2018北京海淀初三数学期末试题2018.1答案
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷.doc
(解析版)2018-2019学度北京海淀区初三上年末数学试卷【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、86、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜07、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、28、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为cm2、〔结果保留π〕10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=，F2018〔4〕=；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、2018-2018学年北京市海淀区九年级〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】选择题〔共8小题，每题4分，总分值32分〕1、方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是〔〕A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、没有实数根D、无法确定是否有实数根考点：根的判别式、分析：求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可、解答：解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣5〕=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，应选A、点评：此题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a、b、c为常数，a≠0〕①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根、2、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinA的值为〔〕A、B、C、D、考点：锐角三角函数的定义、分析：直接根据三角函数的定义求解即可、解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==、应选A、点评：此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA、即sinA=∠A的对边：斜边=a：C、3、假设如图是某个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕A、长方体B、正方体C、圆柱D、圆锥考点：由三视图判断几何体、分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状、解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥、应选：D、点评：此题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定、4、小丁去看某场电影，只剩下如下图的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号、假设小丁从中随机抽取一个，那么抽到的座位号是偶数的概率是〔〕A、B、C、D、考点：概率公式、分析：由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案、解答：解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是：=、应选C、点评：此题考查了概率公式的应用、用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、5、如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，假设C1为OC的中点，AB=4，那么A1B1的长为〔〕A、1B、2C、4D、8考点：位似变换、专题：计算题、分析：根据位似变换的性质得到=，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到=，所以=，然后把OC1=OC，AB=4代入计算即可、解答：解：∵C1为OC的中点，∴OC1=OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴=，B1C1∥BC，∴=，∴=，即=∴A1B1=2、应选B、点评：此题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心、注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行、6、点A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，假设x1＜0＜x2，那么以下结论正确的选项是〔〕A、y1＜0＜y2B、y2＜0＜y1C、y1＜y2＜0D、y2＜y1＜0考点：反比例函数图象上点的坐标特征、专题：计算题、分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣，y2=﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小、解答：解：∵A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕是反比例函数y=﹣的图象上的两点，∴y1=﹣，y2=﹣，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1、应选B、点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象是双曲线，图象上的点〔x，y〕的横纵坐标的积是定值k，即xy=k、7、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F、假设AC=2，那么OF的长为〔〕A、B、C、1D、2考点：垂径定理；全等三角形的判定与性质、分析：根据垂径定理求出AD，证△ADO≌△OFE，推出OF=AD，即可求出答案、解答：解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE〔AAS〕，∴OF=AD=1，应选C、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ADO ≌△OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦、8、如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O、点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EF⊥BD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，假设表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，那么这条线段可能是图1中的〔〕A、线段EFB、线段DEC、线段CED、线段BE考点：动点问题的函数图象、分析：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论、解答：解：作BN⊥AC，垂足为N，FM⊥AC，垂足为M，DG⊥AC，垂足为G、由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞时，DE有最小值，故B正确；∵CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；应选：B、点评：此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键、【二】填空题〔共4小题，每题4分，总分值16分〕9、如图，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，那么扇形的面积为3πcm2、〔结果保留π〕考点：扇形面积的计算、专题：压轴题、分析：知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出、解答：解：由S=知S=×π×32=3πcm2、点评：此题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S=、10、在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m、考点：相似三角形的应用、分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解、解答：解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，=，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m、故答案为：24、点评：此题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键、11、如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，那么关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、考点：二次函数的性质、专题：数形结合、分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解、解答：解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A〔﹣2，4〕，B〔1，1〕，∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1、故答案为x1=﹣2，x2=1、点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣、也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题、12、对于正整数n，定义F〔n〕=，其中f〔n〕表示n的首位数字、末位数字的平方和、例如：F〔6〕=62=36，F〔123〕=f〔123〕=12+32=10、规定F1〔n〕=F〔n〕，F k+1〔n〕=F〔F k〔n〕〕、例如：F1〔123〕=F〔123〕=10，F2〔123〕=F〔F1〔123〕〕=F〔10〕=1、〔1〕求：F2〔4〕=37，F2018〔4〕=26；〔2〕假设F3m〔4〕=89，那么正整数m的最小值是6、考点：规律型：数字的变化类、专题：新定义、分析：通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可、解答：解：〔1〕F2〔4〕=F〔F1〔4〕〕=F〔16〕=12+62=37；F1〔4〕=F〔4〕=16，F2〔4〕=37，F3〔4〕=58，F4〔4〕=89，F5〔4〕=145，F6〔4〕=26，F7〔4〕=40，F8〔4〕=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2018是7的287倍余6，因此F2018〔4〕=26；〔2〕由〔1〕知，这些数字7个一个循环，F4〔4〕=89=F18〔4〕，因此3m=18，所以m=6、故答案为：〔1〕37，26；〔2〕6、点评：此题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键、【三】解答题〔共13小题，总分值72分〕13、计算：〔﹣1〕2018+sin30°﹣〔π﹣3.14〕0+〔〕﹣1、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值、专题：计算题、分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法那么计算，最后一项利用负指数幂法那么计算即可、解答：解：原式=﹣1+﹣1+2=、点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、14、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE、考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论、解答：证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE、点评：此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似、也考查了等腰三角形的性质、15、m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式的值、考点：一元二次方程的解、专题：计算题、分析：把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值、解答：解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，那么原式===3、点评：此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法那么是解此题的关键、16、抛物线y=2x2平移后经过点A〔0，3〕，B〔2，3〕，求平移后的抛物线的表达式、考点：二次函数图象与几何变换、专题：计算题、分析：由于抛物线平移前后二次项系数不变，那么可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式、解答：解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A〔0，3〕，B〔2，3〕分别代入得，解得，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3、点评：此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式、17、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，AC⊥x轴于点C，连接BC、〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设点P是反比例函数y=图象上的一点，且满足△OPC与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标、考点：反比例函数与一次函数的交点问题、分析：〔1〕把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；〔2〕由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标、解答：解：〔1〕把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点A坐标为〔2，4〕，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y=；〔2〕∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为〔﹣2，﹣4〕，∴B到OC的距离为4，∴S△ABC=2S△ACO=2××2×4=8，∴S△OPC=8，设P点坐标为〔x，〕，那么P到OC的距离为||，∴×||×2=8，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为〔1，8〕或〔﹣1，﹣8〕、点评：此题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在〔1〕中求得A点坐标、在〔2〕中求得P点到OC的距离是解题的关键、18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E、〔1〕求线段CD的长；〔2〕求cos∠ABE的值、考点：解直角三角形；勾股定理、专题：计算题、分析：〔1〕在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==，那么可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC，那么S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解、解答：解：〔1〕在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴CD=AB=5；〔2〕在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为、点评：此题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由元素求未知元素的过程就是解直角三角形、也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式、19、关于x的一元二次方程mx2﹣〔m+2〕x+2=有两个不相等的实数根x1，x2、〔1〕求m的取值范围；〔2〕假设x2＜0，且＞﹣1，求整数m的值、考点：根的判别式；根与系数的关系、专题：计算题、分析：〔1〕由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；〔2〕利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可、解答：解：〔1〕由得：m≠0且△=〔m+2〕2﹣8m=〔m﹣2〕2＞0，那么m的范围为m≠0且m≠2；〔2〕方程解得：x=，即x=1或x=，∵x2＜0，∴x2=＜0，即m＜0，∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1、点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0、20、某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕；质量档次12...x (10)日产量〔件〕9590...100﹣5x (50)单件利润〔万元〕68...2x+4 (24)为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元、〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值、考点：二次函数的应用、分析：〔1〕根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；〔2〕由〔1〕的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论、解答：解：〔1〕由题意，得y=〔100﹣5x〕〔2x+4〕，y=﹣10x2+180x+400〔1≤x≤10的整数〕；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；〔2〕∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10〔x﹣9〕2+1210、∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210、答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元、点评：此题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键、21、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切，射线AO交BC 