经济数学建模 (1)
数学建模在经济领域中的应用
数学建模在经济领域中的应用随着时代的发展，经济事务的处理已经变得更加复杂，需要运用更加高级的工具和方法来解决。
数学建模作为一种综合性较强的方法，已被广泛应用于经济领域。
本文将介绍数学建模在经济领域中的应用，并探讨数学建模的意义和局限性。
一、财务规划要达到财务规划的目的，必须了解不同的财务项目之间的相互影响，例如贷款、退休、投资等。
使用数学建模来研究这些问题，可以极大地提高决策者的能力。
例如，使用数学建模可以对储蓄帐户的规划进行预测，并在未来多个时间点考虑到各种费用。
二、市场分析市场分析需要分析消费和销售数据，以确定目标客户的需求。
数学建模可以将市场数据与其他因素（如时间和地理位置）结合起来，以便更好地理解市场趋势和消费者需求。
这样可以根据这些数据更好地预测客户需求，并针对性地提供产品和服务。
三、经济预测经济预测是指根据过去的趋势和预测未来的趋势，预测经济增长和衰退的发展趋势。
数学建模可以帮助预测并评估不同变量之间的关联性，进而预测未来的情况。
这种技术也可以用来帮助投资者制定投资策略和做出决策。
四、投资与分散化在投资和分散化中，数学建模可以为投资者提供更具挑战性的定量方法。
例如，使用统计方法建立资产组合模型，可以帮助投资者确定最佳投资策略，以实现最大的回报。
另外，数学建模还可以帮助投资者了解他们的投资组合在不同市场条件下的表现。
五、决策支持系统决策支持系统为企业提供了处理和分析数据的工具，以便做出更明智的决策。
数学建模是其中的关键因素之一，因为它可以提供预测模型、模拟和优化方法。
这些工具可以帮助企业管理者制定更好的商业计划和决策过程。
六、对数学建模的意义和局限性的探讨尽管数学建模被广泛应用于经济领域，但是它并非没有缺点。
数学模型的正确性取决于数据的准确性，而有时候数据可能不准确或偏差较大。
此外，建模本身也需要大量的时间和资源，以便精准而可靠地预测未来的变化。
总之，数学建模在今天的经济领域中扮演着重要的角色。
经济增长问题的数学建模论文
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规那么.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式〔包括、电子邮件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导教师〕研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规那么的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规那么，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规那么的行为，我们将受到严肃处理.我们参赛选择的题号是〔从A/B/C/D中选择一项填写〕：我们的参赛报名号为〔如果赛区设置报名号的话〕：所属学校〔请填写完整的全名〕：河南理工大学万方科技学院参赛队员〔打印并签名〕：1. 关海超2. 刘源3. 冯艳伟指导教师或指导教师组负责人〔打印并签名〕：日期： 2021 年 8 月 21 日赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进行编号〕：编号专用页赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进行编号〕：评阅人评分备注全国统一编号〔由赛区组委会送交全国前编号〕：全国评阅编号〔由全国组委会评阅前进行编号〕：经济增长问题摘 要国内生产总值〔GDP 〕常被公认为衡量国家经济状况的最正确指标.它不但可反映一个国家的经济开展情况，更可以反映一国的国力与财富.因此分析各产业对于GDP 的影响，并研究GDP 的增长规律是具有现实意义的.在问题一中，我们分别做出了GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值关系的散点图，分析得出GDP 的值与各产业之间存在明显的线性关系. 回归分析是统计分析的重要组成局部，用回归分析方法来研究自变量与因变量的关系函数是一种常用的有效方法.因此我们建立起了多元线性回归模型，用MATLAB 计算得到的模型为ε++++=32103.049.13.732x x x y .在对该模型进行显著性检验中，我们对各参数进行了显著性分析，得到模型的复相关系数R =0.999，统计量F =30900. 统计量F 的值远超过检验的临界值，因此可以验证模型是可用的.最后，我们利用所建立的模型对2021～2021年的GDP 值做出了预测，分析了各产业对GDP 的影响.通过处理预测的数据，我们得出平均每年GDP 的增长率为10%左右，其中建筑业与工业对GDP 的影响较大，而农林渔业对GDP 的影响较小，这也符合中国的产业结构与经济开展情况.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，我们通过分析数据、查阅相关资料，了解到了国内生产总值的大小通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是，我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数()0,,>=βαβαA L AK Q ，定义了三个指数分别为：投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q .利用定义的三个指数公式，计算出1981年到2021年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K 和就业人数指数()t i L 的一组数据，并探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.但是上述三个指标都是随时间增长的，很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，我们定义两个新的变量分别()()t t ψξ,,通过做散点图发现这两个变量根本上成正比例关系.我们用MATLAB 软件中的curvefit 〔〕函数来作数据拟合，求得函数Q 中的未知参数88380.A =,8471.0=α,4991.0=β，通过检验进而得处道格拉斯生产函数为4991.08471.08838.0K L Q =，这就是产值Q 随资金K 、劳动力L 的变化规律.为了验证第二问中的结果，我们用求得的道格拉斯生产函数来预测每年的国内生产总值，然后与题目提供的数据进行比较来进行检验.通过检验可以发现预测值的误差很小，因此道格拉斯生产函数可以表示出国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系.关键字：多元线性回归 显著性检验 道格拉斯函数 数据拟合1.问题重述国内生产总值〔Gross Domestic Product,简称GDP〕是指在一定时期内〔一个季度或一年〕，一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和服务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最正确指标.它不但可反映一个国家的经济表现，更可以反映一国的国力与财富.（1）建立国内生产总值与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，利用数据对未来经济做出预测；（2）讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，利用数据验证其结果.2.问题分析2.1 建立GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值之间的数量模型，并对未来经济做出预测.在问题一中，我们通过分析材料得出这是研究对象的内在特性和各个因素间关系的问题，即研究GDP与工业值、建筑业及农林渔业产值关系.一般用机理分析的方法建立数学模型.由于经济问题是一种随机的问题，所以通常的方法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型.因为影响GDP的因素有三个，即工业值、建筑业及农林渔业产值，且各个产业与GDP都为线性关系.所以我们建立起一个多元线性回归模型，并检验模型显著性，通过对模型的反复修改与检验，建立更合理的模型.2.2 讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，并验证其结果.在问题二中，为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素. 要建立道格拉斯生产函数，我们只需要讨论产值和资金，劳动之间的关系，从而到达我们的目的.这样处理不仅能简化问题，而且是合理的在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯〔Cobb-Douglas〕生产函数预测的结果近似就是准确生产值.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.3.