2020高考数学最新二轮复习函数性质
数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析
专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。
以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。
函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。
真题感悟1。
(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。
是偶函数，且在错误!单调递增B。
是奇函数，且在错误!单调递减C。
是偶函数，且在错误!单调递增D。
是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。
又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。
故选D.答案D2。
（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。
又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。
当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。
2020届高考数学二轮复习(全国通用)知识要点与典例精解：函数的图象与性质
专题六 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质[全国卷3年考情分析](1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.[例1] (1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A.－2B.2C.3D.－3(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B. (2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.[答案] (1)B (2)⎣⎡⎭⎫0，12 [解题方略]1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略[跟踪训练]1.已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x 的定义域为( ) A.[0，3] B.[0，2] C.[1，2]D.[1，3]解析：选A 由题意，函数f (x )的定义域为[0，2]，即x ∈[0，2]，因为函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫12x ＋8－2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A.2.函数f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)的值域为( )A.(2.4)B.[2，4)C.[2，4]D.(2，4]解析：选B 法一：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，－2＜x ≤0，2，0＜x ≤2. 函数f (x )的图象如图所示，由图象得，函数f (x )的值域为[2，4).法二：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，当－2＜x ≤0时，f (x )＝2－x ，所以2≤f (x )＜4；当0＜x ≤2时，f (x )＝2.综上，函数f (x )的值域为[2，4).3.已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③D.①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.题型一 函数图象的识别[例2] (1)(2019·开封市定位考试)函数f (x )的大致图象如图所示，则函数f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x 2·sin|x |B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x ·cos 2x C.f (x )＝()e x－e－xcos ⎝⎛⎭⎫π2xD.f (x )＝x ln|x ||x |(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f(x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )的图象大致为( )[解析] (1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为{}x |x ≠0，故排除选项A 、C ；又函数图象与x 轴只有两个交点，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos 2x 中cos 2x ＝0有无数个根，。
2020高考数学二轮复习第2部分专题一三角函数与解三角形必考点文1
(6)若求出2x －的范围，再求函数的最值，同样得分．1．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．解：(1)f(x)＝4cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π4＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2＝2sin ＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin ＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．类型二 学会审题[例2] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x ＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ＝，求cos 的值．审题路线图(1)条件：f x 图象上相邻两个最高点距离为π(2)条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝343．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(2b,1)，n ＝(2a －c ，cos C)，且m∥n.(1)若b2＝ac ，试判断△ABC 的形状；(2)求y ＝1－的值域．解：(1)由已知，m∥n，则2bcos C ＝2a －c ，由正弦定理，得2sin Bcos C ＝2sin(B ＋C)－sin C ，即2sin Bcos C ＝2sin Bcos C ＋2cos Bsin C －sin C ， 在△ABC 中，sin C≠0，因而2cos B ＝1，则B ＝.又b2＝ac ，b2＝a2＋c2－2accos B ，因而ac ＝a2＋c2－2accos ，即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，△ABC 为等边三角形．(2)y ＝1－2cos 2A 1＋tan A＝1－2cos2A －sin2A1＋sin A cos A＝1－2cos A(cos A －sin A)＝sin 2A －cos 2A＝sin ，由已知条件B ＝知A∈.所以，2A －∈.因而所求函数的值域为(－1，]．4．已知函数f(x)＝2sinsin ，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，若A ＝，c ＝2，且锐角C 满足f ＝，求△ABC 的面积S.解：(1)由题意得，。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习6---函数的奇偶性与周期性
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习函数的奇偶性与周期性考点知识：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)关于y轴对称偶函数＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)奇函数关于原点对称＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.( )(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错误.2.下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x | D.y ＝2－x 答案 B解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝________.答案18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.4.(2022·江苏卷改编)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是( )A.8B.－8C.4D.－4 答案 D解析f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.5.(2021·日照一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 022)＝( )A.－3B.0C.1D.3 答案 B解析 由于f (x )为奇函数，且f (x )＝f (3－x )， ∴f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )，从而知周期T ＝6， ∴f (2 022)＝f (0)＝0.6.(2022·全国大联考)已知f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，则f (x )的最小值为________. 答案 2解析∵f (x )＝e x＋e ax是偶函数，∴f (1)＝f (－1)，得e ＋e a ＝e －1＋e －a ，则a ＝－1. 所以f (x )＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2.当且仅当x ＝0时取等号， 故函数f (x )的最小值为2.考点一 函数的奇偶性及其应用角度1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1).解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. (3)显然函数f (x )的定义域为R ，f(－x)＝log(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，＝log2故f(x)为奇函数.感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.角度2 函数奇偶性的应用【例2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.答案(1)－3 (2)(－2，0)∪(2，5]解析(1)由题意得，当x>0，－x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－e－ax)＝e－ax，所以f(ln 2) ＝e－a ln 2＝eln 2－a＝2－a＝8＝23，即2－a＝23，所以a＝－3.(2)由图象知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].感悟升华1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【训练1】 (1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y ＝x sin xB.y ＝x ln xC.y ＝e x －1e x ＋1D.y ＝x ln(x 2＋1－x )(2)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝________. 答案 (1)B (2)－7解析 (1)A 中，y ＝x sin x 为偶函数，D 中，y ＝x ln(x 2＋1－x )是偶函数. B 中，函数y ＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数. C 中，f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，则y ＝e x－1e x ＋1为奇函数.(2)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 故f (x )＝2x －1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7. 考点二 函数的周期性及其应用1.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.答案 1解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.2.(2021·成都质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0，2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A.－94B.－14C.14D.94答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝⎛⎭⎪⎫8－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. 3.已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50 答案 C解析 法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ). 因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2， 故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.4.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.感悟升华 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 考点三 函数性质的综合运用角度1 函数的单调性与奇偶性【例3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2022·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是( )A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]答案(1)C (2)D解析(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log5.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，2∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.感悟升华 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)>f (x 2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x 1<x 2(或x 1>x 2)求解. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例4】 (1)(2021·贵阳调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)＝( ) A.14 B.15 C.－15 D.－14(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，4)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(－1，2) 答案 (1)B (2)A解析 (1)依题意，知f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，则f (4＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且周期为4.又2<log 25<3，则－1<2－log 25<0， 所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25－2) ＝－f (2－log 25)＝－(22－log 25－1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45－1＝15.(2)因为f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数. ∴f (5)＝f (－1)＝f (1)<1.从而2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4. 感悟升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 角度3 函数的奇偶性与对称性相结合【例5】 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－5)＝2，则f (2 021)＝________. 答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数.由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2 021)＝f (5＋252×8)＝f (5)＝f (－5)＝2.感悟升华 函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【训练2】 (1)(2022·银川调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1|x |＋1＋1x 2＋3，则不等式f (lgx )>3的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，110∪(10，＋∞)C.(1，10)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1∪(1，10)(2)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________. 答案 (1)D (2)2解析 (1)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 且f (－x )＝f (x )，则y ＝f (x )是偶函数，易知f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，f (1)＝log 22＋4＝3， 所以不等式f (lg x )>3可化为0<|lg x |<1， 即－1<lg x <1，且lg x ≠0，解得110<x <10，且x ≠1， 所以所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1∪(1，10).(2)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则f (x )＝－f (－x )＝－f (6＋x )， 则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.活用函数性质中三类“二级结论”通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质. 一、抽象函数的周期性问题(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝±1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例1】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( )A.3B.2C.1D.0答案 C解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次，又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.二、函数的对称性问题(1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于直线x＝－a对称).(2)若函数y＝f(x＋a)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称(或关于直线x＝a对称).(3)函数y＝f(x)的图象关于点A(a，b)对称的充要条件是f(x)＋f(2a－x)＝2b.【例2】(1)(2022·鹰潭二模)已知偶函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x2＋1，则f(2 021)＝( )A.2B.0C.－1D.1(2)(2021·长沙质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( )A.f (b )<f (c )<f (a )B.f (a )<f (c )<f (b )C.f (c )<f (b )<f (a )D.f (c )<f (a )<f (b ) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为偶函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称， 所以f (－x )＝f (x )，f (2＋x )＋f (－x )＝0， 所以f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是以4为周期的函数， 所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝f (－1). 又当－1≤x ≤0时，f (x )＝1－x 2， 故f (2 021)＝f (－1)＝1－(－1)2＝0.(2)依题意，定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝f (－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (0)＝0.又f (x )在区间[1，2]上单调递减，则f (x )在区间[0，1]上单调递增，则f (1)>0. 由0<a ＝ln 2<1，得f (a )>f (0)＝0， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12＝4＝2，则f (b )＝f (2)＝f (0)＝0， c ＝log 122＝－1，则f (c )＝f (－1)＝－f (1)<0，所以f (c )<f (b )<f (a ). 三、奇函数的最值问题已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例3】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.答案 2解析显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.A级基础巩固一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )A.y＝|log3x|B.y＝x3C.y＝e|x|D.y＝cos |x|答案 C解析对于A，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B中，y＝x3是奇函数. 对于C，函数的定义域是R，是偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，对于D，y＝cos |x|在(0，1)上单调递减.2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 021)＝( )A.2 0212B.1C.0D.－1答案 B解析 根据题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数是周期为4的周期函数，则f (2 021)＝f (1＋2 020)＝f (1)＝12＝1.3.(2021·衡水中学检测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( ) A.1 B.12 C.14 D.34答案 D解析∵f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)， 得32a －1≤3，解之得a ≤34，故实数a 的最大值为34.4.若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( )A.f (2)>f (3)B.f (2)>f (5)C.f (3)>f (5)D.f (3)>f (6) 答案 D解析 ∵y ＝f (x ＋4)为偶函数， ∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称，∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5). 又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6).5.(2021·昆明诊断)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－13，则f (－a )＝( )A.13B.23C.－13D.－53 答案 D解析f (x )＝－sin 2x ＋x x 2＋1－1，设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋x x 2＋1，易知g (x )为奇函数，∴g (a )＝f (a )＋1＝23，则g (－a )＝－g (a )＝－23，因此f (－a )＋1＝－23，故f (－a )＝－53.6.若定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0 D.增函数且f (x )<0 答案 D解析 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0.又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0. 二、填空题7.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________. 答案 9解析 由于f (x )在[3，6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎨⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝________. 答案 2.5解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数.又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5.9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.三、解答题10.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式.(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解∵x ∈[2，4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0，2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.B 级 能力提升12.(2021·日照模拟)设函数f (x )＝12(e x －e －x )＋3x 3(－2<x <2)，则使得f (2x )＋f (x －1)>0成立的x 的取值范围是( )A.(－2，1)B.(－1，2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 答案 C解析 根据题意，有f (－x )＝12(e －x －e x )－3x 3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（e x －e －x ）＋3x 3＝－f (x )， 即函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＋9x 2>0，所以f (x )在(－2，2)上为增函数，则f (2x )＋f (x －1)>0⇔f (2x )>f (1－x )，因此⎩⎨⎧－2<2x <2，－2<x －1<2，2x >1－x ，解得13<x <1， 故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）对任意x ∈R 恒成立，则f (2 021)＝________.答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f （x ）， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f （x ＋2）＝11f （x ）＝f (x )， 则函数f (x )的周期是4，所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1).因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 021)＝f (－1)＝f (1).当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1）， 得f (1)＝1f （1）. 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 021)＝f (1)＝1.14.设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4× ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。
函数-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题02 函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1， 当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．(2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1， 所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x ．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得 所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ． (2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式． 【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则tx 1=．则1111)(22-=-=t t t t t f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1， 所以，可设f (x )＝a (x －1)2－1，又f (0)＝2，所以a (0－1)2－1＝2，所以a ＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y (C))20(|1|23≤≤--=x x y(D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143x x x ++(D)212x x +4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______． 三、解答题9．已知f (x )＝2x ＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1)(-=x xx f (2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解：(1)解01≥-x x，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )， 所以此函数为奇函数． (4)解011>-+xx，得－1＜x ＜1， 又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f x xxx -=+-=+-=---， 所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． ③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零， 故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等． 总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴， 所以12=-b，b ＝－2． 根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，(1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ． 方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．证明：设),2(21+∞-∈abx x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-∈abx x 、， 所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0， 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数． 例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ， 由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6， 解得a ＞3或a ＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数；不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)； 若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0． 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0， 因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数， 所以f (n )＞f (－m )，因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )， 所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ． 所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝41． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]． 所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2(B)2(C)1(D)－14．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数 (D)f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______．6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2． 其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb 2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1． 5．幂函数y ＝x α(α∈R )幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地接近y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地接近x 轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x ∈(0，＋∞)时，x α＞0，所以所有的幂函数y ＝x α(α∈R )在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题． 【例题分析】例1 化简下列各式： (1)31522732-⨯；(2)031π2)27102(412-+-；(3)21)972()71()027.0(231+----；(4)log 2[log 3(log 464)]；(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+．解：(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式．解：解法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．解法二f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x ， 又f (x )的最大值为8，所以8)21()(2+-=x a x f .因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)211(12+--=-a ，解得a ＝－4． 所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______．(2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______． (3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数， 画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧， 于是有222≤+-a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,31(，符合题意； 当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0＜m ≤1．综上，m ∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋b 与y ＝b ax 的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k ．(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以021232>-+k k ，解得－1＜k ＜3， 因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以021232<-+k k ， 解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )． 例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3131；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0， 函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以 比较32与log 32，只需比较3233log 与log 32，因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较323与2的大小，因为3332289)3(=>=，所以2332>，所以2log 323>， 综上，.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--n m n m nm n n m m a a a aa a a a ，当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋n ＞1，所以a m ＋a－m＞a n ＋a －n ；当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋n ＜1，所以a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ． 综上，a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小． 【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+abba ，所以a ＋b ＜ab ． 方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+， 因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 方法三(构造函数)令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数， 因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，y 最大＜f (2)＝(1－b )×2＋b ＝2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9 若log 2(x －1)＜2，则x 的取值范围是______． 解：log 2(x －1)＜2，即log 2(x －1)＜log 24，根据函数y ＝log 2x 的单调性，可得x －1＜4，所以x ＜5， 结合x －1＞0，所以x 的取值范围是1＜x ＜5．例10 已知A ，B 为函数y ＝log 8x 的图象上两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图象交于C ，D 两点．。
2019-2020年全国通用高考数学二轮复习板块四考前回扣回扣3三角函数三角恒等变换与解三角形讲义
√A.76kπ－72π4，76kπ＋72π4(k∈Z)
B.73kπ－72π4，73kπ＋72π4(k∈Z) C.73kπ－71π2，73kπ＋71π2(k∈Z) D.76kπ＋72π4，76kπ＋2214π(k∈Z)
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解析 答案
板块四 考前回扣
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
内容索引
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回归教材
1.三种三角函数的性质
函数
y＝sin x
图象
y＝cos x
y＝tan x
单Байду номын сангаас
在 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z) 上单调递增；
调
性 在 π2＋2kπ，32π＋2kπ
(k∈Z) 上单调递减
∴要得到 y＝sin4x－π3的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图象向右平移1π2个
单位长度.
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解析 答案
5.若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点π2，0对称，
则函数 f(x)在－π4，π6上的最小值是
3.准确记忆六组诱导公式
对于“k2π±α，k∈Z”的三角函数值与 α 角的三角函数值的关系口诀：奇变
偶不变，符号看象限.
4.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.
(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(3)弦、切互化：一般是切化弦.