于点E，交⊙O于点F、点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF、〔1〕求证：直线PC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=，AD=2，求线段PC的长、考点：切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质、分析：〔1〕首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；〔2〕首先由勾股定理可求得AE的长，然后设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r，那么可求得半径长，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长、解答：〔1〕证明：连接OC、∵AD与⊙O相切于点A，∴FA⊥AD、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴FA⊥BC、∵FA经过圆心O，∴F是的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠BAF、∵∠PCB=2∠BAF，∴∠PCB=∠COF、∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∴∠OCE+∠PCB=90°、∴OC⊥PC、∵点C在⊙O上，∴直线PC是⊙O的切线、〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2、∴BE=CE=1、在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=，∴、设⊙O的半径为r，那么OC=OA=r，OE=3﹣r、在Rt△OCE中，∠OEC=90°，∴OC2=OE2+CE2、∴r2=〔3﹣r〕2+1、解得，∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°、∴△OCE∽△CPE，∴、∴、∴、点评：此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用、22、阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值、请回答：〔1〕如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；〔2〕如图2，线段AB与CD交于点O、为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决、请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=、考点：相似形综合题、分析：〔1〕用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；〔2〕连接AC、DB、AD、DE、由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；〔3〕如图，连接AE、BF，那么AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD、解答：解：〔1〕如下图：线段CD即为所求、〔2〕如图2所示连接AC、DB、AD、∵AD=DE=2，∴AE=2、∵CD⊥AE，∴DF=AF=、∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO、∴CO：DO=2：3、∴CO=、∴DO=、∴OF=、tan∠AOD=、〔3〕如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5、由勾股定理可知：AF==，AB==、∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF、∴AO：OB=AE：FB=5：2、∴AO=、在Rt△AOF中，OF==、∴tan∠AOD=、点评：此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键、23、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕、〔1〕求代数式mn的值；〔2〕假设二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；〔3〕假设反比例函数y=的图象与二次函数y=a〔x﹣1〕2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围、考点：反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质、专题：综合题；数形结合；分类讨论、分析：〔1〕只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；〔2〕将点B的坐标代入y=〔x﹣1〕2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；〔3〕可先求出直线y=x与反比例函数y=交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质〔|a|越大，抛物线的开口越小〕就可解决问题、解答：解：〔1〕∵反比例函数y=的图象经过点A〔1，4〕、B〔m，n〕，∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；〔2〕∵二次函数y=〔x﹣1〕2的图象经过点B，∴n=〔m﹣1〕2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn〔m2﹣2m+1〕+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；〔3〕设直线y=x与反比例函数y=交点分别为C、D，解，得：或，∴点C〔﹣2，﹣2〕，点D〔2，2〕、①假设a＞0，如图1，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点D时，有a〔2﹣1〕2=2，解得：a=2、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②假设a＜0，如图2，当抛物线y=a〔x﹣1〕2经过点C时，有a〔﹣2﹣1〕2=﹣2，解得：a=﹣、∵|a|越大，抛物线y=a〔x﹣1〕2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣、综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣、点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第〔2〕小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第〔3〕小题的关键、24、如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC 为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α、〔1〕如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；〔2〕将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF、①假设α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长〔用含α的式子表示〕、考点：几何变换综合题、分析：〔1〕根据等腰直角三角形的性质得出即可；〔2〕①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD、求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可、解答：解：〔1〕AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；〔2〕①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD、∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF==4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FME=，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sin=8sin、点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大、25、在平面直角坐标系xOy中，设点P〔x1，y1〕，Q〔x2，y2〕是图形W上的任意两点、定义图形W的测度面积：假设|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，那么S=mn为图形W的测度面积、例如，假设图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2、那么图形W的测度面积S=mn=4〔1〕假设图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1、①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=1；②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S=1；〔2〕假设图形W是一个边长1的正方形ABCD，那么此图形的测度面积S的最大值为2；〔3〕假设图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围、考点：圆的综合题、分析：〔1〕由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；〔2〕先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解、〔3〕分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可、解答：解：〔1〕①如图3，。
北京市海淀区九级(上)数学期末试卷
海淀区 2018-2018 学年九年级第一学期期末数学试卷（分数： 120 分时间： 120 分钟）一、选择题（此题共32 分，每题 4 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．的值是()A．3B．－ 3C．D．62．如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开获得两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片经过图形变换组成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是 ( )．．．．．矩形纸片A B C D3．如图，在△中，点、分别为边、上的点，且∥，若，，，则的长为()A．3B．6 C．9 D．124．二次函数的图象如下图，将其绕坐标原点O 旋转，则旋转后的抛物线的解读式为( )A ．B ．C． D ．5．在平面直角坐标系中，以点为圆心， 4为半径的圆与y 轴所在直线的地点关系是 ()A ．相离B．相切C．订交D．没法确立6．若对于的方程没有实数根，则的取值范围是A ．B． C ．D．7．如图，是⊙的切线，为切点，的延伸线交⊙于点，连结，若，，则等于 ( C. D.8．如图， Rt △ ABC 中， AC=BC =2 ，正方形CDEF 的极点 D 、F分别在 AC、 BC 边上，C、 D 两点不重合，设CD 的长度为 x，△ ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是()yyy y22241111A B C D二、填空题（此题共16 分，每题 4 分）9．比较大小：（填“>”、“ =”或“ <”）．10．如图，是⊙ O 上的点，若，则___________度．11．已知点 P（ - 1，m）在二次函数的图象上，则m 的值为；平移此二次函数的图象，使点P 与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解读式为. 12．在△中，分别是边上的点，是边的等分点，，.如图1，若，，则∠+∠+∠++∠度；如图2，若，，则∠+∠+∠++∠（用含，的式子表示） .BP1P2P3F P n-1C E A图 2三、解答题（此题共30 分，每题 5 分）13．计算：．14．解方程：．15．如图，在△和△中，，为线段上一点，且．求证：．16．已知抛物线经过（0，- 1），（3，2）两点．求它的解读式及极点坐标．17．如图，在四边形ABCD 中，∥且，E是BC上一点，且．求证：．18．若对于的方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）当获得最大整数值时，求此时方程的根.四、解答题（此题共20 分，每题 5 分）19．如图，用长为20M 的篱笆恰巧围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为M ，面积为平方 M ．（注：的近似值取3）（ 1）求出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（ 2）当半径为什么值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．20．如图， AB 为O 的直径，射线AP 交O 于 C 点，∠ PCO 的均分线交O 于 D 点，过点 D作交AP于E点．（ 1）求证： DE 为O 的切线；（ 2）若，，求直径的长．21．已知二次函数．（ 1）若点与在此二次函数的图象上，则（填“ >”、“ =”或“<”）；（ 2）如图，此二次函数的图象经过点，正方形ABCD 的极点C、 D 在 x 轴上，A、 B 恰幸亏二次函数的图象上，求图中暗影部分的面积之和．22．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．解：原方程可变形，得.，，.直接开平方并整理，得．我们称晓东这类解法为“均匀数法”.（ 1）下边是晓东用“均匀数法”解方程时写的解题过程．解：原方程可变形，得.，.直接开平方并整理，得¤．上述过程中的“”，“” ，“☆”，“¤”表示的数分别为_____，_____，_____， _____．（2）请用“均匀数法”解方程：．五、解答题（此题共22 分，第 23、 24 小题各 7 分，第 25 小题 8 分）23．已知抛物线（）．（1）求抛物线与轴的交点坐标；（2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值；（3）若一次函数的图象与抛物线一直只有一个公共点，求一次函数的解读式.24．已知四边形ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形，且AB>CE．（ 1）如图 1，连结 BG、 DE．求证： BG=DE ；（ 2）如图2，假如正方形ABCD 的边长为，将正方形CEFG 绕着点 C 旋转到某一地点时恰巧使得 C G//BD，BG=BD .①求的度数；②请直接写出正方形CEFG 的边长的值 .图 1图 225．如图 1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左边)，极点为C，点 D （1， m）在此二次函数图象的对称轴上，过点 D 作 y 轴的垂线，交对称轴右边的抛物线于 E 点．（ 1）求此二次函数的解读式和点 C 的坐标；（ 2）当点 D 的坐标为（ 1， 1）时，连结BD、．求证：均分；（ 3）点 G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、 C、 G 为极点的三角形与以G、D 、E 为极点的三角形相像，求点 E 的横坐标．图1备用图1备用图2海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参照:1.,,, .2.,.3.,.32412345678A CB DC B B A1649<1013011 0,(2)12(2 )30,51354.5145.145 1552=3△△451650-1322341 - 25 175123△△.45 1851.12 212.34 ,52051951lM....2.3 2..5 205P 1:ECOD.21D,F 3.CDPCO A BO..1....DE O.2(2)O F..,.3,ODEF...4 Rt AOF...52151<.220 - 4m = - 43ABCDyOD=OC.Bn 2nn >0B..4 B24.=2 4=8522.5(1)42- 1- 7 .22..3.452223 24725823.71...x 1 00 .22..3...4 3..6.724.71...1..22BE.1BG=DE ...,.3,A D..4G,.BFC.E5.7 25.81 D 1 m1 C1-422D 1 1 DE y E 1 DE xyED EB O A xED E =C图 1A3,0B-1,0BD =BD=DE343ACG G D EGDEACGGA3,0C1-4,G1 1AG=AC=图 211/12AC=2 AG.GD=2 DE DE =2 GD .t >1.D G DE=t1-GD =() =.i.2GD =2 DE= 2(t- 1)..()5图 3 ii.3DE =2GDt - 1=2()..()6.DG DE=t - 1GD=1-()= -.i.4GD =2 DE= 2 t - 1 .图 4.()7=2 GDt- 1=2..()8E.图 512/12。
2018年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷[解析版]
