山西省汾阳市2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

汾阳市2020年度-2021年度第一学期期末考试高二数学试卷(理) 满分150分，考试时间120分钟.一､选择题(共12题，每题5分，共60分) 1. 命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ）A. 2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B. 2000(0,1),0x x x ∀∉-< C. 2000(0,1),0x x x ∀∈-≥ D. 2000(0,1),0x x x ∃∈-≥ D根据全称命题的否定形式，直接求解.全称命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定形式需要改量词，以及结论否定，即否定是2000(0,1),0x x x ∃∈-≥.故选：D2. 若x y R ∈，，则“22x y >”是“x y >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件D根据充分条件与必要条件的定义，结合特殊值法判断即可.因为2,1x y =-=-时，22x y >成立，x y >不成立，所以“22x y >”不能推出“x y >”； 因为1,2x y =-=-时，x y >成立，22x y >不成立，所以“x y >”不能推出“22x y >”， 所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故选：D.3. 直线0x k +=的倾斜角是（ ）A. 5 π6B. 2 π3C. 3πD. π 6A将直线方程转化为斜截式方程，求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解.直线0x k ++=可化为：33y x k =--，所以直线的斜率为33-， 设其倾斜角为α， 则3tan 3α=-， 因为[0,)απ∈， 所以56πα=，故选：A 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A. 16B.13C.23D. 1B由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111=112=323V ⋅⋅⋅⋅，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积5. 若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的（ ） A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由p 是q 的充分不必要条件，可得：若p ，则q ，再根据其逆否命题，即可求得. 因为p 是q 的充分不必要条件，则可记作： 若p ，则q 为真，求其逆否命题为：若q ⌝，则p ⌝， 故：p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.故选：B .本题考查充分条件和必要条件，以及命题之间的转化.6. 直线l 1：3kx ＋(2－k )y －3＝0和l 2：(k －2)x ＋(k ＋2)y －2＝0互相垂直，则实数k 的值是（ ） A. －2或－1 B. 2或1C. －2或1D. 2或－1B由两直线垂直的条件，可得()()()32220k k k k -+-+=，解方程可得k 的值. 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直， 可得()()()32220k k k k -+-+=，即为2320k k -+=， 解得1k =或2，故选：B.本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题. 7. 设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B. 若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C. 若//l α，m α⊂，则//l m D. 若//l α，//m α，则//l mB利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.8. 设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是（ ） A. []0,3 B. []2,4C. []3,5D. []4,6C分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形结合得到d 的取值范围.详解：由题得222)(2)1,x y -++=（所以圆心为（2，-2），半径为1.所以圆心到直线的距离为22|2-2+42|=411+，所以动点P 到直线的最短距离为4-1=3，最大距离为4+1=5， 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查圆的方程和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用. 9. 如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（ ）A. //BD 平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ D在正方体中与11B D 平行，因此有与平面平行，A 正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而 平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．故选D ．10. 在三棱柱111ABC A B C -中,ABC 是等边三角形,1AA ⊥平面1,2,2ABC AB AA ==,则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为A. 1B.7 7C.12D.32A如图，作1//BD AB交11A B的延长线于D，连接1DC，则1DBC∠就是异面直线1AB和1BC所成的角（或其补角），由已知()22226BD=+=，116,23BC C D==，由22211BD BC C D+=，知190,DBC∠=∴异面直线1AB和1BC所成的角为直角，正弦值为1，故选A.【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.11. 直线1y x=+被椭圆22142x y+=所截得线段的中点的坐标是（）A.25,33⎛⎫⎪⎝⎭B.47,33⎛⎫⎪⎝⎭C.21,33⎛⎫-⎪⎝⎭D.1317,22⎛⎫--⎪⎝⎭C将直线1y x=+与椭圆22142x y+=联立，消去y整理得23420x x+-=，然后利用韦达定理求解. 直线1y x=+与椭圆22142x y+=联立，得221,1,42y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y整理，得23420x x+-=．设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x yB x y，中点()00,M x y．1212000421,,13233+∴+=-==-=+=x xx x x y x，∴中点坐标为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C本题主要考查直线与椭圆的位置关系属于基础题.12. 过抛物线2y =2(0px p >的焦点F 作直线交抛物线于,A B ，若ΔOAF S =Δ3OBF S ，则直线AB 的斜率为（ ）A. B. 43±C. D. 34±C设直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立，根据ΔOAF S =Δ3OBF S ，即3AF BF =，利用抛物线的定义得到12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再结合韦达定理求解. 设直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立得 ()22222204k p k x k p p x -++=，设 ()()1122,,,A x y B x y ，则 2121222,4p p x x p x x k +=+⋅=，因为 ΔOAF S =Δ3OBF S ， 所以3AF BF =, 由抛物线的定义得：12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 解得21223,p 22p px x k k ==+， 所以2223p 224p pp k k⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即42230k k --=， 解得23k =，所以k =，故选：C二､填空题(共4题，每题5分，共20分)13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,3,2,1A B ，则线段AB 的中点的坐标是___________.(2，1，1)利用中点坐标公式直接求解． 解：在空间直角坐标系中， 点()()1,0,1,3,2,1A B ，∴线段AB 的中点的坐标是()2,1,1．故答案为：()2,1,1．14. 过点(1,2)A ，且与直线230x y -+=垂直的直线方程为_______．