2020高考数学最新二轮复习函数性质
函数的概念第一节函数及其表示一、基础知识1．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值X围 A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例](1)(2019 长·春质检)函数y＝ln1－x＋1的定义域是()x＋1 xA．[－1,0)∪(0,1)B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1]D．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1) B.－1，－1C．(－1,0)D. 1，12 2[题组训练]1.(2018XX)函数f(x)log2x 1的定义域为．2.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝fx＋1的定义域是_______________．x－11考点二求函数的解析式[典例] (1)已知函数f x 1 x 2 x3(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．考点二分段函数考法(一) 求函数值1 log2(2x),x1[典例（]2015新课标Ⅱ）设函数f(x) ，则f(2)f(log212)2x1,x≥1A．3B．6 C．9 D．12考法(二) 求参数或自变量的值(或X围)[典例] 设函数f(x)＝2－x，x≤0，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值X围是() 1，x>0，A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1,0) D．(－∞，0) [题组训练]x＋1，x≤0， 11．(2017全·国卷Ⅲ)设函数f(x)＝2x，x>0，则满足f(x)＋f x－2>1的x的取值X围___．1x2．设函数f(x)＝2－7，x<0，若f(a)<1，则实数a的取值X围是____________．x，x≥0，2第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间 D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论二、常用结论在公共定义域内：(1 )函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2 )函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3 )函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4 )函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5 )若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；1(6 )函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝fx的单调性相反；(7 )复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．3考点一单调区间1．（2014XX ）函数f(x)=log 1(x 2-4)的单调递增区间是_______22．函数fxlg x 23x 2的单调增区间是_________考点二、函数单调性的应用 考法(一)比较函数值的大小[典例]偶函数f(x)定义域为 R ，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 ()A ．f(π)>f(－3)>f(－2)B ．f(π)>f(－2)>f(－3)C ．f(π)<f(－3)<f(－2)D ．f(π)<f(－2)<f(－3)考法(二)解函数不等式[典例] 2x，x<2，若f(a ＋1)≥f(2a －1)，则实数a 的取值X 围是()设函数f(x)＝ x 2，x ≥2.A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)考法(三) 利用单调性求参数的X围 (或值)ax 2－x －1，x ≤1，是R 上的单调函数，则实数 a 的取值X围[典例]已知函数f(x)＝4logax －1，x>1是()1 11 1 1 1 A.4，2 B.4， 2C.0，2D.2，1[课时跟踪检测]1 的x 的取值X 围是1．函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)的单调增函数，满足 f(2x －1)＜f 3 1 2 1 2 1 2 1 2 A.3， 3B.3， 3C.2， 3D.2， 32．已知函数 f(x)＝lnx ＋x ，若f(a 2－a)>f(a ＋3)，则正数a 的取值X 围是________．4第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个 x定义都有f(－x)＝f(x)，那么函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数数f(x)是偶函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝f1x，则T＝2a(a>0)．1(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性5(1) 若函数y ＝f(x ＋a)是偶函数，即f(a －x)＝f(a ＋x)，函数y ＝f(x)的图象关于直线 x ＝a 对称． (2) 若对于R 上的任意x 都有f(2a －x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y ＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．(3) 若函数y ＝f(x ＋b)是奇函数，即f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断1．(2015 XX)下列函数为奇函数的是A ．yxB ．ysinxC ．ycosxD ．ye xe x2．(2015 XX)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y1x 2B ．yx 1C ．y2x1D ．yxe xx2x3．(2014新课标1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是 A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．f(x)|g(x)|是奇函数 C ．|f(x)|g(x)是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 4．(2014XX)下列函数为偶函数的是A ．f(x)x1B ．f(x)x 3xC ．f(x)2x2xD ．f(x)2x2x考点二函数奇偶性的应用 [典例](1)(2019福·建XX 模拟 )函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A ．－2xB ．2 － x －x D ．2xC ．－2e xae x(2)设函数f(x) 2是奇函数,则实数a 的值为______.x（3）（2019全国Ⅱ理14）已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)e ax.若f(ln2) 8，则a __________.[题组训练]．设函数x sinx的最大值为 M ，最小值为m ，则 Mm 1 f(x)=x 2．(2018合·肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.63.(2014XX)已知f(x),g(x)分别是R上的偶函数和奇函数f(x) f(x)=x3x21，则f(1)g(1)＝A．－3B．－1C．1D．3考点三、由函数的单调性与奇偶性，求解不等式1.已知偶函数f(x)在区间[0, )单调增加，则满足f(2x 1)1f()的x的取值X围是(A.(1,2)[1,2] (1,2) 3[1,2]B. C. D.3 3 3 3 2 3 2 32．已知奇函数f(x)在区间2,2 上单调递减,则不等式f(x2) f(2x)0的解集是(A．[-1,0) B．(-2,0) C ．2, 1 D ．, 2U0, 3．（2013XX）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, )单调递增．若实数a满足f(log2a) f(log1 a) 2f(1)，则a的取值X围是2A．[1,2] B．0,1C．1,2 D．(0,2]2 24．（2017新课标Ⅰ）函数f(x)在( , )单调递减，且为奇函数．若f(1) 1，则满足1≤f(x 2)≤1 的x的取值X围是A．[-2,2]B．[-1,1]C．[0,4] D．[1,3]考点四、由函数的奇偶、周期性求值[典例](1)(2018 开·封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )1C．2D．－2A．5 B.2（2）定义在R上的函数满足, ,且时, 则________.考点五、具体函数的对称中心或对称轴问题71．若函数f(x) 1 x的图像的对称中心为(1,1),则实数m的值为( )1 mxA.1B. 1C. 2D. 22．函数y 5x32sin3xtanx6的图象的对称中心是（）A.(0,0)B. (6,0)C. ( 6,0)D.(0, 6)3.函数f(x)＝9x＋1) 3x的图象(A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称4.(2016 全国II)已知函数fx xR 满足f x 2f x ，若函数x 1y 与xmy f x 图像的交点为x1，y1，x2，y2，⋯，x m，y m，则x i y i i1A．0 B．m C．2m D．4m 对称5．函数y x－2的图象关于________对称x＋2考点六函数性质的综合问题1.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )5 77 5C．f 7 5 5 7A．f(1)<f2<f2B．f2<f(1)<f 22<f 2<f(1)D．f2<f(1)<f 2 2.(2018全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为( , )的奇函数，f(1x) f(1 x)．若f(1) 2，则f(1)f(2) f(3) ⋯f(50)A．50 B．0C．2 D．50 奇偶+对称=周期3、若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x 4) f(x)，且在区间[0,2] 上是增函数，则有() 奇偶+周期+单调A. f(25) f(80) f(11)B. f(11) f(80) f( 25)C. f( 25) f(11) f(80)D. f(80) f(11) f( 25)8。
2020高考二轮复习三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－72102.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C ．15D ．353.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12 B ．32 C ．0 D ．－121.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个A ．25B ．50C ．75D ．1002.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )A.32B ．－32C.3D ．03.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2考点二 三角函数的图象与解析式题型一 由“图”定“式”[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P⎝⎛⎭⎫12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可A ．(0,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)题型二 三角函数的图象变换[例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度(2)(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12考点三 三角函数的性质[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )(2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D ．⎣⎡⎦⎤13，231．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，3上的值域是________．考点四 三角函数图象与性质的综合应用[例4] (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．2．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．3. (2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增； ④ ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．123．(2019·江西七校第一次联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( ) A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3 C ．g (x )＝sin 4xD ．g (x )＝cos x5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减6．(2019·昆明市质量检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( )A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2二、填空题7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.8．(2019·天津高考改编)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝________.9．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．三、解答题10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．B 组1．已知向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第2讲 三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析](2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．考点一 三角恒等变换1.[化简求值]2sin 47°－ 3sin 17°cos 17°＝( )A ．－3B ．－1C ．3D ．12.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B ．55C.33D ．2553.[给值求角]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B ．π3 C.π4D ．π64.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17C ．7D ．－7或－172.[与不等式交汇]已知tan 2α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－353.[与向量交汇]设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A－sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .题型二 利用正、余弦定理进行面积计算[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．题型三 正、余弦定理的实际应用[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．32．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sinB ＝4a sinC .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A .(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝2534，且a ＝5，求sin B ＋sin C .考点三 解三角形的综合问题题型一 与平面几何的综合问题[例4] (2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .题型二 与三角函数的交汇问题[例5] 如图，在△ABC 中，三个内角B ，A ，C 成等差数列，且AC ＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10,0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式．1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC＝－277.(1)求B ；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．2．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．3.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340 m/s)【课后通关练习】A 组一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－23 B ．－2＋3 C ．2－3 D ．2＋32．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－157 B ．157 C ．－158D ．1583．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．324．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°6．已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125二、填空题7．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为________．9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，sin ∠CAD ＝2114，3AC sin ∠BAC ＋BC cos B ＝2BC ，且B ＋D ＝π，则△ABC 的面积的最大值为________．三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．11．(2019·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C .(1)求B ；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．B 组1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＝cos 2C2，(c －3b )sin C＝(a ＋b )(sin A －sin B )．(1)求A和B；(2)若△ABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长．3．(2019·昆明质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－a cos B)＝3b.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝3 2.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．。
2020新课标高考数学二轮课件：第二部分专题六 第1讲 函数的图象与性质
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要 注意取值范围的大前提
求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数 性质求值
依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数的图象及其应用
[典型例题]
命题角度一 函数图象的识别
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ex－x2e－x的图象大致为(
)
(2)已知定义域为[0，1]的函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(－x＋1)的图象可能是( )
(3)(一题多解)如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为关于 x 的函 数 f(x)，则 f(x)的图象大致为( )
可见 y＝f(x)图象的变化不可能是一条直线或线段，排除 A，C.