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2017-2018学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1 B．直线x=1 C．直线x=﹣2 D．直线x=22．（2分）在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A．B．C．D．33．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，则BC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q7．（2分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（）A．x＜0或x＞4 B．0＜x＜4 C．x＜4 D．x＞48．（2分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣2x=0的根是．10．（2分）已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为．11．（2分）若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是．（写出一个即可）12．（2分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x 轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．13．（2分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为．15．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．16．（2分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin30°﹣2cos45°．18．（5分）已知x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，求m（2m+1）的值．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC 的长．20．（5分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．22．（5分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC 的边BC 上取B'，C'两点，使∠AB'B=∠AC'C=∠BAC ，则△ABC ∽△B'BA∽△C'AC ，=，=，进而可得AB 2+AC 2= ；（用BB'，CC'，BC 表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B'C'= ．23．（6分）如图，函数y=（x ＜0）与y=ax +b 的图象交于点A （﹣1，n ）和点B （﹣2，1）．（1）求k ，a ，b 的值；（2）直线y=mx 与y=（x ＜0）的图象交于点P ，与y=﹣x +1的图象交于点Q ，当∠PAQ ＞90°时，直接写出m 的取值范围．24．（6分）如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF=DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD=4，DE=5，求DM 的长．25．（6分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=40°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm ，设BD 为x cm ，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是．26．（6分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是x=；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．27．（7分）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C 交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO=，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A 关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是．28．（7分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=QA”是否正确：（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．2017-2018学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1 B．直线x=1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2【解答】解：∵抛物线的顶点式为y=（x﹣1）2+2，∴对称轴是x=1．故选：B．2．（2分）在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（）A．B．C．D．3【解答】解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=，故选：A．3．（2分）如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，则BC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵DE∥BC，AB=4，AD=2，DE=1.5，∴，即，解得：BC=3，故选：C．4．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB=AD，∠BAD=100°，∴∠B=∠ADB=×（180°﹣100°）=40°．故选：B．5．（2分）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，∠A=α，∠C=β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；故选：D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解答】解：由图形可得：OA=，OM=，ON=，OP=，OQ=5，所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，故选：C．7．（2分）如图，反比例函数的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是（）A．x＜0或x＞4 B．0＜x＜4 C．x＜4 D．x＞4【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（4，1），∴当y＜1时，x＜0或x＞4．故选：A．8．（2分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径【解答】解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t==4.84，故本选项正确；故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣2x=0的根是x1=0，x2=2．【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．10．（2分）已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为60°．【解答】解：∠A为锐角，且tanA=，则∠A=60°，故答案为：60°．11．（2分）若一个反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是y=（答案不唯一）．．（写出一个即可）【解答】解：只要使反比例系数大于0即可．如y=，答案不唯一．故答案为：y=（答案不唯一）．12．（2分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x 轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为（4，0），∴点Q的横坐标为1×2﹣4=﹣2，∴点Q的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．13．（2分）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为6．【解答】解：扇形的面积==6π．解得：r=6，故答案为：614．（2分）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为2．【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线，∴PA=PC，∵∠P=60°，∴△PAC是等边三角形，∴AC=PA=，∠PAC=60°，∵PA是切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∴AB==2，故答案为215．（2分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为10．【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴=，∴=，解得x=10，故答案为1016．（2分）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．．【解答】解：如图，连接OD、OC，由作图知，OB=OC=CD，∴△OCD为等边三角形，则∠COD=60°，∴∠DAC=∠COD=30°，综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin30°﹣2cos45°．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．18．（5分）已知x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，求m（2m+1）的值．【解答】解：∵x=1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2=0的一个根，∴1﹣m﹣2m2=0．∴2m2+m=1．∴m（2m+1）=2m2+m=1．19．（5分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC 的长．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵AC=5，，∴AD=AC•sinC=3．∴在Rt△ACD中，．∵AB=，∴在Rt△ABD中，．∴BC=BD+CD=7．20．（5分）码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．（1）直接写出v关于t的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？【解答】解：（1）由题意可得，v关于t的函数表达式：v=，故答案为：；（2）由题意可得，当t=5时，v=，答：平均每天要卸载48吨．21．（5分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC为边作△ACE，∠ACE=90°，AC=CE，延长BC至点D，使CD=5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．【解答】证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴AC==2，∵CE=AC，∴CE=2，∵CD=5，∵==，=，∴=，∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°．∴∠BAC=∠DCE．∴△ABC∽△CED．22．（5分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B=∠AC'C=∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，=，=，进而可得AB2+AC2=BC（BB′+C′C）；（用BB'，CC'，BC表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B'C'=．【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC∴=，=，∴AB2=BC•B′B，AC2=BC•C′C，∴AB2+AC2=BC•B′B+BC•C′C=BC（BB′+C′C）；∵AB=4，AC=3，BC=6，∴42+32=6（BB′+C′C），即6（BC﹣B′C′）=25，∴6﹣B′C′=，∴B′C′=．故答案为BC（BB'+CC'）；．23．（6分）如图，函数y=（x＜0）与y=ax+b的图象交于点A（﹣1，n）和点B（﹣2，1）．（1）求k，a，b的值；（2）直线y=mx与y=（x＜0）的图象交于点P，与y=﹣x+1的图象交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数（x＜0）的图象经过点B（﹣2，1），∴，得k=﹣2．∵函数（x＜0）的图象还经过点A（﹣1，n），∴，点A的坐标为（﹣1，2），∵函数y=ax+b的图象经过点A和点B，∴解得，∴k=﹣2，a=1，b=3．（2）如图直线y=﹣x+1经过点A，直线y=﹣x+1与直线AB垂直，当直线经过点B时，m=﹣，当直线经过点A时，m=﹣2，观察图象可知当m＜﹣2或﹣＜m＜0时，∠PAQ＞90°，当m=﹣1时，直线y=mx与直线y=﹣x+1平行，观察图象可知m＜﹣1且m≠﹣2时，∠PAQ″＞90°，综上所述，满足条件的m的值为﹣＜m＜0或m＜﹣1且m≠﹣2．24．（6分）如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE ∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD=∠BDE．∴∠CBD=∠BDE．∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°．∵∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD=AD=4，AB=BC．∵DE=5，∴，EF=DE=5．∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5．∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．∴AB=8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴．∴ME=4．∴DM=DE﹣EM=1．25．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°至AD'，连接BD'．已知AB=2cm，设BD为x cm，BD'为y cm．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y/cm 1.7 1.3 1.10.90.70.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD'的长度的最小值约为0.7cm；若BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．【解答】解：（1）如图1，在AC上取一点E使AE=AB=2，由旋转知，AD=AD'，∠DAD'=50°=∠BAC，∴∠DAE=∠D'AB，在△DAE和△D'AB中，，∴△DAE≌△D'AB（SAS），∴DE=BD'=y，在Rt△ABC中，AB=2，∠C=40°，∴∠BAC=50°，AC==≈=3.13，BC==≈≈2.40∴CE=AC﹣AE=3.13﹣2=1.13，过点E作EF⊥BC于F，在Rt△CEF中，EF=CE•sinC=1.13×sin40°≈0.72，CF=CE•cosC=1.13×cos40°≈1.13×0.78≈0.88，当x=1时，BD=1，∴DF=BC﹣BD﹣CF=2.40﹣1﹣0.88=0.52，在Rt△DEF中，根据勾股定理得，y=DE=≈0.9，故答案为：0.9．（2）函数图象如图2所示．（3）方法1、由图象和表格知，线段BD'的长度的最小值约为0.7cm，∵BD'≥BD，∴y≥x，由图象知，0≤x≤0.9，故答案为：0.7，0≤x≤0.9．（3）方法2、由（1）知，BC=2.4，CF=0.88，EF=0.72，DF=BC﹣BD﹣CF=2.40﹣x﹣0.88=1.52﹣x，根据勾股定理得，y==，∵0≤x≤2.40，∴x=1.52时，y=0.72≈0.7，最小当BD'=BD时，DE=y=x在Rt△DEF中，根据勾股定理得，DE2=DF2+EF2，∴x2=（1.52﹣x）2+（0，72）2，∴x≈0.9∴BD'≥BD，则BD的长度x的取值范围是0≤x≤0.9．故答案为：0.7，0≤x≤0.9．26．（6分）已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是x=2；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求当1≤x≤4时，y的最小值；（3）若该二次函数的图象开口向下，对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．【解答】解：（1）对称轴x=﹣=2．故答案为2．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a﹣8a+3a=2．∴a=﹣2，y=﹣2x2+8x﹣6，∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4，∴t的最大值为4．27．（7分）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C 交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标（2，0）；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tan∠BAO=，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线y=x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是或．【解答】解：（1）（2，0）（答案不唯一）．（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得M'N'，则由题意，线段MN和M'N'上的点是满足条件的点B．作MH⊥x轴于H，连接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°．∵AC是⊙O的直径，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°．∴∠OAM=∠HMC．∴．∴．设MH=y，则AH=2y，，∴，解得，即点M的纵坐标为．又由AN=2AM，A为（﹣1，0），可得点N的纵坐标为，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：，由对称性，在线段M'N'上，点B的纵坐标t满足：，∴点B的纵坐标t的取值范围是或．（3）如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，易知点P的运动轨迹是以K（1，0）为圆心2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在Rt△KMR中，易知∠KRM=90°，∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=，∴OM=1+，∴ON=OM=4+，∴b=﹣4﹣，当直线MN经过G（0，﹣1）时，满足条件，此时b=﹣1，观察图象可知：当﹣4﹣≤b≤﹣1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4﹣时，也满足条件．故答案为或．28．（7分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=Q A”是否正确：否（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）否．理由：如图1中，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠ABD=∠DBC=∠BCE=∠ACE=22.5°，∴∠ADB=∠DBC+∠ACB=67.5°，∵∠QAD=45°，∴∠AQD=∠ADQ=67.5°，∴AD=AQ，同法可证AQ=AE，连接DE，易证DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=∠DBE，∴DE=BE，∵DE=AD=AQ，∴BE=AQ，∵∠BEQ＞∠BQE，∴BQ＞BE，∴BQ＞AQ．故答案为否．（2）①作PD⊥AB于D，则∠PDB=∠PDA=90°，∵∠ABP=30°，∴．∵，∴．∴．由∠PAB是锐角，得∠PAB=45°．另证：作点P关于直线AB的对称点P'，连接BP'，P'A，PP'，则∠P'BA=∠PBA，∠P'AB=∠PAB，BP'=BP，AP'=AP．∵∠ABP=30°，∴∠P'BP=60°．∴△P'BP是等边三角形．∴P'P=BP．∵，∴．∴P'P2=PA2+P'A2∴∠PAP'=90°．∴∠PAB=45°．②结论：α+β=45°，证明如下：作AD⊥AP，并取AD=AP，连接DC，DP．第31页（共32页）∴∠DAP=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAC +∠CAP=∠DAP +∠CAP ， 即∠BAP=∠CAD ，∵AB=AC ，AD=AP ，∴△BAP ≌△CAD ，∴∠1=∠2，PB=CD ，∵∠DAP=90°，AD=AP ，∴，∠ADP=∠APD=45°， ∵，∴PD=PB=CD ，∴∠DCP=∠DPC，∵∠APC=α，∠BPC=β，∴∠DPC=α+45°，∠1=∠2=α﹣β．∴∠3=180°﹣2∠DPC=90°﹣2α，∴∠ADP=∠1+∠3=90°﹣α﹣β=45°，∴α+β=45°．第32页（共32页）。