2+4=0x y -试题分析：直线230x y -+=的斜率为12，所以与之垂直的直线斜率为2-，所求直线方程为()221240y x x y -=--∴+-= 考点：直线位置关系及直线方程15. 底面边长为1的正四棱柱，各顶点均为在同一球面上，则该球的体积为__________．43π ∵正四棱柱的底面边长为1，，2=，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径1R =，根据球的体积公式，得此球的体积为34433V R ππ==，故答案为43π. 点睛：本题给出球内接正四棱柱底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径1R =，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.16. 已知()2,1A ，()2,1B -，O 为坐标原点，动点,)P x y （满足OP mOA nOB =+，其中m n ∈R 、，且2212m n +=，则动点P 的轨迹方程是___________.2214x y +=设动点(,)P x y ，根据向量间的关系得到22x m n =+，y m n =-，代入2212m n +=化简可得动点P的轨迹方程．解：设动点(P x ，y )，则点P 满足OP mOA nOB =+，其中m 、n R ∈，(x ∴，y )(22m n =+，)m n -， 22x m n ∴=+，y m n =-，24x y m +∴=，24x yn -=， 2212m n +=， 22221()()442x y x y +-∴+=，即2214x y +=．故答案：2214x y +=． 本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，建立动点(P x ，y )与m 、n 的关系是解题的关键．三､解答题(共6题，第17题10分，其余每题12分，共60分)17. 已知命题:?p m R ∈且10m +，命题2:? ,10q x R x mx ∀∈++>恒成立． ()1若命题q 为真命题，求m 的取值范围；()2若p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，求m 的取值范围．（1）22m -<<（2）2m ≤-或12m -<<．（1）由命题q 为真命题可知240m =-<，即可得到结果；（2）分别解出命题p ，q 的m 的取值范围，p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，可得p ，q 必然一真一假．解：()2140m ∴=-<，解得22m -<<．()2若命题p ：m R ∈且10m +≤，解得1m ≤-．p q ∧为假命题且p q ∨为真命题，p q ∴，必然一真一假．当p 真q 假时，122m m m ≤-⎧⎨≤-≥⎩或，解得2m ≤-，当p 假q 真时，122m m >-⎧⎨-<<⎩，解得12m -<<．m ∴的取值范围是2m ≤-或12m -<<．点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.18. 已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-.（1）求过点P 且与直线l 垂直的直线1l 的方程；（2）求过点P 且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线2l 的方程； （1）43230x y -+=；（2）30x y +-=或520x y +=. （1）由直线垂直斜率关系，再用点斜式方程求得； （2）讨论是否过原点，再用截距式方程求得. （1）由已知得直线1l 斜率得43k =，由斜截式方程得()4523y x -=+，即直线1l 方程为43230x y -+=.（2）①当直线不过原点时，设直线2l 方程为1x ya b+=，∴251a a -+=，即3a =， ∴直线2l 方程为30x y +-=； ②当直线过原点时，直线2l 斜率为52-，直线2l 方程为52y x =-，即520x y += 综上所述，直线2l 的方程为30x y +-=或520x y +=.19. 已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点． （1）求圆A 的方程．（2）当MN =l 方程．（1）()()221220x y ++-=；（2）3460x y -+=或2x =-.（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．（1）由题意知()1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 半径r ，所以r ==所以圆A 的方程为()()221220x y ++-=．（2）设MN 的中点为Q ，则由垂径定理可知90MQA ∠=︒，且MQ =， 在Rt AMQ △中由勾股定理易知1AQ ==， 设动直线l 方程为：()2y k x =+或2x =-，显然2x =-符合题意． 由()1,2A -到直线l 距离为11=得34k =．所以3460x y -+=或2x =-为所求直线l 方程．本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20. 已知椭圆22+197x y =的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为32.（1）求双曲线E 的标准方程；（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB的中点的横坐标为求直线l 的方程.（1）22145x y -=;（2）0x y -+=（1）椭圆22+197x y =的长轴两端点为()3,0±，得3c =，又32c e a ==，得2a =，∴2225b c a =-=. ∴双曲线E方程为22145x y -=. （2）设直线l 的方程为y x t =+，由221145x y y x t ⎧-==⎪⎨⎪=+⎩得()228450x tx t --+=， ∴()28010t ∆=+>，124x x t +==t =. ∴直线方程为0x y -.21. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．(1)见证明；(2) 23 (1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明 (2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥；又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH ∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大， 令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=， 在Rt PAD ∆中，233PA =PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ， 正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.CM =.在PAB ∆中，2,BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==，tan CM MNC MN ∠==本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(P ，一个焦点F 的坐标为()2,0. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若12OA OB k k ⋅=-，求OA OB ⋅的取值范围.（1）22184x y +=；（2）[)2,2-（1）由椭圆经过点P ，一个焦点F 的坐标为(2,0)，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）由2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124280k x kmx m +++-=，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出OA OB ⋅的取值范围．（1）2a a ===22c b =⇒=，∴椭圆C 的方程为22184x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()222124280k x kmx m +++-=， ()()2222221641228648320k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2284m k <+，122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+， ()22121212y y k x x mk x x m =+++222222222222848121212k m k k m m k m k k k --=-+=+++， 221221281282OA OB y y m k k k x x m -⋅===--， ∴224168m k -=即2242m k =+，故224284k k k R +<+⇒∈，2221212222881212m m k x x O y O k A y kB --=+=⋅+++22238812m k k --=+ 22242421221k k k -==-++. 故OA OB ⋅的取值范围为[)2,2-.。