第二章-2-机械-其他数学建模实例
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自动控制 自动控制理论
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
机械传递系统建模方法 机械传递系统微分方程列写步骤
– 在系统结构示意图上确定待分析的节点（包括 节点数及其位置）和参考点（注 待分析的节 节点数及其位置）和参考点（注：待分析的节 点也可以理解为运动状态可变的节点。）
准则：从受力关系上，所选节点和参考点能够把所 准则 从受力关系上 所选节点和参考点能够把所 有的K,B及外力隔离开，即任意两节点（包括节点 与参考点）之间不存在物理上串联的K,B及外力）
f K f M f B MD 2 x b BDx b (**)
MDvb Bvb f k
fk f
上面的方程只和一个储能元件质量 M 相关，怎么办？ 由于系统是2阶的，我们需要2个状态变量。考虑到系统输出是 y= xb， 令其作为一个状态变量。 令 x1= xb ，x2= vb = dx1/dt / ，f =u, 于是系统的状态方程及输出方程 为
可以对传递函数进行相应的比较
G
xb 1 f MD 2 BD
11
机械传递系统
简单机械传递系统
注意：最后一个传递函数是前两个传递函数之积。
X a (s) Ms 2 Bs K G1 (s) F (s) K ( Ms 2 Bs )
xa K f(t) M
xb
X (s) K G2 ( s ) b X a ( s ) Ms 2 Bs K
(a) 简单的质量-弹簧-阻尼机械系统
参考点 xa f(t) K M xb
xa K M
xb
B
图 2.11
参考点
(b) 相应的机械网络图
8
机械传递系统
简单机械传递系统
位移 xa 和 xb 类似于电路中的节点。根据牛顿定律，在每个节点处， 合力为零。
节点 a: 节点 b: xa K f(t) M B
f f K K ( x a xb )
于是， 可以得到拉普拉斯变换形式的传递函数。
X a (s) Ms 2 Bs K G1 (s ) F (s) K ( Ms 2 Bs )
xa—f : K ( MD 2 BD ) xa ( MD 2 BD K ) f
xa MD 2 BD K G1 f K ( MD 2 BD )
xb—xa : ( MD 2 BD K ) xb Kx a
x G2 b xa MD
2
K BD K
2 xbБайду номын сангаасf : ( MD BD ) xb f
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
10
x 1 G b f MD 2 BD
f f K K ( x a xb ) (*)
(a)
d
(b)
f
(c)
图 2.9 2 9 机械传递系统的基本单元
5
机械传递系统
机械传递系统：阻尼器结构
图2.10 给出了阻尼器的基本构造。 如果外力f 作用于推杆，那么阻尼器将发生怎样的变化？ 作用于推杆 那么阻尼器将发生怎样的变化？
f B B (ve v f ) B( Dxe Dx f )
1 vb , for M 2 x1 xb , for K 2 x 2 x
x3 x a , for K 1 x 4 x 3 v a , for M 1 u f , y xb x1
xa f(t) K1 M1 B3 B1
Ax bu x y cx
xb K2 M2 B2
f K f M f B MD 2 x b BDx b
xb xa
f K
xa—f : K ( MD 2 BD ) x a ( MD 2 BD K ) f
xa MD 2 BD K G1 f K ( MD 2 BD )
xa K f(t) M B xb
机械传递系统
多单元机械传递系统
在图2.13a中，外力 f 作用 于质量 M1。 系统方程可以以位移xa 和 xb 为变量进行列写。
f(t) K1 M1 B1 xa B3 M2 B2 K2 参考点 xb
相应的机械网络图如下 图所示。
xa f(t) K1 M1
图2.13(a) 多单元机械传递系统
B3 B1 K2
MDx 2 Bx 2 Kx1 Ku
x1 0 1 x K x 2 M x2 u 1 0 x 1 K u Ax bu B x2 M M
f(t)
xa K M
xb
B
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
– 针对选定的各节点（参考点除外），列写合力 方程 – 将各元件的运动方程代入合力方程
