︒-'︒+'︒=++-+=π
πδδδ u A A u A A n n u
0007.0000426.06479.1)
()(=⨯=⋅
=n
n u n n u ∴ n ± u (n )=1.6479±0.0007 5．有效数字及其运算法则
（1） 有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。

在不计算不确定度的情况下，结果的有效数字由运算法则决定。

（2）运算法则
① 加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。

N =A +B -C -D ，则 )()()()()(2222D u C u B u A u N u +++=
取决于u (A )、u (B )、u (C )、u (D )中位数最高者，最后结果与之对齐。

② 乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。

CD AB
N =
，则 2222)()()()()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D D u C C u B B u A A u N N u 取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。

③ 混合四则运算按以上原则按部就班执行。

例3：某物理量的计算公式为 H
d Y /6.11k
+=
，其中k 为常数，1.6为准确数，H ≈16cm ，d =0.1500cm 。

若使Y
的表示式中分母的值具有4位有效数字，正确测H 的方法是（ d ）。

(a) 用游标卡尺估读到cm 千分位 (b) 用米尺估读到cm 百分位
(c) 用米尺只读到mm 位 (d) 用米尺只读到cm 位
解：
015.0161500.06.16.1=⨯≈H d 分母 015.16.11≈+H
d
为4位有效数字 即H 只需2位有效数字即可，故应选 (d) 。

④ 特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通过微分关系传播处理。

例4： tg45︒2' =1.00116423 最多可取几位有效数字？
解： 令 y =tg x ，其中x =45︒2' 取)rad (00029.0180
6011=='=∆π
x 则 00058.000029.0245cos 1
cos 122=⨯'
︒=∆=
∆x x y 即小数点后第四位产生误差 ∴ tg45︒2' =1.0012 ，有五位有效数字。

例5：双棱镜测波长的计算公式为b b x '
∆=
λ，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。

x =0.28144mm u (x )=2.010⨯10-4
mm (b )/b =0.025 (b')/b'=0.025 (S ) =0.5cm
(S')
=0.5cm (b )=0.005mm (b')=0.005mm (S ) =0.05cm (S')
=0.05cm
注：下标1代表来自方法误差，下标2代表来自仪器误差。

要求：（1）给出测量结果的正确表述（包括必要的计算公式）。

（2）定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何？
解： （1） mm 1086716.5)
0.7595.276(7855
.09325.528144.04-⨯=+⨯⨯='+'∆=
S S b b x λ
)ln(ln 21ln 21ln ln S S b b x '+-'++
∆=λ S S S S S S b b b b x x '
+'
-
'+-''++∆∆=d d 2d 2d )(d d λλ 0111.0)()(2)(2)()()
(2
2
2
2
2
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=S S S u S S S u b b u b b u x x u u λλ 其中 000714.028144
.010010.2)(4
=⨯=∆∆-x x u ；
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=⨯=∆===∆⨯=∆=000243
.039325.52005.023/)(2)(00722.032025.0)(321
23/)(2)(22111b b b
b u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=⨯=''∆=''==''∆⨯=''∆=''00184
.037855.02005.023/)(2)(00722.032025.0)(321
23/)(2)(22
111b b b b u b b b b b b u 2
22122)(2)(2)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡''→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+='+∆='+=+='+∆='+000279
.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03
)90.7565.27(5
.03/)()(22
11S S S S S S u S S S S S S u 2
2212)()()(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡'+→S S S u S S S u S S S u ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+='+'∆='+'=+='+'∆='+'000279
.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03
)90.7565.27(5
.03/)()(22
11S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'→S S S u S S S u S S S u 于是得 u ()=0111.01086716.5)
(4⨯⨯=⋅
-λ
λλu =6.53⨯10-6mm ± u ()=587±7nm
（2）由前面的计算可知，不确定度主要来自b b u 2)(1和b
b u ''2)(1，次要因素是b b u ''2)(2、S S S u '+)(1和S S S u '+')
(1，可以忽略的因
素是
x x u ∆∆)(、b b u 2)
(2、S S S u '+)(2和S
S S u '+')(2。

若只考虑主要项的贡献： 0102.06)(2)(2)()
(12
12
1=∆=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b b b b u b b u u λλ 则有 u ()=6nm ± u ()=587±6nm 比严格计算的结果稍小但相差无几。

二、数据处理方法
1．列表法：按一定规律把数据列成表格。

列表原则：
（1）表格的标题栏中注明物理量的名称、符号和单位； （2）记录原始数据（如记录刻度数，而不是记录长度）； （3）简单处理结果（如算出长度）或函数关系；
（4）参数和说明（如表格名称、仪器规格、环境参数、常量以及公用单位等）。

