高数练习与答案第四章

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高等数学章节练习题及答案第四章

高等数学章节练习题及答案第四章1.解下列微分方程(1) 23230x x y '--=；（2）2cos xy e x '=-；（3）2(1)arctan x y x '+=.解 (1)变形得 2212'(32)33y x x x x =-=-，两边积分得 232211()333y x x dx x x C =-=-+⎰，所求微分方程的通解 321133y x x C =-+.(2）两边积分，得2(cos )x y e x dx =-⎰=21sin 2xe x C -+，所求微分方程的通解 21sin 2xy e x C =-+．(3)变形得 2arctan '1xy x =+，两边积分得 2arctan arctan arctan 1xy dx xd x x ==+⎰⎰=21arctan 2x C +.所求微分方程的通解 21arctan 2y x C =+.2.求下列微分方程满足初始条件的特解.（1）'sin 0y x x --=，(0)1y =；（2）''21xy e =+，(0)2,'(1)0y y ==. 解（1）变形得 'sin y x x =+，两边积分得 21cos 2y x x C =-+，代入初始条件(0)1y =，得 2C =. 所求微分方程的特解 21cos 22y x x =-+. （2）两边积分得 1'2xy e C x =+，两边再积分得 212122xy e C x C =++，代入初始条件(0)2,'(1)0y y ==，得122,0C e C =-=. 所求微分方程的特解 22xy e e =-.1.解下列微分方程.(1)x yy e+'=; (2) 22y y xy '=+; （3）d 0xy x y =.解 (1)分离变量得 yxe dy e dx -= ，两边积分得y x e dy e dx -=⎰⎰ ，yx ee C --=+，所求微分方程的通解 0x ye e C -++=(2)分离变量 2(1)dyy x dx=+，21(1)dy x dx y =+，两边积分得 21112x x C y -=++，整理得，微分方程的通解 222y x x C-=++，其中12C C =.(3)分离变量1dy y ==，两边积分得 ln ln y C =，所求微分方程的通解 y =2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.(1)d d 011x y x y y x-=++，0|1x y ==; (2)21(1)2,4x x dy xydx y =+==.解 (1)分离变量 (1)(1)y y dy x x dx +=+，两边积分得22()()y y dy x x dx +=+⎰⎰，232311112323y y x x C +=++， 0|1x y ==得 56C =，所求微分方程的特解 2323323250x x y y +--+=.(2)分离变量 2121xdy dx y x ==+，两边积分得 2ln ln(1)ln y x C =++整理得 2(1)y C x =+，代入初始条件1,4x y ==得 2C =，所求微分方程的特解 22(1)y x =+ .1.解下列微分方程（1）20y y '+=; （2）20xdy ydx -=.（3）22x x dye xe y dx=-. 解 (1)因为， ()2P x =，由通解公式得 2dx y Ce -⎰==2xCe -.所求微分方程的通解 2xy Ce -=.(2)变形，得 20y y x'-=，由于2()P x x=-，所以， 2dxxy Ce--⎰==2ln 2xCeCx =，所求微分方程的通解 2y Cx =. （3）变形，得 0y xy '+=，由于()P x x =，所以，xdxy Ce -⎰==212x Ce-，所求微分方程的通解 . 212x y Ce -=2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.（1）cos 20y y x '+=,(0)1y =; （2） (1)20x y y '++=, (0)2y =. 解 (1) 因为，()cos 2P x x =，由通解公式，得1sin 2cos22x xdxy Ce Ce--⎰==，代入初始条件(0)1y =得， 1C = . 所求微分方程的特解 1sin 22x y e -=.（2）变形得 201y y x '+=+. 因为，2()1P x x =+，由通解公式，得 22ln(1)1dxx x y CeCe --++⎰===2(1)Cx +.代入初始条件(0)2y =得， 2C =. 所求微分方程的特解 22(1)y x =+.1.求解下列微分方程(1) ()3d 21d 1y y x x x -=++；(2) 22e cos x y xy x '-=；(3) ()22d 124d y x xy x x++=.解（1）因为()21p x x =-+，()()521Q x x =+，所以22d -d 31x+1e[(x+1)ed ]xx x y x C --+⎰⎰=+⎰ =2ln(1)32ln(1)e [(x+1)e d ]x x x C +-++⎰ =2(1)[(x+1)d ]x x C ++⎰ =221(1)[]2x x x C +++.所以原方程的通解是 221(1)[]2y x x x C =+++.（2）因为，()2P x x =，2()cos x Q x e x =由公式，得 222[cos ]xdx xdx x y e e xe dx C -⎰⎰=+⎰，222[cos ]x x x e e xe dx C -=+⎰2[cos ]x exdx C =+⎰=2[sin ]x e x C =+.所求微分方程的通解 2[sin ]x y e x C =+.（3）将原方程变形为 1412222+=++x x y x x dx dy ．于是 22()1xP x x =+，14)(22+=x x x Q ．代入公式得 222221124[]1x xdxdx x x x y e e dx C x -++⎰⎰=++⎰222ln(1)ln(1)24[]1x x x e e dx C x -++=++⎰ ⎰++=]4[1122c dx x x 3214[]31x C x =++. 所求微分方程的通解为3214[]31y x C x =++．2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解.(1) 23y y '+=，0|10x y ==；(2) 2d 2,d x y y x yx x =+=-；(3) 3d 2e d x yxy x x-=，1|0x y ==. 解（1）将原方程变形为 2321=+'y y ．于是 1()2P x =，23)(=x Q ．代入公式，得 11223[]2dx dxy e e dx C -⎰⎰=+⎰11223[]2x x e e dx C -=+⎰ 1122[3]x x e e C -=+123xCe -=+．代入初始条件100==x y，得7C =.所求微分方程的特解为 x e y 2173-+=.(2)因为,2()P x x=，()Q x x =-. 代入公式得， 22[]dx dxx x ye x e dx C -⎰⎰=-⋅+⎰=2ln 2ln []x x e x e dx C --⋅+⎰=321[]x dx C x-+⎰ =4211[]4x C x -+代入初始条件20x y -=， 4C =.所求微分方程的特解为 2244x y x -=+. (3)将原方程变形为x e x y xdx dy 22=-．于是 2()P x x =-，xe x x Q 2)(=．代入公式，得 222[]dx dxx x x y e x e e dx C -⎰⎰=⋅+⎰2[]x x e dx C =+⎰2[]x x e C =+．代入初始条件01==x y，得C e =-.所求微分方程的特解为)(2e e x y x-=.1.解下列微分方程. (1)'20y y y ''+-=；(2)40y y '''-=；(3)440y y y '''-+=.解（1）微分方程20y y y '''+-=对应的特征方程 220r r +-=.特征根 12r =-，21r =所求微分方程的通解 212x xy C e C e -=+.（2）微分方程40y y '''-=对应的特征方程 240r r -= 特征根 10r =，24r =所求微分方程的通解 412xy C C e =+.（3）微分方程440y y y '''-+=对应的特征方程 2440r r -+= 特征根 1,22r =，所求微分方程的通解 212()xy C C x e =+.2.求下列微分方程满足给定初始条件的特解. （1）430y y y '''-+=，0|6x y ==，0|10x y ='=；（2）160y y ''+=，(0)0y =，(0)4y '=；解（1）微分方程430y y y '''-+=对应的特征方程 2430r r -+=. 特征根 13r =，21r =微分方程的通解 312x xy C e C e =+.由初始条件0|6x y ==，0|10x y ='=得，122,4C C ==. 所求微分方程的特解 324xx y ee =+.（2）微分方程160y y ''+=对应的特征方程 2160r +=. 特征根 1,24r i =±，微分方程的通解 12cos 4sin 4y C x C x =+. 代入初始条件(0)0y =，(0)4y '=得，120,1C C ==. 所求微分方程的特解 sin 4y x =.1 解下列微分方程.(1) 323x y y y e '''--=； (2) 432sin y y y x '''++=.解 (1)微分方程323x y y y e '''--=对应的齐次方程230y y y '''--=的特征方程 2230r r --=，特征根 121,3r r =-=，齐次方程的通解 312x xy C e C e -=+.因为 3()xf x e = ()1m p x =3λ=（特征单根），设非齐次方程的特解 *30xy b xe =，于是3300*3x x y b e b xe '=+，3300*''69x x y b e b xe =+.代人原方程，得 014b =. 所求微分方程的通解 *y y y =+331214xx x C eC e xe -=++.(2)微分方程432sin y y y x '''++=对应的齐次方程4'30y y y ''++=的特征方程 2430r r ++=，特征根 13r =-，21r =-.齐次微分方程的通解 312x xy C e C e --=+.设非齐次方程的特解 *cos sin y A x B x =+，于是 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--. 代入原方程，得240242A B B A +=⎧⎨-=⎩，解得 A =25- ，15B =. 所求微分方程的通解31221*cos sin 55x x y y y C e C e x x --=+=+-+．2.求下列微分方程满足初始条件的特解. 4e x y y x ''-=，0|0x y ==，0|1x y ='=.解微分方程4e x y y x ''-=对应的齐次方程0y y ''-=的特征方程 210r -=，特征根 11r =-，12=r ，齐次方程的通解 12x xy C e C e -=+，同时()4xf x xe =，其中()4m p x x =1=λ（特征单根），设非齐次方程的特解 xe b x b x y )(10*+=于是 2201010011*'(2)()(2)x x x y b x b e b x b x e e b x b x b x b =+++=+++ 20011001*"(2)(22)x xy e b x b x b x b e b x b b =++++++ 200101(422)xb x b x b x b b e =++++，代入原方程，得 011220,1,b b b -=⎧⎨=-⎩ 解得0111b b =⎧⎨=-⎩微分方程的通解 *y y y +=212()x x x C e C e x x e -=++-．代入初始条件0|0x y ==，0|1x y ='=，得 121,1C C =-=. 所求微分方程的特解 2()xx x y e e x x e -=-++-．。

高等数学课后习题答案第四章2

习题4-1(A)1、什么是)(x f 的原函数？原函数与函数的导数以及不定积分有什么关系？解答：见书上定义。

原函数的全体就是函数的不定积分。

原函数是一个函数，不定积分适宜个函数的集合。

2、证明x x 22cos sin −及x 2cos 21−都是同一个函数的原函数，试分析为什么同一个函数会有几个不同的原函数？解：由于x x x x 2sin cos sin 2)(sin 2==′）x x x x 2sin cos sin 2)(cos 2==′x x 2sin )2cos 21(=′−所以他们都是x 2sin 的原函数。