模型假设1.假设所统计的数据都在误差允许的范围之内；2.忽略由于非正常条件下的引起的数据的巨大波动；3.假设在短期内国内生产总值只取决于投资和劳动力因素;4.假定在一段不太长的时间内技术水平不变.4.定义与符号说明y国内生产总值R复相关系数F统计量ε随机误差'α置信水平x工业产值1x建筑业产值2x农林渔业产值3Q国内生产总值增长L劳动投入量K资本投入数量α劳动对产出的奉献程度β资本对产出的奉献程度()t i投资金额指数K()t i就业人数指数L()t i国内生产总值指数QA道格拉斯函数常数5.模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解：回归分析方法是统计分析的重要组成局部，用回归分析方法来研究自变量与变量的关系函数是一种常用的有效方法.我们通过回归模型的建立，定量预测了未来经济的开展.5.1.1 GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值数量模型：通过在互联网上搜集到1978年～2021年，中国GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值的数据〔见附表1〕，可以定性的看出GDP 与工业、建筑业及农林渔业产值为整体上升的趋势.为了大致分析GDP 与工业值、建筑业及农林渔业产值关系，我们首先利用附录数据做出了GDP 与工业产值的关系散点图〔如图1〕.图1 工业产值与GDP 散点图从图可以发现，随着工业产值的增加，GDP 的值有比较明显的线性增长趋势.图中的直线是用线性模型ε++=145.295.143x y拟合的.同理我们也分别作出了建筑业产值与GDP 的关系散点图〔图2〕、农林渔业产值与GDP 的关系散点图〔图3〕.图2建筑业产值与GDP散点图图3 农林渔业产值与GDP散点图通过图2，图3可以看出建筑业产值与农林渔业产值同样有很强的线性关系，同样也分别用直线模型对其拟合.建筑业产值与GDP线性模型ε++=25.163612x y农林渔业产值与GDP 线性模型ε++-=3925784x y因此，综上所述四者之间有很强的线性关系，可建立多元线性回归模型εββββ++++=3322110x x x y在模型中除了工业，建筑业，农林渔业外，影响国内生产总值的其他因素的作用都包含在随机误差ε内，这里假设ε相互独立，且服从均值为零的正态分布，n t ,,2,1 =.对模型直接利用matlab 统计工具箱求解，得到回归系数估计值及其置信区间〔置信水平'α= 0.05〕，检验统计量2R ，F ，P 的结果见表1.参数参数估计 置信区间 0β732.3 [-589.6 2054.2] 1β1.9 [1.72.0] 2β 4.0 [2.9 5.1] 3β0.03[-0.03 0.4]9989.02=R 30900=F 0001.0<p表1 模型的计算结果5.1.2 结果分析:表1显示，9989.02=R 指因变量y 〔国内生产总值〕的99.89%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远小于α，因而模型从整体上来看是可用的.表1的回归系数给出了模型中0β，1β，2β，3β的估计值，即3.7320=∧β 9.11=∧β，0.42=∧β，03.03=∧β.检查它们的置信区间发现0β与3β的置信区间都包含零点，这说明回归模型常数与回归变量3x 对模型的影响不太显著.这也符合这一事实，农林渔业产值对GDP 的影响较小，工业与建筑业对GDP 的影响较大.但是一般情况下常数的值都保存在模型中，不剔除.回归变量系数3β区间右端点相对距零点较远，所以我们也保存在模型中.因此最终确定的模型为：εββββ++++=3322110x x x y5.1.3 未来经济预测将回归系数的估计值代入模型，即可预测未来的GDP 情况.代入得到的模型 即ε++++=32103.049.13.732x x x y只要能预测未来的工业值、建筑业及农林渔业产值即能预测未来GDP 的产值.根据统计数据〔见附表1〕，我们用matlab 计算得到各产值的平均年增长率的中位数,工业值增长率13.5%,建筑业产值增长率16.8%，农林渔业产值10.7%.我们对GDP 的值做短期的预测，预测未来五年的GDP 情况见以以下图4.39.08943.864249.227355.247462.006420304050607020102011201220132014年份（年）G D P （万亿）GDP预测图4 2021-2021中国GDP 情况预测从模型中看，工业值、建筑业及农林渔业产值的预测直接影响GDP 预测的准确性.其中工业与建筑业对预测的影响较大，农林渔业影响较小.从预测结果中看中国GDP 总值成上升趋势，从数值中计算得平均值为12.3%.当然GDP 的增长率的计算还应除去通货膨胀、消费指数等因素的影响，所以实际中应小一些.2021年的GDP 为39.789万亿，这也与预测结果相符合，说明模型的合理性.5.2 问题二模型的建立与求解：在问题二中为了讨论国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，通过查阅相关资料，我们了解到国内生产总值通常取决于相关的生产资料和劳动力等相关重要因素.于是我们通过建立柯布—道格拉斯生产函数，来探讨国内生产总值增长与资本及劳动之间的关系，进而利用已有的数据验证其结果.5.2.1 模型的建立:在经济学的分析中，为了简化分析，通常假定生产中只有劳动和资本这两种生产要素.假设以L 表示劳动投入量，以K 表示资本投入数量，那么生产函数可以写为：()K L f Q ,=生产函数表示生产中的投入量和产出量之间的依存关系，这种关系普遍存在于各种生产过程中.一家工厂必然具有一个生产函数，一家饭店也是如此，甚至一所学校或者医院同样会存在着各自的生产函数，产品可能是实实在在的有形产品，也可能是无形产品比方效劳.估计和研究生产函数，对于经济理论和实践经验都具有一定意义.柯布—道格拉斯〔Cobb-Dauglas 〕生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代初一起提出来的.柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以极简单的形式描述了经济学家所关心的一些性质，它在经济理论的分析和实证研究中都有具有一定意义.柯布—道格拉斯生产函数的函数表达式如下：()0,,>=βαβαA L AK Q其中，Q 代表产出量,K 代表资本投入量,L 代表劳动投入量,A 、α、β为未知参数.A 表示技术或管理等参数对经济增长的影响系数, α和β分别表示劳动和资本对产出的奉献程度,且10,10<<<<βα.对该生产函数取对数得:InK InL InA InQ βα++=由于柯布―道格拉斯生产函数假设技术、管理水平不变,即A 是一个常数, 在此可以忽略A 的影响.所以，可简化为:InK InL InQ βα+=求出道格拉斯函数以后，我们通过道格拉斯函数可以预测出来每一年的GDP 总产值，然后利用题目所提供的数据进行检验，可以发现道格拉斯很好的表示出来了国内生产总值的增长和投资与劳动之间的关系.5.2.2 模型的求解:为了求解上述模型，通过分析题目所给数据和从网上查找相关数据，我们列出了我国从1981年到20**的GDP 总值，投资金额总和和我国就业人数的表2如下：年份GDP 总值投资金额就业人数 1981 4889.5 961.0 4.5126 1982 5330.5 1230.44.63581983 5985.6 1430.14.7286 1984 7243.8 1832.94.8179 1985 9040.7 2543.24.9873 1986 10274.4 3120.65.1282 1987 12050.6 3791.75.2783 1988 15036.8 4653.85.4334 1989 17000.9 4410.45.5329 1990 18718.3 4517.56.4749 1991 21826.2 5594.56.5491 1992 26937.3 8080.16.6152 1993 35260.0 13072.36.6808 1994 48108.5 17827.16.7455 1995 59810.5 20524.96.8065 1996 70142.5 23358.66.8951 1997 78060.8 25259.76.9821 1998 83024.3 28716.97.0637 1999 88479.2 29754.67.1394 2000 98000.5 33110.47.2085 2022 108068.2 37987.07.3025 20** 119095.7 45046.97.3741 20**135174.058616.37.4432 GDP:亿元；投资金额：亿元；就业人数：亿人；在实际生产中，人们关心的往往是生产的增长量，而不是绝对量，因此定义投资金额指数()t i K ，就业人数指数()t i L 和国内生产总值指数()t i Q 分别为()()()()()()()()().0,0,0K t K t i L t L t i Q t Q t i K L Q ===利用上述定义的三个指数公式，通过使用matlab 软件计算出表3中1981年到2021年的国内生产总值指数()t i Q ，投资金额指数()t i K ，和就业人数指数()t i L 的一组数据，取1990年为基年,那么t =0.t()t i Q()t i L()t i K-9 0.2127 0.6969 0.2612 -80.27240.71600.2848-7 0.3166 0.7303 0.3198 -6 0.4057 0.7441 0.3870 -5 0.5630 0.7703 0.4830 -4 0.6908 0.8125 0.5489 -3 0.8396 0.7920 0.6438 -2 1.0302 0.8391 0.8033 -1 0.9763 0.8545 0.9083 0 1 1 1 1 1.2384 1.0115 1.166 2 1.7886 1.0217 1.4391 3 2.8937 1.0318 1.8837 4 3.9462 1.0418 2.5701 5 4.5434 1.0512 3.1953 6 5.1707 1.0649 3.7473 7 5.5915 1.0783 4.1703 8 6.3568 1.0909 4.4355 9 6.5865 1.1026 4.7269 10 7.3294 1.1133 5.2355 11 8.4089 1.1278 5.7734 12 9.9716 1.1389 6.3625 13 12.9754 1.1495 7.2215从表中可知，在正常的经济开展过程中〔除个别年份外〕，上述三个指标都是随时间增长的，但是很难直接从表中发现具体的经济规律.为了定量分析，定义两个新的变量()()()()()().ln ,ln t i t i t t i t i t K Q K L ==ψξ ()13,,9 -=t根据表中数据，在直角坐标系上做出()()(){}27,,9|, -=t t t ψξ的散点图，发现()()t t ψξ,根本上成正比例关系〔散点位于一条直线的附近〕，如图5ξ,散点图图5 ()()ttψ我们可以用MATLAB软件中的curvefit〔〕函数来作数据拟合，即寻求函数Q 〔K，L〕中的未知参数A,α,β，使这个函数尽量逼近表5-2-2所给出的统计数据.那么可以得到：A=,88380.α,=.08471β.=4991.0于是公式变为：.08471.04991Q=L.0K8838这就是产值Q随资金K、劳动力L的变化规律.5.2.3 模型的检验：为了对所建立的模型进行检验，我们利用得出的道格拉斯函数对每年的GDP 指数做出了预测，结果如下表4所示，然后利用已有的GDP指数进行比较，最后得出所建立的道格拉斯函数是有意义的，可以正确表示出国内生产总值与资金与劳动之间的关系.t 预测值实际值-9 0.2761 0.2612-8 0.3362 0.2848-7 0.3793 0.3198-6 0.4615 0.3870-5 0.5991 0.4830-4 0.7061 0.5489-3 0.8262 0.6438-2 0.9742 0.8033-1 0.9382 0.90830 0.9889 11 1.1697 1.16602 1.5580 1.43913 2.2655 1.88374 2.8862 2.57015 3.2250 3.19536 3.5745 3.74737 3.8079 4.17038 4.2159 4.43559 4.3433 4.726910 4.7276 5.235511 5.2727 5.773412 6.0289 6.362513 7.4063 7.2215表4为了形象的表示出预测值与实际值之间的关系，我们做出了以以下图6，通过图表可以发现，道格拉斯函数已经可以很精确的表示来国内生产总值的变化趋势：图6 国内生产总值的预测与实际比较图增加生产、开展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系.在科学开展不快时，如资本主义经济开展的前期，这种模型是有意义的.从而可以说明国内生产总值增长与资本及劳动之间满足柯布—道格拉斯〔Cobb-Dauglas 〕生产函数的关系.6. 模型的评价与推广6.1 模型的优点：在问题一中，多元回归模型，因变量国内生产总值的99.89%可由模型确定，说明模型从整体上来看是可用的.在预测2021-2021年的GDP 的值时.我们计算得中国平均年GDP 的增长量为10%左右，这也完全符合中国的经济开展情况.在问题二中，运用了柯布—道格拉斯生产函数，使该模型的建立有理论依据作支撑，且有助于对模型的结果进行分析.在分析国内生产总值与投资和劳动力关系是，忽略其他因素，从而简化了模型，便于大概的预测.6.2 模型的缺点：问题一中，由于国内生产总值受国际经济、政府政策、自然灾害等因素的影响，所以某一时期GDP 波动幅度较大，因此影响了模型整体预测的准确性.问题二中，忽略其他因素对国内生产总值的影响，和实际问题存在的误差.一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.6.3 模型的推广与改进：推广：模型一是一类基于统计分析的随机模型，因此适用于大量数据的随机现象.如经济增长，灾害预测等.模型二中，在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济开展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力开展水平.改进：模型一中参数0β与3β的置信区间包含零点，说明模型中还存在缺点，变量之间很可能存在交互作用.因此应在模型中参加交互项，改进原有的模型，建立新的回归模型.模型二较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入和信息技术的劳动力投入后，得到dc b a L K L AK Q 1100=使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数是在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广.7.参考文献[1] 姜启源，谢金星，数学模型，高等教育出版社，20**.[2] 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，20**.[3] 周品，赵新芬，MATLAB数学建模与仿真，2021.[4] 王兵团，数学建模根底，20**.[5] 齐微，柯布—道格拉斯生产函数模型，中国科技论文在线.8.附录附表1：年份GDP值工业建筑业农林渔业1978 3645.2 1607.0 138.2 1027.5 1979 4062.6 1769.7 143.8 1270.2 1980 4545.6 1996.5 195.5 1371.6 1981 4889.5 2048.4 207.1 1559.5 1982 5330.5 2162.3 220.7 1777.4 1983 5985.6 2375.6 270.6 1978.4 1984 7243.8 2789.0 316.7 2316.1 1985 9040.7 3448.7 417.9 2564.4 1986 10274.4 3967.0 525.7 2788.7 1987 12050.6 4585.8 665.8 3233.0 1988 15036.8 5777.2 810.0 3865.4 1989 17000.9 6484.0 794.0 4265.9 1990 18718.3 6858.0 859.4 5062.0 1991 21826.2 8087.1 1015.1 5342.2 1992 26937.3 10284.5 1415.0 5866.6 1993 35260.0 14188.0 2266.5 6963.8 1994 48108.5 19480.7 2964.7 9572.7 1995 59810.5 24950.6 3728.8 12135.8 1996 70142.5 29447.6 4387.4 14015.4 1997 78060.8 32921.4 4621.6 14441.9 1998 83024.3 34018.4 4985.8 14817.6 1999 88479.2 35861.5 5172.1 14770.0 2000 98000.5 40033.6 5522.3 14944.7 2022 108068.2 43580.6 5931.7 15781.3 20** 119095.7 47431.3 6465.5 16537.0 20** 135174.0 54945.5 7490.8 17381.7 20** 159586.7 65210.0 8694.3 21412.7 20** 185808.6 77230.8 10367.3 22420.0 20** 217522.7 91310.9 12408.6 24040.0 20** 267763.7 110534.9 15296.5 28627.0 2021 316228.8 130260.2 18743.2 33702.0 2021 343464.7 135239.9 22398.8 35226.0附表2：年份投资资金来源国家预算国内贷款利用外资自筹和内资金其他资金总量〔亿元〕1981 