2．作图法：把实验数据用自变量和因变量的关系作成曲线，以便反映它们之间的变化规律或函数关系。

作图要点：
（1）原始数据列表表示——见列表法； （2）用坐标纸作图，图纸大小以不损失有效数字和能包括所有点为最低要求，因此至少应保证坐标纸的最小分格（通常为1mm ）以下的估计位与实验数据中最后一位数字对应；
（3）选好坐标轴并标明有关物理量的名称（或符号）、单位和坐标分度值。

其中分度比例一般取1、2、5、10……
较好，以便于换算和描点；
（4）实验数据点以 +、×、☐、 、△等符号标出，一般不用细圆点“·”标示实验点；光滑连接曲线并使实验点匀称地分布于曲线两侧（起平均的作用）；
（5）图解法求直线斜率和截距时，应：在线上取点（不能使用实验点）；所取两点要相距足够远（以提高精度）；在图上要注明所取点的坐标。

例6：拉伸法测弹性模量的载荷——伸长曲线如图所示，图上至少有5处绘制错误或
不规。

它们是 坐标轴应标注物理量和单位 ， 轴上缺少分度值 ， 实验点应以醒目标记标出 ， 曲线应光滑连接 ， 计算点坐标标注不规 。

3．最小二乘法与一元线性回归法
（1）最小二乘法：对等精密度测量若存在一条最佳的拟合曲线，那么各测量值与这条曲线上对应点之差的平方和应取极小值。

例7：试用最小二乘原理推导直线方程y =kx 中回归系数k 的计算公式。

解：根据最小二乘原理应有 ∑==-n
i i i kx y 1
2min )(
即 ∑∑∑∑=====-→=--→=-∂∂n i n i i i i n i i i i n i i i x k y x x kx y kx y k 11
2
11200))((20)(
于是得 22x
xy x y x k i i
i ==∑∑
（2）一元线性回归法： 设直线方程y =a +bx ，其中自变量x 的误差可略 由最小二乘原理，应有 ∑==+-k
i i i bx a y 1
2min )]([
即 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-∂∂=+-∂∂∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========k i k i i i k i i i k i k
i i i k i i i i k i i i k i i i k i i i y x x b x a y x b ak x bx a y bx a y bx a y b bx a y a 111211111
212
0))](([20)1)](([20)]([0)]([
解之得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑x b y x k x y y x y x a x x xy
y x x k x y x k y x b i i x i i i i i i i i i i i 222222)()(2
（3）相关系数r ：用于检验x 和y 之间是否存在线性关系。

)
)((2
2
2
2
y y x x y x xy r ---=
r 物理意义 ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧≈<>≈+==→轴平行的直线
拟合直线为与之间无线性关系增加而减小
随增加而增加
随之间线性相关强烈通过全部实验点
、、x i i i i i i i i y x r x y r x y r y x r bx a y r 0
00
11
例8：根据所给相关系数r 作出实验点分布草图：
① r =-1 ② r =0.9993 ③ r =0.015
（4）回归法使用要点：
① 自变量x 测量误差可略，即应选择测量精度较高的物理量作自变量； ② 因变量y 为等精度测量或近似等精度测量，即u (y i )近似相等；
③ 作线性关系的检验：利用物理规律或作图等其它方法确认线性关系的存在；或检验相关系数是否满足|r |≈1。

例9：实验线路及测量数据如下，用一元线性回归法计算电压表阻R V （写出计算公式即可）。

R ()
V
解： 根据线路图可得
V V R V
R R E =
+ V
ER R R V V =+ 计算R 、V 1精度： [][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡005.00036.004.201.080.201.0~)(/1)/1(00025.0005.00.4001.00.201.0~)(，，，，V V u V V u R R u 可知R 的精度较高 故将公式变形为
E R ER V V 111+= 令 x R y V ≡≡1 并设直线方程 y =a +bx 则有 V V R a ER b E a ===11 ∴ b
a
R V =
4．逐差法
（1）测量次数为偶数的逐差法
设自变量和因变量之间存在线性关系y a bx =+，并有一组实验数据：⎩⎨⎧++n n k n
n n y y y y x x x x 211
211,,,,,,,, ；
隔n 项逐差，可得到 n
n n n n n n x x y y b x x y y b --=--=++2211111,, 取平均值 b n b n y y x x i i n n i i
n i i i n ==--=++=∑∑1111。

