极点配置2

’
结束语
本文详细介绍了采用 /01203 语言
图%
仿真结果
对控制系统闭环极点任意配置的方法， 这种方法从一个侧面也反映了运用 /01203 语言进行 控制系统的优化设计和仿真分析是非常高效、 便捷的一条途径 A
参 考 文 献
［#］ 郑大钟 A 线性系统理论 ［/］ 清华大学出版社， A 北京： #::* A #’# B #’% A ［%］ 徐 昕， 李 涛， 伯晓晨等 A /01203 工具箱应用指南— — —控制工程篇 ［ /］ 电子工业出版社， A 北京： %""" A 峰， 王雪梅等 A /01203’ A . 精要编程及高级应用 ［/］ 机械工业出版社， A 北京： %""" A .#*.#: A #’##’% A ［.］ 程卫国， 冯
陈侃松 何 翔
（中南民族学院电子信息工程学院） 摘 要 讨论了控制系统的极点配置问题及算法， 介绍了采用 <=>?=@ 语言编程实现控制系统闭 极点配置； <=>?=@ 语言； 0A<6?A’B 仿真 >C!DE 文献标识码 = 文章编号 （!""(） (""F3E"(G "!3""EH3"H
环极点任意配置的方法， 给出了应用实例， 并由 0A<6?A’B 得到了仿真结果 & 关键词 中图分类号
(
<=>?=@ 及其控制系统工具箱简介
具有工程计算、 算法研究、 符号运算、 建 <=>?=@ 是一套高性能的数值计算和可视化软件， 模和仿真、 原型开发、 数据分析及可视化、 科学和工程绘图、 应用程序设计等功能 & <=>?=@ 包 含了涉及多种学科的众多工具箱 & 其中， 控制系统工具箱主要处理以传递函数为主要特征的经 典控制和以状态空间为特征的现代控制中的问题， 为用户提供了用于处理和分析线性时不变 （ ?>A） 模型 & 它支持连续系统和离散系统， 单输入单输出 （ 0A0I） 系统和多输入多输出 （ <A<I） 系 统 & 利用该工具箱中的函数不但可以实现系统模型的建立、 转换、 分析和处理， 还可以进行控制 系统的设计 &
收稿日期 作者简介 基金项目 !""(3"E3"G 陈侃松 （(ND! O ） ， 男， 硕士研究生， 中南民族学院电子信息工程学院， 武汉 HE""DH 国家民委科研基金资助项目 （<PQNN""(）
"
!
第"期
陈侃松等： 运用 +,-.,/ 语言进行控制系统极点配置的方法
56
显然， 为解决上述问题， 我们必须首先给出由 （!） 式决定的受控系统可以利用状态反馈而 任意地配置其闭环极点所应满足的条件 ! 即线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其 全部极点的充分必要条件是此系统为完全能控 ! 下面讨论 " 种算法 ! 对于满足上述充要条件的受控系统 " # #" $ $% ， 给定能控矩阵对｛# ， 和一组 $｝ …， ， 要确定 ! % & 的反馈增益矩阵 ’ ， 使 （ # & $’ ） 的待征值为 期望的闭环特征值｛ !! ， !" ， !& ｝
5
极点配置方法
极点配置的过程就是设计动态补偿器的过程， 包括 " 步： 状态反馈增益选择， 状态估计器
设计 ! 由上面的算法我们可以求得状态反馈增益矩阵， 但并非系统的所有状态 " 都可以测定， 可以建立一个状态估计#， 使得 % # & ’ 此时则不能实现状态反馈规则 % # & ’" ! 这时， #保 留同样的极点配置属性 ! 通过建立如下的状态估计器来实现： （/ & 0 ! ## # # $ $% $ . # & 1% ） 通过选择合适的估计器增益矩阵 . ， 估计器的极点 （即 # & .0 的特征值） 可以被任意配 置 ! 经验表明， 估计器的动态性能应比控制器快 ! 在 % # & ’" 中用状态估计# 代替 " ， 产生如下的动态输出反馈补偿器： ［ # & .0 & （ $ & .1 ） ’］ %# &’ ## # $ ./ ， #! 利用控制系统工具箱的函数可以很容易地实现极点配置 ! 这些函数可以计算增益矩阵 ’
! !