当点 P 位于边 CD 上时，∠BOP＝x，π4≤x≤34π，
则 BP＋AP
＝ BC2＋CP2＋ AD2＋DP2
＝
1＋1－ta1n
2
x ＋
1＋1＋ta1n
2
x .
当点 P 位于边 AD 上时，∠BOP＝x，34π≤x≤π，
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：选 C.因为－2<1， 所以 f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. 因为 log212>1，所以 f(log212)＝2log212－1＝122＝6. 所以 f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选 C.
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝2xx＋，1x，>0x，≤0，则满足 f(x)＋fx－12>1 的 x 的取值 范围是________．
文理通用江苏省2020高考数学二轮复习专题一三角函数平面向量与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件
考法二 求三角函数的解析式 [例 2] (1)数 f(x)＝sin(πx＋θ)|θ|<π2的部分图象如图所示， 且 f(0)＝－12，则图中 m 的值为________．
(2) 已 知 函 数 f(x) ＝ 2sin(ωx ＋ φ) x∈－1π2，23π，
φ∈0，π2
的图象如图所示，若
f(x1)＝f(x2)，且
由 f(x1) ＝ f(x2) ， 得 sin 2x1＋π6 ＝ sin 2x2＋π6
x1，x2∈－1π2，23π，x1≠x2，
因为 x∈－1π2，23π，所以 0≤2x＋π6≤32π，
所以 2x1＋π6＋2x2＋π6＝π，所以 x1＋x2＝π3，
所以 f(x1＋x2)＝2sin56π＝1.
[答案]
[答案]
3 (1)2
(2)－1
[解题方略] 1．求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(A， ω，φ 为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令 ωx＋φ＝z，则 y＝ Asin z(或 y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得． (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断三角函数对称中心与对称轴的方法 利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数值等于零的点这一性质，通过检 验 f(x0)的值进行判断．
解析：由题意得 fπ3＝sin23π＋φ＝±1， ∴23π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z ，∴φ＝kπ－π6，k∈Z .
∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6. 答案：－π6
4．(2019·全国卷Ⅰ改编)关于函数 f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述 四个结论：
【原创】2020-2021学年高三数学二轮复习导学案：专题10-函数概念与基本性
一：高考要求
内容
要求
A
B
C
函数概念
与基本初
等函数Ⅰ
函数的概念
√
函数的基本性质
√
二：课前预习
1．函数 的图像与直线 的交点有个
2．函数y= ln(1-x)的定义域为___________.
3.已知函数 若 =4 ，则实数 =____.
4．已知函数 为奇函数,且当 时, ,则 =________.
5．对于函数 若存在 ，使 成立，则称点 为函数的
不动点，对于任意实数 ，函数 总有相异不动点，实数
的取值范围是____________
6．已知 ，函数 。
（1）当 时，写出函数 的单调递增区间；
（2）当 时，求函数 在区间 上的最小值；
（3）设 ，函数 在 上既有最大值又有最小值，请分别
求出 的取值范围（用 表示）。
5．若 是 上周期为5的奇函数，且满足 ，则 ________.
6.已知函数 ,若| |≥ ,则 的取值范围是____.
7.已知函数f（x）＝ ，则满足不等式f（3－x）＜f（2x）的x的取值范围为________.
三：课堂研讨
1．设函数 .
（1）当 时，证明：函数 不是奇函数；
（2）设注
课堂检测——函数的概念和性质姓名：
1．若函数 是偶函数，且它的值域为
，则 .
2．定义域为R的函数y=f(x)的值域为［a,b］，则函数y=f(x+a)的值域为.
3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)= +2x+b(b为常数)，
则f(-1)=.
4.设函数 ，
2020浙江高考数学二轮讲义：专题一第2讲函数图象与性质Word版含解析
第 2 讲函数图象与性质函数及其表示[ 核心提炼 ]1．函数的三因素定义域、值域和对应关系是确立函数的三因素，是一个整体，研究函数问题务必按照“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不一样取值区间，有着不一样的对应关系，这样的函数往常叫做分段函数．分段函数固然由几部分构成，但它表示的是一个函数．[ 典型例题 ]x， 0<x<1，若 f(a)＝ f(a＋ 1)，则 f 1＝ ( )(1) 设 f(x) ＝2（ x－1）， x≥ 1， aA ． 2 B． 4 C． 6 D ． 8m＋x2， |x|≥ 1，的图象过点 (1， 1)，函数 g( x)是二次函数，若函数 f(g(x))(2)设函数 f(x) ＝x， |x|<1的值域是 [0，＋∞ )，则函数 g(x)的值域是 ( )A ． (－∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) B． (－∞，－ 1]∪ [0 ，＋∞ )C． [0，＋∞ ) D． [1，＋∞ )【分析】(1)当 0<a<1 时， a＋ 1>1 ，f(a)＝a， f(a＋ 1)＝ 2(a＋ 1－ 1)＝ 2a，因为 f(a)＝ f(a＋ 1)，所以a＝2a，1解得 a＝4或 a＝ 0(舍去 )．1所以 f a＝ f(4) ＝ 2× (4－ 1)＝ 6.当 a>1 时， a＋ 1>2，所以 f(a)＝ 2(a－ 1)， f(a＋ 1)＝2(a＋1－ 1)＝ 2a，所以 2(a－ 1)＝ 2a，无解．当 a＝ 1 时， a＋ 1＝ 2， f(1)＝ 0，f(2) ＝ 2，不切合题意．1综上， f a＝ 6.应选 C.m＋ x2， |x|≥ 1，(2)因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋ 1＝ 1，x， |x|<1x2， |x|≥ 1，解得m＝ 0，所以f(x)＝画出函数y＝ f(x)的图象(以下图)，x， |x|<1.A，B ，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞ )时， f(g(x)) 因为函数g(x)是二次函数，值域不会是选项的值域是 [0，＋∞ )．应选 C.【答案】(1)C(2)C(1)在求分段函数的函数值时，必定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的分析式求解．当自变量的值不确准时，要分类议论．(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应依据每一段的解析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或范围能否切合相应段的自变量的取值范围．[ 对点训练 ]ln （x＋ 1）的定义域是 ( )1．函数 f(x)＝x－ 2A．(－ 1，＋∞ )B． [－ 1，＋∞ )C． [－ 1， 2)∪ (2，＋∞ )D． (－ 1，2)∪(2，＋∞ )ln（ x＋ 1）x＋ 1>0，x>－ 1，分析：选 D.要使 f(x)＝存心义，需使即x－ 2 x－ 2≠0，x≠2，所以函数f(x) 的定义域为 (－ 1， 2)∪ (2，＋∞)．应选 D.2．(2019 ·波市九校期末联考宁)已知以下各式：①f(|x|＋ 1)＝ x2＋ 1；1②f(x2＋1)＝x；③f(x2－ 2x)＝ |x|；④f(|x|)＝ 3x＋ 3－x.此中存在函数f(x)对随意的 x∈ R 都建立的是 ( )A ．①④B．③④C．①②D．①③分析： 选 A. ① f(|x|＋ 1)＝ x 2＋1，由 t ＝ |x|＋ 1(t ≥ 1)，可得 |x|＝ t － 1，则 f(t)＝ (t － 1)2＋ 1，即有 f(x)＝ (x － 1)2＋ 1 对 x ∈ R 均建立；111－ 1， ②f()＝ x ，令 t ＝x 2 (0＜ t ≤1)， x ＝ ±t x 2＋ 1＋1对 0＜ t ≤ 1， y ＝ f(t)不可以构成函数，故不建立；③f(x 2－ 2x)＝ |x|，令 t ＝ x 2－ 2x ，若 t ＜－ 1时，x ∈ ?；t ≥ － 1，可得 x ＝ 1 ± 1＋ t(t ≥ － 1)，y ＝ f(t) 不可以构成函数； ④ f(|x|)＝3x＋ 3－x ，当 x ≥0时，f(x)＝ 3x ＋ 3－x；当 x ＜ 0 时，f(－ x)＝ 3x ＋ 3－x；将 x 换为－ x 可得 f(x)＝ 3x ＋ 3－x；故恒建立． 综上可得 ①④ 切合条件．函数的图象及应用[ 核心提炼 ]图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．特别注意y ＝f(x)与 y ＝ f(－ x)， y ＝－ f( x)， y ＝－ f(－ x)， y ＝ f(|x|)， y ＝ |f(x)|及 y ＝ af(x)＋ b 的互相关系．考向 1 函数图象的变换与辨别[ 典型例题 ](1) 函数 y ＝ sin x 2 的图象是 ()1(2)(2019 宁·波九校模拟 )已知函数 f(x)＝，则 y ＝ f(x)的图象大概为 ()x － ln x － 1【分析 】 (1)因为函数 y ＝sin x 2 是一个偶函数，选项A 、C 的图象都对于原点对称，所π选项 B 与选项 D 的图象都对于y 轴对称，在选项 B 中，当 x ＝ ± 时，函数 y ＝ sin x 2<1， 2ππ π明显不正确，当 x＝±2时， y＝ sin x2＝1，而2< 2，应选 D.1 1 1(2)因为 f(e)＝e－2 ＞ 0，清除 D. 因为 f(e) ＝ e＞0，清除 B. 因为 f(e2)＝e2－3 ＜ f(e)，故函数在(1，＋∞ )为减函数，清除 C，所以选 A.【答案】 (1)D (2)A考向 2 函数图象的应用[ 典型例题 ]已知 f(x)＝ 2x－ 1，g(x)＝ 1－ x2，规定：当 |f(x)|≥ g(x)时， h( x)＝ |f(x)|；当 |f(x)|<g(x) 时，h(x) ＝－ g(x)，则 h(x)( )A ．有最小值－ 1，最大值 1B．有最大值 1，无最小值C．有最小值－ 1，无最大值D．有最大值－ 1，无最小值【分析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而 h(x)＝|f（ x） |， |f（ x） |≥ g（ x），－g（ x）， |f（ x） |<g（x），故 h(x)有最小值－ 1，无最大值．【答案】 C(2)函数图象的应用①判断函数的性质．②判断方程根的个数及不等式的解．[ 对点训练 ]1．(2019 绍·兴一中模拟 )函数 y ＝x 3的图象大概是 ()3x 4－1分析： 选 A. 因为 y ＝x 3，所以函数 y ＝x 3是奇函数，图象对于原点对称，故排3 434x － 1x － 1除 C ；当 x ＜－ 1 时，恒有 y ＜ 0，故清除 D ；－ 1＜ x ＜ 0 时， y ＞ 0，故可清除 B ；应选 A.2．(2019 鄞·州高级中学月考 )已知函数 f(x)＝ e|x －1|，x>0，若对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ x 2－ 2x ＋ 1， x ≤ 0－ 3f(x)＋ a ＝ 0(a ∈ R)有 8 个不等的实数根，则a 的取值范围是 ()11 A. 0，4 B. 3，3C ． (1， 2)D. 2，94分析： 选 D.作出函数 f( x)＝ e|x－1|，x>0的图象，以下图：－ x 2－ 2x ＋ 1，x ≤ 0对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ 3f(x) ＋a ＝ 0 有 8 个不等的实数根，故＝ 9－ 4a>0 ， a< 94，由函数f(x)图象可知 f(x)∈ (1，2) ，令 t ＝ f(x)，则方程 [f(x)] 2－3f(x)＋ a ＝0 可化为 a ＝－ t 2＋ 3t ， t ∈ (1， 2)．a＝－ t2＋ 3t 表示张口向下，对称轴为直线3t＝的抛物线，23 2 3 9可知 a 的最大值为－ 2 ＋ 3×2＝4，9 9a 的最小值为 2，故 a∈2，4 .综上可知a∈ 2，4 .应选 D.函数的性质及应用[ 核心提炼 ]1．函数的单一性单一性是函数的一个局部性质，一个函数在不一样的区间上能够有不一样的单一性．判断函数单一性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象对于y 轴对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有相反的单一性；奇函数的图象对于坐标原点对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有同样的单一性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．