2.2 二维离散型随机变量及其分布

i j
( 2) pij 1
确定联合分布列的方法
(1) 确定随机变量 (X, Y) 的所有取值数对.
(2) 计算取每个数值对的概率.
(3) 列出表格.
对任意的 A E
P{( X , Y ) A} pij
i j
( xi , y j ) A
( X , Y )的联合分布函数
P{ X 1, Y 1} P{U 1, U 1}
P{U 1}
0.25
Y X 1
1
1
0.25
0 .5
1
0
0.25
例4： 设随机变量 Y ~ N(0, 1),
求
0, X1 1, 0, | Y | 2 | Y | 1 , X2 的联合分布列. | Y | 1 1, | Y | 2
pij pi 1 pi 2 .......... .......... .......... .......... ..
事件“{ X xi , Y y j }” 即事件“ X , Y ) ( xi , y j )}”。 {(
联合概率分布的性质：
(1) pij 0, i , j 1,2,
P{ X 1, Y 1} P{U 1, U 1} P{U 1}
0.25
P{ X 1, Y 1} P{U 1, U 1}
0
P{ X 1, Y 1} P{U 1, U 1} P{1 U 1}
0 .5
阴影部分区域的概率。
P{a X b, c Y d }
F (b, d ) F (a, d ) F (b, c ) F (a, c ) y
d
a
0 c
b
x
F (,) F ( x,) F (, y ) 0 F (,) 1
6 每次任取一件， 例1 : 10件产品中有4件次品， 件合格品，
F ( x, y ) P{ X x, Y y}

xi x yjy
Байду номын сангаас
pij
R 二维随机向量( X,Y ) 的取值为 2中的二维向量( x, y ),
即平面直角坐标系中的 点( x , y )。 y
y
0
x
x
F 联合分布函数值( x , y )即为随机向量 ( X,Y ) 落入图中
(1)不放回抽取
( 2)有放回抽取
1
X1
0
1
X2
0
X1
0
1
X2
0
1
1 3 4 15
4 15 2 15
9 25 6 25
6 25 4 25
( 2)有放回抽取 事件“X 1 i”与“X 2 j”相互独立, 则有 P{ X1 0, X 2 0} P{ X1 0} P{ X 2 0} 6 6 9 10 10 25 类似可得其余三个联合 概率(见上表)。
(2 但 ( X , Y )的取值为 (1,2), (1,3), (1,4), ( 2,3)， ,4), ( 3,4)。 由古典概型公式
1 1 P{ X 1, Y 2} 3 C 6 20
P{ X 1, Y 3}
1 C1C1 2 2 C3 6

1 4
C3 6 P{ X 2, Y 2} 0 C1 C1 2 2 1 P{ X 2, Y 3} 5 C3 6 其余见下列概率分布表 ：
P{ X 1, Y 4}
C1 4

1 5
Y X
1
2
1 20
0 0
3
4
1 5 1 4 1 20
2
3
1 4 1 5
0
(2) P{ X Y 5} P{ X 2, Y 4} P{ X 3, Y 4}
0 .3
F (1,3) P{ X 1, Y 3}
列表为：
X1 0 1 X2 0 0.0455 0 1 0.2719 0.6826
例5：设二维d.r.v.(X,Y)服从二元两点分布： X Y 0 1
0
1
q
0
0
p
试求（X，Y）的分布函数。
0, x 0或y 0, F ( x , y ) q , 0 x 1, y 0或0 y 1, x 0 1, x 1, y 1
2.2 二维d.r.v.及其分布
定义 如果随机向量 ( X,Y ) 的全部取值 ( 向量或点 ) 为有限多个或至多可列 个， 则称 ( X,Y )为离散型随机向量。
( X,Y )为离散型随机向量

X与Y均为离散型随机变量
记( X , Y )的取值集合为E {( xi , y j ), i , j 1,2,}
2， 3， 4 例2 从分别标有号码 1， 2， 3，的 6 个球中任取三球， X , Y分别表示其中的最小号 码与最大号码， 求： (1)( X , Y )的联合概率分布； ( 2) P { X Y 5}及联合分布函数值F (1,3)。
解 (1) X 可能的取值为 1， 3，Y 可能的取值为 2， 4, 2， 3，
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1,2,
上式称为X与Y的联合概率分布，或( X , Y )的概率分布。
联合概率分布可用下面 的概率分布表表示：
X Y
x1 x2 xi
y1
y2

yj

p11 p12 p1 j p21 p22 p2 j .......... .......... .......... .......... ..
连取两次，用 X i 表示第 i 次取到的次品数
( i 1,2)，
分别就不放 回和有放回两种抽样方 求( X 1 , X 2 )的联 式， 合概率分布。 解 ( X 1 , X 2 )可取 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) 共四个值。
(1) 不放回抽取
P{ X1 0, X 2 0} P{ X1 0} P{ X 2 0 | X1 0} 6 5 1 10 9 3 类似可得其余三个联合 概率(见下表)。
解: (X1, X2) 的可能取值数对及相应的概率如下：
P(X1=0, X2=0) = P(|Y|≥1, |Y|≥2) = P(|Y|≥2) = 2 2Φ(2) = 0.0455 P(X1=0, X2=1) = P(|Y|≥1, |Y|<2) = P(1≤|Y|<2)
= 2[Φ(2) Φ(1)] = 0.2719 P(X1=1, X2=0) = P(|Y|<1, |Y|≥2) = 0 P(X1=1, X2=1) = P(|Y|<1, |Y|<2)= P(|Y|<1) = 0.6826
P{ X 1, Y 2} P{ X 1, Y 3}
0 .3
2 例3 设随机变量 U在区间 [2，]上服从均匀分布， 随机
变量
1 , U 1 X 1 , U 1
1 Y 1
,U 1 ,U 1
求X与Y的联合概率分布。 解