&:
中南民族学院学报 （自然科学版）
第 ;7 卷
和 ! 以实现期望的闭环极点配置， 还可以用这些增益产生状态估计器和动态补偿器 "
［&］ 在 !"#$"% 中的极点配置函数有 ：
! ’()*+ 函数 " 用法为： （ $， ， 其中， 向量 & 中是期望的闭环 # , ’()*+ %， &） $、 % 为 -- 系统模型的数据， 极点位置， 返回值是增益向量 # " " ./’(* 函数 " 用法为： （ $， ， 其中， 向量 & 中是期望的闭环 # , ./’(* ’， &） $、 ’ 为 -- 系统模型的数据， 极点位置， 返回值是增益向量 # " # *0123 函数 " 用法为： （ )+) ， 或 ()* , *0123 （ )+) ， ， 其中， ()* , *0123 !） !， )(,)-.) ， /,-0, ） ! 是估计器增益 矩阵， 返回值 ()* 是模型 )+) 的状态估计器 " 参数 )+) 是线性定常系统的状态空间模型， 它们指定可以测定的输出和已知的输入， 产生的估计器 ()* 用 )(,)-.) 和 /,-0, 是向量， 它们计算输出和状态的估计 " $ +*4 函数 " 用法为： （ )+) ， 或 .)+) , +*4 （ )+) ， ， 其中， .)+) , +*4 #， !） #， !， )(,)-.) ， /,-0, ， 1-,*.-2) ） #和 ! 分别是状态反馈增益矩阵和估计器增益矩阵 " 返回值 .)+) 是模型 )+) 的动态补偿器 " 向量 )(,)-.) 和 /,-0, 的作用与函数 *0123 中的参数相同， 参数 1-,*.-2) 指定可控的输 入"
第 !" 卷第 ! 期 !""( 年 ) 月
中南民族学院学报 （自然科学版） （ ’.1 & 0;7 & ） *$+,-.% $/ 0$+12345-1,.% 6-785,971: /$, ’.17$-.%71759
#$% & !" ’$& ! *+-& !""(
!
运用 <=>?=@ 语言进行控制系统 极点配置的方法
>5 可以利用二阶系统的关系式： 间的关系为： <!5 < , <!; < , #, ， $ , (=0 "" 因此，
; > %7 !5 >" ， （;） *) , 6 7" %, * " #, " 根据所要求的动态品质指标% 和 *) 确定期望主导极点的位置 " 式中 % 为系统的时域超调
图5
状态反馈结构图
&! %求 -#, ； & 求反馈增益矩阵 ’ # ’- ! 算法 " +,-.,/ 中的极点配置函数利用 ,0123+,4 公式进行极点配置， 该算法应用 ［"］ ,0123+,4 公式通过计算矩阵 # 的特征多项式来求取反馈增益矩阵 ’ ! 步骤如下：
! 确定矩阵特征多项式的系数： （ (） （ ( &!!） （ ( &!"） … （ ( &!& ） # # (& $ +& & ! (& & ! $ … $ + ! ( $ + * ； ! （ #） # #& $ + & & ! #& & ! $ … $ + ! # $ + * ) ； " 求" # 计算增益矩阵 ’ ： ［* * … * !］ ［ $ #$ … #& & ! $ ］ （ #） ’# % %" !
6
应用实例及仿真结果
根据 实 际 工 程 经 验， 电动机
转速控制系统的开环传递函数可 #7 #5 ， 其 9 （ 364 8 5） 3’4 8 5 4 中 # 7 , 3’ , 5 7 :， #5 , 36 , 5 7 5; " 为了达到所提出的控 制 要 求， 先 等效 为 将其传递函数描述转化为状态空 间描述， 再由状态反馈 构 成 闭 环 系统并对闭环极点进行配置。状 态反馈结构图如图 5 " 首先， 将问题进行工程上的简化， 认为系统的性能主要由主导极点对决定， 远极点只有极 微小的影响 " 主导极点对!5 ， !; 所构成的二阶系统其阻尼系数" 和自振频率#, 与主导极点之
!