对于自变量x 等间隔分布的情况，有∑=++-∆=∆=-n
i
i i n n n i i
n y y x n b x x x 1
)(
1于是
求得b 后，可由公式 ∑
∑+=i i x b a y
求出 ∑∑-=i i x b y a
x x
例10：已知R =R 0(1+
t )，实验数据如下，用逐差法求电阻温度系数（不要求计算不确定度）。

t (℃) 85.0 80.0 75.0 70.0 65.0 60.0 55.0 50.0
R ()
0.3622 0.3565 0.3499 0.3437 0.3380 0.3324 0.3270 0.3215
解： R =R 0+ R 0t 并设 y =a +bx 则有 a = R 0 b = R 0=a 即 a b
=
α 而利用逐差法可得： i 1 2 3 4 平均 t =t i +4-t i (℃) 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 R = R i +4-R i ()
0.0242 0.0241 0.0229 0.0222 0.02335
于是有 755
00116.00
.200233.0==
∆∆=t R b 2626.0)0.54000116.07312.2(81
)(175=⨯-=-=
∑∑t b R n a 故 375
1045.42626
.000116.0-⨯===a b α（1/℃）
例11：迈克尔逊干涉仪实验数据处理
条纹吞吐n 0 100 200 300 400 M 2镜位置X (mm)
34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300
条纹吞吐n 500 600 700 800 900 M 2镜位置X (mm)
34.64465
34.67635
34.70800
34.73945
34.77085
解法一： 由逐差法可得
i 1 2 3 4 5 平均 N =n i +5-n i 500 500 500 500 500 500 d 500=X i +5-X i (mm) 0.16160 0.16050 0.15970 0.15885
0.15785
0.15970
)nm (8.63850015970.022500=⨯==N d λ 2
2
500500)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 其中 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧===⨯-=+=∑289.035
.0)()()mm (0000289.0300005.0)()mm (000648.045)()()
()()(5002500500500
25002500
N u N u d u d d d u d u d u d u b b i a b a 于是 )nm (6.2500289.015970.0000648.08.638)()()(22222
2
500500=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 故 ±u ()=639±3(nm)
i 1 2
3 4 5 平均 N'=(n i +5-n i )/5 100
100 100 100 100 100
d 100=(X i +5-X i ) /5
(mm)
0.032320 0.032100 0.031940 0.031770
0.031570
0.031940
)nm (8.638100031940.022100=⨯='=N d λ 2
2
100100)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 其中 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=='='⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧===⨯-=+=∑0577.0355
.0)()()mm (00000577.03500005.0)()mm (000130.045)()()
()()(1002100100100
21002100
N u N u d u d d d u d u d u d u b b i a b a 于是 )nm (6.21000577.0031940.0000130.08.638)()()(22222
2
100100=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡''+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 故 ±u ()=639±3(nm)
（2）测量次数为奇数的逐差法 处理原则：去掉中间的数据。

例12：重新处理迈克尔逊干涉仪实验数据
条纹吞吐n
0 100 200 300 400
M 2镜位置X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300
条纹吞吐n
500 600 700 800 900 1000
M 2镜位置X (mm) 34.64465 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 34.80280
解： 去掉中间的数据后为
条纹吞吐n
0 100 200 300 400
M 2镜位置X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300
条纹吞吐n
600 700 800 900 1000
M 2镜位置X (mm) 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 34.80280
由逐差法可得
i 1 2 3 4 5 平均 N =n i +6-n i 600 600 600 600 600 600 D 600=X i +6-X i (mm) 0.19330 0.19215 0.19115 0.19025
0.18980
0.19133
)nm (8.63760019133.022600=⨯==N d λ 2
2
600600)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 其中 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
===⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧===⨯-=+=∑289.035
.0)()()mm (0000289.0300005.0)()mm (000636.045)()()
()()(6002600600600
26002600
N u N u d u d d d u d u d u d u b b i a b a 于是 )nm (1.2600289.019133.0000636.08.637)()()(22222
2
600600=+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=N N u d d u u λλ 故 ±u ()=638±2(nm)
（3）逐差法说明
① 逐差法多用在自变量等间隔测量且其测量误差可略去的情况，这样可简化计算。

② 使用逐差法要隔项进行，不应逐项逐差，后者一方面使测量精度降低，另一方面不能均匀使用实验数据。

练习题：
1．︒+=30sin 1Y 有 4 位有效数字（根式中的1是常数）。

2．按有效数字运算法则，应有 a =423.4m ÷0.10s 2= 4.2⨯103 m/s 2 ；=-=0
.400.2017600
y 1.10⨯103 。

3．已知 h
r Y /264+=
π
，观测量h =10.0cm ，r =0.40cm ，其余为常数。

运算中
至少应取 3.1416 。

4．已知C =2abLR (a -b )，则相对不确定度的计算公式为
2
2
2
2
)()()()()2()()()2()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=R R u L L u b a b b u b a b a a a u b a C C u 。

5．用mm 分度的米尺测量某长度L 的结果为 9.30cm,9.30cm,9.35cm,9.28cm,9.22cm ，其测量结果应写成
9.29±0.04 cm 。

6．1.0级的磁电式电流表的量程为15mA ，读数为1.00mA ，则其标准不确定度应写成 0.09 mA 。

四位半数字电压表的仪器误差限 V =0.05%V x +3字，读数为1.0005V ，则其标准不确定度应写成 0.0005V 。