月海淀初三数学期末试题及答案
11．海淀区九年级第一学期期末测评数学试卷2018.1一、选择题<本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列说法正确的是 ( >A. 掷两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面超上是不可能事件B．随意地翻到一本书的某页，这页的页码为奇数是随机事件C．经过某市一装有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件D．某一抽奖活动中奖的概率为,买100张奖券一定会中奖2C Db5E2RGbCAP3. 将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+3,则下列平移过程正确的是 ( >A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C. 向左平移3个单位D.向右平移3个单位4.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 ( >A ．x2+1=0B ．9x2-6x+1=0C ．x2-x+2=0D ．x2-2x-3=0p1EanqFDPw 5. 已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则此圆锥的侧面积为 ( >A. 5πcm2B.10πcm2C.14πcm2D.20πcm2DXDiTa9E3d 6.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好 落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距6m,与树相距 15m ，则树的高度为 ( >A. 4mB. 5mC. 7mD. 9mRTCrpUDGiT 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则下列 结论中正确的是( > A ．a>0 B ．c ＜0 C ．D ．a ＋b ＋c>08.已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬O B(A )COABC行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示.若沿OA 剪开,则得到的圆锥侧面展开图为 ( > A BC D5PCzVD7HxA 二、填空题<本题共16分，每小题4分） 9. 方程的解是 .10.如图, △ABD 与△AEC 都是等边三角形, 若∠ADC = 15︒, 则 ∠ABE=︒ . 11. 若<x, y, z 均不为0），则的值为 .12．用两个全等的含30︒角的直角三角形制作如图1所示的两种卡片, 两种卡片中扇形的半径均为1, 且扇形所在圆的圆心分别为长直角边的中点和30︒角的顶点, 按先A 后B的顺序交替摆放A 、B 两种卡片得到图2所示的图案. 若摆放这个图案共用两种卡片8张，则这个图案中阴影部分的面积之和为。
2018.1海淀区初三数学期末试题及答案
2018.1海淀区初三数学期末试题及答案D图 1图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220xx -=的根为 ．yx9.687.491.09O COD A B17.1210．已知∠A 为锐角，且tan 3A =A的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y axbx c=++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，PA =3，则AB 的长为 ．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20mxyPx =1O OCB的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ． 求作：∠A ，使得∠A 30°． 作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点D ，作射线AD ． ∠DAB 即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是绿黄红停止线交通信号灯0.8mx m3.2m10m20mDC BO A．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2sin 30°2cos 45-°8 18．已知1x =是关于x 的方程2220xmx m --=的一个根，求(2)1m m +的值．19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB =32，AC =5，sin 35C =，求BC 的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ． （1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．CBA22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C C AC'=，进而可得22AB AC +=；（用BB CC BC''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数k y x =（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）．（1）求k ，a ，b 的值；（2）直线x m =与k y x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当EB C DAAB B' C' CAB B'(C') CB C' B' CA图 1 图 2yBA∠>︒时，直接写出m的取值范围．PAQ9024．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：/cm x0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 /cmy 1.71.3 1.10.7 0.9 1.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对DB EC FOAD'B D CA应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ； 若BD '≥BD，则BD的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y axax a=-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ； （2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．xyO 1231227．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射．线．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA ≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）． （1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围； （3）直线3y x b=+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．xyA–1–2–312345–1–2–3–4–5–612345O xyA–1–2–312345–1–2–3–4–5–612345O28．在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QB QA=”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB =2PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2 图3PP EDQB CAB CAB CA初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准 2018．1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1 2 3 4 5 6 7 8 BACBDCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222222⨯-⨯+ ………………3分 = 1222= 12 ………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根， ∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分∴ 2(2)211m m m m =++=. ………………5分19．解：作AD ⊥BC 于点D ， ∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， ∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分 ∴ 在Rt △ACD 中，224CD AC AD =-=. ………………3分∵ AB =32∴ 在Rt △ABD 中，223BD AB AD =-=. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2， ∴ 2225AC AB BC =+=.∵ CE =AC ， ∴ 25CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， BEA∴ 12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 223CE DE DC =-=，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.MO BDEC∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得yx12123OyNM1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B . 作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）431b --≤≤-或143b ≤≤- ………………7分28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分 ∵ 2PB PA =， ∴ 22PD PA =. ∴ 2sin PD PAB PA ∠== 由∠PAB 是锐角，得∠PAB =45°. ………………3分DPB另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','BP P A PP ，则',',','P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP ∠=∠∠=∠==.∵∠ABP =30°， ∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =. ∵2PB PA =，∴'2P P PA =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分 作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ 2PD PA =，∠ADP =∠APD =45°. ∵ 2PB PA =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-.321E ABP'BCP∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分。
2018届海淀区初三第一学期数学期末试卷答案
初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）1 2 3 4 5 6 7 8B AC BD C A D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9．0 或2 10．60 11．y 1（答案不唯一）12．（2，0）x13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，sin1A ， A 为锐角， A30.2三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分）17．解：原式=1 22 2 2 2 (3)分2 2= 1 2 2 2= 1 2 ………………5 分18．解：∵x 1是关于x 的方程x 2mx 2m2 0的一个根，∴1m 2m2 0.∴2m2 m 1. ………………3 分∴m(2m1) 2m2 m 1. ………………5 分19．解：作AD⊥BC 于点D，A∴∠ADB=∠ADC=90°.3B D Csin C ，5∵AC=5，∴AD AC sin C 3. ………………2 分∴ 在Rt △ACD 中，CD AC2AD24.………………3 分∵ AB 3 2 ， ∴ 在Rt △ABD 中，BD AB2AD23.………………4 分 ∴ BCBD CD 7.………………5 分20．解：240（1）.………………3 分t（2）由题意，当t5时，v 240 48. ………………5 分t答：平均每天要卸载48 吨.21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，A∴ AC AB2BC22 5 .∵ CE =AC ，E∴ CE2 5 .BCD∵ CD =5，∴ABAC . ………………3 分CE CD∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°. ∴ ∠BAC =∠DCE . ∴ △ABC ∽△CED .………………5 分22．BC ，BC ，BC BB CC………………3 分11 6………………5 分23．解：k（x 0 ）的图象经过点B （-2， 1）， （1）∵ 函数yxk∴1，得k2 .………………1 分2k∵函数yx2，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2 分2∴n1∵函数y ax b 的图象经过点A 和点B，∴a b 2, 解得 2a b 1.a 1,b 3. ………………4 分（2）2 m 0 且 m 1.………………6 分24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ，∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE . ∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1 分∵ ED =EF ， ∴ ∠EDF =∠EFD .∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°. ∴ OD ⊥DF . ………………2 分∵OD 是半径， ∴ DF 是⊙O 的切线.………………3 分（2）解： 连接 DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，A∴ ∠BAD =∠BCD =90°.D∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ，MO∴ △ABD ≌△CBD .∴ CD =AD =4，AB =BC. BFEC∵ DE =5， ∴ CEDE2DC23，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5. ∴ BF BE EF 10， BC BE EC 8.∴ AB =8. ………………5 分∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF .∴ AB BF. ME EF∴ME=4.∴DM DE EM 1. ………………6 分y25．（1）0.9. ………………1 分2（2）如右图所示. ………………3 分（3）0.7，………………4 分10 x 0 . . ………………6 分xO1 2 326．解：（1）2．………………1 分（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x 2，∴当x 2时，y 取到在1x 4上的最大值为 2.∴4a 8a 3a 2.∴ a 2 ，y 2x2 8x 6. ………………3 分∵当1x 2时，y 随x 的增大而增大，∴当x 1时，y 取到在1x 2上的最小值0 .∵当2 x 4 时，y 随x 的增大而减小，∴当x 4时，y 取到在2 x 4 上的最小值 6 .∴当1x 4时，y 的最小值为6. ………………4 分（3）4. ………………6 分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1 分（2）如图，在x 轴上方作射线AM，与⊙O 交于M，且使得1tan OAM ，并在AM2上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N，则由题意，线段MN 和M N上的点是满足条件的点B.y作MH⊥x 轴于H，连接MC，N∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°. M∵AC 是⊙O 的直径，A O xH C∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.M'∴∠OAM=∠HMC.N'1tan HMCtan OAM. ∴ 2MH HC 1. ∴HA MH2设 MHy ，则 AH 2y ，1CHy ， 2AC AHCH5 y，解得4y，即点 M 的纵坐标为 4 ∴2.255又由 AN2AM ，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为 8，548t . ………………3 分故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足：55由对称性，在线段 M N 上，点 B 的纵坐标 t 满足： 84t.………………4 分 5 584 或 4 8 ∴ 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 tt .5555（3）4 3 b 1或1 b 4 3 .………………7 分28．解：（1）否.………………1 分（2）① 作 PD ⊥AB 于 D ，则∠PDB =∠PDA =90°，A∵ ∠ABP =30°，PD B PP.………………2分∴∵PB 2PA， B C∴2 PDPA .2∴PD 2 sin PAB.PA 2由∠PAB 是锐角，得∠PAB=45°. ………………3 分另证：作点P 关于直线AB 的对称点P' ，连接B P' , P' A, P ，则P' B A P B, A' P A B P, A B' B P , B 'P.∵∠ABP=30°，AP'∴P'BP 60.∴△P'BP 是等边三角形. ∴P'P BP .PB C∵ PB 2PA ， ∴ P 'P 2PA .………………2 分∴ P 'P 2 PA 2 P ' A 2 .∴PAP ' 90 . ∴PAB 45.………………3 分②45，证明如下：………………4 分D作 AD ⊥AP ，并取 AD =AP ，连接 DC ，DP .1 3∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP ,A即 ∠BAP =∠CAD .2P∵ AB =AC ，AD =AP ，EBC∴ △BAP ≌△CAD . ∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5 分∵ ∠DAP =90°，AD =AP ， ∴ PD 2PA ，∠ADP =∠APD =45°. ∵ PB2PA ，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC α，∠BPCβ，∴ DPC 45， 12 .∴ 31802DPC 902 .∴ ADP 1 3 9045.∴45.………………7 分。
