数学建模 微分方程模型

战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱
兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关
建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
< >
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 正规战争模型 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
k 0
k 0
ay 2 bx 2 k
k ay0 bx0
2 2
k 0 x 0时y 0
2
乙方胜
k a
0
k b
y0 b rx p x 平方律 x a ry p y 模型 0 k 0 甲方胜 k 0 平局 x (t )
< >
正规战争模型
双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
x ay x u (t ) y bx y v(t )
• 忽略非战斗减员
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
x<<s0
x x(1 2 )0 s0 2 s0
1
i

P1
x 2 s0 ( s0
s0 - 1/ =
1

)
0 s 1/
s0
s
小, s0 1
x 2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
< >
§3 战争模型
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型
<
>
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038
（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
<
>
模型分析
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N [i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
需建立 i (t ), s (t ), r (t ) 的两个方程
< >
SIR模型 模型4 N [i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
N[s(t t ) s(t )] Ns(t )i(t )t
di dt si i ds si dt i (0) i0 , s (0) s0
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平 衡值，就不必去求解微分方程了！
<
>
至此，问题已基本上得以解决。
一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为：
(1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分
< >
传染病有免疫性——病人治愈 模型4 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i (t ), s (t ), r (t ) 2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
=5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。
< >
体重的变化/天=△W/△t（公斤/天）， 当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配，
利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw 5429 69w 1296 16w dt 41868 10000 w |t 0 w0
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 接触率 为, 且使接触的健康人致病
建模
N[i(t t ) i(t )] [s(t )]Ni(t )t
di si dt
s(t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i (0) i0
< >
i0
0
i0
1-1/ 1 i
0Biblioteka Baidu
1 i(t )按S形曲线增长 i0小
1 , 1 1 i ( ) 0, 1
接触数 =1 ~ 阈值
t
0
t
1 i (t )
感染期内有效接触感染的健 康者人数不超过病人数
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
方程模型。
<
>
(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中，
许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i (s ) 的图形，进行分析
D 0
s
1
<
>
模型4
相轨线 i (s ) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
i di di 1 dt si i 1 1 s ds ds si i s s i0 dt D i (0) i0 , s (0) s0
di i dt i (0) i0
i (t ) i0 e
t
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
< >
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 SI 模型 人的 比例分别为 i (t ), s (t )
微 分 方 程模型
§1 微分方程模型
§2 传染病模型
§3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程模型
一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、 社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关 变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微 分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
g bx, b rx p x
• 假设没有增援
x ay y bx x(0) x , y (0) y 0 0
< >
x ay y bx x(0) x , y (0) y 0 0
y (t )
k 0
是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；
输出就是进行健身训练时的消耗。
<
>
模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，
对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考
虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）
0

ln
s s0
P4
P2
P1 P3
s(t)单调减相轨线的方向
im
s 1 / , i im t , i 0
s s满足 s0 i0 s ln 0 0 s0 1
s
S0
1 / s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0
传染病蔓延
P2: s0<1/ i(t)单调降至0
i0 s0 1 (通常r (0) r0 很小）
无法求出 i (t ), s (t ) 的解析解 在相平面 s ~ i 上 研究解的性质
< >
模型4
1 di di ds s 1 si i dt i s s i0 ds si 相轨线 dt 1 s i (0) i0 , s (0) s0 i ( s ) ( s 0 i0 ) s ln s0 i i (s ) 的定义域 相轨线 1
词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键
<
>
模型假设
1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时
人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入
< >
16t 10000 1296 16W (1296 16W0 ) e
模型求解
用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
<
>
从而求得模型解
就描述了此人的体重随时间变化的规律。
<
>
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。 在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
< >
di di 1 i (1 i ) i / i[i (1 )] 模型3 dt dt i
di/dt
>1
i0
1-1/
>1
i
1
di/dt < 0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) dt i (0) i0
i (t )
Logistic 模型
1 1 t 1 1 e i 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln 1 i 0 t i 1 ?
模型 假设 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t) 模型
x(t ) f ( x, y ) x u (t ), 0 y (t ) g ( x, y ) y v(t ), 0
f, g 取决于战争类型
的估计
忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s 0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
传染病不蔓延
1/~ 阈值 < >
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0
s0 i0 r0 1
群体免疫