269.8 122.0 36.4 532.9 1982 279.3 176.1 60.5 714.5 1983 339.7 175.5 66.6 848.3 1984 421.0 258.5 70.7 1082.7 1985 407.8 510.3 91.5 1533.6 1986 455.6 658.5 137.3 1869.2 1987 496.6 872.0 182.0 2241.1 1988 432.0 977.8 275.3 2968.7 1989 366.1 763.0 291.1 2990.3 1990 393.0 885.5 284.6 2954.4 1991 380.4 1314.7 318.9 3580.4 1992 347.5 2214.0 468.7 5050.0 1993 483.7 3072.0 954.3 8562.4 1994 529.6 3997.6 1769.0 11531.0 1995 621.1 4198.7 2295.9 13409.2 1996 〔629.7〕〔4576.5〕〔2747.4〕〔15465.4〕625.9 4573.7 2746.6 15412.4 1997 696.7 4782.6 2683.9 17096.5 1998 1197.4 5542.9 2617.0 19359.6 1999 1852.1 5725.9 20**.8 20219.7 2000 2109.5 6727.3 1696.3 22577.4 2022 2546.4 7239.8 1730.7 26470.0 20** 3161.0 8859.1 2085.0 30941.9 20** 2687.8 12044.4 2599.4 41284.8 20** 3254.9 13788.0 3285.7 54236.3 20** 4154.3 16319.0 3978.8 70138.7 20** 4672.0 19590.5 4334.3 90360.2 20** 5857.1 23044.2 5132.7 116769.7 2021 7954.8 26443.7 5311.9 143204.9 构成〔%〕1981 28.1 12.7 3.8 55.41982 22.7 14.3 4.9 58.11983 23.8 12.3 4.7 59.21984 23.0 14.1 3.9 59.01985 16.0 20.1 3.6 60.31986 14.6 21.1 4.4 59.91987 13.1 23.0 4.8 59.11988 9.3 21.0 5.9 63.81989 8.3 17.3 6.6 67.81990 8.7 19.6 6.3 65.41991 6.8 23.5 5.7 64.01992 4.3 27.4 5.8 62.51993 3.7 23.5 7.3 65.51994 3.0 22.4 9.9 64.71995 3.0 20.5 11.2 65.31996 2.7 19.6 11.8 66.01997 2.8 18.9 10.6 67.71998 4.2 19.3 9.1 67.41999 6.2 19.2 6.7 67.82000 6.4 20.3 5.1 68.22022 6.7 19.1 4.6 69.620** 7.0 19.7 4.6 68.720** 4.6 20.5 4.4 70.520** 4.4 18.5 4.4 72.720** 4.4 17.3 4.2 74.120** 3.9 16.5 3.6 76.020** 3.9 15.3 3.4 77.42021 4.3 14.5 2.9 78.3附表3：人口出生率、死亡率和自然增长率单位：‰年份出生率死亡率自然增长率年份出生率死亡率自然增长率1978 18.25 6.25 12.00 1995 17.12 6.57 10.55 1980 18.21 6.34 11.87 1996 16.98 6.56 10.42 1981 20.91 6.36 14.55 1997 16.57 6.51 10.06 1982 22.28 6.60 15.68 1998 15.64 6.50 9.14 1983 20.19 6.90 13.29 1999 14.64 6.46 8.181984 19.90 6.82 13.08 2000 14.03 6.45 7.58 1985 21.04 6.78 14.26 2022 13.38 6.43 6.95 1986 22.43 6.86 15.57 20** 12.86 6.41 6.45 1987 23.33 6.72 16.61 20** 12.41 6.40 6.01 1988 22.37 6.64 15.73 20** 12.29 6.42 5.87 1989 21.58 6.54 15.04 20** 12.40 6.51 5.89 1990 21.06 6.67 14.39 20** 12.09 6.81 5.28 1991 19.68 6.70 12.98 20** 12.10 6.93 5.17 1992 18.24 6.64 11.60 2021 12.14 7.06 5.08 1993 18.09 6.64 11.45 2021 12.13 7.08 5.05 1994 17.70 6.49 11.21模型二计算程序：Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749Et=zeros〔23〕;Et=Et〔1,1:23〕;for t=1:1:23;Et〔t〕=log〔IL〔t〕/IK〔t〕〕;endEt;Wt=Et;for t=1:1:23;Wt〔t〕=log〔IQ〔t〕/IK〔t〕〕;endWt;x=Et;y=Wt;plot〔x,y,'*'〕;xlabel〔'E'〕;ylabel〔'W'〕;a=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.64380.8033...0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.8837 2.57013.1953 3.7473...4.1703 4.4355 4.72695.2355 5.77346.36257.2215];y=[0.2127 0.2724 0.3166 0.4057 0.5630 0.6908 0.8393 1.0302...0.9763 1.0000 1.2384 1.7886 2.8937 3.94624.54345.1707...5.59156.3568 6.58657.32948.40899.9716 12.9754;0.6969 0.7160 0.7303 0.7441 0.7703 0.7920 0.8152 0.8391...0.8545 1.0000 1.0115 1.0217 1.0318 1.04181.0512 1.0649...1.0783 1.0909 1.1026 1.1133 1.1278 1.1389 1.1495];curvefun=inline〔'x〔1〕*〔y〔1,:〕.^x〔2〕〕.*〔y〔2,:〕.^x〔3〕〕','x','y'〕x0=[0.1,0.1,0.2];x=lsqcurvefit〔curvefun,x0,y,a〕a=x〔1〕,alpha=x〔2〕,beta=x〔3〕Q=[4889.5 5330.5 5985.6 7243.8 9040.7 10274.4 12050.6 15036.8 17000.9 18718.3 21826.2 26937.3 35260.0 ...48108.5 59810.5 70142.5 78060.8 83024.3 88479.2 98000.5 108068.2 119095.7 135174.0];IQ=Q/18718.3K=[961 1230.4 1430.1 1832.9 2543.2 3120.6 3791.7 4653.8 4410.4 4517.5 5594.5 8080.1 13072.3 17827.1 20524.9 ...23358.6 25259.7 28716.9 29754.6 33110.4 37987.0 45046.9 58616.3];IK=K/4517.5;L=[4.5126 4.6358 4.7286 4.8179 4.9873 5.1282 5.2783 5.4334 5.5329 6.4749 6.5491 6.6152 6.6808 6.7455...6.8065 6.8951 6.98217.0637 7.1394 7.2085 7.3025 7.3741 7.4432];IL=L/6.4749;Qt=zeros〔23〕;Qt=Qt〔1,:〕;for t=1:1:23;Qt〔t〕=0.9889*IL〔t〕^0.2167*IK〔t〕^0.7738;endQty1=[0.2612 0.2848 0.3198 0.3870 0.4830 0.5489 0.6438...0.8033 0.9083 1.0000 1.1660 1.4391 1.8837 2.5701...3.1953 3.74734.1703 4.4355 4.72695.23555.7734...6.36257.2215];y2=[0.2761 0.3362 0.3793 0.4615 0.5991 0.7061 0.8262...0.9742 0.9382 0.9889 1.1697 1.5580 2.26552.8862...3.2250 3.5745 3.80794.2159 4.3433 4.72765.2727...6.02897.4063];x=1981:1:20**;p1=polyfit〔x,y1,2〕;p2=polyfit〔x,y2,2〕;xi=1981:0.01:20**;y3=polyval〔p1,xi〕;y4=polyval〔p2,xi〕;plot〔x,y1,'*r',xi,y4,'-b'〕legend〔'实际值','预测曲线'〕xlabel〔'年份'〕;title〔'预测值与实际值比较图'〕;。