机械传递系统建模方法 机械网络图作图步骤
– 根据系统结构示意图确定待分析节点（节点通 常表示某实际节点的位移） 参考点 常表示某实际节点的位移）、参考点 – 针对各节点分析受力关系 – 根据受力关系，将各 根据受力关系 将各K,B放到与其相连的两个 放到与其相连的 个 节点（包括节点与参考点）之间 – 将M放到与其相连的节点与参考点之间 – 将外力f放到与其相连的节点与参考点之间
14
y 1
0 x cx
机械传递系统建模方法 机械传递系统单元的受力特点
– M: 两端节点所受的外力可以不等，外力差令 M产生加速度 – K,B: 两端节点所受的外力和为零（无质量元 件）
机械传递系统单元的运动特点
– M: 两端节点运动状态变量（位移、速度）相 等 – K,B: 两端节点运动状态变量可以不等
方程中的 每一项都 是力
机械系统的节点方程类似于电路的节点方程 可使用同样的规则 机械系统的节点方程类似于电路的节点方程，可使用同样的规则。
xa f(t) K1 M1 B3 B1 K2 xb M2 B2
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
19
机械传递系统
多单元机械传递系统
对图2.13所示系统建立状态空间模型，其中 xb 是输出。 系统包含4个储能单元，因此需要指定4个状态变量：xa, xb, Dxa, Dxb， f 是输出。
G 2 (s)
X b (s) X a (s) Ms
2
K Bs K
xb—xa : ( MD 2 BD K ) xb Kx a
G2
G (s)
X b (s) 1 F (s) Ms 2 Bs
xb xa MD
2
K BD K
2 xb—f : ( MD BD ) xb f
0 x cx
机械传递系统
简单机械传递系统
根据方程(***)确定状态空间模型
( MD 2 BD K ) xb Kx K a (***)
上述方程同两个储能元件单元弹簧 K 及质量 M 有关，与能量相关的 变量分别是 xb 和 vb 。注意这里 xa 是输入。 令 x1= xb=y，x2= vb = Dx1，于是状态方程和输出方程分别是
xb M2 B2
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
18
机械传递系统
多单元机械传递系统
各节点的合力为零，方程可根据节点方程规则进行列写。
节点 a: 节点 b:
( M 1 D 2 B1 D B3 D K 1 ) x a ( B3 D ) xb f (2.70)
( B 3 D ) x a ( M 2 D 2 B 2 D B 3 D K 2 ) x b 0 (2.71)
7
机械传递系统
简单机械传递系统
系统结构如图2.11所示，系统一开始处于静止状态。 作用于弹簧左端的外力f 将与弹簧压缩产生的弹力平衡。同样大小 将与弹簧压缩产生的弹力平衡 同样大小 的力将通过弹簧传递并作用于 xb点。 为了画出机械网络图，首先需 要给节点xa, xb, 及参考点进行定 位 位。
B f(t)
机械传递系统
简单机械传递系统
对(*)式进行拉普拉斯变换 对(**)式进行拉普拉斯变换
f K f M f B MD 2 x b BDx b (**)
F ( s ) K ( X a ( s ) X b ( s ))
F ( s ) Ms 2 X b ( s ) BsX
b
(s)
xa K f(t) M B xb
x1
x2
u
1 x 0 1 0 x 1 B 1 u Ax bu x 0 x 2 M 2 M
参考点
图2.11(b) ( ) 相应的机械网络图
13
y 1
B
G(s) G1(s)G2 (s)
X a (s) Xb (s) 1 2 F(s) X a (s) Ms Bs
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
f
G1(s)
xa
串联
G2(s)
xb
f
输入
G (s)
系统
xb
输出
12
机械传递系统
简单机械传递系统
根据方程(**)确定系统状态空间模型
2
Mechanical Translation Systems （机械传递系统）
机械传递系统
机械传递系统 机械传 机械系统遵循牛顿定律（惯性系），即作用力与 反作用力相等。
d d 2 F p ( M Mv ) MD MDv M Ma MD x i dt dt i
其中， F 是外力之和, 其中 是外力之和 M 是质量, 是质量 v 是速度， 是速度 p 是动量，a 是加速度，x 是位移。