因为一个函数的原函数有无穷多个，即当)(x F 是)(x f 的原函数时，C x F +)(也是)(x f 的原函数时，其中C 为任意的常数。

3、利用基本公式求下列不定积分（1）、C x dx +−=−∫221（2）、=∫dx x 331=+⋅=∫C x dx x323233131=+C x 3221（3）、Cx dx x +−=+−∫arctan 112（4）、cx dx x++−∫arcsin 112（5）、dx e e xx ∫−−)(21C chx dx shx +==∫（6）、=∫dx ex x 2Ce e dx e x x +=∫2ln )2(2(（7）、Ce C e edx e dx e x x x x+⋅−=+==∫∫1211ln 1)1(1x（8）、dx x x∫2cos sin Cx dx x x +==∫sec tan sec （9）、C x x xdx x +−=∫csc cot csc cot （10）、C C dx xx x +−=+=∫33ln 31ln 31314、求下列不定积分（1）、Cx C x dx x x xx++=+⋅+=+∫3322332)32(（2）、Cxx x x dx x x x x ++−−=−+−∫322433121ln 4)1112(（3）、dx xx x ∫++332Cx x x dx x x x +++=++=∫−21225212362152)3(（4）、dx x x x ∫++)1(21222=+++=∫dx x x x x )1()1(2222C x x dx xx ++−=++∫arctan 1)111(22（5）、dx xx ∫−+4211Cx dx x+=−=∫arcsin 112（6）、dx e e x x ∫+−112Cx e dx e x x +−=−=∫)1(（7）、dx x x x∫−sin cos 2cos Cx x dx x x +−=+=∫sin cos )sin (cos （8）、∫−dx x x x )tan (sec sec C x x dx x x x +−=−∫sec tan )tan sec (sec 25、求解下列问题（1）、设曲线上点),(y x 处切线的斜率为)0(12>+x xx ，并且曲线经过点)2,1(−，求曲线的方程解：由题设有)0(1)(2>+=′x x x x f 所以2312)(2−−=x x x f 经过点)2,1(−有2121−=+−C 23−=C 所以Cx x dx xx x f +−=+=∫12)1()(22（2）、一个直线运动的物体，在t 时刻的运动加速度为1)(2+=t t a ，并且当0=t 时，速度为1)(=t v ，距离0)0(=s ，求物体的运动规律解：Ct t dt t dt t a t v ++=+==∫∫3)1()()(321)0(==C v ，所以13)(3++=t t t v Ct t t dt t t dt t v t s +++=++==∫∫2432112)13()()(0)0(==C s 所以tt t t s ++=242112)(（3）、某商品的需求量Q 是它的价格p 的函数，该商品的最大需求量为1000（即p=0时，Q=1000）,并且知道需求量的变化率为p p Q 31(3ln 1000)(⋅−=′，求该商品的需求函数解：∫′=dp p Q p Q )()(C p+−⋅−=3ln 131(3ln 1000C p +⋅=31(1000==1000)0(Q C +=1000，0=C 所以=)(p Q p )31(1000⋅=(B)1、计算下列不定积分（1）、=+∫dx x x 221C x x dx x+−==+−∫arctan 111(2（2）、dx x x ∫+)1(122=+−+=∫dx x x x x )1(12222C x x dx xx +−−=+−∫arctan 1)111(22（3）、dx x ∫2cot Cx x dx x +−−=−=∫cot )1(csc 2（4）、dx x ∫2sin 2C x x dx x +−=−=∫)sin (212cos 1（5）、dx x f ∫′+)](1[Cx f x ++=)(2、一个质点做直线运动，已经知道加速度为t t t a sin 312)(2−=，如果当0=t 时，初速度3,500==s v ，求该质点的运动速度，及运动方程解：Ct t t t dt t a t v ++=−==∫∫cos 34)sin 312()()(3252)0(=+=C v ，所以解得2==)(t v 2cos 34)(3++=t t t v C t t t dt t t dt t v t s ++−=++==∫∫2sin 3)2cos 34()()(433)0(==C s ，所以32sin 3)(4++−=t t t t s 3、生产某产品Q 个单位所需要的成本C 是Q 的函数，已经知道固定成本为20元，边际成本函数为102+=Q C M ，求总成本的函数)(Q C 解：CQ Q dQ Q Q C ++=+=∫10)102()(220)0(=C C 所以2010)(2++=Q Q Q C 4-2（A ）1、设)(x F 是)(x f 原函数，求下列各式的积分（1）、dx x f ∫)2(C x F x d x f +==∫)2(21)2()2(21（2）、dx x x f ∫)(2Cx F x d x f +==∫)(21)()](21222（3）、dx kx f ∫−)1()0()1(1)1()1(1≠+−−=−−−=∫k C kx F kkx d kx f k （4）、=∫dx x x f )ln 2(Cx F x d x f +=∫)ln 2(21)ln 2()ln 2(21（5）、xdx x f sin )2(cos ∫−C x F x d x f +−−=−−−=∫)2(cos )2(cos )2(cos （6）、dxx x f ∫−2sec )2tan 3(c x F x d x x f +−=−−=∫)2tan 3(31)2tan 3(sec )2tan 3(312（7）、dx e e f x x∫−−+)1(Ce F e d ef x x x ++−=++−=−−∫)1()1()1(（8）、dx x x f ∫+−21)arctan 1(C x F x x d xx f +−−=−+−−=∫)arcsin 1()arcsin 1(1)arctan 1(22、设∫=dx x f I )(，如果做变换)(t x ϕ=后得到∫′=dt t t f I )()]([(ϕϕ，则按下列给出的条件写出换元后的积分（1）、t x dx ee I xxln ,1=+=∫解：设t x ln =，有dttdx 1=C e C t dt t dt t t t dx ee I x x x ++=++=+=⋅+=+=∫∫∫)1ln()1ln(11111（2）、)0(,,12+∞<≤=+=∫t t x dx xx I 解：设tdtdx t x 2,2==Ct t t t dt t t t dt t t I ++−+−=+−+−=+=∫∫)1ln(2232)111(2122323C x x x x ++−+−=)1ln(223223)0(+∞<≤t 3（3）、)0(,cos 2,44122π<<=−−+=∫t t x dx xx I 解：设tdtdx t x sin 2,cos 2−==C x xC t t dt t tdt t t I +−=+−=+=+=∫∫2arccos cos 2)sin 21(sin 2sin 2sin 21（4）、,1,121163+=−+−+=∫t x dx x x I （或者t x =−61）解：设dtt dx t x 566,1=+=dt t tt I 523621⋅++=∫（5）、t x dx x x I tan ,)1(323=+=∫（或者t x =−61）解：tdt dx t x 2sec ,tan ==，tdt t t I 2323sec )(sec )(tan ∫=tdt tt ∫=43sec tan dt t t ∫=cos sin 3（6）、tx x dx xxI 1),10(,11=<<−=∫解：设dt tdx tx 21,1−===−−⋅=∫dt t t t t I )1(122∫−−12t dt3、求下列不定积分（1）、dx x ∫−5)13(C x x d x +−=−−=∫65)13(181)13()13(31（2）、dx e x ∫−4Ce x x d e x x +−=−−=−−∫4441)4(41（3）、dx x x ∫−52)5(52122−−=∫x d x Cx x +−−=5)5(3122（4）、dt t t ∫−3325Ct t d t +−=−−=∫−3233313)5(21)5()5(31（5）、dx x x∫2cos 12C x x d x +−=−=∫2sin 21)2(1cos 21（6）、dx xx ∫−arcsin 112Cx x d x+==∫)ln(arcsin )(arcsin arcsin 1（7）、dx x x ∫−1tan cos 12Cx x d x +−=−−=∫1tan 2)1(tan 1tan 1（8）、dx x x ∫2ln 1=C x x d x+−=∫ln 1)(ln ln 12（9）、dx x x ∫+462Cx x d x +=+=∫2arctan 612(2(11613323（10）、dx x ∫−29161C xx d x+=−⋅=∫43arctan 31)43()43(1134412（11）、dx x x ∫sin cos 5C x x xd +−=−=∫65cos 61)(cos cos （12）、dx x x ∫33sin cos Cx x x d x x +−=−=∫6432sin 61sin 41)(sin sin )sin 1(（13）、dx x x ∫+3sin 2cos Cx x d x ++=++=∫)3sin 2ln()3sin 2(3sin 21（14）、dx x x x ∫+2sin sin cos 32C x x d x ++=++=∫)2ln(sin 31)2(sin 2sin 131333（15）、dxxx ∫+1解：设tdtdx t x 2,2==dx x x∫+1C t t t t dt t t t t tdt t ++−+−=+−+−=+⋅=∫∫)1ln(2232111(2122322C x x x x x ++−+−=)1ln(2232（16）、dxxx ∫−−+22441解：设tdtdx t x cos 2,sin 2==dx x x ∫−−+22441C t t tdt t t ++=⋅+=∫sin 2cos 2cos 2cos 21Cx x++=2arcsin （17）、dx xx x ∫+−441解：设dtt dx t x 344,==dx x x x ∫+−4341C t t t dt t t dx t t t t +++−=++−=⋅+−=∫∫)1ln(882122(44)1(1232Cx x x +++−=)1ln(88244（18）、dxx ∫++3211解：设tdtdx t x ==+,32=++∫dx x 3211=+∫t tdt 1Cx x C t t dt t +++−+=++−=+−∫)321ln(32)1ln(111((B)1、求下列不定积分（1）、dx x x ∫+2sin 12sin Cx xx d ++=++=∫222sin 12sin 1)sin 1(（2）、=−∫dx xx4cos 12sin Cx dx x x d +=−−∫)arccos(cos )(cos 1)(cos 2222（3）、dx x x x ∫+−21arctan −+=∫dx x x 21dxx x∫+21arctan −+=∫)(112122x d x ∫)(arctan arctan x xd C x x +−+=22)(arctan 21)1ln(21（4）、Cx x x x x x d dx x x x +−==+∫∫ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122（5）、C x x dx x x xd cox dx x x +−=+⋅−=∫∫∫5sin 101sin 21cos 21)5(551213sin 2sin （6）、dx x x ∫2cos 3sin Cx x dx x x xd +−−=+⋅=∫∫5cos 101cos 21sin 21)5(5sin 5121（7）、dx x x ∫sec tan 3Cx x x d x +−=−=∫sec sec 31)(sec )1(sec 32（8）、Cx x d x dx x x x +==∫∫433)tan (ln 41)tan (ln )tan (ln cos sin )tan (ln （9）、dx x x x ∫+++32321C x x x x d x x +++=++++=∫322232)32(43)32(32121（10）、dx x x x ∫+)1(arctan C x x d x +==∫2arctan )(arctan arctan 2（11）、dx x x x ∫++542dx x x x ∫++−+=54442212dx x x x x d ∫++++=54)54(212dx x x d ∫+++−1)2()2(22C x x x ++−++=)2arctan(2)54ln(212（12）、dx x x x ∫−−542dx x x x ∫−−+−=54442212dx x x x x d ∫−−−−=54)54(2122dx x x ∫+−+)1)(5(12dx x x x x d ∫−−−−=54)54(2122dx x x 1151(31+−−+∫C x x x x ++−+−−=15ln 31)54ln(212C x x x x ++−−+++−=)1ln(31)5ln(31)1ln(21)5ln(21C x x +++−=)1ln(61)5ln(652、求下列不定积分（1）、dxx ∫++3211解：设dtt dx t x t x 2333,2,2=−==+dx x ∫++3211dt t t ∫+=132∫++−=dt tt )111(3C t t t ++−−=)1ln(33232C x x x +++−+−++=)21ln(3)2(3)21(23331323（2）、dxx ∫−29解：设tdtdx t x cos 3,sin 3==dx x ∫−29C t t dt t dt t ++=+==∫∫2sin 4929)2cos 1(29cos 92C x x x +−+=29213arcsin 29（3）、dxx x ∫++1)2(1解：设tdtdx t x t x 2.1,12=−==+dx x x ∫++1)2(1Cx C t dx t t t++=+=+=∫1arctan 2arctan 2)1(22（4）、dxx x ∫−−−412121解：设dtt dx t x 342,12==−dx x x ∫−−−412121dt t t t ∫−=)1(23C t t t dt t t +−++=−++=∫)1ln(22)11122Cx x x +−−+−+−=)112ln(21221244（5）、dxx ∫−232)1(1解：设dxtdt t x ==cos ,sin dx x ∫−232)1(1C xxC t t tdt +−=+==∫231tan cos cos （6）、dxxa x∫−221解：设dxtdt a t a x =−=sin ,cosdx x a x∫−221Ct t at a t a tdt a +−=⋅−=∫tan sec ln 1cos sin sin C xx a a a +−−=22ln 1（7）、dxx a ∫+2322)(1解：设tdta dx t a x 2sec ,tan ==dx x a ∫+2322)(1C t a t a tdt a +==∫sin 1sec sec 2332C x a x a ++⋅=2221（8）、dxex∫+11解：设12,1,122−=−==+t tdtdx t e t e x x dx e x ∫+11C t t dt t t t ++−=−=∫11ln )1(22C e e x x +++−+=1111ln 3、设)(x F 是)(x f 的原函数，求下列不定积分（1）、dx x x f ∫cos )sin 2(C x F t d x f +==∫)sin 2(21)sin 2()sin 2(21（2）、dx x x f ∫−)1(2Cx F x d x f +−−=−−−=∫)1(21)1()1(21222（3）、xdx xx f tan cos )(tan 22∫C x F x d x f +==∫)(tan 21)(tan )(tan 21222（4）、dx x F x f ∫+)(1)(2Cx F x F x F d +=+=∫)(arctan )(1)((24-3（A ）1、求下列积分（1）、∫xdx x sin C x x x xdx x x +−=+−=∫cos sin cos cos （2）、dx xx ∫2cos C x x x dx x x x ++=−=∫2cos 42sin 22sin 22sin2（3）、=⋅−=∫∫dx x x x x dx xx123ln 23ln 32323dxx x x ∫−−313223ln 23C x x +−=)3ln 2(4332（4）、)1(ln ≠∫n xdx x n ∫+−+=+dx x n x x n n n 11ln 111C x n x x n n n ++−+=++121)1(1ln 11（5）、∫−dx xe x ∫−−+−=dx e xe x x =+−−=−−C e xe x x C x e x ++−=−)1(（6）、∫+dx x x )1sin(∫+++−=dx x x x )1cos()1cos(++−+=)1cos()1sin(x x x （7）、∫xdx x cos 2∫−=xdx x x x sin 2sin 2]cos cos 2[sin 2∫+−−=xdx x x x x Cx x x x ++−=cos 2sin )2(2（8）、∫dx x x 2cos 22∫+⋅=dx x x 2cos 12xdx x dx x cos 212122∫∫+=dx x x x x x ∫−+=sin sin 216123]cos cos [sin 216123dx x x x x x x ∫+−−+=C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123C x x x x x ++−+=cos sin )121(6123（9）、∫−xdx x 2sin )1(2∫∫−=xdxxdx x 2sin 2sin 2x xdx x x x 2cos 212cos 2cos 212++−=∫x xdx x x x x 2cos 212sin 212sin 212cos 212+−+−=∫C x x x x x x ++++−=2cos 212cos 412sin 212cos 212C x x x x ++−−=2sin 212cos )43(212（10）、∫+dx x )1ln(2∫+−+=dx x x x x 22212)1ln(=+−−+=∫dx xx x )122()1ln(22C x x x x ++−+=arctan 22)1ln(2（11）、∫xdx arctan ∫+−=dx xx x x 21arctan ∫++−=221)1(21arctan x x d x xC x x x ++−=)1ln(21arctan 2（12）、∫xdx arccos ∫−+=dxx xx x 21arccos ∫−+=dt t tt x x )sin (sin cos arccos C t x x ++=sin arccos Cx x x +−+=21arccos （13）、∫−dx e x x 2∫−−+−=dx xe e x x x 22∫−−−+−−=dx e xe e x x x x 222C e x x x +++−=−)22(2（14）、∫dx e x ∫=dt te t 2∫−=dt e te t t 22C e t t +−=)1(2C ex x +−=)1(2（15）、∫++dx x x )1ln(2dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(∫++−++=2221)1(21)1ln(x x d x x x Cx x x x ++−++=221)1ln(（16）、∫−xdx e x cos I ==I ∫−xdx e x cos ∫−−+=xdx e x e x x sin sin ∫−−−−−=xdx e x e x e x x x cos cos sin =I Ix e x e x x −−−−cos sin =I C x x e x +−−)cos (sin 21(B)1、求下列积分（1）、∫dx x 2)(ln ∫−=xdx x x ln 2ln 2∫+−=dx x x x x 2ln 2ln 2Cx x x x x ++−=2ln 2ln 2（2）、∫+dx x x )1ln(2∫+−+=dx x x x x 23221)1ln(2∫+−−+=dx x x x x x 1()1ln(2222C x x x x x +++−+=)1ln(21)1ln(22222C x x x +−++=2)1ln(21222（3）、∫xdx x arctan ∫+−=dx x x x x 222121arctan 2∫+−−=dx xx x 111(21arctan 222C x x x x ++−=arctan 212arctan 22C x x x +−+=2arctan 212（4）、∫dx x x )ln(ln )(ln ln 1ln )ln(ln ln )(ln )ln(ln x d x x x x x d x ∫∫⋅−==C x x x +−=ln )ln(ln ln Cx x +−=]1)[ln(ln ln （5）、∫dx ex 3∫=dt e t t 23∫−=dt te e t t t 632∫+−=dt e te e t t t t 6632C e te e t t t t ++−=6632C ex x x ++−=3)22(3332（6）、∫−dx x e x 2sin 2∫−=dx x e I x 2sin 2∫−−+−=dx x e x e x x 2cos 412sin 2122∫−−−−−+−=dx x e x e x e x x x 2sin 161)2cos 21(412sin 21222=I I x e x e x x 1612cos 812sin 2122−−−−−C e x x x ++−=−2]2cos 2sin 4[172（7）、∫xdx x 2cos ∫∫−+=+=x x x x dx x x x 2sin 412sin 4141)2cos (212C x x x x +++=2cos 812sin 41412（8）、∫dx x x 2cos C x x x xdx x x ++=−=∫cos ln tan tan tan （9）、∫xdx x arctan 2∫+−=dx x x x x 233131arctan 3∫+−−=dx xx x x x )1(31arctan 323C x x x x +++−=)1ln(616arctan 32232、设)(x F 是)(x f 的原函数，求∫′dx x f x )(解：∫∫−=′dx x f x xf dx x f x )()()(C x F x xf +−=)()(3、求∫−′′dx x f x )1(解：∫−′′dx x f x )1(∫−′+−′−=dx x f x f x )1()1(Cx f x f x +−−−′−=)1()1(。