经济数学模型
1998年全国大学生数学建模竞赛题目
A题 投资的收益和风险
市场上有 n 种资产（如股票、债券、…）Si （ i=1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔 相当大的资金可用作一个时期的投资，公司财务分析人员对 这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平 均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到 投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买 若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险 来度量。
y
2
1
x
0
2
4
6
8
-1
-2
这样一来,每一条与水平直线Y=-1相遇的折线唯一地确定
一条这种从（0，0）到（m+n ， n-m -2）的新折线。
设向上的线段条数为U,向下的线段条数为D,则对于新折线有
U+D=m+n
1*U+(-1)D=-(m-n)-2
两式相加即得
2U=2n-2 可见向上的线段条数为
U=n-1 向下的线段条数为
1.5
2
198
S3 23
5.5
4.5 52
S4 25
2.6
6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资
金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使 净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。
2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据 进行计算。
Si
Ri(%) Qi(%) Pi(%) Ui（元）
(2) 若记存款为1,并用向上的线段来表示, 取款为-1 ,并用向下的线段来表示,
则这一天内2m个储户随意地来存取款的可能 排列分别对应一条从（0，b）到（2m，b）的折线，而无款可 取的情况当且仅当存取款余额出现负值时发生，此时其对应 的折线将穿过X而与水平直线Y=-1相遇。从而
数学建模简介1
数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析，根据对象的特征和建 模目的，找出起主要作用的因素，对问题 进行必要的、合理的简化，用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔 向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多 少路程？
四、模型的特点：
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养：
具有广博的知识（包括数学和各种实际知 识）、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。
具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型？
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说：数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。
经济数学建模(西安交通大学,戴雪峰)
C3r (T
T1)2
取每日平均费用作目标函数，记为C(T )
C(T ) C1 C2Q2 C3 (rT Q)2
T 2rT
2rT
(Q
T1
Q r
)
令
C(T ) 0, C(T ) 0
T
Q
得
T 2C1 C2 C3 , Q 2C1r C3
rC2 C3
C2 C2 C3
比较两种情况下的结果，可以看到： 在不允许缺货的情况下（即C3 ），后者公式变 为前者。 在允许缺货的情况下，订货周期应增大，而订货 批量应减小。 （相对于不允许缺货时的批量和周期而言）
数学建模
西安交通大学理学院 戴雪峰
E-mail: daixuefeng@
微分学模型（静态优化模型）、 经济学模型
一、存储模型
存储过多会占用资金多，仓储费高。 但存储量少会增加订货费，缺货还会 造成经营的损失。现只考虑订货费及 存储费，如何使总费用最少？
其中订货费指每订一批货需付出的 费用，它与订货量的多少无关；存 储费与货物量、存储时间成正比。
dB
dt 随 t 的增加而增加；开始救火以后，即t1 t t2 ， 如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，
dB
即 dt 随 t 的增加而减小；且当
t
t2
dB
时， dt
0
。
模型假设：
（1）火灾损失与森林被烧面积 B(t2 ) 成正比，比例系 数 C1，即烧毁单位面积的损失费。
（2）从失火到开始救火这段时间（0 t t1 ）内，火
问题分析：
（1）火灾损失通常正比于与森林被烧面积，而被 烧面积又与从起火到火灭的时间有关，而这时间又 与消防队员人数有关。
经济数学建模作业及答案
2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。
计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。
租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。
002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。
(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。
6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。
清华大学数学系 建模 价格指数
该定理没有涉及公理1,4,5, 为什么? I满足公理1,2,3 I满足公理4 I满足公理2,3,7 I满足公理5 目前常用的价格指数 I1, I2：满足除公理7外的所有公理，计算简单
定理
不存在同时满足公理2,3,6,7,8的价格指数 满足2,3,6,7的价格指数I必不满足公理8
证明
公理 2
I (CDe, C 1 D 1e | e, e) I (Ce, C 1e | e, e) I (Ce, C 1e | e, e)
公理 7
I ( p, p 1 | e, e)
(**)
I (CDe, C 1 D 1e | Ce, C 1e) I (Ce, C 1e | e, e) I (Ce, C 1e | Ce, C 1e)
n
当λ0时，s0 存在某个i, 当λ0时
I ( e,
i i 1 n
1 i
e | e, e)
lim I ( i e, e | e, e) 0
0
Happy National Day！
(*)
1 I i e, i e | e, e) i 1 i 1
(*)
记Λi=Diag[1,…,λ,…,1](第i位置元素λ >0，其余为1)
公理 2， 6
I ( De, D 1e | e, e) I (Ce, C 1e | e,
(***)
证明
令s I ( i e, e | e, e)
i 1 (**) n
n
与公理８矛盾！
(***)
I e, 1e | e, e I e, 1
公理3
e | e, e
经济数学模型的构建及对库存问题的解决
有 条 件 可 得 ，经 济 批 量
一
＝自 ， 一 ｍ“ ）
年 最 小 存 货 总 费 用 Ｆ Ｔｘ０ 。 ２＋ １ ５ ￣
查 以获取 大 量 的数 据 资料 ，并 对数 据 进 行加 工 分析 、分 组 整理 。 （ 模 型假 设 。通 过假 设把 实 际经 济 问题简 化 ，明确 模型 中诸 多 的 ２）
影 响 因素 ．并 从 中抽 象 最 本 质 的 东西 。 即抓 住 主 要 因素 ．忽 略次
每年 每 台库存 费 ． ＝ ８ ０ Ｘ５ Ｘ４＝ １ Ｏ （ ） Ｃ ０ ％ ６ 元
进行如下假设 ： Ｄ： 个计 划 期 内 的需 求数 量 ，即生产 或 订货 的总量 ：Ｃ ： 个 一 ，一
对库存问题的解决
张 超 梅 瑞 河北北方学 院