[ 典型例题 ](1)(2019 浙·江吴越结盟)已知函数f(x)是 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时为减函数，且 f(2) ＝ 0，则会合 { x|f(x－ 2)＞ 0} ＝ ()A ． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 4}B． { x|x＜ 0 或 x＞ 4}C． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 2}D． { x|x＜ 0 或 2＜ x＜ 4}（x＋1）2＋ sinx(2)设函数 f(x)＝的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋ m＝ ________．x2＋ 1【分析】(1)因为奇函数知足f(2)＝ 0，所以 f(－ 2)＝－ f(2)＝ 0.对于 { x|f(x－ 2)＞ 0} ，当 x－ 2＞ 0 时， f(x－2)＞ 0＝ f(2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以0＜ x－2＜ 2，所以 2＜ x＜ 4；当 x－ 2＜ 0 时，不等式可化为f(x－ 2)>0 ＝ f(－ 2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以函数f(x) 在(－∞， 0)上单一递减，所以 x － 2＜－ 2，所以 x ＜ 0.综上可得，不等式的解集为{ x|x ＜ 0 或 2＜x ＜ 4} ，应选 D.2x ＋ sin x2x ＋sin x (2)f(x)＝ 1＋ ，令 g(x)＝ x 2 ，则 g(x)为奇函数，对于一个奇函数，其最大值x 2 ＋1＋ 1与最小值之和为 0，即 g(x)max ＋ g(x)min ＝ 0，而 f(x)max ＝ 1＋ g(x)max ，f(x)min ＝ 1＋ g(x) min ，所以 f(x)max＋ f( x)min ＝ M ＋ m ＝ 2.【答案 】 (1)D (2)2(1)四招破解函数的单一性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形联合法；②对于由基本初等函数经过加、减运算或复合而成的函数，常转变为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于分析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法；④对于抽象函数一般用定义法．(2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．②确立函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域能否对于原点对称．③对于偶函数而言，有f(－ x)＝ f(x)＝ f(|x|)．[ 对点训练 ]1．(2019 ·波诺丁汉大学附中高三调研宁 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞ )单一递减，若实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a) ≥2f(1)，则 a 的取值范围是 ()31A ． (0， 3]B ． (0， 3]1 C ． [3， 3]D ． [1， 3]分析： 选 C.因为函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(－ x)＝ f(x)，即有 f( x)＝f(|x|)，由实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a)≥ 2f(1) ，3则有 f(log 3a)＋ f(－ log 3a)≥ 2f(1)，即 2f(log 3a)≥ 2f(1)即 f(log 3a) ≥f(1) ，即有 f(|log3a|)≥ f(1) ，因为 f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递减，则|log 3a|≤ 1，即有－ 1≤log 3a≤1，解得13≤ a≤ 3.2．(2019 ·兴、绍诸暨高考二模 )已知 f( x)是定义在R 上的单一递加函数，则以下四个命题：①若 f(x0)＞ x0，则 f[f(x0)] ＞ x0；②若 f[f(x0)] ＞x0，则 f(x0)＞ x0；③若 f(x)是奇函数，则f[f(x)] 也是奇函数；④若f(x)是奇函数，则f(x1)＋ f(x2)＝0? x1＋ x2＝ 0，此中正确的有 ()A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个分析：选 A. 对于①，因为 f(x)是定义在R 上的单一递加函数，若f(x0)＞x0，则f[f(x0)]＞f(x0)＞x0，故①正确；对于②，当 f[f(x0)] ＞ x0时，若 f( x0)≤ x0，由 f(x)是定义在 R 上的单一递加函数得f[f(x0)] ≤ f(x0)≤ x0与已知矛盾，故②正确；对于③，若 f(x)是奇函数，则 f[f(－ x)] ＝ f[－ f(x)]＝－ f[f(x)] ，所以 f[f(x)] 也是奇函数，故③正确；对于④，当 f(x)是奇函数，且是定义在R 上的单一递加函数时，若f(x )＋ f(x )＝ 0，则 f(x )＝－ f(x )? x ＝－ x ? x ＋x ＝0；若 x ＋x ＝ 0? x11 2 1 2 1 2 1 2 1 2＝－ x ? f(x )＝ f(－ x )＝－ f(x )? f(x )＋ f(x )＝ 0，故④正确；应选 A.2 1 2 2 1 2专题加强训练1．(2019 金·华十校调研)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2C．－ 1 D．－ 31 1 1分析：选 A. 因为 f(x)＝x＋－ 1，所以 f( a)＝ a＋－ 1＝ 2，所以 a＋＝ 3，所以 f(－ a)＝－ ax a a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是()1A ． y ＝ xB ． y ＝ |x|－ 11 |x|C ． y ＝ lg xD ． y ＝ 2分析： 选 B.A 中函数 y ＝1A 错误；B 中函数满x 不是偶函数且在 (0，＋ ∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋ ∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x －a4．已知函数 f(x)＝ 2x 的图象对于原点对称， g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b＝ ()A ． 1B ．－ 1 1 1C ．－ 2D.4分析： 选 B.由题意得 f(0) ＝ 0，所以 a ＝ 2.1因为 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e ＋ 1)－ b ＝ ln e ＋ 1 ＋ b ，1 1 所以 b ＝ 2，所以 log a b ＝ log 22＝－ 1.5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x 2＋ a(a ∈ R )的图象不行能是 ()|x|分析： 选 A. 直接利用清除法： ① 当 a ＝ 0 时，选项 B 建立；1 D ；②当 a ＝ 1 时， f(x)＝ x 2＋ ，函数的图象近似|x|③当 a ＝－ 1 时， f(x)＝ x 2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x在区间 [3，4] 上的最大值和最小值分别为M ，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝ x － 2m 2＝()m ，则 M23 A. 3 B.8 38C.2D.3分析： 选 D. 易知 f(x)＝2x＝ 2＋ 4，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M ＝ f(3)x － 2 x － 244m 216 8＝ 2＋ 3－ 2＝ 6，m ＝ f(4)＝ 2＋ 4－2＝ 4，所以 M ＝ 6 ＝ 3.7．(2018·考全国卷高 Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y ＝ ln x 的图象对于直线x ＝ 1 对称的是 ()A ． y ＝ ln(1 － x)C ． y ＝ ln(1＋ x)分析： 选 B. 法一： 设所求函数图象上任一点的坐标为B ． y ＝ ln(2 － x)D ． y ＝ ln(2 ＋ x)(x ， y)，则其对于直线x ＝ 1的对称点的坐标为 (2－ x ，y)，由对称性知点 (2－x ，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上， 所以 y ＝ ln(2 － x)．故选 B.法二： 由题意知，对称轴上的点 (1，0)既在函数 y ＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除 A ，C ， D ，选 B.8．(2019 ·江台州市书生中学高三月考浙 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）≥ 0.又因 f(x)在 (0， 分析：选 D. 因为函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?5xx＋ ∞ )上为单一递减函数，且 f(2)＝ 0，所以得，函数 f(x)在 ( －∞ ， 0)上单一递减且 f(－ 2)＝0.所以， x ∈(－∞ ，－ 2)∪(0， 2)时， f(x)>0 ； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f(x)<0，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. － 1， 1B. － 6， 66 6 6 6 C. － 1，1D.－3，33 3331 2|－ 3a2) ，所以当 0≤ x≤ a2 1 (a2分析：选 B. 因为当 x≥ 0 时，f(x) ＝ (|x－ a2|＋ |x－ 2a 时，f(x)＝2 2 －x＋ 2a2－ x－ 3a2) ＝－ x；当 a2＜ x＜ 2a2时， f(x)＝1(x－ a2＋ 2a2－x－ 3a2)＝－ a2；2当 x≥ 2a2时， f(x)＝12(x－ a2＋ x－ 2a2－ 3a2)＝ x－ 3a2.综上，函数f(x) ＝1(|x － a2| ＋ |x － 2a2 | － 3a2) 在 x≥ 0 时的解析式等价于 f(x) ＝2－x， 0≤ x≤a2，－a2， a2＜ x＜ 2a2，x－ 3a2， x≥ 2a2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，2 2 6≤a≤6 察看图象可知，要使 ? x∈ R，f(x－ 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－ t18 t恒建立，则实数t 的取值范围是( )A ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3] B． (－∞，－3]∪ (0，3] C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞) D． [－3， 0)∪ [3，＋∞) 分析：选 C.因为 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，因为 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1故 f(x)＝ (x2＋ 6x＋ 8)，9因为1 3x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥ 18 t －t 恒建立，所以－11 39＝f(x)min≥ 18 t － t ，解得t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝ 2 则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (1)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0. 2若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (1)x－ 2≥ 2 得 (1)x≥ 4，则 2－x≥ 4，22得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：因为 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，因为 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3， 5]．11答案：1[－ ， ]14．