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.L ag ran g e ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y =f (x )在[x -h ,x +h ](h >0)内可导证明存在,0<<1使得令g (x )=(x )在[0,h ]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞''+--=++-≥=≤≤=====+=++=+-即证明当时等式中的满足且证).11()(12),44111()(12)(1(1)2).44211lim ()lim(12).441lim ()lim(12)41lim4x x x x x xx x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞→+∞≥+=-=+-≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得22111limlim.4423,0123.()()[0,2]1, 1,01(2)(0)1().120, 1x xxx f x f x x x x x f f f x x x →+∞→+∞====⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,()[0,2]222x x x f x x-=--=-=-=-=1在闭区间上的微分中值定理的中间值为或22324.[1,1]C au ch y ()()()30(1,1),C au ch y (1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,R o lle (,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b D a rb o u x f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f 下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]L ag ran g e (,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c af b f c f c c b f c b cc af x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈==>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12n n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a x a xa xa n nn a xa xa a a a x a xa a f x x n nn n n n a a a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=++++++⎛⎫=++++-+++++ ⎪+-+⎝⎭'=++++-++++++ 证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.n nn n n n n a f f R o lle c f c c a a a a a a x a xa xa n nn ---⎛⎫ ⎪⎝⎭'==∈=++++=++++++ 由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?L ag ran g e ,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(f x a b f x f x f x f c x x f x f x f c x x f x f c x x f x ''∈∈'-=-''=+-≤+-≤0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a ,b )内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f (x )在(a ,b )内有界M ,取定x (a ,b ),则对于任意 x (a ,b ),根据公式证,)|||().(0,1),01,(0,1)M b a +-<<=逆命题不成立.例内有界但是内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()n n kf x a b n k k f x fx a b f x f x x x g x g x x f x k n f x a b x f x x x g x g x f x --=-≠'=-≠若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]R o lle ,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(n x x g x x x g x f x x f x a b x x x x x x x x x f x n f x a b n f n x f x x x g x g x f x +''=-+-<'∈=++=-≠'=有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]R o lle ,(,),,(n n nn n n n n n n x x g x x x g x x x n g x x x g x n g x x x g x g x g x n g x f x x f n x x x x x x c x x c x x ++++'+-+-=-++-'++-==+≠+∈∈ 有n 重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11, 1.[,],,[,]R o lle ,(,),,()()()0.()1(1)n kk k i i k k k kk ii f c f c f x n f x n n n k n n x x x x c x x c f c f c f x k nn =---='''===+>>=+∈∈''''===-+-=∑∑ 1k -1k 使得至少有个根如果有不同的根x 重数分别为在上应用定理存在x ,x 使得至少有根个.对f (x )()(1)(())().n n f x fx +'=用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:L eren d re ()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[ 1.1]R o lle 2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)R o lle 1),n nn nnnndP x x n n d xf x x f f f n c f c f f n f c c c c =---=-=-''''∈-=-==>-∈-证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0R o lle ,,,(1,1)()()0.()n n n n n n n n n n n n n n c c f c f c x c c ffc c c c x x f x P x P x --------''∈==--==∈-== (n -1)1（使得如此下去，f 在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理, 得到x 使得是n 次多项式，至多有n 个零点()n P x n ，故恰有个零点.00011.(,),lim ()lim ().:(,),()0.()lim ()lim ().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(x x x x f f x f x c f c f x f x f x A x c f c f x A f x A a b x a b f a f x →-∞→+∞→-∞→+∞-∞+∞='∈-∞+∞=≡==∈-∞+∞∈-∞+∞'=≠><∈<设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a ,b ,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,F erm at ,()0.()()lim ()0lim0.lim ()0x x x f b f x f a b c a b f c f x f a f c f x f b x a b x f c f x f x f x xf x x →+∞→+∞→+∞<∈≥>≥>∈'='∞=='=0在连续必在一点取最大值. 故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x ,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.m ax {,},()(),2,lim0.x x f x f x f x f x f c x x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x X x xx f x f x x X xxεεεεεεε→+∞'>'-+-++==≤<+<>=><=11使得x >x 时<.(x -x 为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,f x a f x l f a f a a a l f x f a f a f a f a a f a f c f a l l l l f a f a a l a a '+∞>>⎛⎫<-⎪⎝⎭=<⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=+->+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设函数在无穷区间内连续且当x >a 时其中l 为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()R o lle ,(),,()0.14.()(,)lim ()0.()(1)(),lim ()0.lim ()lim ((1)())lim (x x x x x f a f x l f a f x a a f x l l f x f x g x f x f x g x g x f x f x f →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫''->> ⎪⎝⎭'-∞+∞==+-='=+-=内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x θθ+<<=12121215.()[,]L ip sch iz ,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]L ip sch iz (2)(1)?(3)[,]L ip sch iz (1)()[,]0,f x a b L x x a b f x f x L x x f x a b f x a b a b f x a b L >∈-≤-''>称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]L ip sch iz ()[,]()||[1,1]L ip sch iz f x L x a b x x a b x x c x x f x f x f c x x f c x x L x x f x a b f x a b f x x '≤∈∈<∈''-=-=-≤-'=-使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在满足条件111111(3)()[0,1],L ip sch iz ()(0,1].16.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()b annii i i i i i ni i i i f x f x F x a b F x f x a b f x d x F b F a F b F a F x F xF x x f x x ξξ--==-=='='==-'-=-=--→⎰∑∑∑,但在0不可导.连续但不满足条件,因其导函数无界设在可导且其导函数在上可积证明证1()(()0).{}[,].17.()(),(,),()()(),1,,b ai n f x d x x a b P x a P x b c a b P x c P x n P x x x n λ∆→--∈-∈<<+⎰为的分割设多项式与的全部根都是单实根证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根.证不妨设a =0,b >0,c (0,b ),是次多项式,且首项系数为正.有单实根则这些根把实轴分为个区间每个区间保持固定正负号且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为111232322212221222lim ().0(),,(,),,,(,),(,),().nx k k k k k k i n k P x b P x b x x x x x x x x x x x x x x P x b →∞----=''∞>=<<'''''''<∈∈∈+∞= 零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设为偶数,则=+设且有n 个单实根.必有根据连续函数的中间值定1122233322222*********,(0,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),().,k k k k k k k k i i c b c x c x x c x x c x x c x x c x P c c P n c ------'∈∈-∞∈'''∈∈∈+∞∈+∞=理对于存在使得为次多项式是P (x )=c 的所有单实根.。

高数上册第4章练习册答案

(1)
n 1

n
( x a)n 在 x 0 时发散，在 x 0 处收敛，则常数 a （ n
（C）2
n
）.
（B）-1
（D）2
n ( a ) n ( x a) 收敛，由此知 a 1 .当 1 a 1 时，由于 ( 1) 的收敛半径为 1， n n n 1 n 1 因此该幂级数在区间 (a 1, a 1) 内收敛，特别地，在 (0, a 1) 内收敛，此与幂级数在 x 0 时发散矛盾，
sin t sin x t x n sin(n t ) dx dt (1)n dt ， n 0 0 n t x n t sin t sin t 所以 un ( 1) n dt 是交错级数。由于数列 dt 单调减少收敛于零，所以是 un 收 0 n t 0 n t n 1 n 1 n 1
同步练习
(1) n n (1) n

(1) n (1) n n 1 ， [ n (1) n ] n 1 n 1 n 1
而
(1) n n 1 收敛，发散，所以原级数发散. n 1 n2 n 1 n2
2. p 1 ， p 1 3.条件收敛
2 3 n 1 1 1 1 x x x x 1 2 x 2 1 x 2 2 2 2 2 2 2. f ( x) sin 2 x 展开成 Maclaurn 级数为（）
的，所以
u
n 1

n
条件收敛的。
二、选择题： 1 选（B ）. 对于（B ）：因为 lim u n
n
1 （A ）为条件收敛；（C）（D）为绝对收敛. 0 而发散； 3

高等数学习题答案第四章

高等数学习题答案第四章高等数学学习题答案第四章第四章是高等数学中的一块重要内容，主要涉及到微分和积分的应用。

这一章的学习题难度适中，但需要对基本的微积分概念和公式有一定的掌握。

下面将为大家提供第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4f'(x) = 3x^2 - 4x + 3(2) g(x) = sin(x) + cos(x)g'(x) = cos(x) - sin(x)(3) h(x) = e^x + ln(x)h'(x) = e^x + 1/x(4) k(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 8k'(x) = 6x^2 + 8x - 62. 计算下列函数的不定积分：(1) F(x) = 2x^2 - 3x + 4∫F(x)dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 4x + C(2) G(x) = sin(x) + cos(x)∫G(x)dx = -cos(x) + sin(x) + C(3) H(x) = e^x + ln(x)∫H(x)dx = e^x + xln(x) - x + C(4) K(x) = 3x^2 + 4x - 6∫K(x)dx = x^3 + 2x^2 - 6x + C 3. 计算下列定积分：(1) ∫(0 to π) sin(x)dx= [-cos(x)](0 to π)= -cos(π) - (-cos(0))= 2(2) ∫(0 to 1) x^2dx= [x^3/3](0 to 1)= 1/3(3) ∫(1 to e) 1/xdx= ln(x)(1 to e)= ln(e) - ln(1)= 1(4) ∫(0 to 2π) cos(x)dx= [sin(x)](0 to 2π)= sin(2π) - sin(0)= 04. 求下列函数的极限：(1) lim(x→0) (sin(x)/x)= 1(2) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x= e(3) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)= 2(4) lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2= 1/2以上是第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