要 ］ 文章 介 绍 了在 经 济领 域 中进 行 数 学建 模 的重 要 性 ， 探 讨 了数 学经 济 建模 的 基 本 步骤 ，并 把 该 理 论 应 用 到 经 济流 通 领 域 的 重要 问题 库 存 上 ，通 过 建 立 数 学建 模 加 以解 释 说 明 。
由极 值 的 充 分 条 件 ： －） （． 口
所以，当批量口 ／ 时，总费用最小，其值： ‘、 孚 Ｆ
Ｃ即 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ｄ
孚 Ｊ Ｊ 等 ＿ 苦＝
（） ３
这就 得到 了求最 优批 量 及最 小 总费 用 的一般 表达 式 （ ） （ ） ２和 ３ 。
由上述 理论 可作 解答 ：由题设 知 ，Ｄ＝ １ ０ ０ ０台 Ｃ ＝ ５ ０ ， ０ ０元 ．
存 货 总 费 用 Ｅ与 每 批 生产 台数 Ｑ 的 函数 关 系 ： － ＋ ｅ
要 因 素 ，从 而得 到原 始 问题 的 一个 简 化 了 的 理 想 化 的 自然 模 型 。 （ 模 型建 立 。 在 假设 的基 础 上 ，根 据 已经 掌 握 的 经 济 信息 ．利 ３）
经济学数学模型
经济学数学模型引言经济学是一门研究资源配置和决策制定的学科，而数学作为一种强有力的工具，在经济学中扮演着重要的角色。
经济学数学模型是指利用数学方法来形式化经济学理论和分析经济现象的模型。
通过建立数学模型，经济学家可以更好地理解经济系统的运作规律，预测经济发展趋势，并为政策制定提供科学依据。
本文将介绍几种常见的经济学数学模型。
需求-供给模型需求-供给模型是经济学中最常用的数学模型之一，用于研究市场上商品的价格和数量的决定。
该模型基于以下假设：需求曲线表示消费者对商品的需求，供给曲线表示生产者对商品的供给。
需求曲线下降，表示消费者对商品的需求随价格上升而减少；供给曲线上升，表示生产者对商品的供给随价格上升而增加。
需求-供给模型的基本思想是，在市场上，当需求与供给相等时，价格与数量达到均衡水平。
需求-供给模型的数学表达式可以用以下方程表示：需求曲线：Qd = a - bP供给曲线：Qs = c + dP其中，Qd表示需求数量，Qs表示供给数量，P表示价格，a、b、c和d是模型中的常数。
通过求解需求曲线与供给曲线的交点，可以找到均衡价格和数量。
边际效用理论边际效用理论是微观经济学中的一种数学模型，用于解释人们做出经济决策的依据。
该模型基于以下假设：人们在追求满足需求时，会将有限的资源用于不同的选择；人们会根据每个选择给予的满足度来做出决策。
边际效用是指每增加一单位资源所带来的满足度增加量。
边际效用理论的数学表达式可以用以下方程表示：边际效用：MU = ΔU / ΔQ其中，MU表示边际效用，U表示总效用，Q表示消费数量，Δ表示增量。
通过计算每个选择的边际效用，人们可以选择满足度最大化的组合。
生产函数模型生产函数模型用于描述生产过程中产出与投入之间的关系。
该模型基于以下假设：生产过程中，生产要素（如劳动力和资本）经过组合和转化，可以产生特定数量的产品。
生产函数模型可以反映生产要素与产出之间的数量关系。
生产函数模型的数学表达式可以用以下方程表示：产出：Y = f(K, L)其中，Y表示产出，K表示资本，L表示劳动力，f表示生产函数。
经济数学建模PPT课件
第二章 微分方程与差分方程模型
经济数学模型
模型一 利率模型
经济数学模型
设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn
一、单利模型
n年后的本利和为
Sn S（ 01nr）
二、复利模型
1、离散型复利模型 每年结算一次，n年后的本利和为
Sn S（ 0 1r） n
每年结算m次，n年后的本利和为
c1
t2 1
2c2t1
2c32
c1~烧毁单位面积损失费, c2~每个队员单位时间灭火费, c3~每个队员一次性费用, t1~开始救火时刻,
~火势蔓延速度, ~每个队员平均灭火速度.
c1, c 2 t1, x
c3 , x
模型 应用
c1,c2,c3已知, t1可估计, ,可设置一系列数值
求 t 使Q(t)最大 t 4r40g2 =10 rg
Q(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利润20元
经济数学模型
敏感性分析
t 4r40g2 rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设g=0.1不变
t40r60, r1.5 r
t 对r 的（相对）敏感度
经济数学模型
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
数学建模例题及解析
.例1差分方程——资金(de)时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己(de)住房,但又没有足够(de)资金一次买下,这就产生了贷款买房(de)问题.先看一下下面(de)广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登(de)一则广告),任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心(de)是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢银行贷款(de)利息是多少呢为什么每个月要付1200元呢是怎样算出来(de)因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房(de)价格),如果自己只能支付一部分款,那就要把其余(de)款项通过借贷方式来解决,只要知道利息,就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说(de)房子作出决策了.现在我们来进行数学建模.由于本问题比较简单无需太多(de)抽象和简化.a.明确变量、参数,显然下面(de)量是要考虑(de)：需要借多少钱,用记；月利率(贷款通常按复利计)用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月.b．建立变量之间(de)明确(de)数学关系.若用记第k个月时尚欠(de) 款数,则一个月后(加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总(de)欠款为k=0,1,2,3,而一开始(de)借款为.所以我们(de)数学模型可表述如下(1)c. (1)(de)求解.由(2)这就是之间(de)显式关系.d．针对广告中(de)情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知(de).N=5年＝60个月,已知；每月还款x＝1200元,已知 A.即一次性付款购买价减去70000元后剩下(de)要另外去借(de)款,并没有告诉你,此外银行贷款利率R也没告诉你,这造成了我们决策(de)困难.然而,由(2)可知60个月后还清,即,从而得(3)A和x之间(de)关系式,如果我们已经知(3)表示N＝60,x＝1200给定时0A.例如,若R ＝0．01,则由(3)可算得道银行(de)贷款利息R,就可以算出053946元.如果该房地产公司说一次性付款(de)房价大于70000十53946＝123946元(de)话,你就应自己去银行借款.事实上,利用图形计算器或Mathematica这样(de)数学软件可把(3)(de)图形画出来,从而可以进行估算决策.以下我们进一步考虑下面两个问题.注1问题1标题中“抵押贷款”(de)意思无非是银行伯你借了钱不还,因而要你用某种不动产(包括房子(de)产权)作抵押,即万一你还不出钱了,就没收你(de)不动产.例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元,月利率0．01,贷款期25年＝300月,这对夫妇希望知道每月要还多少钱,25年就可还清.假设这对夫妇每月可有节余900元,是否可以去买房呢解：现在(de)问题就是要求使 (de)x,由(2)式知现＝60000,R＝0．01,k＝300,算得x=632元,这说明这对夫妇有能力买房.例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司(de)一则广告：“若借款60000元,22年还清,只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了(de)关系要你预付三个月(de)款,即316×6＝1896元.这对夫妇想：提前三年还清当然是好事,每半个月还316元,那一个月不正好是还632元,只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元,当然使人不高兴,但提前三年还清省下来(de)钱可是22752元哟,是1896元(de)十几倍哪这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们(de)钱呢这对夫妇请教你给他们一个满意(de)回答.具体解法略.