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时， a ⊕ b ＝ a ；当 a<b 时， a ⊕ b ＝b 2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x－ (2⊕ x)， x ∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x － 2， x ∈ [－2， 1]，分析： 由题意知 f(x)＝x 3 － 2， x ∈（ 1，2]，当 x ∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x ∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x ∈ [－ 2， 2]时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]－ x 2， 0<x ≤ 4，15．已知函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且当x>0 时， h(x)＝4若 h(t)>h(2)，则4－ 2x ， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x 2－ 4 ，0<x ≤ 4，分析： 因为 x>0 时， h(x)＝4－ 2x ， x>4.易知函数 h(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，因为函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2，t ≠0， t ≠0，所以 即 解得－ 2< t<0 或 0<t<2.|t|<2， － 2<t<2，综上，所务实数 t 的取值范围为 (－ 2，0) ∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析： 对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x ≥ 2 时， (x ＋a)|x ＋a|＋ (ax)x ≤0恒建立 .①若 x ＋ a ≥ 0，即 a ≥ －2 时，则有 (x ＋ a)2 ＋ax 2≤ 0,所以 ( a ＋ 1)x 2＋2ax ＋ a 2≤ 0.a ＋ 1＜ 022或 －2a ＜ 2 ，令 f(x)＝ (a ＋ 1)x ＋ 2ax ＋ a ，则有 a ＋1＝ 0 2（ a ＋1）f （ 2）＝ 4（ a ＋1）＋ 4a ＋ a 2≤ 0求得 a ＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a ＜－ 1，综合可得－ 2≤ a ≤ － 1；②若 x ＋ a ＜ 0，即 a ＜－ 2 时，则有－ (x ＋ a)2＋ ax 2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为 a ＜－ 2；③若 x ＋ a ＝ 0，即 a ＝－ x ≤ － 2 时，则由题意可得 ax 2≤0，知足条件 .综合 ①②③ 可得， a ≤－ 2 或－ 2≤ a ≤ －1，故 a 的最大值为－ 1. 答案： －117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x ，y} ＝ x （ x<y ），则不等式 min{ x ＋ 4，4} ≥ 8min{ x ， 1 }y （ x ≥ y ）x x 的解集是 ________．44 分析： ① 当 x>0 时，由基本不等式可知x ＋ x ≥ 2x ＋ x ＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.1 1x ≤ 2x ≥2 或，1x ≥ 12 1x ≤ 12②当 x<0 时，14 8 ，(ⅰ )当－ 1<x<0 时， <x ，原不等式化为x ＋ ≥ xx x即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．(－ ∞， 0)∪ (0，1综上不等式的解集为 2]∪ [2，＋ ∞ )． 答案： (－∞， 0)∪ 1(0， ]∪ [2，＋∞ )218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直 线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 因为函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3 所以b ，－2＝ 1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3， 所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m ＜ 1 时， f(x)min ＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3， 所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m ＜－ 1 时， f(x)min ＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(m)＝m 2－ 2m ，所以 f(x)的值域为 [－ 1， m 2－ 2m] ．x 2－ 2ax ＋ a 2 ＋ 1， x ≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考 ) 已知函数 f(x)＝2－ a ，x ＞ 0.x 2＋x(1)若对于随意的 x ∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为 M(a)，解对于实数 a 的不等式 M(a － 2)＜M(a)．解： (1) 当 x ≤ 0 时， f(x)＝ (x － a)2＋ 1，因为 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞ ， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在 (1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，因为 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为 f(a)＝ 1，f(0) ＝ a2＋1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得0≤ a≤1，a≥ 0解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0， 1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，因为 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。
高考数学二轮复习专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(文)(解析版)
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。
A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(+=x x h D 、12)(+=x x w【答案】B【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(+=x x h 在]1(--∞，上是减函数，在)1[∞+-，上是增函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 在区间)10(，上单调递减的函数，选B 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。
2020浙江高考数学二轮讲义：专题二第1讲 三角函数的图象与性质 Word版含解析
第1讲 三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系[核心提炼]1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cosα＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[典型例题](1)(2019·湖州市高三期末)点P 从点A (1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 (2)(2019·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. ①求sin ()α＋π的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．【解】 (1)选A.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，所以∠QOx＝2π3，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.故选A.(2)2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化简为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝13.故填13.(3)①由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.②由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[对点训练]1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．解析：原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.答案：－342．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________．解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡π2＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43.法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案：－43三角函数的图象及应用[核心提炼]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换y ＝sin x ――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――――――――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [典型例题](1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]|cos x |，x ∈（π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．[1，2]C ．(0，1]D ．(1，2)【解析】 (1)由题图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，结合选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k ∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B.(3)画出函数f (x )在[0，2π]的图象，如图所示：若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点， 即y ＝f (x )和y ＝m 在[0，2π]内恰有4个不同的交点， 结合图象，知0＜m ＜1. 【答案】 (1)A (2)B (3)A解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[对点训练]1．(2019·兰州市诊断考试)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C.由图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.三角函数的性质 [核心提炼]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π2(k ∈Z )时为奇函数．[典型例题]已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫－122－23×32×⎝⎛⎭⎫－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x ·cos x 得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以，f (x )的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．(2)三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)三角函数最值(或值域)的求法在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．[对点训练]1．(2019·杭州市高三期末检测)设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点，若|AB |min ＝2π，则正实数ω＝( )A.12B ．1 C.32D ．2解析：选B.