高中数学必修二第四章同步练习(含答案)

4.1.1 圆的标准方程练习一一、选择题1、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（）A 、x 2+y 2=4B 、 x 2+y 2=16C 、x 2+y 2=2D 、()224(4)16x y -+-=2、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外3、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y 轴相切，则该圆的方程是（）A 、()222(3)4x y -++=B 、()222(3)4x y ++-=C 、()222(3)9x y -++=D 、()222(3)9x y ++-=4、方程()22()0x a y b -++=表示的图形是（）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b5、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、(12,－1)C 、(－1,2)D 、(－12,－1)、6、方程y=( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆7、（x-3）2 +（y+2）2 =13的周长是（）A B 、C 、 2πD 、8、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程为（）A 、22(2)10x y +-=B 、22(2)10x y ++=C 、22(2)10x y ++=D 、22(2)10x y -+=9、直线绕原点按逆时针方向旋转300后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（） A 、直线过圆心B 、直线与圆相交但不过圆心C 、直线与圆相切D 、直线与圆没有公共点二、填空题10、如果一个圆的圆心在（2，4）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是----------------------------------------------。

11、222()()x a y b r -+-=过原点的条件是。

高等数学第四章习题

数学题库（第四章：积分部分）一、填空1、若)(x f 在],[b a 上连续),(b a c ∈，则⎰⎰=+cabcdx x f dx x f )()(答案：⎰badx x f )(2、=⎰24sin4πxdx dxd答案：03、 =⎰20dx答案：C4、若函数)(x f 在区间],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 的则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰答案：一个原函数5、 =⎰2dx答案：26、 ⎰=dx x f e x f )(')( 答案：c e x f +)(7、 ⎰=dx e a x )( 答案：c a eax+8、 ⎰=dx x d 1答案：dx x19、⎰-=+66)1(sinππdx x答案：3π10、 =⎰aadx x f )(答案：011、=dx )4(xd答案：412、dx= d(3-5x) 答案：5113、=xdx )15(2+x d 答案：10114、=dx x 2 )21(3x d - 答案：61-15、=dx x 3 )13(4-x d 答案：12116、=dx x 1)ln 23(x d -答案：21-17、=dx e x 2)1(2xe d + 答案：2 18、=-dx xex2)(2xed -答案：21-19、=xdx 23sin )23(c o s x d 答案：23-20、=dx x2cos1 )t a n 211(x d -答案：2- 21、=+dx x 2911 )3(a r c t a n x d答案：3122、=-21xxdx )1(2x d -答案：1- 23、=-241xdx )2(a r c s i n x d答案：24、=dx x x 2cos )(s i n 2x d 答案：2125、=dx x x ln 2)(l n x d答案：2126、=+21arctan x x 2)(a r c t a n x d答案：21““”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”“” 二、选择1、⎰⎰=+baabdx x f dx x f )()(（）A 0B 1C 2D 3 答案：A2、⎰-=11dx（）A 0B 1C 2D 3 答案：C3、下列积分中常用分部积分法计算的题是（） A⎰+dx x )12cos( B ⎰-dx x x21C⎰xdx xcos 2D⎰+dx xx221答案：C4、设)(x f 为可导函数，则⎰'))((dx x f 为（） A )(x f B c x f +)( C )('x f D c x f +)(' 答案：A5、 ⎰=xdx 2sin（）Ac x +2sin 21 B c x +2si nC c x +-2cos 2D c x +-2cos 21答案：D6、⎰=dx x f k )(2（） A⎰dx x k f )(2B⎰)()(kx d kx fC ⎰dx x f k )(2D ⎰dx kx f k )( 答案：C7、下列函数对中是同一原函数的是（） A x arccos arcsin 与x B x 2ln lnx 2与 C x cos 2x 2cos 2与 D x 22cos x si n 与答案：C8、若)(x f 的一导数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（）A x sin 1+ B x sin 1- C cosx 1＋ D cosx 1－答案：D 9、⎰=dx x x f 2'1)1(（） A c x f +)1( B c xf +-)1(C c xf +-)1( D c xf +--)1(答案：B10、⎰=kdx （）A kxB c kx +C xD c x + 答案：B11、F(x)与G(x)都是区间（c,d ）内函数飞f(x)的一个原函数，则A ．F(x)=G(x) ()d c x ,∈ B.C x dG x dF +=)()( C.⎰=)()(x F dx x fD.),(,),()()()(d c b a a G b G a F b F ∈-=- 12、下列函数对中是同一函数的原函数的是 A ．arcsinx 与arccosx B.x x 2ln ln 2与 C.x 2cos 22cos 与D.x x 22cossin与13、若⎰⎰=的为则下列各式中，不成立),()(x dg x dfA ．)()(''x g x f =B 。

【精品】高等数学线性代数习题答案第四章

习题4—11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66］上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′（ξ)=0.解：显然()lnsin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导，且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件。

令cos ()cot 0sin x f x x x '===，则π2x = 即存在ππ5π(,)66ξα=∈，使()0f ξ'=成立。

2。

下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ？[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解:(1）2()1e x f x =-在[]1,1-上连续，在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=-即(1)(1)f f -=() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件。

令2()20e x f x x '==得0x =，即存在0(1,1)ξ=∈-，使()0f ξ'=。

(2)101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续，又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续，而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续，在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导，从而()f x 在(0,2)内不可导。

高数第四章测试题及答案

高数第四章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是（）。

A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处不一定连续答案：A2. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是（）。

A. 1B. 3C. 9D. 27答案：B3. 函数y=e^x的导数是（）。

A. e^xB. 1C. xD. ln(x)答案：A4. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. 1B. 2C. -2D. 4答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^2+2x+1的最小值是______。

答案：02. 函数y=sinx在区间[0, π]上的最大值是______。

答案：13. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)4. 函数y=e^x的反函数是______。

答案：ln(x)三、计算题（每题10分，共40分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

答案：y'=3x^2-6x2. 求函数y=x^2+4x+4的极值点。

答案：极值点为x=-2，此时函数取得最小值。

3. 求曲线y=x^2在点(2,4)处的切线方程。

答案：切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4。

4. 求函数y=e^x的不定积分。

答案：∫e^x dx = e^x + C四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：函数y=x^3-3x在区间(-1,1)上是增函数。

答案：略2. 证明：函数y=x^2-4x+4在x=2处取得最小值。

答案：略。

高数第四章习题

习题4-11. 利用定义计算下列定积分：(1) d ();b ax x a b <⎰ 1(2)e d .x x ⎰解：(1)将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2) 将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i ix i n n==-记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i nnni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i n n xn n n nn n i n nnnn n n nn x n n nnn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭； 221(2)lim ).n n n →+∞+解：(1)原式11011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n x nn n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰ (2)原式13200122lim ..33n n x x n n →+∞⎫====+⎪⎭⎰ 3. 用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰； 0(2)(0)x R >⎰.解：(1)由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2) 由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 4. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰； 210(2)1e d e.x x ≤≤⎰证明：(1)当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即2101e d e.xx ≤≤⎰5. 证明： (1) 12lim0;nn x →∞=⎰(2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明：(1) 当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：12lim 0.nn x →∞=⎰(2) 由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰习题4-21. 计算下列定积分：3(1)x ⎰； 221(2)d x x x --⎰；π(3)()d f x x ⎰，其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩；222(4)max{1,}d x x -⎰；(5)x .解：(1)原式43238233x ==-(2)原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰01232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= (3)原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ (4)原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5)原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=2. 计算下列导数：20d (1)d x t x ⎰；32d (2)d x x x ⎰解：(1)原式2=(2)原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 3. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x .解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 4. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.5. 求下列极限：2030ln(12)d (1)lim xx t t x →+⎰； 2220020e d (2)lim e d x t x x t t t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰.解： (1)原式21222300ln(12)22limlim ln(12).333x x x x x x →→+==+=(2)原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰6. a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.习题4-31. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰; 解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰. (8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx -⎛ ⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c -=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰ 解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.(15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x ⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 2. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程. 解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.3. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立. (1)()2(1)xdx d x =-；(2)()22x xx dx d e e =；(3)()(35ln )d xx x d -=； (4)()33(1)x x a a dx d =-；(5)()sin 3cos3xdx d x =； (6)()2cos 5tan 5dxxd x =； (7)()221ln 1x x d dxx =--；(8)()l 2552n d d xxx =--；()(1arcs 2in )1d x x -=-； (10)()2arcta 9n 13d dxx x =+；(11)()()2(3)(3)4d x dx x =---；(12)()22(1)x x x d e d e--+=.4. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰ 3(2)sin cos x x x-;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰2d (3)21xx -⎰; 解：原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)x x ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x x x c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e5xc --+.d (12)12xx -⎰; 解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰; 解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰arcsin .xa c a =⋅d (23)e ex x x-+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式.c =(27)⎰;d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) ;x 解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t所以sin t =,故上式c =+.(30)解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② 1t c =+ ② - ① 2 l n sin cos t t c =++ 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰5. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+6. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰3c =++. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 2d 1x x x x x x x ⎛=+-+- ⎝⎭⎰⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.习题4-4利用计分表，计算下列不定积分：（1）2sin3d x e x x -⎰；（2）x ；（3）arcsin d 2xx x ⎰；（4）；（5）()21d 1x x x -⎰；（6）x ；（7）x x ⎰；（8）x ；（9）x ；（10）4sin d x x ⎰.习题4-51. 利用被积函数奇偶性，计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数，故sin d 0.||a a xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln3xx+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2. 计算下列积分：(1)1x -⎰；2e 1(2)⎰；π40sin (3)d 1sin xx x+⎰；0(4)x ⎰；231(5)ln d x x x ⎰； π220(6)e cos d x x x ⎰；322d (7)2x x x +-⎰；21(8)x ⎰； ππ3π(9)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 2120(10)e d t t t -⎰；π22π6(11)cos d u u ⎰.解：(1)原式= (2)原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰(3)原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x x x x x x xx -=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ (4)原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02xx==(5)原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰(6)ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.(7)原式=3322111111d ln ln 2ln5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰ (8)原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+(9)原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ (10)原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰(11)原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰3. 证明：232001()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰令右所以，等式成立.4. 证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又 πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令5. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰习题4-61. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n xx n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解：原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰2. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kxx x +∞⎰; 解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k k kk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散. 3. 已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰220sin (2) d .x x x +∞⎰ 解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰(2)222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题四1.填空题（1）设40ln sin d I x x π=⎰，40ln cot d J x x π=⎰，40ln cos d K x x π=⎰，则,,I J K 的大小关系是 I K J << . （2）设2x e-是函数()f x 的一个原函数，则(2)d f x x =⎰2412x e C -+ . （3）设[]x 表示不超过x 的最大整数，则定积分[]()20120d x x x -⎰的值是多少 1006 .（4）已知函数()f x ，则1()()d f x f x x '''⎰的值为14. （5）反常积分22d (1)x x x 的值为 12. 2.选择题（1）设函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内皆可导，且()()f x g x <，则必有（ A ）.A.0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< B.()()f x g x ''<C.d ()dg()f x x <D.()d ()d xxf t tg t t <⎰⎰（2）下列定积分中，积分值不等于零的是（ D ）. A.20ln(sin x x π⎰B. 2cos 0sin(sin )d x e x x π⎰C.cos 2d x x ππ-⎰ D.2222sin cos d cos 2sin x xx x x ππ-++⎰（3）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“⇔M N ”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（）. （05年全国考研题第（8）题）A.()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数B.()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 B.()F x 是周期函数()⇔f x 是周期函数 D.()F x 是单调函数()⇔f x 是单调函数（4）设ln xx 为()f x 的一个原函数，则()d xf x x '=⎰（ D ）. A.ln x C x + B.2ln 1x C x ++ C.1C x + D.12ln xC x x-+ （5）设函数1()sin()d ,()ln(1)d xf x x t tg x x xt t =-=+⎰⎰，则当0x →时，()f x 是()g x的（ C ）.A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量 3.利用定积分概念求下列极限：（1）lim n →∞；（2）1lim ln 1ln 1ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎛⎛+++++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎝⎣⎦.解：（1）（2）有定积分的定义可得(101lim ln 1ln 1ln 1ln 1n dx n →∞⎛⎫⎛⎛⎛+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎰ ()120ln 1u du =+⎰（令2x u =）2111200011ln(1)ln 2(1)011u u u du u du du u u =+-=---++⎰⎰⎰11ln 21ln 222=-+-=4*. 已知曲线在点(,)x y 处的斜率为2sin cos x x +，且曲线过点(,0)π，求该曲线的方程.解：由已知2sin cos ,(2sin cos )2cos sin y x x y x x dx x x C '=+=+=-++⎰，由于曲线过(,0)π，则有2C =-，因此所求曲线方程为2cos sin 2y x x =-+-.5*. 设函数()f x 连续，且满足0()()d (2)2xx x t f t t x x e x -=-+⎰.(1)求函数()f x 的表达式； (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 解：（1）0()()()()(2)2xxxx x t f t dt xf t dt tf t dt x x e x -=-=-+⎰⎰⎰，方程两边对x 求导数，则有20()(2)2xx f t dt e x =-+⎰，再对x 求导数得2()(22)x f x e x x =+-.（2）()(4)xf x x x e '=+，令()0f x '=得04x x ==-或.所以，函数()f x 的单调增加区间为(),4(0,)-∞-+∞与；单调减少区间为[]4,0-.函数()f x 的极大值为()446f e --=，极小值为()02f =-.6*.设函数2202(1)d ,0,(),0,x t e t x f x x A x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰问当A 取何值时，()f x 在0x =处可导，并求出(0)f '的值. （国防科大09-10年秋季第三大题第2小题）7*.设函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，且满足2222()cos ()d x f x x xe f t t ππ-=++⎰，求()f x 的表达式.解：设22()a f x dx ππ-=⎰，则有22()cos x f x x xe a =++，所以有222222(cos )2cos 2x a x xe a dx xdx a a ππππππ-=++=+=+⎰⎰，解得2(1)a ππ=-，因此所求函数的表达式为22()cos 2(1)x f x x xeππ=++-.8. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=+-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰.验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解：1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=++⎰验证：ln(x c '⎤-++⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tantan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sindcos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.9. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰10.计算下列积分：(1)1(2)1解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== (3)ln3ln 2d e ex xx--⎰; 解：原式=ln3ln32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x-==-+⎰(4)x ⎰;解：原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=(5)120ln(1)d (2)x x x +-⎰;解：原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰(6){}230max ,d x x x ⎰.11. 计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 12. 设1,0,1()1,0,1xx xf x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩求20(1)d x x -⎰.13. 设()f x 在[]0,1上连续，证明2201(cos )d (cos )d 4f x x f x x ππ=⎰⎰.14. 已知()d1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C x C xC --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.。