2018~2019学年北京海淀区初三上学期期末数学试卷(详解)
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24. 如图， ， ， 为⊙ 上的定点，连接 ， ， 为 上的一个动点，连接
，将射线
绕点 顺时针旋转 ，交⊙ 于点 ，连接 ，若
，
，记 ， 两点间的
距离为 ， ， 两点间的距离为 ．
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东探究的过程，请补充完整： （ 1 ） 通过取点，画图，测量，得到了 与 的几组值，如下表：
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，
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在
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
26. 在平面直⻆坐标系中 中，已知抛物线
，
，
．
（ 1 ） 当 时．
1 求抛物线 与 轴的交点坐标．
2 若抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
（ 2 ） 若存在实数 ，使得抛物线 与线段 有两个交点，结合图象，直接写出 的取值范围．
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∴方程
无实数根．
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4. 如图，一块含 ⻆的直⻆三⻆板 绕点 顺时针旋转到 时，三⻆板 的旋转⻆度为（ ）．
，当 ， ， 在一条直线上
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵ ∴ ∴三⻆板
， ， 的旋转⻆度为 ．
5. 如图，在平面直⻆坐标系中 的面积为（ ）．
中， 是反比例函数
经过
，
∴，
∴
，
∵双曲线
经过点 ，
∴．
（ 2 ）1
，点 的坐标为 ，
北京海淀区2018-2019学年初三第一学期期末数学试题及答案
初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）2019．01题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCABBCA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． x 1 = 0 ， x 2 = 310． π11．2 12． k > 013． (1，2) 14.答案不唯一，如： y =-1x15． M ，N16．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17．（本小题满分 5 分）解：原式=2 - 2 ⨯ 1+1 2 2 = 2 ． 218．（本小题满分 5 分）证明：∵ ∠A = ∠C ， ∠AOB = ∠COD ，∴△AOB ∽△COD ．∴AO = AB ．CO CD ∵ A O = 4，CO = 2，CD = 3 ，∴ A B = 6 ．19．（本小题满分 5 分）解：依题意，得 mn 2 - 4n - 5 = 0 ．∴ m n 2 - 4n = 5． ∵ m n 2 - 4n + m = 6 ， ∴ 5 + m = 6 ． ∴ m = 1 ．20．（本小题满分 5 分）解：（1）B ．（2） 0.50 ．3CAOPB21．（本小题满分 5 分）（1） 补全的图形如图所示：（2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分 5 分）解：在Rt △DP A 中，∵ t an ∠DP A = AD，PD ∴AD= PD ⋅tan ∠DP A．在Rt △DPB 中，∵ t an ∠DPB = BD，PD∴ B D = PD ⋅ tan ∠DPB ．∴ A B = BD - AD = PD ⋅(tan ∠DPB - tan ∠DP A )． ∵ A B = 5.6 ， ∠DPB = 53 °， ∠DP A = 18 °， ∴ P D = 5.6 ．答：此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为5.6 千米． 23．（本小题满分 6 分）解：（1）∵直线 y = 1x 经过点 A (2，a ) ，2∴ a = 1 ． ∴ A (2，1) 又∵双曲线 y = k经过点 A ，x∴ k = 2 ．（2）①当 m = 1 时，点 P 的坐标为(1，2) ． ∴直线 P A 的解析式为 y = -x + 3 ．∵直线P A与x轴交于点B(b，0)，∴b= 3 ．② b = 1或3 ．24．（本小题满分6 分）解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 2.41 1.66 0 （2）y4321O 1 2 3 4 5 6 7 x（3）1.38 或 4.62 ．说明：允许（1）的数值误差范围±0.05；（3）的数值误差范围±0.225．（本小题满分6 分）（1）证明：如图，连接OC ．A∵O E⊥AB ，∴∠EGF = 90 °．∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCP=90 °． ............. 1分EG F B P OC∴∠E +∠EFG =∠OCF +∠PCF = 90 °．∵O E =OC ，∴∠E =∠OCF ．∴∠EFG =∠PCF ．又∵∠EFG =∠PFC ，∴∠PCF =∠PFC ．∴P C =PF ．（2）方法一：解：如图，过点 B 作BH⊥PC 于点H ．∵O B∥PC ，∠OCP = 90︒，2 2 AG F B OHCAG F H BOCE∴ ∠BOC = 90︒ ． ∵ O B = OC ，P∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °． ∴ ∠BCH = ∠OBC = 45 °．在Rt △BHC 中， B C = 3 ，可得 BH = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ， CH = BC ⋅ cos 45 ° = 3 ．在Rt △BHP 中， tan P = 3，4可得 PH =∴ B P = BHtan P= 4 ．= 5 ． ∴ P C = PH + CH = 7 ． ∴ P F = PC ．∴ FB = PF - PB = PC - PB =2 ． 方法二：解：如图，过点 C 作CH ⊥AP 于点 H ． E∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ， P∴ ∠BOC = 90 °． ∵ O B = OC ，∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °．在Rt △OBC 中， B C = 3 ，可得OB = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ． ∴ O E = OB = 3 ．∵ ∠GBO = ∠P ，t an P = 3， 4∴t an ∠GBO = 3． 4在Rt △GBO 中， tan ∠GBO = OG， OB = 3 ．GB∴O G = 9 ， G B = 12 ． 5 5∴E G = OE - OG = 6． 5在Rt △CHP 中， tan P = CH， CH 2 + PH 2 = PC 2 ．PH设CH = 3x ，则 PH = 4x ， PC = 5x ． ∵ P C = PF ，∴ F H = PF - PH = x ．PH 2 + BH 22 ∵ ∠EFG = ∠CFH ， ∠EGF = ∠CHF = 90， ∴△EGF ∽△CHF∴FG = FH = 1 ．EG CH 3∴ F G = 1 EG = 2．3 5∴ FB = GB - FG =2 ． 方法三 ： 解：如图，过点C 作CH ⊥AP 于点 H ，连接 AC ． ∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ，∴ ∠BOC = 90︒ ． ∴ ∠A = 1 ∠BOC = 45 °. 2在Rt △CHP 中， tan P =CH = 3，EG F H B PH 4A P设CH = 3x ，则 P H = 4x ， P C = 5x ． O在Rt △AHC 中， ∠A = 45 °， CH = 3x ，∴ A H = CH = 3x ， A C = 3 2x ． C∴ P A = AH + PH = 7x ．∵ ∠P = ∠P ， ∠PCB = ∠A = 45︒ ， ∴△PCB ∽△P AC ． ∴PB = PC = BC ．PC PA AC∵ B C = 3 ，∴ x = 7 ， P C = 7 ， P B = 5 ．5∵ P F = PC ， ∴ P F = 7 ．∴ F B = PF - PB = 2 ．26．（本小题满分 6 分）y3 解：（1）①当 a = 1 时， y = 4x 2 - 8x ．21当 y = 0 时， 4x 2 -8x = 0， A解得 x 1 = 0 ， x 2 = 2 ．∴抛物线G 与 x 轴的交点坐标为(0，0) ， (2，0) ．–1 O –1 –2 –3 –41 23 x图 1图 2∴∠DAE = ∠DAC ． ②当 n = 0 时，抛物线G 与线段 AN 有一个交点． 当 n = 2 时，抛物线G 与线段 AN 有两个交点． 结合图象可得0 ≤ n < 2 ． （2） n ≤ -3 或 n ≥ 1 ．27．（本小题满分 7 分）D （1）①证明：连接 AD ，如图 1．∵点 C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A C = AD ． ∵ A B = AC ， BC∴ A B = AC = AD ．∴点 B ，C ，D 在以 A 为圆心， AB 为半径的圆上．② 1α ． 2（2） 证法一：证明：连接CE ，如图 2．D∵ α =60 °，A∴ ∠BDC = 1α = 30 °．2 l∵ D E ⊥BD ，E∴ ∠CDE = 90 ° -∠BDC = 60 °． BC∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ E C = ED ．∴△CDE 是等边三角形． ∴ C D = CE ， ∠DCE = 60 °． ∵ A B = AC ， ∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB ， ∠ACB = 60 °．∵ ∠ACE = ∠DCE + ∠ACD ， ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD ， ∴ ∠ACE = ∠BCD ． ∴△ACE ≌△BCD ． ∴AE =BD ． 证法二：证明：连接 AD ，CE ，如图 2．∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A D = AC ，AE ⊥CD ．12AlDAElBC 图 22（3） 1．3∵ ∠DBC = 1∠DAC ，2∴ ∠DBC = ∠DAE ． ∵ A E ⊥CD ， B D ⊥DE ，∴ ∠BDC + ∠CDE = ∠DEA + ∠CDE = 90 °． ∴ ∠BDC = ∠DEA ． ∵ A B = AC ，∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB = AD ． ∴△BCD ≌△ADE ∴ A E = BD ．28．（本小题满分 7 分）解：（1）图 1 中点C 的坐标为 (-1，3) ．（2） 改变图 1 中的点 A 的位置，其余条件不变，则点C 的 纵 坐标不变，它的值为 3 ．（3） ①判断：结论“点C 落在 x 轴上，则点 D 落在第一象限内．” 错误．反例如图所示：② 3 < t ≤ 4 + ．yC（B ） xDAO。
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题 新人教版
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x =C．2x =-D ．2x=2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B ．C ．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5， 则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3D ．44．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ=C ．1232S S =D ．1232C C =6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是CD A O B图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ．10．已知∠A 为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=，AC =5，sin 35C =，求BC 的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．在△ABC的边BC上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()ACC CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）图1 图2 图3若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值； （2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2 图3参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222⨯- ………………3分= 1= 1………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分∴ 2(2)211m m m m =++=. ………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ，∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， ∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分∴ 在Rt △ACD 中，4CD ==. ………………3分∵ AB =，∴ 在Rt △ABD 中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分 答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，∴ AC ==.∵ CE =AC ，∴ CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ）， ∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 3CE ==，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AM H =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==.设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45. 又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分 ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤≤-或14b ≤≤………………7分 28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =，∴ 2PD PA =.∴ sin 2PD PAB PA ∠==. 由∠PAB 是锐角，得∠PAB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','B P P A P P ，则',P B A P B∠=∠∠. ∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △B AP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-.∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分本文档仅供文库使用。
北京市海淀区2018-2019学年第一学期期末九年级数学试题(含答案)