问题2：养老基金今后,当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 (de)养老基金,所在单位（若经济效益好(de)话）每月再投入一定数量(de)钱,再存入某种利息较高而又安全(de)“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用.也就是说,若退休金不足以维持一定(de)生活水平时,就可以动用自己(de)养老基金,每月取出一定(de)款项来补贴不足部分.假设月利率及＝0．01不变,还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入A(不论多少),每月存入y元(个人和单位投入(de)总和)；通常从一笔钱0三十一岁开始到六十岁就可以动用.这当然是一种简化(de)假设,但作为估算仍可作为一种考虑(de)出发点.本问题实际上有两个阶段,即退休前和退休后,其数学模型为其中x为每月要从养老基金中提出(de)款项.习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己(de)养老基金,他把已有(de)积蓄1万元也一次性地存入,已知月利率为0．01 (以复利计),每月存入300元,试问当小李60岁退休时,他(de)退休基金有多少又若,他退休后每月要从银行提取l000元,试问多少年后他(de)退休基金将用完你能否根据你了解(de)实际情况建立一个较好(de)养老基金(de)数学模型及相应(de)算法和程取软件).习题2 渔业(林业)管理问题设某养鱼池(或某海域)一开始有某种鱼条,鱼(de)平均年净繁殖率为R,每年捕捞x条,记第N年有鱼条,则池内鱼数按年(de)变化规律为注意,在实际渔业经营中并不按条数计算而是以吨记数(de).若对某海域(de)渔业作业中＝100000吨,R＝0．02,x＝1000吨,试问会不会使得若干年后就没有鱼可捕捞了（资源枯竭了）例2比例分析法——席位分配问题：某学校有三个系联合成立学生会,（1）试确定学生会席位分配方案.（2）若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,分配方案如何(3)若丙系有3名学生转入甲系,3名学生转入乙系,分配方案有何变化（4）因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10： 10(de)平局,会议决定下一届增加1席,若在第（3）问中将学生会席位增加一席呢（5）试确定一数量指标衡量席位分配(de)公平性,并以此检查（1）—（4）.公平而又简单(de)席位分配办法是按人数(de)比例分配,若甲系有100名,乙系60名,丙系40名.学生会设20个席位,三个系分别应有10,6,4个席位.如果丙系有6名学生转入其他两系学习,各系人数如表所示系别学生人数所占比例（%）按比例分配(de)席位按惯例分配(de)席位甲10310乙636第二列所示,按比例分配席位时,出现了小数(见表中第四列)．在将取得整数(de)19席分配完毕后,剩下(de)1席按照惯例分给余数最大(de)丙系,于是三个系仍分别占有10、6、4个席位．因为有20个席位(de)代表会议在表决提案时有可能出现10：10(de)平局,会议决定下一届增加1席,于是他们按照上述惯例重新分配席位,计算(de)结果令人吃惊：总席位增加1席,丙系反而减少1席,见下表．看来,要解决这个矛盾,必须重新研究所谓惯例分配方法,提出更加“公平”(de)办法．下面就介绍这样一个席位分配模型．设A、B两方人数分别是p1 和p2,分别占有n1 和n2 个席位,则两方每个席位所代表(de)人数分别是p1 ／n12和p2／n2．很明显,仅当这两个数值相等时,席位(de)分配才是公平(de)．但是,通常它们不会相等,这时席位分配得不公平.不公平(de)程度可以用数值来表示,它衡量(de)是“绝对不公平”．从下表所举(de)例子来看,A、B之间(de)“绝对不公平”与C、D之间是一样(de).但是从常识(de)角度看,A、B之间显然比C、D之间存在着更加严重(de)不公平．所以“绝对不公平”不是一个好(de)衡量标准．p n p/n p1/n1-p2/n2 A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100为了改进绝对标准,我们自然想到用相对标准．因为p／n越大,每个席位代表(de)人数越多,或者说,总人数一定时分配(de)席位越少.所以,如果p1／n13＞p2/n2,则A方是吃亏(de),或者说,对A是不公平(de),由此,我们这样定义“相对不公平”：若p1／n1＞p2／n2,则称为对A(de)相对不公平值,记做若p1／n1＜p2／n2,则称为对B(de)相对不公平值,记做假设A、B两方已分别占有n1和n2个席位,我们利用相对不公平(de)城念来讨论,当总席位再增加1席时,应该给且A方还是B方不失一般性,可设p1／n1＞p2/n2,即此时对A方不公平, ,有定义．当再分配1个席位时,关于p／n(de)不等式有以下三种可能：1)p1／(n1十1)＞p2／n2,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这1席当然应给A方；2)p1／(n1十1)＜p2／n2,说明当A方增加1席位,将对B不公平,此时应参照式,计算对B(de)相对不公平值3）说明当B方增加1席时,将对A方不公平,此时计算得对A (de)相对不公平值是（注意：在p1/n1p2/n2(de)假设下,不可能出现p1／n1＜p2／(n2+1)(de)情况因为公平(de)席位分配方法应该使得相对不公平(de)数值尽量地小,所以如果则这1席应给A方；反之应给B方．根据(3)、（4）两式,(5)式等价于并且不难证明1从上述第1)种情况(de)p1／(n1十1)＞p2／p2也可推出. 于是我们(de)结论是：当(6)式成立时,增加(de)1席应分配A方；反之,应分配给B方．若记,则增加(de)1席位应分配给Q值较大(de)一方．将上述方法可以推广到有m方分配席位(de)情况．下面用这个方法,重新讨论本节开始时提出(de),三个系分配21个席位(de)问题．首先每系分配1席,然后计算：甲系n1＝1,乙系, n2=1,丙系,n3=1,因为最大,所以第4席应分配给甲系,继续计算：甲系n1＝2,将与上面(de)相比,最大,第5席应分给乙系,继续计算.如此继续,直到第21席分配给某个系为止（详见列表）．n甲系乙系丙系1（4）（5）578（9）2（6）（8）（15）3（7）（12）（21）4（10）（14）5（11）（18）6（13）7（16）8（17）9（19）10（20）11可以看出,用Q值法,丙系保住了它险些丧失(de)1席.你觉得这个方法公平吗习题：学校共1000名学生,235入住在A宿合,333人住在B宿合,432人住在C宿合．学生们要组织一个10人(de)委员会,试用下列办法分配各宿舍(de)委员数．1）惯例(de)方法,印按比例分配完整数名额后,剩下名额给余数最大者. 2）Q值方法.如果委员会从10人增至15人,分配名额将发生什么变化 ,例3 状态转移问题——常染色体遗传模型随着人类(de)进化,人们为了揭示生命(de)奥秘,越来越注重遗传学(de)研究,特别是遗传特征(de)逐代传播,引起人们(de)注意.无论是人,还是动植物都会将本身(de)特征遗传给下一代,这主要是因为后代继承了双亲(de)基因,形成自己(de)基因对,基因对将确定后代所表现(de)特征.下面,我们来研究两种类型(de)遗传：常染色体遗传和x—链遗传.根据亲体基因遗传给后代(de)方式,建立模型,利用这些模型可以逐代研究一个总体基因型(de)分布.在常染色体遗传中,后代从每个亲体(de)基因对中各继承一个基因,形成自己(de)基因对,基因对也称基因型.如果我们所考虑(de)遗传特征是有两个基因A和控制(de),那么就有三种基因对,记为AA,A,.例如,金草鱼由两个遗传基因决定花(de)颜色,基因型是AA(de)金鱼草开红花,型(de)开粉红色花,而型(de)开白花.又如人类(de)眼睛(de)颜色也是提高通过常染色体遗传控制(de).基因型是(de)人,眼睛是棕色,基因型是(de)人,眼睛是兰色.这里因为都表示了同一外部特征,我们认为基因A 支配基因,也可以认为基因对于A 来说是隐性(de)农场(de)植物园中某种植物(de)基因型为AA,A 和.农场计划采用AA 型(de)植物与每种基因型植物相结合(de)方案培育植物后代.那么经过若干年后,这种植物(de)任一代(de)三种基因型分布如何 第一步：假设：令 ,2,1,0=n .（1） 设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中,基因型为AA,Aa 和aa(de)植物占植物总数(de)百分率.令)(n x 为第n 代植物(de)基因型分布:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(当n=0时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000)0(c b a x表示植物基因型(de)初始分布（即培育开始时(de)分布）,显然有1000=++c b a（2） 第n 代(de)分布与第n-1代(de)分布之间(de)关系是通过上表确定(de).第二步：建模根据假设（2）,先考虑第n 代中(de)AA 型.