高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()lnsin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π2x =即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -=() f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)() f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导. 又 (0)(2)1f f == 又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.(3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos 02f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2. 3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f f f x x -'=+==-则33x =±,取33ξ=,即存在3(0,1)3ξ=∈,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e xF x f x =,则()()()e e xxF x f x f x ''=+由e x在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即abF a f a F b f b F a F b =====,由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=.即 ()()0e e f f ξξξξ'+= 而0e ξ≠故 ()()0f f ξξ'+=即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --+++=有一个正根x 0,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.证: 令1011()…n n n f x a x a x a x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=成立,即12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=的一个小于0x 的正根.7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ) = 0.证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂,使得()0f ξ''=.即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) sin3lim tan5x xxπ→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x xx a x a x→+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x xx +→； (6) 0lim sin ln x x x +→;(7) 1ln(1)lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1x x x x →--;(9) 1lim(1sin )xx x →+;(10) 2lim (arctan )πx x x →+∞(11) csc 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2120lim e x x x →;(13) 332lim (1)x x x x x →+∞+++; (14) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 解:222000011sin 33cos33(1)limlim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111lim 22(3)lim lim lim πππe e e e e e e e e x x x x x xx x x xx xx x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==⋅=⋅-⋅-=----==--+++==+-==-.m n m nm m x a n n --=2002220()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim2x x x x x x x x x x x a x a a a x a x a a x x xa x a x a x a a a x a x a x a x →→→⎡⎤+-++⎢⎥+-+⎣⎦=⎡⎤++++-++⎢⎥+++⎣⎦=[]2000221()ln ln 012 aa a a aa a a a ++-⋅+==2200000000001ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 001ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xxx x++++++++++→→→→→→→→→→==-=--=-⋅====-⋅-=-⋅=-⨯=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 111cot 11arc x x x x xx x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 20002200001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443limlim 12022e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x x x xx x x x x x →→→→→-----==-------====+-++00022cos 11ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim limlim 11sin 12112ln(arctan )arctan 1limlim 112ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim πππee =e ee ee eeπx x x x x xx xx x xxxxx x x x x x x x xxx x x x →→→→+∞→+∞++++→→⋅⋅+-→+∞→+∞+========2221lim12lim(1)arctan (1)arctan πe e ex x x x x xx →+∞→+∞--+-+===020033lnln322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)33(2)limlim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e eee ee exxxx x x x x x x x x e e e x x x x xxxxx x x x x x x x xxx →→→---+++→→→+-+--⋅----+--+-===+====22221111220000221()(12)lim limlimlim 11()e eee x x x x x x x x x x x x→→→→'⋅====∞'2002332322332232323232311ln(1)1ln(1)1lim lim lim 01(13)lim (1)lim(1)111111lim3111111111(1)111(14)lim (1) eeee x x x x x x x x xx xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→+∞→+∞→+∞+-+-→+++++-=++++++++++===++++++++++⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦00111211lim2(1)2eex x xx →→-+--+==2.设21lim1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n 的值. 解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim51x x mx nx →++=- 21lim()0x x mx n →∴++=且21()lim5(1)x x mx n x →'++='- 即 10m n ++= 且 1lim(2)5x x m →+=即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x xx→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.解: sin 1limlim(1sin )1x x x x x x x→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有sin limlim(1cos )x x x xx x→∞→∞+=+ 因lim cos x x →∞不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f (x )二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 [][]200000()2()()()()limlim2()()()()1lim 21()()1()()11lim lim ()()2222().h h h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x hf x h f x f x h f x f x f x h h f x →→→→→''+-+-+--=''''-+---=''''+---''''=+=+-''= 5.设f (x )具有二阶连续导数，且f (0) = 0,试证g (x ) = (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩可导，且导函数连续. 证: 当0x ≠时,2()()()()()f x xf x f x g x x x'-''== 当0x =时,由200000()(0)()(0)()(0)lim lim lim 00()(0)1()(0)1lim lim (0)2202x x x x x f x f g x g f x xf x x x x f x f f x f f x x →→→→→'-'--==--''''--''===- 即 1(0)(0)2g f '''=所以 2()(),0()1(0),02xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩由(),()f x f x '的连续性知()g x '在0x ≠处连续,又20000()()()()()lim ()limlim211lim ()(0)(0)22x x x x xf x f x f x xf x f x g x x xf x fg →→→→'''''-+-'=='''''===故()g x '在0x =处连续,所以()g x '在(),-∞+∞内处处连续.综上所述,(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导,且导函数连续.习题4-31.求函数f (x ) =e x x 的n 阶马克劳林公式.解:()()(1),()(1)(2),()()?…x x x x x x k x f x e xe e x f x e x e e x f x e k x '=+=+''=++=+=+()()(0)1(0),(1,2,3,)!!(1)!k k f k fk k k k k ∴====-又 (0)0f =321(1)()(01)2!(1)!(1)!n x n x x e n x f x x x x n n θθθ+++∴=+++++<<-+2.当01x =-时，求函数f (x ) = 1x的n 阶泰勒公式. 解:()()[]23()2341()1()112212!3!!()(1),()(1),()(1),,()(1)!(1)(1)!(1)(1)!1,(0,1,2,)!!(1)()(1)1(1)111(1) ? … n nn n n n n n n nn n f x f x f x f x x x x x n f n f n n n n x f x x x x x θ-++++''''''=-=-=-=-∴-=-⋅=----==-=+∴=-+-⎡⎤+++++++⎣⎦-++(01)θ<<3.按(4)x -的乘幂展开多项式432()53 4.f x x x x x =-+-+解: 函数432()534f x x x x x =-+-+,根据泰勒公式按(4)x -的幂的展开式是2(4)34(4)()(4)(4)(4)(4)2!(4)(4)(4)(4)3!4! f f x f f x x f f x x '''=+-+-'''+-+-而[][][]432324244(4)(4)454434456,(4)21,41523(4)137,123022!2(4)111,24303!3!(4)12414!4!x x x f f x x x f x x f x f ====-⨯+-⨯+=-'==-+-''==-+'''==-=⨯=所以,234()5621(4)37(4)11((4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.4.利用泰勒公式求下列极限: (1)30sin limx x x x →-; (2) 21lim ln(1)x x x x →+∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解: (1) 利用泰勒公式,有34sin ()3!x x x o x =-+所以 343300430()sin 3!lim lim 1()1lim()66x x x x o x x x x x o x x →→→--==-= (2) 利用泰勒公式,有221111ln(1)()2o x x x x+=-+,所以222222221111lim lim ln(1)(())21()1111lim lim .()1222x x x x x x x x o x x x x o x x o x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 习题4-41. 求下面函数的单调区间与极值：(1)32()26187f x x x x =---； (2)()ln f x x x =-；(3)23()1(2)f x x =--； (4)()(4)f x x x =-. 解: (1) 2()612186(1)(3),f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得驻点121,3,x x =-=-在()(),,13,-∞-+∞上,()0f x '>,在()1,3-上()0f x '<∴ ()f x 在(,1],[3,)-∞-+∞上单调增加,在[]1,3-上单调减少.当 1x =-时, ()f x 有极大值,极大值为(1)3f -=, 当 3x =时,()f x 有极小值,极小值为(3)61f =-.(2) 11()1x f x x x-'=-=,令()0f x '=得驻点1x =在()0,1上,()0f x '<;在()1,+∞上,()0f x '>∴ ()f x 在(0,1]上单调递减;在[1,)+∞上单调递增. 当1x =时,()f x 有极小值,极小值为(1)1f =. (3) 3()()032f x f x x ''=≠- 但当2x =时,()f x '不存在,在(,2)-∞上,()0f x '>;在(2,)+∞上,()0f x '<,∴ ()f x 在(,2]-∞上单调递增;在[2,)+∞上单调递减. 当2x =时, ()f x 有极大值,极大值为(2)1f =.(4) 2240()40x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩ ,则 240()240x x f x x x ->⎧'=⎨-+<⎩且当 0x =时,()f x '不存在,又令()0f x '=得2x =在(,0),(2,)-∞+∞上,()0f x '>,在(0,2)上()0f x '<∴ ()f x 在(,0],[2,)-∞+∞上单调递增;在[0,2]上单调递减; 当0x =时,()f x 有极大值,极大值为(0)0f =; 当2x =时, ()f x 有极小值,极小值为(2)4f =-.2. 试证方程sin x = x 只有一个根.