状态反馈的极点配置问题及算法分析
给定线性定常受控系统：
"
（(） ! J #! K $% ， 其中， ! 为 & 维状态向量， % 为 ’ 维控制向量， # 和 $ 为相应维数的已知常阵 " 再给定 & 个所 期望的闭环系统的极点｛ …， ， 它们或者为实数， 或者是共轭复数对 " 通常， 这组期望 !( ， !! ， !( ｝ 的闭环极点， 是由综合问题的更为直观的性能指标， 如时域形式的过渡时间， 超调量等和频域 形式的增益稳定裕度、 相位稳定裕度等， 通过转换和经验估计， 而具体定出的 " 那么， 所谓状态 反馈极点的配置问题， 就是对 （(） 式给定的受控系统确定状态反馈控制 % J L )! K * ， * 为参 考输入， 即确定一个 ’ M & 的状态反馈增益矩阵 ) ， 使得导出的状态反馈闭环系统 ! J （# L …， （ # L $) ） 的特征值为!+ ， …， $) ） ! K $* 的极点为｛ " 也就是使 + J (， !， (" !( ， !! ， !( ｝
.)
" 由性能指标确定期望极点!# ， 将 （%） 式得 #!" # )")， $% !" # ’ 代入 !% # "!’( ， $& "* 为计 #
% 算方便， 取# ! " # )")， $& ! ) # ") # 即!#， $& + , ## $# $& ! $ ) # ") + ,) # ") # % ! $# # 而远极点的选择应与原点的距离大于 -!# - ， 现取!. ! $ #"" #
量， 我们按照实际要求提出如下动态性能指标： *) 为系统的调整时间 " 对于图 5 所示控制系统， 设计反馈矩阵 # 使闭环系统满足上述指标 " ! 输出超调量%"?@ ， " 调整时间 *) "7 " ? ) ， 由开环系统传递函数写出其状态方程为：
第%期
陈侃松等： 运用 /01203 语言进行控制系统极点配置的方法
［!］ …， ｛ !! ， !" ， !& ｝ ! 步骤如下： （ () & # ） # (& $ *& & ! (& & ! $ … $ * ! ( $ * * ； ! 计算 # 的特征多项式 ’() …， 所确定的多项式； " 计算由｛ !! ， !" ， !& ｝
Fra Baidu bibliotek算法 !
!
（ (） （ ( &!!） （ ( &!"） … （ ( &!& ） # # (& $ +& & ! (& & ! $ … $ + ! ( $ + * ； ! ［ + * & * * + ! & * ! … +& & ! & *& & ! ］ ； # 计算 ’ # $ 计算变换阵 , ： ! *& & ! &&! ［# …， ,# $， #$ ， $］ % … … *! … ! *& & ! … *" ! ! … ! *& & ! … … * … … ； … !
! "#$%&’ &( )&*# !++,-./#.$ &( $%# 0&.$1&* 23+$#/ 45+#’ &. "!67!4 75.-85-#
" !! " "
# $ #%
" " # ， "! " # # $ &
将 /01203 中的极点配置函数应用于以上讨论情况求出状态反馈矩阵 ’ ， 程序如下： ［" # "； ； ［"； ； !! " $ #% #； " " $ &］ "! "； #］ ［#""； ； （ !， (! $ ) # ") $ ,) # ")； $ ) # ") 4 ,) # ")］ ’ ! 56789 "， )） # 运 行 后 结 果 为：’ !［ $ : ::) ， 即为满足图 # 所示 $ #.: # ) $ #". # :］ 状态反馈结构图要求的反馈增益矩阵 # 在 ;</=2<>? 中 进 行 仿 真， 结果如 图 % 所示 # 仿真结果满足控制系统所提 出的动态性能指标， 即输出超调量 "! 调整时间 $% ! " # ’@ # 说明应用极点 ’( ， 配置 函 数 求 得 的 状 态 反 馈 矩 阵 是 正 确的 #