导数及其运用

导数及其应用

一、相关概念 1导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量 x ，那么函数y 相应地有增量 y =f (x 0+ x ) —f ( x 0)，比值一"叫做函数y=f ( x )在x 0到x 0 + x 之间的平均变化率，即

x

—y =

------ x)

——f (x °)。如果当

x 0时，一y 有极限，我们就说函数 y=f(x) 在点x 0

x x

x

处可导，并把这个极限叫做

f (x )在点x 0处的导数，记作f '( x 0)或y '| x 勺。

①

求函数的增量 y =f (x 0 + x )— f (x 0)；

②

求平均变化率 亠= ——x)一心；

x

x

2 •导数的几何意义

函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线

y=f (x )在点p (x 0, f (x 0))处的切线

的斜率。也就是说，曲线 y=f (x )在点p (x 0, f (x 0))处的切线的斜率是f '( x 0 )。 相应地，切线方程为 y — y 0=f ，(x 0) (x — x 0 )。3.导数的物理意义 如果物体运动的规律是 s=s (t ),那么该物体在时刻 t 的瞬间速度v=s (t )。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v(t )，则该物体在时刻t 的加速度a=v ' (t )。

二.求导数的方法 1

几个常用函数的导数

1 .若 f (x) c ,则 f (x)

；2 .若 f (x) x ，则 f (x) ;

2

3.若 f (x) x ,则 f (x) ；4 .若 f(x)

1

一，则 f (x)

x

。

2

基本初等函数的导数

1.若 f (x) c,则 f (x)

；

2 .若 f (x) x n ( n Q *)，则 f (x)

;

即 f (x 0) = lim

x 0

-=lim

f(X ° x) f(X °)

----------- 。

x

③取极限，得导数

(X 0)=讥

3. _________________________________ 若f (x) sinx，贝U f (x) __________________ ；

4 .若f (x) cosx，贝U f (x) __________

5•若f(x) a x，则f (x) ____________ ( a 0) ; 6 .若f(x) e x，则f (x) _________________

7.若f (x) log a，则f (x) ______ ( a 0且a 1) ;8 .若f (x) In x，则f (x) __ 3. 导数的四则运算

(u v) = [Cf(x)]=

(uv) = , (-U) =(v 0)

4. 复合函数的导数

设u (x)在点x处可导，y f(u)在点u (x)处可导，则复合函数f[ (x)]在点x处可导，且

f (x) =,即卩y x y u u x

三，导数的应用

1•函数的单调性

⑴求函数f(x)的单调区间的一般步骤：

①求出f (x)的导数f (x)；

②求出方程f (x) 0的根；

③ f (x) >0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； f (x) <0的解集与定义域的

交集的对应区间为减区间•

特别提醒：

首先注意定义域，其次区间不能用“或”(U)连接•

⑵已知函数的单调性，求参数取值范围

求使函数(解析式中含有参数)为增函数(或减函数)的参数的取值范围：①先求使f (x) 0 (或f (x) 0 )成立的参数的取值范围；②把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；

③综合①，②得参数的取值范围• f (x) 0 f(x)增函数f (x) 0恒成立；

f (x) 0 f (x)减函数f (x) 0恒成立•边界代入检验！

2•函数的极值

求函数y f (x)极值的步骤：(最好通过列表法)

①求导数f (x)；②解方程f (x) 0的根x0；③检查f (x)在方程f (x) 0的根x0左、右两侧的符号，判断极值•“左正右负”f(x)在冷处取极大值；“左负右正”f(x)在冷

处取极小值•

特别提醒：若x0点是y=f(x)的极值点，则f'(X0)=0,反之不一定成立；如函数f(x)=|x|在x=0 时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值.

3•函数最值⑴定义：函数f (x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f (x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

⑵求函数y f (x)在[a, b ]上的最值的步骤：

①求函数y f (x)在(a, b)内的极值；

②将y f(x)的各极值与f(a), f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

四，考点 例1，变化率

2

已知函数f(x) 2x 1的图象上一点(1, 1)及邻近一点(1 + △ x ,1 + △ y )

(

)A . 4

B . 4x

C . 4

2 x D . 4

2 x 2

例2导数的定义，

已知某运动物体的位移 y(米)与其运动时间t (秒)的函数关系为 y=t3+t (1)求y=f(t),利用导数定义求f (t) (2)求物体在t=2秒时的瞬时速度。

例3•导数的计数

3

.

n x

1.( 1)y x iog 2 x (2)

y x e

3. (2009宁夏银川)已知函数y=f(x)的图像在点(1. f(1))处的切线方程是想 则 f(1)+2f '(1)的值 ________

4. ___________________________________________________ (2008 山东)若函数 f(x)=1/3 x3f (-1) x2+x+5,则 f "(1)= ____________________________________

例4•几何意义

2

1已知曲线C : y x x ，则过点P(1,1)的曲线的切线方程.

，则一等于

x

J ⑷ f(x) sin x

2xsi n(2x 5)

⑸ f (x) x 1 x 2

2.设 f(x)=

丄，则 f ' (1)=(

X 、x

x-2y+1=0,