证: 显然0x =是方程sin x x =得一个根(亦可将()sin f x x x =-运用零点定理).令()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,而()0f x '=的点不是单调区间的分界点,故()f x 在(,)-∞+∞内单调下降,所以()f x 在(,)-∞+∞内只有一个零点,即方程sin x x =只有0x =一个根.3. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在［0,＋∞)内也单调增加.解: 0 x ∀>,由题意知()f x 在[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,(0,) x ξ∃∈,使()(0)()f x f xf ξ'-=, 因 ()f x '在[0,)+∞单调增加,且(0)0f =,所以()()()f x xf xf x ξ''=≤ 即 ()()0xf x f x '-≥令 ()()(0) f x F x x x=>,则 2()()()0xf x f x F x x '-'=≥ 所以()F x 单调递增,即 ()f x x在(0,)+∞内单调增加.4. 证明下列不等式：(1) 1+12x 1x +x ＞0； (2)2ln(1)(0)2 x x x x x -<+<>. 证: (1) 令 1()112f x x x =+-+则1()(121f x x'=+, 当 0x >时1,()01f x x'<>+即()f x 单调递增,从而 ()(0)0f x f >=,故1112x x +>+. (2) 令 2()ln(1)2x f x x x =+-+,则 21()111x f x x x x'=-+=++当 0x >时,有()0f x '>,即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >= ,即2ln(1)2x x x +>-又令 ()ln(1)g x x x =-+,则1()111xg x x x'=-=++ 当 0x >时,()0g x '>,即 ()g x 单调递增,从而()(0)0g x g >=,即ln(1)x x >+.综上所述,当0x >时有2ln(1)2x x x x -<+<. 5. 试问a 为何值时，f (x ) = a sin x +13sin ３x 在x =3π处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解: ()cos cos3f x a x x '=+若3πx =为极值点,则cos cos 03ππa +=,所以2a =. 又()2sin 3sin 3,()303πf x x x f ''''=--=-<故函数在3πx =处取得极大值,极大值为()33πf =.习题4 - 51. 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为402Q P =-,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润? 解: 利润2()10260400L P PQ Q P P =-=-+-, ()460L P P '=-+,令 ()0L P '=得 P =15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润. 2.设 f (x ) = cx α (c ＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大? 解: 依题意,总利润()()()L x Pf x Q x P cx Qx α=-=⋅- 则 1()L x Pc xQ αα-'=-令 ()0L x '=得 11Q x Pc αα-⎛⎫=⎪⎝⎭所以,投入量为11Q Pc αα-⎛⎫⎪⎝⎭时利润最大.3. 某产品的成本函数为23()156C Q Q Q Q =-+，(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小. 解: (1) 2()()156C Q C Q Q Q Q==-+ 令 260()Q C Q '=-=⎡⎤⎣⎦得Q =3 故生产数量3Q =时,可使平均成本最小. (2) 2()15123MC C Q Q Q '==-+当 3Q =时,15123396MC =-⨯+⨯=2()156336C Q =-⨯+=即边际成本等于平均成本时平均成本最小. 4. 已知某厂生产Q 件产品的成本为C ＝25000＋2000Q ＋1402Q （元). 问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品? 解: (1) 平均成本 250001()200040C Q Q Q =++ 边际成本1()200020C Q Q '=+. 当()()C Q C Q '=时,平均成本最小, 由()()C Q C Q '=即2500011200020004020Q Q Q ++=+ 得1000Q =(负值不合题意已舍去). 所以要使平均成本最小,应生产1000件产品.(2)221()5000()500025000200040130002500040L Q Q C Q Q Q Q Q Q =-=---=-+-令 1()3000020L Q Q '=-+=, 得60000Q =(件) 所以应生产60000件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13.2%，求： (1) 最优订购批量； (2) 最优批次； (3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,5700,1,240013.2%316.8 R C T C ====⨯= 则(1)最优订购批量*431.325q === (2)最优批次 5170*12*431.325R n q ==≈(次) (3)最优进货周期 36530.452*12T t n ===(天) (4)最小总费用*136643.9E ==≈(元)6. 用一块半径为R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为α的扇形后，做成一个漏斗形容器，问α为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为r ,高为h ,为了计算方便令2ϕπα=-,则2,,2ππR r R r h ϕϕ====漏斗的容积2322123(83)πππV hr V ϕϕ==<<'=-令 0V '=得10ϕ=(舍之),2ϕ=34222237),40,9πππV V ϕϕϕ''=-+-⎫''=-<⎪⎭故当ϕ=时漏斗得容积最大.由2πϕα=-得2π2πα=-=,所以,当2ππ3α=-时,容积最大. 7. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为k ；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价V 为时间t 的函数V = k (k ＞0)为常数.若贮存成本为零，年利率为r ，则应何时将酒售出方获得最大利润(按连续复利计算). 解: ()e rt rtA t k k -=⋅=令()0rtr A t k ⎫'==⎪⎭得214t r = 所以,应窖藏214r 时以后售出可获得最大利润. 8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为20km/h ，每小时的燃料费用40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度. 解: 设火车每小时所耗燃料费为Q ,则 3Q kv = (k 为比例常数) 依题意得 34020k =⋅, 解得 1200k =, 又设火车行驶()km s 后,所耗费用为, 32200(200)()s E kv kv s v v=+⋅=+ 令 2200()0100v E s v'=-=, 得27.14v =≈ (km/h), 所以,最经济得行驶速度为27.14 km/h.习题 4-61. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y =2x －3x ； (2) y = ln(1+2x )； (3) y = x e x； (4) y = 4(1)x +＋e x； (5) y =2(3)x x +； (6) y=arctan e x. 解: (1)223,126,0.3令得 y x x y x y x '=-''''=-==当13x <时,0y ''>; 当13x >时,0y ''<,且12()327f =所以,曲线23y x x =-在1(,)3-∞内是下凸的,在1(,)3+∞内是上凸的,点12(,)327是曲线的拐点.(2) 222222222(1)222(1),1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅--'''===+++, 令0y ''=得,121,1x x =-=,这两点将定义域(,)-∞+∞分成三个部分区间,列表考察各部分区间上二阶导数得符号.所以,曲线2ln(1)y x =+在(,1)-∞-及(1,)+∞内是上凸的,在(1,1)-内是下凸的,点(1,ln 2)±是曲线的拐点.(3) 324(1),12(1)0xxy x e y x e '''=++=++> 所以,曲线在定义域(,)-∞+∞内处处下凸,没有拐点.(4) 343212,(3)(3)x x y y x x --'''==++,令 0y ''=得6x =当 6x <时,0y ''<,当6x >时,0y ''>;又2(6)27f =,函数的定义域为(,3)(3,)-∞--+∞;所以曲线在(,3),(3,6)-∞--内上凸,在(6,)+∞内下凸,点2(6,)27是拐点. (6)arctan 2arctan arctan arctan 2222221112(12)(1)(1)(1)x x x xy e x x x e y e e x x x '=⋅+-''=⋅-⋅=+++令 0y ''= 得 12x =当 12x <时,0y ''>,当12x >时,0y ''<,且 1arctan 21()2e f =,所以曲线在1(,)2-∞内向下凸,在1(,)2+∞内向上凸,点1arctan 21(,)2e是拐点.2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y+＞2e x y+， x ≠y ;(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y .证: (1) 令()e xf x =,则()e xf x '=,()0e xf x ''=>,所以函数()f x 的曲线在定义域(,)-∞+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: ()(),()()22x y f x f y x y f x y ++∀≠<≠ 即 22e e ex y x y ++< 即2()2e e e x yx y x y ++>≠. (2) 令()ln f x x x =,则1()1ln ,()f x x f x x'''=+=当 0x >时,恒有()0f x >,所以()f x 的曲线在(0,)+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 0,0,,x y x y ∀>>≠有()()()22f x f y x y f ++>即ln ln ()ln222x x y x y x y+++> 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.3. 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点. 解: 因为32y ax bx =+是二阶可导的,所以在拐点处0y ''=,而 232,62y ax bx y ax b '''=+=+ 所以 620a b +=又拐点(1,3)应是曲线上的点,所以3a b +=解方程6203a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得 39,22a b =-=所以当39,22a b =-=时,点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点. 4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = ln x ; (2) 22x -;(3) y = 23xx-； (4) y = 221x x -. 解: (1) 0lim lim ln x x y x ++→→==-∞,所以ln y x =有垂直渐近线 0x =. 又 lim x y →+∞=+∞,但1ln lim lim lim 01x x x y xx y x x→+∞→+∞→+∞====,lim (0)x y x →+∞-⋅=∞,所以不存在水平或斜渐近线.(2) 220x x -=,所以有水平渐近线0y =,又22lim 0x x x y x -→∞→∞==,所以没有斜渐近线,又函数22x y -=没有间断点,因而也没有垂直渐近线.(3) 221limlim 0331x x xxx x→∞→∞==--,所以有水平渐近线0y =,又函数23xy x==-有两个间断点x x == 且22,,3x x xxx x=∞=∞--所以有两条垂直渐近线x =x = 又 21lim lim 3x x y x x →∞→∞==∞-,所以没有斜渐近线.(4) 2lim lim21x x x y x →∞→∞==∞-,所以没有水平渐近线, 又函数221x y x =-有间断点12x =,且212lim21x x x →=∞-,所以有垂直渐近线12x =. 又1limlim 212x x y x x x →∞→∞==- 2111lim()lim()lim 22122(21)4x x x x x y x x x x →∞→∞→∞-=-==-- 所以有斜渐近线1124y x =+. 5.作出下列函数的图形：(1) f (x ) =21xx +； (2) ()2arctan f x x x =- (3) ()2,(0,)e xf x x x -=∈+∞. 解: (1) (i) 定义域为(,)-∞+∞.()()f x f x -=-,故曲线关于原点对称.(ii)21lim limlim 012x x x x y x x→∞→∞→∞===+,故曲线有渐近线0y =.(iii) 222222121,(1)(1)x x x x y x x +-⋅-'==++ 22223322423232(1)(1)2(1)222442(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x x -+--⋅+⋅---+-''===+++,令0y '=即210x -=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0,3x =±.列表讨论如下x(,3)-∞-3-(3,1)--1-(1,0)-0 y′ - - - 0 + 1 y″- 0+++ 0 y34-拐点12-极小值x(0,1)1 (1,3)3(3,)+∞y′ + 0 - - - y″- -- 0+y12极大值34拐点作图如下:图4-1(2) (i) 定义域为(,)-∞+∞.又 ()arctan y x x x y -=-+=-,故为奇函数.(ii) 2arctan lim ,limlim (1)1,x x x y x y x x→±∞→±∞→±∞=∞=-=πlim ()lim (2arctan )(2)()π2x x y x x →±∞→±∞-=-=-±= 所以有渐近线πy x =.(iii) 222211,11x y x x -'=-=++ 2222222(1)(1)24,(1)(1)x x x x x y x x +--⋅''==++令 0y '=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0x =. 列表如下:x(,1)-∞-1-(1,0)-(0,1)1 (1,)+∞y′+ 0 - -1 - 0 + y″- --+ ++yπ12-+极大值拐点π12-极小值图4-2(3) (i) 定义域为(,)-∞+∞,且()((,))f x C ∈-∞+∞. (ii) ()2(1),()2(2),e e xxf x x f x x --'''=-=-由()0f x '=得1x =,由()0f x ''=得2x =,把定义域分为三个区间 (,1),(1,2),(2,);-∞+∞ (iii) 列表如下.x(,1)-∞1 (1,2)2 (2,)+∞f ′(x ) + 0 - - - f ″(x )- -- 0+ ()f x2e极大值24(2,)e 拐点(iv) lim ()0x f x →+∞=,故曲线()y f x =有渐近线0y =,lim ()x f x →+∞=-∞.(v) 补充点(0,0)并连点绘图,如图所示:图4-3（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