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
20
机械传递系统
多单元机械传递系统
节点 a: 节点 b:
( M 1 D 2 B1 D B3 D K 1 ) x a ( B3 D ) xb f (2.70)
( B 3 D ) x a ( M 2 D 2 B 2 D B 3 D K 2 ) x b 0 (2.71)
f K f M f B MD 2 x b BDx b
xb
利用上述两个方程，可以求得 或 xb 和 f xa 和 f ， xb 和 xa ，或 之间的关系表达式。
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
9
机械传递系统
简单机械传递系统
于是可以求得相应的系统微分方程模型
f f K K ( x a xb )
a c e
f K K ( xc xd )
if x d 0
f K Kxc
2 9 c 给出了阻尼的表示图。阻 给出了阻尼的表示图 阻 图2.9 尼表征了能量吸收单元，阻尼力的值 正比于阻尼器两个端点的速度差。
b
M
K
B
f B B (ve v f ) B( Dxe Dx f )
i i
机械传递系统包括三种基本单元：质量、弹簧和 阻尼。这里，我们分析线性机械传递系统，而忽 略系统中其他的非线性项。
4
机械传递系统
机械传递系统： 基本单元
图2.9 a 给出了质量的表示图。
f M Ma MDv MD 2 x
图2.9 b 给出了弹簧的表示图，弹簧 根据其两个端点的相对位置，给出相应的 回复力 回复力。
x1 xb ,
1 vb x2 x
M 1 Dx 4 f B1 x 4 B3 x 4 K 1 x3 B3 x 2
x3 x a , x 4 x 3 va u f , y xb x1
xa f( (t) ) K1 M1
系统方程列写：对于每 个节点（位置），列写合 力方程，各节点的合力为 零。 列写的节点方程类似于电 路中的节点方程。力对应于 电流 电流。
阻尼系数 B 同什么因素相关？
不可压缩流体 外罩
a f(t)
活塞
b
Fig. 2.10 阻尼器构造
6
机械传递系统
机械传递系统
机械传递系统的表示符号及单位
弹性系数
阻尼系数
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
第 章要点 第二章要点
引言 电路及组成 线性代数与状态的基本概念 传递函数及方块图 机械传递系统 其他的数学建模实例 系统传递函数的计算 非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传 函数到状 从传递函数到状态空间模型的转换 间模 的转换
机械传递系统建模方法 机械传递系统微分方程列写步骤
– 在系统结构示意图上确定待分析的节点（包括 节点数及其位置）和参考点（注 待分析的节 节点数及其位置）和参考点（注：待分析的节 点也可以理解为运动状态可变的节点。）
准则：从受力关系上，所选节点和参考点能够把所 准则 从受力关系上 所选节点和参考点能够把所 有的K,B及外力隔离开，即任意两节点（包括节点 与参考点）之间不存在物理上串联的K,B及外力）
f K f M f B MD 2 x b BDx b (**)
MDvb Bvb f k
fk f
上面的方程只和一个储能元件质量 M 相关，怎么办？ 由于系统是2阶的，我们需要2个状态变量。考虑到系统输出是 y= xb， 令其作为一个状态变量。 令 x1= xb ，x2= vb = dx1/dt / ，f =u, 于是系统的状态方程及输出方程 为
可以对传递函数进行相应的比较
G
xb 1 f MD 2 BD
11
机械传递系统
简单机械传递系统
注意：最后一个传递函数是前两个传递函数之积。
X a (s) Ms 2 Bs K G1 (s) F (s) K ( Ms 2 Bs )
xa K f(t) M
xb
X (s) K G2 ( s ) b X a ( s ) Ms 2 Bs K
(a) 简单的质量-弹簧-阻尼机械系统
参考点 xa f(t) K M xb
xa K M
xb
B
图 2.11
参考点
(b) 相应的机械网络图
8
机械传递系统
简单机械传递系统
位移 xa 和 xb 类似于电路中的节点。根据牛顿定律，在每个节点处， 合力为零。
节点 a: 节点 b: xa K f(t) M B
f f K K ( x a xb )
于是， 可以得到拉普拉斯变换形式的传递函数。