海淀区2018—2019学年度第一学期九年级期末数学试卷 2019年1月一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为（ ）A ．()1,3B ． ()1,3-C ．()1,3--D ．()3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()43P ，，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan α的值为（ ）xyα1234123POA ．35 B ．45 C ．34D ．433．方程230x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到C B A ''∆，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）B'A'C B AA ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为（ ）x y CBAO A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若:=2:3AD AB ，则△ADE 和 △ABC 的面积．．之比等于（ ） E D CBAA ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．2:37．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A ．(543+10)cmB ．(542+10)cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）xyy 1y 4y 3y 2–1–2–3–4–5–61234–1–2–3–412345OA ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程230x x -=的根为 ．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 ．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为 ．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是 ．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()24A ，，()40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到B A O ''∆.若B '的坐标为()20，，则点A '的坐标为 ．xy1234512345B'BAO14．已知1(1)y ，-，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．xy12–1–212345MAOPQ N16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．xy –1–2–3123123QOP三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）17．计算：()cos452sin302-+-o o ．18．如图，AD 与BC 交于O 点，C A ∠=∠，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．ODCBA19．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A．1100y x=B．100yx=C．13+2002y x=-D．21319400008008xy x=-+（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米．21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A = 18°，∠DPB = 53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长． 参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈， sin 53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan 53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．DC O BAM小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；xy12345671234O（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为 cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE AB ^，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，32BC =，3tan 4P =，求FB 的长. FEPBAOC26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -． （1）当1a =时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC ∠的值．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a =-，3b =时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C 的坐标为；（2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为； （3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a =，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学试卷答案及评分参考 2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案A C C AB BC A二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．10x =，23x = 10．π 11．2 12．0k >13．()12，14．答案不唯一，如：1y x-=15．M N ， 16．3三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）解：原式=212122-⨯+ ………………………………………………………………3分 =22．…………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分） 证明：∵A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠， ∴AOB COD △∽△． …………………………………………………………3分∴AO ABCO CD=． ∵423AO CO CD ===，，，∴6AB =．……………………………………………………………………… 5分 19．（本小题满分5分）解：依题意，得2450mn n --=．…………………………………………………… 3分 ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=．∴1m =．…………………………………………………………………………… 5分 20．（本小题满分5分）解：（1）B ．……………………………………………………………………………… 3分 （2）0.50．………………………………………………………………………… 5分 21．（本小题满分5分） （1）补全的图形如图所示：CBPOA………………………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角；……………………………………………………… 4分 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………… 5分 22．（本小题满分5分）G F AP B E解：在Rt DPA △中， ∵tan ADDPA PD∠=， ∴tan AD PD DPA =⋅∠．…………………………………………………………2分 在Rt DPB △中， ∵tan BDDPB PD∠=， ∴tan BD PD DPB =⋅∠．……………………………………………………….. 4分∴()tan tan AB BD AD PD DPB DPA =-=⋅∠-∠．∵ 5.6AB =，53DPB ∠=°，18DPA ∠=°， ∴ 5.6PD =．………………………………………………………………………5分 答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米． 23．（本小题满分6分） 解：（1）∵直线12y x =经过点()2A a ，，∴1a =．……………………………………………………………………… 1分∴()21A ， 又∵双曲线ky x=经过点A ， ∴2k =．……………………………………………………………………… 2分（2）①当1m =时，点P 的坐标为()12，． ∴直线PA 的解析式为3y x =-+．………………..………………………. 3分∵直线PA 与x 轴交于点()0B b ，， ∴3b =．……………………………………………………...4分②1b =或3．………………………………………………………………… 6分 24．（本小题满分6分） 解：本题答案不唯一，如： （1）x /cm0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6 y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 2.411.66 0…………………………………………………………………………………………… 1分 （2）xy12345671234O…………………………………………………………………………………………… 4分（3）1.38或4.62．……………………………………………………………... 6分说明：允许（1）的数值误差范围0.05±；（3）的数值误差范围0.2± 25．（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OC ．∵OE AB ⊥，∴90EGF ∠=°． ∵PC 与⊙O 相切于点C ， ∴=90OCP ∠°．……………… 1分 ∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=°． ∵OE OC =， ∴E OCF ∠=∠．………………………………………………………… 2分 ∴EFG PCF ∠=∠． 又∵EFG PFC ∠=∠， ∴PCF PFC ∠=∠．∴PC PF =．……………………………………………………………… 3分（2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．∵OB OC =， ∴45OBC OCB ∠=∠=°． ∴45BCH OBC ∠=∠=°． 在Rt BHC △中，32BC =， 可得sin 45BH BC =⋅°3=，cos 45CH BC =⋅°3=．…………...… 4分 在Rt BHP △中，3tan 4P =，可得4tan BHPH P==．…………………………………………………….. 5分 ∴225BP PH BH =+=． ∴7PC PH CH =+=． ∴PF PC =．∴2FB PF PB PC PB =-=-=．…………………………………………6分 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=°．∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°．在Rt OBC △中，32BC =， 可得sin 45OB BC =⋅°3=．……………………………………………… 4分∴3OE OB ==． ∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =， ∴3tan 4GBO ∠=． 在Rt GBO △中，tan OGGBO GB∠=，3OB =． ∴95OG =，125GB =．…………………………………………………… 5分 ∴65EG OE OG =-=．在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=．G H F AP CB EO G H F A P C B EO设3CH x =，则4PH x =，5PC x =． ∵PC PF =， ∴FH PF PH x =-=． ∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠=， ∴EGF △∽CHF △∴13FG FH EG CH ==． ∴1235FG EG ==．∴2FB GB FG =-=．…………………………………………………… 6分方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．∴1452A BOC ∠=∠=°．…………………………… 4分在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH ==，设3CH x =，则4PH x =，5PC x =．在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x =，∴3AH CH x ==，32AC x =．∴7PA AH PH x =+=． (5)分∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒，∴PCB PAC △∽△． ∴PB PC BCPC PA AC==． ∵32BC =， ∴75x =，7PC =，5PB =． ∵PF PC =， ∴7PF =．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒， ∴90BOC ∠=︒． 在Rt OBC △中，32BC =，OB OC =，可得3OB =．…………………………4分∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =，∴3tan 4MBO ∠=．G H F APC BEO在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==，可得94OM =，154BM =． ………………………………………..5分 ∴214CM =． 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==， 可得7PC =，354PM =． ∴5PB PM BM =-=，7PF PC ==．∴2FB PF PB =-=．…………………………………………………… 6分26．（本小题满分6分） 解：（1）①当1a =时，248y x x =-．…………………… 1分 当0y =时，2480x x -=， 解得10x =，22x =．∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00，，()20，． …………………………………………………………………2分②当0n =时，抛物线G 与线段AN 有一个交点．当2n =时，抛物线G 与线段AN 有两个交点．结合图象可得02n ≤<．……………………… 4分 （2）3n ≤-或1n ≥．……………………………………………………………… 6分27．（本小题满分7分）（1）①证明：连接AD ，如图1．∵点C 与点D 关于直线l 对称，∴AC AD =． ……………………… 1分 ∵AB AC =， ∴AB AC AD ==．∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． (2)分 ②12α． ……………………………………………………………………………3分（2）证法一：证明：连接CE ，如图2．∵=60α°，∴1302BDC α∠==°．∵DE BD ⊥，∴90CDE ∠=°60BDC -∠=°．∵点C 与点D 关于直线l 对称， ∴EC ED =． ∴CDE △是等边三角形．…………………………………………………………………………………………… 4分 ∴CD CE =，60DCE ∠=°． ∵AB AC =，60BAC ∠=°，∴ABC △是等边三角形．xy –1123–1–2–3–4123AOl D C B A图1lEDCBA图2∴CA CB =，60ACB ∠=°． ∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠． ∴ACE BCD △≌△．∴AE BD =．……………………………………………………………… 5分 证法二：证明：连接AD ，如图2．∵点C 与点D 关于直线l 对称，∴AD AC AE CD =，⊥． ∴12DAE DAC ∠=∠．∵12DBC DAC ∠=∠，∴DBC DAE ∠=∠． ∵AE CD ⊥，BD DE ⊥， ∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°． ∴BDC DEA ∠=∠． ∵60AB AC BAC =∠=，°， ∴ABC △是等边三角形． ∴CA CB AD ==．∴BCD △≌ADE △………………………………………………………4分 ∴AE BD =．……………………………………………………………… 6分（3）13．………………………………………………………………………………… 7分28．（本小题满分7分） 解：（1）图1中点C 的坐标为() 13 -，．…………………………………………… 1分 （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的纵坐标不变，它的值为3．………………………………………………………………3分（3）①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”错误．反例如图所示：xyDCA（B ）O…………………………………………………………………………………………… 5分① 342t <≤+． (7)更多初中数学资料，初中数学试题精解请微信关注图 2lEDC BA。