函数f (x )＝sin|ωx |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ωx ，x ≥0－sin ωx ，x ＜0，ω为正数，所以f (x )的最小值是－1，如图所示：设A ，B 是函数f (x )＝sin|ωx |与y ＝－1的图象的相邻两个交点， 且|AB |min ＝T ＝2πω＝2π，解得ω＝1.故选B.2．(2019·台州调研)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：由于对任意的实数x 都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23.答案：233．(2019·高考浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对任意实数x 都有 sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0， 所以cos θ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32.三角函数与其他知识的交汇[核心提炼]三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[典型例题](1)(2019·台州市高考一模)已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1，0]，不等式x 2cosθ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6(2)(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝⎛⎭⎫0，32，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．【解析】 (1)设f (x )＝x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x ＝(1＋sin θ＋cos θ)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ，因为θ∈[0，π)，所以1＋cos θ＋sin θ≠0，且其对称轴为x＝－2sin θ＋12（1＋sin θ＋cos θ）.因为f(x)在[－1，0]的最小值为f(0)或f(1)或f⎝⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12（1＋sin θ＋cos θ），所以⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＞0f（0）＞0f⎝⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12（1＋sin θ＋cos θ）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0sin θ＞0sin 2θ＞12，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜θ＜π20＜θ＜ππ12＜θ＜5π12.所以π12＜θ＜5π12.(2)由题意得φ＝π3，且当x＝π6时，函数f(x)取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈N，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g(x)＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－π3－22＝sin x－22的零点个数是8个．【答案】(1)A(2)1＋12k(k∈N)8解决三角函数与其他知识的交汇问题，可利用数形结合思想．利用“数形结合”思想还可以解决以下问题：(1)讨论含有参数的方程的解的个数问题．(2)求三角函数解析式中含有参数的最值问题．(3)求一些特殊函数的周期．(4)利用三角函数图象对实际问题作出分析等．[对点训练]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsinα－βsin β＞0，则必有()A．α2＜β2B．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sinx 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．(2019·合肥市第二次教学质量检测)已知关于x 的方程(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2在(0，π)上有实根，则实数t 的最大值是________．解析：由题意可得，－1t ＝1－cos x ＋sin x 2－cos x ＝1－1－sin x 2－cos x ，令P (cos x ，sin x )，A (2，1)，则k P A ＝1－sin x2－cos x ，因为x ∈(0，π)，所以－1<cos x <1，0<sin x ≤1，令a ＝cos x ，b ＝sin x ，则点P 是上半圆a 2＋b 2＝1(0<b ≤1)上任意一点，如图，可知，0≤kP A <1，所以0<1－1－sin x2－cos x≤1，即0<－1t≤1，故t ≤－1，实数t 的最大值是－1.答案：－1专题强化训练1．(2019·嵊州模拟)已知sin (π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 解析：选B .因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝－12.2．(2019·湖州市高三期末考试)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象上每一点( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选B.因为y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π12，所以为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝cos 2x 的图象上每一点向右平移π12个单位长度即可．故选B.3．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3，则sin 2α的值为( )A ．－45 B.45 C ．－35D.35解析：选B.因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3，所以tan α＝12.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝114＋1＝45.4．(2019·金华模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1解析：选D.由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.5．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f (x )＝sin x cos 2x ，则下列关于函数f (x )的结论中，错误的是( )A ．最大值为1B ．图象关于直线x ＝－π2对称C ．既是奇函数又是周期函数D ．图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0中心对称解析：选D.因为函数f (x )＝sin x cos 2x ，当x ＝3π2时，f (x )取得最大值为1，故A 正确；当x ＝－π2时，函数f (x )＝1，为函数的最大值，故图象关于直线x ＝－π2对称；故B 正确；函数f (x )满足f (－x )＝sin(－x )·cos(－2x )＝－sin x cos 2x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，再根据f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)cos[－2(x ＋2π)]＝sin x cos 2x ，故f (x )的周期为2π，故C 正确；由于f ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋f (x )＝－cos x ·cos(3π－2x )＋sin x cos 2x ＝cos x cos 2x ＋sin x cos 2x ＝cos 2x (sin x ＋cos x )＝0不一定成立，故f (x )图象不一定关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0中心对称，故D 不正确，故选D.6．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，34 B.⎣⎡⎭⎫－12，34 C.⎣⎡⎦⎤－12，34 D.⎣⎡⎦⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34. 7．(2019·温州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2解析：选B.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎢⎡－π4ω＋π6，⎦⎥⎤2π3ω＋π6，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋π6≥2k π－π2，k ∈Z ，2π3ω＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .又ω>0，所以0<ω≤12，选B.8．(2019·宁波市高三调研)已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是( )A ．[－1，1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22 解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，作出[0，2π]区间内f (x )的图象，如图所示， 由f (x )的图象，可得f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.9．(2019·宁波市高考模拟)已知函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，则函数f (x )的最小正周期为______，振幅的最小值为________．解析：函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ， 化简可得：f (x )＝a 2＋（a ＋1）2sin(2x ＋θ)＝2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12·sin(2x ＋θ)，其tan θ＝1＋a a. 函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.振幅为2⎝⎛⎭⎫a ＋122＋12， 当a ＝－12时，可得振幅的最小值22.答案：π2210．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．解析：sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.答案：－7511．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________． 解析：因为f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin(2x －π4)＋32，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋38π，k π＋78π(k ∈Z )．答案：π ⎣⎡⎦⎤k π＋38π，k π＋78π(k ∈Z ) 13．(2019·太原市模拟试题)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256.答案：⎝⎛⎦⎤72，25614．(2019·温州市高考数学模拟)设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0cos x ＋b sin x －c ，x ＜0，则a ＋c 的值为________，不等式f (x )＞f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________．解析：因为f (x )是奇函数， 所以f (0)＝0，即f (0)＝a cos 0－3sin 0＋c ＝a ＋c ＝0， 即a ＋c ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a cos x －3sin x －a ，x ≥0cos x ＋b sin x ＋a ，x ＜0，若x ＜0，则－x ＞0， 则f (－x )＝a cos x ＋3sin x －a ＝－cos x －b sin x －a ， 则a ＝－1，b ＝－3，c ＝1.则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x －3sin x ＋1，x ≥0cos x －3sin x －1，x ＜0，若0≤x ≤π，则由f (x )＞f (－x )得－cos x －3sin x ＋1＞cos x ＋3sin x －1，即cos x ＋3sin x ＜1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＜12，因为0≤x ≤π，所以－π3≤x －π3≤2π3，则π3＜x －π3≤2π3，即2π3＜x ≤π. 