高等数学课后习题答案--第四章

λ1 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) λ 2 (a21 x1 + a 22 x2 + a 23 x3 ) λ 3 (a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ) 0 【提示】经过第一次变换后矩阵变为
a11 0 0 a12 a22 a11 − a21 a12 a11 a32 a11 − a31 a12 a11 a23 a11 − a21 a13 , a11 a33 a11 − a31 a13 a11 a13
2 2 2 1 2. 设 A = 1 − 1 ，B = − 1 3 ，计算 2A-3B，5A+2B。 1 − 3 5 − 2 −2 1 12 14 2. 【答案】(1) 5 1 . − 11 ; (2) 3 − 13 0 15 − 19 2 1 2 1 −4 2 3. 设 A = −1 4 − 2 ，B = − 1 3 ，C = 1 5 − 2 1 A(2B-3C)。 4 −1 15 − 14 3 【答案】AB = − 15 14 ; BA = − 4 16 7 − 28 2 − 1 , 计算 AB，BA，AC，CA， − 3
~ ~ = 0 ,则 a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a = 0 , 于是, 若a 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 11 23 32 12 21 33 13 22 31
记 L1 , L2 , L3 分别表示第1,2,3个方程的左端, 有

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。

A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。

高等数学-习题答案-方明亮-第四章

习题 4-11.求下列不定积分：（1）解：Cx x x x xx x x x+-=-=-⎰⎰-25232122d )5(d )51(（2）解：⎰+x xxd )32(2C xxx++⋅+=3ln 296ln 622ln 24（3）略. (4) 解：⎰⎰⎰-+-=+-x x x x x x x d )1(cscd 11d )cot11(2222=C x x x +--cot arcsin(5) 解：⎰x xxd 2103 C x x xxx x +===⎰⎰80ln 80d 80d 810(6) 解：x x d 2sin 2⎰=Cx x x x ++=-=⎰sin 2121d )cos 1(21(7)⎰+x xx xd sin cos 2cos C x x x x x x xx xx +--=-=+-=⎰⎰cos sin d )sin (cosd sin cos sincos 22(8) 解：⎰x xx x d sincos2cos 22⎰⎰-=-=x xxx xx xx d )cos1sin1(d sincos sincos222222Cx x +--=tan cot(9) 解： ⎰⎰⎰-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2=C x x +-sec tan(10) 解：},,1max{)(x x f =设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则.上连续在),()(+∞-∞x f ，)(x F 则必存在原函数，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<+-=1,2111,1,21)(32212x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F)21(lim )(lim 12121C x C x x x +-=+-+-→-→ ，,21112C C +-=+-即)(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12123C C +=+即,1C C =联立并令.1,2132C C C C +==＋可得.1,12111,211,21},1max{22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++≤≤-++-<+-=⎰x C x x C x x C x dx x 故2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为3d d xxy =，从而⎰+==Cx x x y 4341d由0)0(=y ，得0=C ，因此所求曲线方程为 441xy =.3.解：因为 x x x cos sin sin 212='⎪⎭⎫ ⎝⎛，x x x sin cos cos 212='⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x cos sin 2sin 212cos 41=='⎪⎭⎫⎝⎛-所以x 2sin 21、 x2cos21-、 x2cos 41-都是x x cos sin 的原函数.习题 4-21.填空. (1)21xxd = d (x1-+ C) (2)x xd 1= d (x ln + C)(3)x e x d = d (x e + C) (4) x x d sec 2 = d (x tan + C) (5)x x d sin = d (x cos -+ C) (6) x x d cos = d (x sin + C) (7)x xd 112- = d (x arcsin + C) (8)x xx d 12- = d (21x-+ C)(9)x x x d sec tan = d (x sec + C) (10)xx d 112+ = d (x arctan + C)(11)x xx d )1(1+ = d (2xarctan+ C) (12) x x d = d (22x+ C)2.求下列不定积分： (1) 解：⎰+x x x d 42)4d()4(21)24d(41221222++=++=⎰⎰-x x x x=C x C x ++=++4)4(2212(2) 解：x xxd ln4⎰C xx x +==⎰5ln)d(ln ln54(3) 解：⎰x xe x d 21Ce xe x x+-=-=⎰11)1d((4) 解：⎰++x e e e x x x d )22(32Ce eee e e xxxx x x +++=++=⎰22131)d()22(4332(5) 解：⎰-294d xx Cx x x x x +=-=-=⎰⎰23arcsin31)23(1)23d(31)23(12d 22(6) 解：x x x x d )ln (ln 12⎰+C xx x x x x +-==⎰ln 1)ln d()ln(12(7) 解：x xx x d ln ln ln 1⎰Cx x xx xx +===⎰⎰ln ln ln )ln d(ln lnln 1)d(ln ln ln ln1(8) 解：⎰-+x ee xxd 1Ce e exxx+=+=⎰arctan )d(112(9) 解：⎰x x d cos 4x xx x xd 42cos 2cos 21d )22cos 1(22⎰⎰++=+=x xx d )42cos 22cos 41(2++=⎰ ++=42sin xx xxd 24cos 1⎰+++=42sin 3xx Cx +44sin(10) 解：x xx x x d cos sin cos sin 3⎰-+Cx x x x xx +-=--=⎰323)cos (sin 2)cos d(sin cos sin 1(11) 解：⎰x x d cos 3⎰=x x x d cos cos 2)d(sin sin 12⎰-=x x C xx +-=3sinsin 3(12) 解：x xxd 1102arccos ⎰--=-=⎰)d(arccos 10arccos x xC x+10ln 10arccos(13) 解：x xx d 1arcsin 2⎰-C xx x +==⎰2arcsin)d(arcsin arcsin 2(14) 解：⎰x xx d sin cos C x x x+==⎰sin 2)d(sin sin 1(15) 解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d()(1arctan 2d1arctan 22x x xx xx⎰⎰+=+=Cx x x +==⎰2)(arctan )d(arctan arctan2(16) 解：⎰x x x d cos sin 53⎰⎰--==x x x x x x cos d cos )cos 1(cos d cos sin 5252Cx x +-=68cos61cos81(17) 解：⎰xx x d sec tan 53⎰⎰-=xx x x x x sec d sec)1(secsec d sec tan4242Cx x x +-=57sec 51sec 71(18) 解：Cx x x xx x x x ++-=-=⎰⎰cos 219cos 181d 2sin 9sin d 4sin 5cos(19) 解：⎰x x x d sec tan 43⎰⎰+==x x x x x x tan d )1(tan tan tan d sec tan 2323Cx x x ++=56tan41tan 61(20) 解：令t x =6，则6t x =，t t x d 6d 5=，代入原式得C t t t t t t t t tx x x +-=+-+=+=+⎰⎰⎰arctan 66d 1116d 6)1(1d )1(1225233=Cx x +-66arctan66(21) 解：令t x sec =，]2,0[π∈t ，t t t x d tan sec d =，则C t t t t t tt x x x +===-⎰⎰⎰d d tan sec tan sec 1d 112=Cx+1arccos(22) 解：)1d(1)1(1)1d(1)1(1d 112222xxx xxx x xx⎰⎰⎰-=--±=-)1)1d((1)1(1222--=⎰xx1)1(22-=xC xx +-=212习题 4-3求下列不定积分（1）解：⎰x x x d 2sin )2cos d(21⎰-=x x ⎰+-=x x x x d 2cos 212cos 2Cx x x ++-=2sin 412cos 2（2）解：⎰-x xe x d C e xe x e xe e x x x x x x +--=+-=-=-----⎰⎰d d （3）解：⎰x x x d ln 2⎰⎰⎰-=-==x xx xx xx xxx d 3ln 3)d(ln 3ln 3)3d(ln 23333C xx x+-=9ln 333（4）略.（5）解：⎰x x x d cos 2⎰⎰⎰-=-==x x x x x x x x x x x d sin 2sin d sin sin sin d 2222xx x x x x x x x x d cos 2cos 2sin cos d 2sin 22⎰⎰-+=+=Cx x x x x +-+=sin 2cos 2sin 2（6）解：因为⎰-x x e x d 2sin ⎰--=x e x d 2sin )2d(sin 2sin ⎰--+-=x e x e x x)d(2cos 22sin ⎰----=xxe x x e )2d(cos 22cos 22sin ⎰---+--=x e x e x e x x x⎰------=xx ex ex exxxd 2sin 42cos 22sin于是⎰-x x exd 2sin C xex exx+--=--52cos 22sin（7）解：⎰x x x d arctan 2⎰⎰-==x xx xxx arctan d 3arctan 33darctan 333⎰+-=x xxx xd 131arctan 3233⎰+-+-=x xx x x x xd 131arctan 3233C x x x x+++-=)1ln(31arctan 3223（8）解：⎰x x x d cos 2⎰⎰+=+=x x x x x xxd )2cos (21d 22cos 1⎰+=x x x xd 2cos 2142⎰+=x x x2sin d 4142⎰-+=x x x x xd 2sin412sin 4142C x x x x+-+=2cos 812sin 4142（9）解：⎰x x xd arcsin1⎰⎰-==xx x x x x arcsin d 2arcsin2d arcsin2⎰--=x xx x d 11arcsin 2Cx x x +-+=12arcsin 2（10）解：⎰x e x xd 32xxxxxex e x x xee x ex 33233232d 923d 323d 31⎰⎰⎰-=-==C exe e x xxx++-=3332272923（11）解：因为⎰x x d ln cos ⎰⎰+=-=x x x x x x x x d ln sin ln cos ln cos d ln cos⎰-+=x x x x x x ln sin d ln sin ln cos ⎰-+=x x x x x x d ln cos ln sin ln cos于是⎰x x d ln cos Cxx x x ++=2ln sin ln cos（12）解：⎰''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-'='=⎰⎰)()(d )()()(d习题 4-4求下列不定积分（1）解：⎰-x x xd 13⎰⎰⎰-+++=-+-=x x x x x x x x d 11d )1(d 11123C x x xx+-+++=1ln 2323（2）解：⎰--+x xx x x d 8345⎰⎰---+++=x xx x x x x xd 8d )1(322⎰⎰+---+++=x x x xx x x d )13148(d )1(2C x x x x xx++---+++=1ln 31ln 4ln 82323（3）解：⎰+-++x x x x x d )1)(2(1322222x x d 21⎰-=xxx x x x d )1(43d 12222⎰⎰+--++--+xxxx x x x x x d )1(4)1()1d(23d 1121)1d(212ln 22222222⎰⎰⎰⎰+-++-+-++--=Cx x x x x x x +-+-++-+--=arctan 212)1(23arctan 2)1ln(212ln 222（上式最后一个积分用积分表公式28）（4）解：⎰-+-x x x x x d )1(411622⎰---+=x x x xd ])1(1124[2C x x x +-+-+=111ln 2ln 4Cx x x +-+-=11)1(ln 22（5）解：⎰-+-x x x x xd 123x xx xd )1)(1(2⎰+-=xxx x xd 11211d 212⎰⎰+---=Cx x x +++--=arctan 21)1ln(411ln 212（6）解：⎰+xx 2sin3d ⎰-=xx2cos 7d 2xu tan =⎰+243d uu⎰+=2)32(1d 31u uC x+=3tan 2arctan321（7）解：⎰++311d xx 31xt +=⎰+tt t 1d 32t tt d )111(3⎰++-=Ct t t +++-=1ln 232（8）解：x xx x d 11⎰-+xx t -+=11⎰+-t t ttd )1)(1(4222tt t t d )121111(2⎰+++--=Ct t t +++-=arctan 211ln习题 4-5利用积分表计算下列不定积分：（1）⎰+-245d xx x解：因为⎰+-245d xx x ⎰-+-=2)2(1)2d(x x在积分表中查得公式（73）C a x x ax x +++=+⎰)ln(d 2222现在1=a ，2-=x x ，于是⎰+-245d xx x C xx x +-+-+=)245ln(2（2）⎰x x d ln 3解：在积分表中查得公式（135）⎰⎰--=x x n x x x x n n nd ln)(ln d ln1现在3=n ，重复利用此公式三次，得⎰x x d ln3Cx x x x x x x +-+-=6ln 6ln3ln23.（3）x x d )1(122⎰+解：在积分表中查得公式（28）⎰⎰+++=+baxxb b axb x x axb 2222d 21)(2d )(1于是现在1=a ，1=b ，于是=+⎰x xd )1(122Cx x xxxx x +++=+++⎰arctan )1(21d 21)1(2222（4）⎰-1d 2x x x解：在积分表中查得公式（51）C xa ax ax x +=-⎰arccos1d 12于是现在1=a ，于是⎰-1d 2x x x C x+=1arccos（5）x x x x d 222-⎰ 解：令1-=x t ，因为x x x x d 222-⎰x x x d 1)1(22--=⎰tt t t d 1)12(22-++=⎰由积分表中公式（56）、（55）、（54）C ax x aax a x x x a x x+-+---=-⎰2222222222ln 8)2(8dCa x x a x x +-=-⎰32222)(31dC ax x aax x x a x +-+--=-⎰2222222ln 22d于是x x x xd 222-⎰2222)1())1(2[81ax a x x -----=Ca x ax x a +--+--+--322222])1[(31)1(1ln 85.（6）⎰-12d 2x xx解：在积分表中查得公式（16）、（15）⎰⎰+-+-=+bax xx b a bx b ax b ax xxd 2d 2Cbb ax bbax xx +-+-=+⎰arctan 2d于是现在2=a ，1-=b ，于是=-⎰12d 2x xx⎰-+-12d 12x xx xx Cx xx +-+-=12arctan 212（7） ⎰x x d cos 6解：在积分表中查得公式（135）⎰⎰----=xx nn x x nx x n n nd cos1sin cos1d cos21现在6=n ，重复利用此公式三次，得⎰x x d cos6Cx x x x •x x ++++=)22sin 41(2415sin cos 245sin cos6135.（8）x x e x d 3sin 2⎰-解：在积分表中查得公式（128）Cbx b bx a eba x bx e axax+-+=⎰)cos sin (1d sin 22现在2-=a ，3=b ，于是Cx x e x x eaxx+--=⎰-)3cos 33sin 2(131d 3sin 2 Cx x e ax++-=)3cos 33sin 2(131.本章复习题 A一、填空. （1）已知)(x F 是xx sin 的一个原函数，则))(d(2x F = x xx d sin 22.（2）已知函数)(x f y =的导数为x y 2='，且1=x 时2=y ，则此函数为12+=x y .（3）如果 ⎰+=C x x x x f ln d )(，则)(x f = 1ln +x .（4）已知⎰++=C x x x x f sin d )(，则⎰+x e f e x x d )1(=C e e x x ++++1)1sin(. （5）如果 ⎰+=C x x x x f 2sin d cos )(sin ，则)(x f =x 2. 二、求下列不定积分.（1）解：x xxd 2cos 1cos12⎰++x x x d 1cos21cos122⎰-++=x xxd coscos 12122⎰+=xx d )sec1(2⎰+=Cx x ++=tan（2）解：⎰+xex 1d ⎰⎰----++-=+=xxxxeeexe1)1d(1d Ce x++-=)1ln(（3）解：x xxx d 42532⎰⋅-⋅x x x x d )21(5d )43(2⎰⎰-=C x x++-=-2ln 254ln 3ln )43(2 （4）解：x x d )(arcsin 2⎰x xx x x x d 1arcsin 2arcsin22⎰-⋅-=221d arcsin 2arcsin xx x x --=⎰x x x x x x arcsin d 12arcsin 12arcsin222⎰-+--=C x x x x x ++--=2arcsin 12arcsin22（5）解：令1+=x t ，则12-=t x ，于是⎰+1d x xx C t t t t t tttttt ++-=+--=-=-=⎰⎰⎰11lnd )1111(1d 2)1(d 222（6）解：x x xd )1(223⎰+x xxx xxx x xxx d )1(d 1d ])1(1[222222⎰⎰⎰+-+=+-+=Cx x ++++=)1(21)1ln(2122（7）解：⎰-221)(arcsin d xx xCxx x +-==-⎰arcsin 1)d(arcsin )(arcsin 2（8）解：x xx d 4912⎰--=x xx x xd 49d 49122⎰⎰---)49d(49181)32d()32(12331222x xx x --+-=⎰⎰Cxx +-+=2494132arcsin21（9）解：⎰x x x d sec tan 45==⎰x x x sec d sec tan 34⎰-x x x sec d sec )1(sec 322⎰+-=x x x x sec d )sec sec2(sec357C xxx ++-=4sec3sec8sec 468（10）解：令t x sin =，)2π,2π(-∈t ，于是 ⎰-+211d xx ⎰⎰⎰⎰-=+-=+-+=+=2cos)2d(cos 1d d cos 11cos 1cos 1d cos 2t t t ttt t tt tttC xx x C tttt x C t t +---=+-=+-=211arcsin 2sin2cos22sin 2sin2arcsin 2tan（11）解：⎰x e x x d 23Ceex xee x ex xxxx x+-=-==⎰⎰222222121d 2121d 212222（12）解：xxx d ln ln ⎰Cx x x +=⎰ln ln ln d lnln三、设 1100,2,1,1)(>≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x f ，求⎰x x f d )(.解：上连续在),()(+∞-∞x f ，)(x F 则必存在原函数，使得1100,,21,)(32221>≤≤<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=x x x C x C x x C x x F ，须处处连续，有又)(x F)21(lim )(lim 2210C x x C x x x ++=++--→-→ ，即,21C C =)21(lim )(lim 221321C x x C x x x ++=+-+→→ ，即 23231C C +=+,1C C =联立并令.1,2132C C C C +==＋可得故⎰x x f d )(1100,21,21,22>≤≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=x x x C x C x x C x . 四、若,d tan I ⎰=x x n n ,,3,2 =n 证明：21tan11----=n n n x n I I .证明：因为.⎰=x x nn d tan I ⎰⎰-==--x x x x x x n n d )1(sectand tantan2222⎰⎰---=x x x x x n n d tand sectan222⎰⎰---=xx x x n n d tantan d tan2221tan11----=n n x n I故 21tan11----=n n n x n I I .本章复习题B一、填空. （1） xex121--；（2） c x x +-331；（3）21232534154c x c x x+++（4） c e x x +---2)12(2 二、求下列不定积分.（1）x ee xxd arctan 2⎰解：=⎰x ee xxd arctan 2xx ee 2d arctan 21-⎰-=]d 1)(11arctan [21222x ee e e e xxxx x ⎰+---=]d )11(arctan [2122x eeee exx xxx⎰+----=Ce ee exxx x+++---)arctan arctan (212。