X a (s) Ms 2 Bs K G1 (s ) F (s) K ( Ms 2 Bs )
xa—f : K ( MD 2 BD ) xa ( MD 2 BD K ) f
xa MD 2 BD K G1 f K ( MD 2 BD )
xb—xa : ( MD 2 BD K ) xb Kx a
x G2 b xa MD
2
K BD K
2 xbБайду номын сангаасf : ( MD BD ) xb f
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
10
x 1 G b f MD 2 BD
f f K K ( x a xb ) (*)
(a)
d
(b)
f
(c)
图 2.9 2 9 机械传递系统的基本单元
5
机械传递系统
机械传递系统：阻尼器结构
图2.10 给出了阻尼器的基本构造。 如果外力f 作用于推杆，那么阻尼器将发生怎样的变化？ 作用于推杆 那么阻尼器将发生怎样的变化？
f B B (ve v f ) B( Dxe Dx f )
1 vb , for M 2 x1 xb , for K 2 x 2 x
x3 x a , for K 1 x 4 x 3 v a , for M 1 u f , y xb x1
xa f(t) K1 M1 B3 B1
Ax bu x y cx
xb K2 M2 B2
f K f M f B MD 2 x b BDx b
xb xa
f K
xa—f : K ( MD 2 BD ) x a ( MD 2 BD K ) f
xa MD 2 BD K G1 f K ( MD 2 BD )
xa K f(t) M B xb
机械传递系统
多单元机械传递系统
在图2.13a中，外力 f 作用 于质量 M1。 系统方程可以以位移xa 和 xb 为变量进行列写。
f(t) K1 M1 B1 xa B3 M2 B2 K2 参考点 xb
相应的机械网络图如下 图所示。
xa f(t) K1 M1
图2.13(a) 多单元机械传递系统
B3 B1 K2
MDx 2 Bx 2 Kx1 Ku
x1 0 1 x K x 2 M x2 u 1 0 x 1 K u Ax bu B x2 M M
f(t)
xa K M
xb
B
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
– 针对选定的各节点（参考点除外），列写合力 方程 – 将各元件的运动方程代入合力方程
机械传递系统建模方法 机械网络图作图步骤
– 根据系统结构示意图确定待分析节点（节点通 常表示某实际节点的位移） 参考点 常表示某实际节点的位移）、参考点 – 针对各节点分析受力关系 – 根据受力关系，将各 根据受力关系 将各K,B放到与其相连的两个 放到与其相连的 个 节点（包括节点与参考点）之间 – 将M放到与其相连的节点与参考点之间 – 将外力f放到与其相连的节点与参考点之间
14
y 1
0 x cx
机械传递系统建模方法 机械传递系统单元的受力特点
– M: 两端节点所受的外力可以不等，外力差令 M产生加速度 – K,B: 两端节点所受的外力和为零（无质量元 件）
机械传递系统单元的运动特点
– M: 两端节点运动状态变量（位移、速度）相 等 – K,B: 两端节点运动状态变量可以不等
方程中的 每一项都 是力
机械系统的节点方程类似于电路的节点方程 可使用同样的规则 机械系统的节点方程类似于电路的节点方程，可使用同样的规则。
xa f(t) K1 M1 B3 B1 K2 xb M2 B2
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
19
机械传递系统
多单元机械传递系统
对图2.13所示系统建立状态空间模型，其中 xb 是输出。 系统包含4个储能单元，因此需要指定4个状态变量：xa, xb, Dxa, Dxb， f 是输出。
G 2 (s)
X b (s) X a (s) Ms
2
K Bs K
xb—xa : ( MD 2 BD K ) xb Kx a
G2
G (s)
X b (s) 1 F (s) Ms 2 Bs
xb xa MD
2
K BD K
2 xb—f : ( MD BD ) xb f
0 x cx
机械传递系统
简单机械传递系统
根据方程(***)确定状态空间模型
( MD 2 BD K ) xb Kx K a (***)
上述方程同两个储能元件单元弹簧 K 及质量 M 有关，与能量相关的 变量分别是 xb 和 vb 。注意这里 xa 是输入。 令 x1= xb=y，x2= vb = Dx1，于是状态方程和输出方程分别是
