基本函数求导公式

基本初等函数求导公式

(1)

(C)' = o

(2)

（时）'=小妇

(3) (sinx)' = cosx

(4) (cosx)' = -sinx

⑸

(tan x)9 = sec 2 x (6)

(cot xY = -esc 2 X (7) (secx)' = sec x tan x

(8) (cscx)' = -cscxcotx

⑼

{a x Y = a x In a

(10) (e x r = e v

（log“x）一 .

(lnx)z =—

(11)

x In a

(12) X

1

, • 、, _ 1

v di v b in A ) , ------

\UIvvOb A) , ------ (13)

Vl-X 2

(14)

Vl-X 2

(arctan x\ = —

z

、， 1

(arc cot x) = 一 ---- T

(15) 1 + «T

(16)

l + «r

函数的和、差、积、商的求导法则

设⑴，心心）都可导，则

⑴ (w±v)/ = z/,±v z (2) ©j = C/（C 是常数）

⑶ (")'=心 + “”

(4)

［叮

V

反函数求导法则

若函数x = 0（）'）在某区间4内可导、单调且则它的反函数）'=/3）在对应 区间八内也可导，且

dy _ 1 dx 一 dx

复合函数求导法则

设）' = /（"）,而u =（p （x ）且/伽）及0（x ）都可导，则复合函数y = f ［（p （x ）］的导

数为

dy _ dy du

dx du dx或y =

2.双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出・可以推出下表列出的公式：

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

"3）=0 ⑴ 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1设函数在点P"。，）'。）的某一邻域内具有连续的偏导数，且5）,），0）= 0一气则方程尸（2）二0在点CE。）的某一邻域内恒能唯—确定一个单值连续且具有连续导数的函数）'=/（工），它满足条件）'。=/"。），并有

空=_旦

dx气⑵

公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式（2）作如下推导。 将方程（1）所确定的函数）'=/（X ）代入，得恒等式

F （xJ （x ））三 0

其左端可以看作是工的一个复合函数.求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍 然恒等，即得

dF dF dy n ——+ ------- =0, dx dy dx

由于气连续，且气a 。，）'。"。，所以存在（xo,y 。）的一个邻域，在这个邻域内七*0,于是 得

虫=工

dx F"

如果「（X ，）'）的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式（2）的两端看作X 的复合函数而再 —次求导，即得

* XX* V

XV* X* v vv X

=一-.

例1验证方程r+ ）」-1 = °在点（0,1）的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导 数、当x=0时，）'=1的隐函数）' = /（x ）,并求这函数的一阶和二阶导数在工二0的值。

解设 F3 力=r +）'2 T ,则已=2X9 F > = 2y F （0J ） = （°』）=2 H 0 因此由 定理1可知，方程子+ >，2-1 = 0在点（0,1）的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、 当*二o 时，y=i 的隐函数）'=/»）。

下面求这函数的一阶和二阶导数

空=_% _£

空

dx F y

y

dx

d 2y _ )'F = >? = k+・F = _ J_

~ 5 — r — 3 — ~7 dx 1 二 广 y y >'

隐函数存在定理还可以推广到多元函数•既然一个二元方程（i ）可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元

方程

F （x ，y ，z ）=o

（3）

=0

A-0

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理i一样，我们同样可以由三元函数/（'乂勺的性质来断定由方程F（x，y，z）“ 所确定的二元函数Z=（X，）'）的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理2设函数F（x，y，z）在点P（Xo，）'o，Z。）的某一邻域内具有连续的偏导数且F （Xo，Vo，Zo）= 0 Fz（Xo，），0,z（））。0 则方程/（工，）'，？）二0 在点（、。，）'。，私）的某

—邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z = /（、，）'）,它满足条件

Zo = /（Xo，）'o）并有

dz 竺

瓦二F顼二匚⑷这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.

由于/（x，y））=o,

将上式两端分别对X和）'求导，应用复合函数求导法则得

dz_免

已+氏虱=o F, *氏世“°

因为八连续，且八（入。，）'。，&）=。所以存在点（工。，）'。』。）的一个邻域，在这个邻域内气

乂0,于是得

dz 「X Fy

瓦二匚8足氏。

1 o

,,, 竺

例2设4z = 0,求膏.

解设F（x，y，Z）=『+）rb—4z,则^=2x F“2Z-4应用公式⑷，得