(完整word版)高等数学课后习题及参考答案第四章

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231.(3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx x x 21; 解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x mn mC x mn dx x dx x mn m m n m nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx x x 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx x e e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532;解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e xch x 都是x x e x sh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x x x x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332x dx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d xx dx x x x x +--=-+⎰⎰C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx x x 239;解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解C x x C t t dt t tdt t tx xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d x x x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x xx x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458;解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx x x x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222. 8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17. ⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解 ⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dxx x )122(221111111令C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4x x dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxx x x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx.解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u u dx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662. 4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln . 6. ⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9. ⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e b a ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e e dxx x)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12. 16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a ++=tan 1tan 31434C xa x a x a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241x xdx;解tdt t t tx x xdx2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444. 25.⎰-416x dx; 解⎰⎰⎰++-=+-=-dx xx dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx x xx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x ex23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x e x x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dxx x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x xC t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C e e x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xde d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xx de e e e x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ; 解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t tx dx x 2232/321sin cos secsec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx xx xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

高等数学课后习题及参考答案(第四章)

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

高等数学第三版第四章矩阵和线性方程组答案

即一定条件下体系存在的形式。
1 mol H2 0oC, 1 atm 22.4 dm3
状态 1
1 mol H2 0oC, 0.5 atm 44.8 dm3
状态 2
状态函数 --- 描述体系宏观状态的物理量（也
称体系的性质）,例如 p，V，T等。
特点:只与始态和终态有关，与途径无关。
H2O (s, 25°C, 1atm ) Hsub H2O (g, 25°C, 1atm )
Hfus
Hvap
H2O (l, 25°C, 1atm )
Hsub= Hfus +Hvap
状态定，函数定；函数变，状态变。
分为两种性质：
广延性质 --- 与体系中物质的量成正比，相同条件下有加和性。如 V、Cp、U、H、S、G 等。
强度性质 --- 体系中各处的性质是均匀的，与物质的量无关。如 P、T、C浓度等。
例：甲醇挥发
与体系可进行能量、物质的交换Biblioteka NOTE: 其划分随需要而变
三种体系
体系与环境之间既有能量交换又有物质交换。
体系与环境之间有能量交换、没有物质交换。
体系与环境之间既没有能量交换也没有物质交换。
b. 状态与状态函数 (State and State function)
状态 ---- 体系所有物理性质和化学性质的综合表现，
1 cal = 4.18 J 证明能量转换关系
U = q – w 能量守恒定律
能量多种形式,不生不灭，互相转化。
U = q – w
q ：体系从环境吸热（＋） w: 体系对环境作功（＋）体系向环境放热（－）环境对体系作功（－）
注意：体系一定为封闭体系；体系与环境之间的能量转化只有功和热两种，也就是说如果一个体系内能U发生变化，那么其变化过程必然是通过q 和 w与环境进行交换完成的；这里的w包括所有形式的功。

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第四章导数的应用例1 设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且121010===)(,)()(f f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使1)(='ξf 。

证：设x x f x F -=)()(，则02121121)21()21(>=-=-=f F 01101)1()1(<-=-=-=f F 由介值定理存在)1,21(∈t ，使0)(=t F ，又00)0()0(=-=f F在],0[t 上)(x F 满足罗尔定理的条件，故存在)1,0(),0(⊂∈t ξ，使 0)(='ξF ，即 1)(='ξf例2 已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 有极值2-，试确定系数b a ,。

解：由⎩⎨⎧-=++==++='21)1(023)1(b a f b a f 得3,0-==b a 。

例3 当20π<<x 时，证明.sin 2x x x <<π证明：（1）设.sin )(x x x f -= 因为),20(0cos 1)(π<<>-='x x x f 故)(x f 在)2,0(π内单调增加。

又因为,0)0(=f 所以在)2,0(π内，,0)(>x f 即 .sin x x < （2）设.2sin )(x x x g π-=由于,0)2()0(==πg g 此函数在]2,0[π上不是单调的，因为0sin )(,2cos )(<-=''-='x x g x x g π),20(π<<x这表示曲线)(x g y =在]2,0[π内是凸的，且在端点的值均为零，因此，在)2,0(π内,0)(>x g 即.2sin x x π>),20(π<<x （也可用极值理论证明）由（1）（2）即得结论。

例4 试证 )20(2sin 2tan 3π<<+<x x x 。

证：设x x x x f 3sin 2tan )(-+=，只需证明0)(>x f 。

3cos 2sec )(2-+='x x x f （不易看出一阶导数的符号）)20(0)cos 1(sec tan 2)(22π<<>-=''x x x x x f 。

故)(x f '单调增加，又0)0(='f ，故0)(>'x f ，从而)(x f 也单调增加，又0)0(=f ，于是)20(0)(π<<>x x f ，结论得证。

例5 设+∞<≤x 0时，,0)0(,0)(=>''f x f 证明函数xx f x F )()(=在),0(+∞单调增加。

证明：2)()()(xx f x f x x F -'='，令0)0(),()()(=-'=h x f x f x x h ，由于 )0(0)()(+∞<<>''='x x f x x h从而)(x h 单调增加，于是0)0()(=>h x h ，可知0)(>'x F ，从而xx f x F )()(=在),0(+∞单调增加。

例6证明当20<<x 时，42ln 42-+>x x x x 。

证明：令42ln 4)(2+--=x x x x x f ，则22ln 4)(+-='x x x f)20(0)2(2)(<<>-=''x xx x f ，故)(x f '单调增加，而0)1(='f ，于是当10<<x 时，0)1()(='<'f x f ，当21<<x 时，0)1()(='>'f x f ，故1=x 为)(x f 在20<<x 内唯一的极小值点，也是最小值点，最小值,01)1(>=f 故0)(>x f ，结论得证。

例7 讨论方程)0(> =-a a xex的实根个数。

解：设 -=-a xe x f x)(，则)1()(x e x f x -='-，令0)(='x f 得唯一驻点1=x 。

当1<x 时，;0)(>'x f 当1>x 时，.0)(<'x f 故a e f -=-1)1(是)(x f 的最大值。

下面分别讨论最大值0)1(,0)1(,0)1(<=>f f f 的情况。

若1-<e a ，则0)1(>f ，且0)(lim ;)(lim <-=-∞=+∞→-∞→a x f x f x x ，又)(x f 在)1,(-∞内与),1(+∞均为单调函数，故0)(=x f 在)1,(-∞),1(+∞内分别有唯一实根，故原方程有两个实根。

若1-=e a ，则0)1(=f ，由上讨论，有唯一实根。

若1->e a ，则0)1(<f ，从而,0)(<x f 即)(x f 无零点，从而原方程无实根。

类例：讨论方程)0(ln > =a ax x 的实根个数。

例8 判断方程2ln 6x x =在),0(e 内有几个实根。

解：设,ln 6)(2x x x F -=因为xx x x x x F )3)(3(26)(+-=-='在),0(e 内，当3=x 时，.0)(='x F 而在)3,0(内，,0)(>'x F 故函数)(x F 单调增加；在),3(e 内，,0)(<'x F 故函数)(x F 单调减少。

又因ln 6)(,033ln 333ln 6)3(,011ln 6)1(2<-=>-=-=<-=e e e F F F所以方程,0)(=x F 即2ln 6x x =在)3,1(与),3(e 内各有一个实根，从而在),0(e 内有两个实根。

例9 试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。

解：2=a 时取得极大值.3)3(=πf （因为03)3(<-=''πf ）例10 汽车从A 点开始行驶，到B 点停止，它在时间T 内通过这两点之间的距离s ，证明：在某个时刻，它的加速度（按绝对值计）不小于.42Ts 证明：设时间t 内汽车通过的距离为),0)((T t t s ≤≤讨论下面两种情况：（1）;2)2(s T s ≥（2）;2)2(s T s < 若;2)2(sT s ≥把)(t s 在t=0作二阶泰勒展开，并考虑到,0)0()0(='=s s 则有),2,0(,222)()2(121Ts T s T s ∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛''=ξξ即.4)(21Ts s ≥''ξ若;2)2(sT s <把)(t s 在t=T 作二阶泰勒展开，并考虑到 ,0)(,)(='=T s s T s则有),,2(,222)()2(222T Ts T s s T s ∈<⎪⎭⎫ ⎝⎛''+=ξξ即.4)(22Ts s -<''ξ由此得存在),,0(T ∈ξ.4|)(|2Tss >''ξ 例11 如果质点在一单位时间内通过一单位距离，且在起点和终点均为停止状态，则在这个单位时间间隔内的某一时刻，此质点运动的加速度按绝对值必定大于或等于4.证明：设距离s 和时间t 的函数关系为),10(),(≤≤=t t f s 依题意知，)(t f 在]1,0[上有二阶导数，且0)1()0(,1)1(,0)0(='='==f f f f 把f(t)在t=0点泰勒展开，得).10(,2)()(121<<<''=t t f t f ξξ （1）把f(t)在t=1点泰勒展开，得).1(,)1(2)(1 )1(2)()1)(1()1()(22222<<-''+=-''+-'+=ξξξt t f t f t f f t f （2）把21=t 代入（1）、（2）式，可知存在1ξ和2ξ，),121,210(21<<<<ξξ使 ,8)()21(1ξf f ''=,8)(1)21(2ξf f ''+=由此得.8)()(21=''-''ξξf f |})(||,)(m ax {|2|)(||)(||)()(|8212121ξξξξξξf f f f f f ''''≤''+''≤''-''=存在0t 使|})(||,)(m ax {||)(|210ξξf f t f ''''='' 可得 ).1,0(),(,4|)(|2100⊂∈≥''ξξt t f 故在时刻0t 的加速度按绝对值大于或等于4.例12 设)(x f 在),0(+∞内两次可微，且对任意的),,0(+∞∈x 有B A B x f A x f ,,|)(|,|)(|≤''≤为大于0的常数，证明：).0(,2|)(|>≤'x AB x f证明：对任意的,0),,0(>+∞∈h x 由泰勒公式,10,)(21)()()(2<<+''+'+=+θθh h x f h x f x f h x f 可得hh h x f x f h x f hh h x f x f h x f x f 2|)(||)(|2|)(|2)(21)()(|)(|22θθ+''+++≤+''--+='特别地，取,2BA h =得 .2444|)(|2AB B A B A B A x f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛•+≤'例13设,0)0(,2)(lim 20=-=→f x x f x 问函数f(x)在点x=0处是否可导？是否取得极值？解：因为,0)2(0])([lim )(lim 0)0()(lim)0(2000=-⨯=•==--='→→→xx f x x x f x f x f f x x x 所以函数f(x)在点x=0处可导，.0)0(='f 由于,02)(lim2<-=→x x f x 根据函数极限的保号性，故存在点x=0的某个去心邻域，使当x 在该邻域内时，,0)(2<x x f 可得,0)0()(=<f x f 即函数f(x)在点x=0处取得极大值f(0)=0.例14设函数f(x)对一切实数x 满足,3)(2)(x x f x f x ='+''且)(x f ''连续，若f(x)在x=0处有极值，证明它是极小值。