2018-2019学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（﹣1，3）C ．（1，﹣3）D ．（3，﹣1）2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P （4，3），OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2分）方程x 2﹣x +3＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A 'B 'C ，当B ，C ，A '在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．（2分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若AD ：AB＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（ ）A．2：3B．4：9C．4：5D．7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A．y1B．y2C．y3D．y4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为 ．10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 ．11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为 ．12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是 ．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 ．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 ．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 ．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分）17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x（单位：度）…100250400500…y （单位：米）… 1.000.400.250.20…（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 ；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为 米．21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（ ）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A （2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B （b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm00.250.47123456 y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 1.660（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为 cm．25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O 相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tan P＝，求FB的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 ．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为 ；（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的 坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为 ；（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．” （填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若a＝4，b＞0，且点C恰好落在⊙T上，直接写出t的取值范围2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记．2．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则tanα的值为（ ）A．B．C．D．【分析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，根据点P的坐标求出PN和ON，解直角三角形求出即可．【解答】解：过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，∴tanα＝＝，故选：C．【点评】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出PN和ON的长是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣x+3＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】把a＝1，b＝﹣1，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．5．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，则矩形OABC的面积为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S ＝|k|．【解答】解：∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴矩形OABC的面积S＝|k|＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．6．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，若AD：AB ＝2：3，则△ADE和△ABC的面积之比等于（ ）A．2：3B．4：9C．4：5D．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，进而可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（ ）A．y1B．y2C．y3D．y4【分析】由图象的点的坐标，根据待定系数法求得解析式即可判定．【解答】解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（﹣2，﹣2），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y1＝（x+2）2﹣2；抛物线y2的顶点为（0，﹣1），与x轴的一个交点为（1，0），根据待定系数法求得y2＝x2﹣1；抛物线y3的顶点为（1，1），与y轴的交点为（0，2），根据待定系数法求得y3＝（x﹣1）2+1；抛物线y4的顶点为（1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣1），根据待定系数法求得y4＝2（x﹣1）2﹣3；综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y1故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）方程x2﹣3x＝0的根为 x1＝0，x2＝3 ．【分析】根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．【解答】解：因式分解得，x（x﹣3）＝0，解得，x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．10．（2分）半径为2且圆心角为90°的扇形面积为 π ．【分析】根据扇形面积公式求出即可．【解答】解：扇形的面积是＝π，故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．11．（2分）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为 2 ．【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．【解答】解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线＝2．即n的值为2．故答案为2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．12．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y＝（k≠0）的图象有两个交点，则k的取值范围是 k＞0 ．【分析】联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：联立两解析式得：，消去y得：x2﹣k＝0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＝4k＞0，即k＞0．故k的取值范围是k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有两点A（2，4），B（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'．若B'的坐标为（2，0），则点A'的坐标为 （1，2） ．【分析】根据位似变换的性质，坐标与图形性质计算．【解答】解：点B的坐标为（4，0），以原点O为位似中心，把△OAB缩小得到△OA'B'，B'的坐标为（2，0），∴以原点O为位似中心，把△OAB缩小，得到△OA'B'，∵点A的坐标为（2，4），∴点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查的是位似变换，坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．14．（2分）已知（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 y＝﹣，答案不唯一 ．【分析】先根据题意判断出k的符号，再写出符合条件的解析式即可．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）是反比例函数图象上两个点的坐标，且y1＞y2，∴函数图象的分支在二四象限，则k＜0．故答案为：y＝﹣，答案不唯一．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解决此题的关键是确定k的符号．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和点A的距离都小于2的点是 点M与点N ．【分析】分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点O和点A的距离都小于2的点．【解答】解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，故答案为：点M与点N．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系以及点的坐标，解题时注意：当点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为 ．【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为＝．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26题，每小题5分；第27～28题，每小题5分）17．（5分）计算：cos45°﹣2sin30°+（﹣2）0．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2×+1＝﹣1+1＝．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（5分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．【分析】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD可得出△AOB∽△COD，利用相似三角形的性质可得出＝，代入AO＝4，CO＝2，CD＝3即可求出AB的长．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，即＝，∴AB＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．19．（5分）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m ＝6，求m的值．【分析】把x＝n代入方程求出mn2﹣4n的值，代入已知等式求出m的值即可．【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（5分）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x（单位：度）…100250400500…y （单位：米）… 1.000.400.250.20…（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是 B ；A．y＝x；B．y＝；C．y＝﹣；D．y＝（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为 米．【分析】（1）根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解；（2）将x＝200代入（1）中的解析式，求出y即可．【解答】解：（1）根据表格数据可得，100×1＝250×0.4＝400×0.25＝500×0.2＝100，所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，所以y关于x的函数关系式是y＝．故选：B．（2）将x＝200代入y＝，得y＝＝．故答案为．【点评】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键．21．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（ 圆周角定理 ）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（ 切线的判定 ）（填推理的依据）．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理，切线的判定．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22．（5分）2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景．大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得PA，PB与观光船航向PD的夹角∠DPA＝18°，∠DPB＝53°，求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.33，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．【分析】设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中利用正切的定义得到tan18°＝，即y＝0.33x，同样在Rt△PDB中得到y+5.6＝1.33x，所以0.33x+5.6＝1.33x，然后解方程求出x即可．【解答】解：设PD的长为x千米，DA的长为y千米，在Rt△PAD中，tan∠DPA＝，即tan18°＝，∴y＝0.33x，在Rt△PDB中，tan∠DPB＝，即tan53°＝，∴y+5.6＝1.33x，∴0.33x+5.6＝1.33x，解得x＝5.6，答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A （2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线PA与x轴交于点B （b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．【分析】（1）由直线解析式求得A（2，1），然后代入双曲线y＝中，即可求得k的值；（2）①根据系数k的几何意义即可求得n的值，得到P的坐标，继而求得直线PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分两种情况讨论求得即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，则P（1，n），∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y＝﹣x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此时b＝3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y＝x﹣1，∴b＝1，综上，b的值为3或1．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．24．（6分）如图，A，B，C为⊙O上的定点．连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点M顺时针旋转90°，交⊙O于点D，连接BD．若AB＝6cm，AC＝2cm，记A，M两点间距离为xcm，B，D两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东探究的过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，补全表格：x/cm00.250.47123456 y/cm 1.430.660 1.31 2.59 2.76 2.41 1.660（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD＝AC时，AM的长度约为 1.38或4.62 cm．【分析】（1）描出图象后，测量x＝4时，y的值，即可求解；（2）描点即可；（3）当BD＝AC时，即：y＝2，即图中点A、B的位置，即可求解．【解答】解：（1）描出后图象后，x＝4时，测得y＝2.41（答案不唯一），故答案是2.41；（2）图象如下图所示：当x＝4时，测量得：y＝2.41；（3）当BD＝AC时，y＝2，即图中点A、B的位置，从图中测量可得：x A＝1.38，x B＝4.62，故：答案为：1.38或4.62（本题答案不唯一）．【点评】本题考查的函数的作图，主要通过描点的方法作图，再根据题意测量出相应的长度．25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O 相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3，tan P＝，求FB的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以，所以PG ＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【解答】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EFA＝∠FCP，∵∠EFA＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝3，∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝，∴，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝4x2﹣8ax+4a2﹣4，A（﹣1，0），N（n，0）．（1）当a＝1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即可求解；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，即可求解；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即可求解．【解答】解：（1）①把a＝1代入二次函数表达式得：y＝4x2﹣8x，令y＝0，即4x2﹣8x＝0，解得：x＝0或2，即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）；②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x＝﹣1时，y≥0（已经成立），x＝n时，y＜0，且n＞﹣1，4n2﹣8n＜0，解得：0＜n＜2，故：0≤n＜2；（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x＝﹣1时，y≥0，x＝n时，y≥0，即：，解得：，即：n的取值范围为：n≤﹣3或n≥1．