xb M2 B2
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
18
机械传递系统
多单元机械传递系统
各节点的合力为零，方程可根据节点方程规则进行列写。
节点 a: 节点 b:
( M 1 D 2 B1 D B3 D K 1 ) x a ( B3 D ) xb f (2.70)
( B 3 D ) x a ( M 2 D 2 B 2 D B 3 D K 2 ) x b 0 (2.71)
7
机械传递系统
简单机械传递系统
系统结构如图2.11所示，系统一开始处于静止状态。 作用于弹簧左端的外力f 将与弹簧压缩产生的弹力平衡。同样大小 将与弹簧压缩产生的弹力平衡 同样大小 的力将通过弹簧传递并作用于 xb点。 为了画出机械网络图，首先需 要给节点xa, xb, 及参考点进行定 位 位。
B f(t)
机械传递系统
简单机械传递系统
对(*)式进行拉普拉斯变换 对(**)式进行拉普拉斯变换
f K f M f B MD 2 x b BDx b (**)
F ( s ) K ( X a ( s ) X b ( s ))
F ( s ) Ms 2 X b ( s ) BsX
b
(s)
xa K f(t) M B xb
x1
x2
u
1 x 0 1 0 x 1 B 1 u Ax bu x 0 x 2 M 2 M
参考点
图2.11(b) ( ) 相应的机械网络图
13
y 1
B
G(s) G1(s)G2 (s)
X a (s) Xb (s) 1 2 F(s) X a (s) Ms Bs
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
f
G1(s)
xa
串联
G2(s)
xb
f
输入
G (s)
系统
xb
输出
12
机械传递系统
简单机械传递系统
根据方程(**)确定系统状态空间模型
2
Mechanical Translation Systems （机械传递系统）
机械传递系统
机械传递系统 机械传 机械系统遵循牛顿定律（惯性系），即作用力与 反作用力相等。
d d 2 F p ( M Mv ) MD MDv M Ma MD x i dt dt i
其中， F 是外力之和, 其中 是外力之和 M 是质量, 是质量 v 是速度， 是速度 p 是动量，a 是加速度，x 是位移。
图2.13(b) 相应的机械网络图
参考点
20
机械传递系统
多单元机械传递系统
节点 a: 节点 b:
( M 1 D 2 B1 D B3 D K 1 ) x a ( B3 D ) xb f (2.70)
( B 3 D ) x a ( M 2 D 2 B 2 D B 3 D K 2 ) x b 0 (2.71)
f K f M f B MD 2 x b BDx b
xb
利用上述两个方程，可以求得 或 xb 和 f xa 和 f ， xb 和 xa ，或 之间的关系表达式。
参考点
图2.11(b) 相应的机械网络图
9
机械传递系统
简单机械传递系统
于是可以求得相应的系统微分方程模型
f f K K ( x a xb )
a c e
f K K ( xc xd )
if x d 0
f K Kxc
2 9 c 给出了阻尼的表示图。阻 给出了阻尼的表示图 阻 图2.9 尼表征了能量吸收单元，阻尼力的值 正比于阻尼器两个端点的速度差。
b
M
K
B
f B B (ve v f ) B( Dxe Dx f )
i i
机械传递系统包括三种基本单元：质量、弹簧和 阻尼。这里，我们分析线性机械传递系统，而忽 略系统中其他的非线性项。
4
机械传递系统
机械传递系统： 基本单元
图2.9 a 给出了质量的表示图。
f M Ma MDv MD 2 x
图2.9 b 给出了弹簧的表示图，弹簧 根据其两个端点的相对位置，给出相应的 回复力 回复力。
x1 xb ,
1 vb x2 x
M 1 Dx 4 f B1 x 4 B3 x 4 K 1 x3 B3 x 2
x3 x a , x 4 x 3 va u f , y xb x1
xa f( (t) ) K1 M1
系统方程列写：对于每 个节点（位置），列写合 力方程，各节点的合力为 零。 列写的节点方程类似于电 路中的节点方程。力对应于 电流 电流。
阻尼系数 B 同什么因素相关？
不可压缩流体 外罩
a f(t)
活塞
b
Fig. 2.10 阻尼器构造
6
机械传递系统
机械传递系统
机械传递系统的表示符号及单位
弹性系数
阻尼系数