格与布尔代数试题

一、选择题（每小题2分，共30分）

1、N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（C ）。

)(A 有界格 )(B 有补格

)(C 分配格 )(D 有补分配格

2、在有界格中，若只有一个元素有补元，则补元（C ）。

)(A 必唯一 )(B 不唯一

)(C 不一定唯一 )(D 可能唯一

3、下面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格（C ）

f

g c e

a

e c

d f d

e b c

a e

b A B C D

4、以下为4个格对应的哈斯图，（ D ）是分配格。

A B C D

5、只含有有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ D ）

)(A 分配格 )(B 有补格

)(C 布尔格 )(D 有界格 6、设≤><,L 是一条链，其中3≥L ，则≤><,L （ C ）

)(A 不是格 )(B 是有补格

)(C 是分配格 )(D 是布尔格

7、设A 为一个集合，⊆><),(A P 为有补格，)(A P 中每个元素的补元（ A ）

)(A 存在且唯一 )(B 不存在

)(C 存在但不唯一 )(D 可能存在

8、设≤><,A 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足（ B ）

)(A 每个元素都有一个补元 )(B 每个元素都至少有一个补元

)(C 每个元素都无补元 )(D 每个元素都有多个补元

9、如下哈斯图（ C ）表示的关系构成有补格。

A B C

D

10、如图给出的哈斯图表示的格中（ B ）元素无补元。

a

b

d

f g

)(A a )(B c

)(C e )(D f

11、设格>≤<>≤<21,,B A 和如图所示，它们的运算分别为⊗⊕∧∨，

和,。令8421)(,)(,)(,)(x d f x c f x b f x a f ====，则f （ B ）

)(A 是格同态映射 )(B 不是格同态映射

)(C 是格同构映射 )(D 是自同态映射

12、有限布尔代数的元素的个数必定等于（ C ）

)(A n 2 )(B 2n

)(C n 2 )(D n 4

13、在布尔格≤><,A 中有3个原子321,,a a a 则=1a （ B ）

)(A 32a a ∧ )(B 32a a ∨

)(C 32a a ∧ )(D 32a a ∨

14、在布尔格≤><,A 中，}2105|{的正因子的整数倍且是是X X A =，|为整除关系。则30的补元为（ C ）

)(A 15 )(B 30

)(C 35 )(D 70

15、设>≤<>≤<21,,B A 和是两个格，的双射到是B A f ，则对任意的A b a ∈,，有)()(21b f a f b a ≤⇔≤是格同构的（ C ）

)(A 必要条件 )(B 充分条件

)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要

二、由下列集合L 构成的偏序集≤><,L ，其中≤定义为：对于1n ，2n ,L ∈1n ≤2n 当且仅当1n 是2n 的因子。问其中哪几个偏序集是格（说明理由）。（共6分） a)、}12,6,4,3,2,1{=L

b)、}14,12,8,6,4,3,2,1{=L

c)、}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{=L

三、图中为格L 所对应的哈斯图。（共10分）

1

0c a

（1）0,,,d b a 的补元是否存在？如存在请给出。

（2）L 是否是有补格？说明理由。

（3）L 是否是分配格？说明理由。

四、n S 是由正整数n 的所有因子构成的集合，n m |表示n m 整除。对于格><|,30D （共10分）

（1）、证明><|,30D 是布尔格。

（2）、作出其对应偏序集的哈斯图。

（3）、找出30D 的所有原子。

五、给定布尔代数>⌝∧∨<,,},1,0{中的布尔表达式如下所示，将其化简。(共6分)

)

()()()()()()(z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧六、设)()()(),,,(4324213214321x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧=是布尔代数>∧∨<,,},1,0{上的一个表达式。试写出),,,(4321x x x x E 的析取范式和合取范式。（共10分） 七、设>∧∨<,,,L 是一个布尔代数，如果在L 上定义二元运算⊕为：

)()(b a b a b a ∧∨∧=⊕

证明：>⊕<,L 是一个阿贝尔群。（共10分） 八、设>∧∨<,,,B 是一个布尔代数，如果在B 上的两个二元运算ο和+定义为：

=+b a )()(b a b a ∧∨∧；b a b a ∧=ο

证明：>+<ο,,B 是以1为么元的环。（共10分）

九、>∧∨<,,,B 是布尔代数，B b a ∈∀,，求证：b a =当且仅当0)()(=∧∨∧b a b a 。（共8分）