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是利用二次函数解不等式，本题难度较大．27．（7分）已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，直线l经过点A（不经过点B或点C），点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD．（1）如图1，①求证：点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上．②直接写出∠BDC的度数（用含α的式子表示）为 α ．（2）如图2，当α＝60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE＝BD；（3）如图3，当α＝90°时，记直线l与CD的交点为F，连接BF．将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tan∠FBC的值．【分析】（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD＝AC＝AB，即可证点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上；②由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BDC，可求∠BDC的度数；（2）连接CE，由题意可证△ABC，△DCE是等边三角形，可得AC＝BC，∠DCE＝60°＝∠ACB，CD＝CE，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得AE＝BD；（3）取AC的中点O，连接OB，OF，BF，由三角形的三边关系可得，当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求，OH＝HC，BH＝3HC，即可求tan∠FBC的值．【解答】证明：（1）①如图1，连接DA，并延长DA交BC于点M，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴AD＝AC，且AB＝AC，∴AD＝AB＝AC，∴点B，C，D在以点A为圆心，AB为半径的圆上②∵AD＝AB＝AC∴∠ADB＝∠ABD，∠ADC＝∠ACD，∵∠BAM＝∠ADB+∠ABD，∠MAC＝∠ADC+∠ACD，∴∠BAM＝2∠ADB，∠MAC＝2∠ADC，∴∠BAC＝∠BAM+∠MAC＝2∠ADB+2∠ADC＝2∠BDC＝α∴∠BDC＝故答案为：α（2）如图2，连接CE，∵∠BAC＝60°，AB＝AC∴△ABC是等边三角形∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∵∠BDC＝∴∠BDC＝30°，∵BD⊥DE，∴∠CDE＝60°，∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE＝CE，且∠CDE＝60°∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝DE，∠DCE＝60°＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴BD＝AE，（3）如图3，取AC的中点O，连接OB，OF，BF，∵在△BOF中，BO+OF≥BC∴当点O，点B，点F三点共线时，BF最长，如图，过点O作OH⊥BC，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＝AC，∠ACB＝45°，且OH⊥BC，∴∠COH＝∠HCO＝45°，∴OH＝HC，∴OC＝HC，∵点O是AC中点，∴AC＝2HC，∴BC＝4HC，∴BH＝BC﹣HC＝3HC∴tan∠FBC＝＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图1中点C的坐标为 （﹣1，3） ；（2）改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的 纵 坐标不变（填“横”。
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题新人教版
北京市海淀区2018届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x =C．2x =-D ．2x=2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B ．C ．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5， 则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3D ．44．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ=C ．1232S S =D ．1232C C =6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是CD A O B图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为 ．10．已知∠A 为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=，AC =5，sin 35C =，求BC 的长．20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．在△ABC的边BC上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()ACC CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）图1 图2 图3若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）． （1）求k ，a ，b 的值； （2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB=PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．图1 图2 图3参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．6 14．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222⨯- ………………3分= 1= 1………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分∴ 2(2)211m m m m =++=. ………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ，∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， ∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分∴ 在Rt △ACD 中，4CD ==. ………………3分∵ AB =，∴ 在Rt △ABD 中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分 答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，∴ AC ==.∵ CE =AC ，∴ CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ）， ∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解： 连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径，∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴ 3CE ==，EF =DE =5.∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BFME EF=. ∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AM H =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==.设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45. 又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分 ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤≤-或14b ≤≤………………7分 28．解：（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°，∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分∵ PB =，∴ 2PD PA =.∴ sin PD PAB PA ∠== 由∠PAB 是锐角，得∠PAB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','B P P A P P ，则',P B A P B∠=∠∠. ∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP =.∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △B AP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴ PD =，∠ADP =∠APD =45°.∵ PB =，∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC .∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-.∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分。
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初三第一学期期末学业水平调研
数学参考答案及评分标准2018．1一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．0或210．60 11．
1
y
x
=（答案不唯一）
12．（2
-，0）13．6 14．2 15．10
16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
或：直径所对的圆周角为直角，
1
sin
2
A=，A
∠为锐角，30
A
∠=︒.
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）
17．解：原式=
1
22
22
⨯-⨯+
………………3分= 1
= 1+………………5分18．解：∵1
x=是关于x的方程22
20
x mx m
--=的一个根，
∴2
120
m m
--=.
∴2
21
m m
+=. ………………3分∴2
(2)2
11
m m
m m
=
++=.
………………5分
19．解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵AC=5，
3
sin
5
C=，
∴sin3
AD AC C
=⋅=. ………………2分
B
∴ 在Rt △ACD
中，4CD =. ………………3分
∵ AB
=
∴ 在Rt △ABD
中，3BD =
=. ………………4分
∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：
（1）
240
t
. ………………3分 （2）由题意，当5t =时，240
48v t
==. ………………5分
答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，
∴ AC =.
∵ CE =AC ， ∴
CE = ∵ CD =5， ∴
AB AC
CE CD
=
. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，
∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.
∴ ∠BAC =∠DCE .
∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分
11
6
………………5分 23．解：
（1）∵ 函数k
y x
=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴
12
k
=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数k
y x
=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），
∴ 2
21
n -=
=-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 ∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ，
E
B C D
A
∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,
3.a b =⎧⎨=⎩
………………4分
（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .
∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，
∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.
∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，
∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分
（2）解： 连接DC ，
∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，
∴
3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.
∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.
∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴
AB BF
ME EF
=
. ∴ ME =4.
∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分
25．（1）0.9. ………………1分 （2）如右图所示. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：
（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.
∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.
∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分 27．解：
（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分 （2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1
tan 2
OAM ∠=
，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .
作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，
∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .
1
1
2
O
∴ 1tan tan 2
HMC OAM ∠=∠=. ∴
1
2
MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，1
2
CH y =
， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为4
5
.
又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为8
5
，
故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：48
55
t ≤≤. ………………3分
由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84
55
t -≤≤-.………………4分
∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或48
55
t ≤≤.
（3
）41b -≤-
或14b ≤≤ ………………7分 28．解：
（1）否. ………………1分 （2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°， ∴ 1
2
PD BP =
. ………………2分 ∵
PB =， ∴
2
PD PA =
. ∴
sin PD PAB PA ∠=
= 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分 另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','BP P A PP ，则
',',','P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP ∠=∠∠=∠==.
∵∠ABP =30°，
∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形.
∴'P P BP =.
B
B
C
∵PB =，
∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.
∴45PAB ∠=︒. ………………3分
② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分 作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，
∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .
∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，
∴
PD =，∠ADP =∠APD =45°. ∵
PB =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，
∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.
∴ 45αβ+=︒. ………………7分。