若－π≤x ＜0，则由f (x )＞f (－x )得cos x －3sin x －1＞ －cos x ＋3sin x ＋1，即cos x －3sin x ＞1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＞12，因为－π≤x ＜0，所以－2π3≤x ＋π3＜π3，则－π3＜x ＋π3＜π3，即－2π3＜x ＜0，综上不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π.答案：0 ⎝⎛⎭⎫－2π3，0∪⎝⎛⎦⎤2π3，π15．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z .由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3.又|φ|≤π2，则φ＝π3. (2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .16．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω＞0)的图象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点，且|PQ |＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈[0，2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的最大值．解：(1)过P 作x 轴的垂线PM ，过Q 作y 轴的垂线QM ，则由已知得|PM |＝2，|PQ |＝13，由勾股定理得|QM |＝3，所以T ＝6，又T ＝2πω，所以ω＝π3，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3.(2)将函数y ＝f (x )图象向右平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝sin π3x .函数h (x )＝f (x )·g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3sin π3x＝12sin 2π3x ＋32sin π3x cos π3x＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2π3x ＋34sin 2π3x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x －π6＋14. 当x ∈[0，2]时，2π3x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6，所以当2π3x －π6＝π2，即x ＝1时，h (x )max ＝34.17．(2019·“绿色联盟”模拟)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，故函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数．又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3， 所以3≤t ＜1＋32，故实数t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫3，1＋32. 18．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．解：(1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称， 则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2. (3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时， f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。
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函数的概念第一节函数及其表示一、基础知识1．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数． 关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域ln1－x x ＋1[典例](1)(2019长·春质检)函数y ＝＋ 1x 的定义域是()A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B.－1，－1 2C ．(－1,0)D.1 2 ，1[题组训练]1.(2018江苏)函数f(x)log 2x1的定义域为．fx ＋1 x －12.若函数y ＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝的定义域是_______________．1考点二求函数的解析式[典例](1)已知函数fx1x2x3x，求f(x)．(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2考点二分段函数考法(一)求函数值[典例（]2015新课标Ⅱ）设函数f(x) 1log(2x),x12，则x12,x≥1f(2)f(log12)2A．3B．6C．9D．12考法(二)求参数或自变量的值(或范围)[典例]设函数f(x)＝－x，x≤0，21，x>0，则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0) [题组训练]1．(2017全·国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，x，x>0，212则满足f(x)＋fx－>1的x的取值范围___．12x－7，x<0，2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．x，x≥0，2第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．3考点一单调区间1．（2014天津）函数 2 f(x)=log(x -4)的单调递增区间是_______ 1 2 2x2．函数fxlgx32的单调增区间是_________ 考点二、函数单调性的应用 考法(一)比较函数值的大小[典例]偶函数f(x)定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π，)f(－3)的大小关系是()A ．f(π)f >(－3)>f(－2)B ．f(π)f >(－2)>f(－3)C ．f(π)f <(－3)<f(－2)D ．f(π)f <(－2)<f(－3)考法(二)解函数不等式[典例]设函数f(x)＝ x，x<2， 22，x ≥2. x若f(a ＋1)≥f(2a －1)，则实数a 的取值范围是() A ．(－∞，1]B ．(－∞，2] C ．[2,6]D ．[2，＋∞)考法(三)利用单调性求参数的范围(或值)[典例]已知函数f(x)＝ 2－x －1 ，x ≤1，ax4log a x －1，x>1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围 是()A.1 4 ，1 2B.1 ， 41 2 C.0，1 2D.1 2 ，1[课时跟踪检测] 1．函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)的单调增函数，满足f(2x －1)＜f1 3的x 的取值范围是A.1 3 ，2 3B. 12 ， 33C. 12 ，3D. 212 ， 232－a)>f(a ＋3)，则正数a 的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝lnx＋x，若f(a4第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性偶函数奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)?，那么函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数定义数f(x)是偶函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性5(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x ＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断1．(2015福建)下列函数为奇函数的是A．yxB．ysinxC．ycosxD．xx yee2．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．2y1xB．yx1xC．1xy2D．x2xyxe3．(2014新课标1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A．f(x)g(x)是偶函数B．f(x)|g(x)|是奇函数C．|f(x)|g(x)是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数4．(2014重庆)下列函数为偶函数的是A．f(x)x1B．3xxxxf(x)xxC．f(x)22D．f(x)22考点二函数奇偶性的应用x，则当x>0[典例](1)(2019福·建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2时，f(x)＝()xB．2－xC．－2－xD．2xA．－2(2)设函数f(x)xxeae2x是奇函数,则实数a的值为______.axf(x)x0f(x)ef(ln2)8（3）（2019全国Ⅱ理14）已知是奇函数，且当时，.若，a则__________.[题组训练]1．设函数f(x)=x sinxx的最大值为M，最小值为m，则Mm2．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.63.(2014湖南)已知f(x),g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数f(x)f(x)=321 xx ，则f(1)g(1)＝A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点三、由函数的单调性与奇偶性，求解不等式11.已知偶函数在区间[0,)单调增加，则满足f (2x1)f()的x 的取值范围是(f(x)3A. 12 (,) 33B. 12 [,] 33C. 12 (,) 23D.12 [,] 2322．已知奇函数在区间2,2上单调递减,则不等式f(x)f(x )f(2x)0的解集是(A ．[-1,0)B ．(-2,0)C ．2,1D ．,2U0,3．（2013天津）已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)单调递增．若实数a 满足f (loga)f(loga)2f(1)，则a 的取值范围是21211A ．[1,2]B ．0,C ．,2D ． 22(0,2]4．（2017新课标Ⅰ）函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f (1)1，则满足1≤f(x2)≤1的x 的取值范围是A ．[-2,2]B ．[-1,1]C ．[0,4]D ．[1,3] 考点四、由函数的奇偶、周期性求值[典例](1)(2018开·封期末)已知定义在R 上的函数f(x)满足f (x)＝－f(x ＋2)，当x ∈(0,2]时，x＋log 2x ，则f(2019)＝()f(x)＝212A ．5B.C ．2D ．－2 （2）定义在R 上的函数满足,,且时,则________.题问考点五、具体函数的对称中心或对称轴71．若函数()1fx1xmx的图像的对称中心为(1,1),则实数m的值为()A.1B.1C.2D.22．函数 3y5x2sin3xtanx6的图象的对称中心是（）A.(0,0)B.(6,0)C.(6,0)D.(0,6)x＋194.函数f(x)＝x的图象()3A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称x1 5.(2016全国II)已知函数fxxR满足fx2fx，若函数y与xm yfx图像的交点为x1，y1，x2，y2，⋯，x m，y m，则x yiii1 A．0B．mC．2mD．4m对称5．函数y x2－x2＋的图象关于________对称考点六函数性质的综合问题2.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)< f 52<f72B．f72<f(1)<f52C．f72<f52<f(1)D．f52<f(1)<f723.(2018全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)⋯f(50)A．50B．0C．2D．50奇偶+对称=周期3、若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则有()奇偶+周期+单调A.f(25)f(80)f(11)B.f(11)f(80)f(25)C.D.f(25)f(11)f(80)f(80)f(11)f(25)8。