由于第n-1代(de)AA 型与AA 型结合,后代全部是AA 型；第n-1代(de)Aa 型与AA 型结合,后代是AA 型(de)可能性为1/2,第n-1代(de)aa 型与AA 型结合,后代不可能是AA 型.因此,当 ,2,1,0=n 时11102/1---•++•=n n n n c b a a即2/11--+=n n n b a a 类似可推出2/11--+=n n n b c a 0=n c将式相加,得111---++=++n n n n n n c b a c b a根据假设（1）,有1000=++=++c b a c b a n n n对于式、式和式,我们采用矩阵形式简记为,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012/1002/11M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n c b a x )(式递推,得)0()2(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--式给出第代基因型(de)分布与初始分布(de)关系.为了计算出n M ,我们将M 对角化,即求出可逆矩阵P 和对角阵D,使1-=PDP M因而有,2,1,1==-n P PD M n n其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n n nnn D 321321000000000λλλλλλ这里321,,λλλ是矩阵M(de)三个特征值.对于式中(de)M,易求得它(de)特征值和特征向量:0,2/1,1321===λλλ因此⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 所以[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100210111321P通过计算1-=P P ,因此有)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=0001002101110000)21(0010100210111c b a n 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(010010000c b c b c b a n n n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=--0)2/1()2/1()2/1()2/1(1010010n n n n n n n c c b b c b a当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,1→→n n b a 和n c =0即在极限(de)情况下,培育(de)植物都是AA 型. 第三步：模型讨论若在上述问题中,不选用基因AA 型(de)植物与每一植物结合,而是将具有相同基因型植物相结合,那么后代具有三代基因型(de)概率如下表：并且)0()(x M xn n =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M(de)特征值为2/1,1,1321===λλλ通过计算,可以解出与21,λλ相对应(de)两个线性无关(de)特征向量1 和2 ,及与3λ相对应(de)特征向量3 ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213 因此[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==111200101321P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-02/1011102/111P)0(1)0()(x P PD x M x n n n -==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=00002/1011102/11)2/1(0001001111200101c b a n n所以有⎪⎩⎪⎨⎧-+==++=++010000100)2/1()2/1()2/1()2/1()2/1(bb c c b b b b a a n nn n n n当∞→n 时0)2/1(→n,所以从式得到0,)2/1(00→+→n n b b a a 和00)2/1(b c c n +→因此,如果用基因型相同(de)植物培育后代,在极限情况下,后代仅具有基因AA 和aa. 例4 合作对策模型在经济或社会活动中,几个社会实体（个人、公司、党派、国家）相互合作或结成联盟,常能获得比他们单独行动更多(de)经济或社会效益.这样合理地分配这些效益是合作对策要研究(de)问题.请看下面(de)例子.问题一：经商问题甲、乙、丙三人经商,若单干,每人仅能获利1元；甲乙合作可获利7元；甲丙合作可获利5元；乙丙合作可获利4元；三人合作可获利10元,问三人合作时如何分配10元(de)收入.甲(de)收入应按照甲对各种形式(de)合作(de)贡献来确定．对于某一合作(de)贡献定义为：有甲参加时这个合作(de)收入与无甲参加时这个合作(de)收入之差．例如甲对甲乙二人合作(de)贡献是7—1＝6 (因为甲乙合作获利7元,而乙单干仅获利1元)．甲可以参加(de),合作有四个：甲自己(单干视为合作(de)特例)、甲乙、甲丙、甲乙丙．甲对这些合作(de)贡献分别是甲：1一0＝1元；甲乙：7—1＝6元；甲内：5—1＝4元；甲乙丙：10—4＝6元,甲应分得(de)收入是这四个贡献(de)加权平均值,加权因子将由下面(de)一般模型给出．这个问题叫做3人合作对策,是对策论(de)一部分,这里介绍它(de)一种解法.一般(de)n人合作对策模型可以叙述如下：记n人集合为I=,如果对于I中 (de)任一子集,都对应一个实值函数v（s）,满足则称为定义在I上(de)特征函数．所谓合作对策是指定义了特征函数(de)I中n个人(de)合作结果,用向量值函数来表示．在实际问题中．常可把I中各种组合(de)合作获得(de)利益定义为特征函数,上式表示合作规模扩大时,获利不会减少.不难看出,如将三人经商问题中合作(de)获利定义为特征函数v,v是满足(1)、(2)(de)．为了确定,Shapley在1953年首先制定了一组应该满足(de)公理,然后证明了满足这组公理(de)(de)唯一解是其中是I中包含{i}(de)所有子集,是集合s中(de)人数,是加权因子,由确定．(3)式中可看作成员{i}对合作s(de)贡献；表示对所有包含{i}(de)集合求和．称为由v定义(de)合作(de)Shapley值．我们用(3)、(4)计算三人经商问题中各个人应得到(de)收入．甲、乙、丙分别记作{1},{2},{3},包含{1}(de)集合有{1}、{1,2}、{1,3}、{1,2,3},计算结果列入下表．S{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}V(s)17510V(s-{1})0114V(s)- V(s-{1})1 6 4 612 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})]1/31 2/3 2.同样可以算出乙、丙应得收入为＝3．5元,＝元.问题二：三城镇(de)污水处理方案沿河有三城镇1、2和3,地理位置如图4；6所示．污水需处理后才能排入河中．三城镇或者单独建立污水处理厂,或者联合建厂,用管道将污水集中处理(污水应于河流(de)上游城镇向下游城镇输送).以Q 表示污水量(吨／秒),工表示管道长度(公里).按照经验公式,建立处理厂(de)费用为712.0173Q P =,铺设管道(de)费用为LQ P 51.0266.0=．今已知三城镇(de)污水量分别为5,3,5321===Q Q Q ．L(de)数值38,202312==L L ．试从节约总投资(de)角度为三城镇制定污水处理方案；包括是单独还是联合建厂；如果联合,如何分担投资额等．三城镇或单干或不同形式(de)联合,共有五种方案.下面一一计算所需(de)投资．方案一 三城镇都单干.投资分别为总投资：方案二城1、2合作.这时城1、2将从节约投资(de)角度对联合还是分别建厂作出决策,所以城1、2(de)投资为：=3500C（3）=2300总投资：方案三城2、3合作.C（1）=2300总投资：方案四城1、3合作.C（2）=1600总投资：方案五三城镇合作=5560总投资：比较五个方案可知,应该选择三城合作,联合建厂(de)方案． 下面(de)问题是如何分担总额为5560(de)费用．城3(de)负责人提出,联合建厂(de)费用按三城(de)污水量之比5：3：5分担,铺设管道费应由城1、2担负．城2(de)负责人同意,并提出从城2到城3(de)管道费由城1、2按污水量之比5：3分担；从城1到城2(de)管道费理应由城1自己担负．城1(de)负责人觉得他们(de)提议似乎是合理(de),但因事关重大,他没有马上表示同意；而是先算了一笔账．联合建厂(de)费用是4530)535(73712.0=++,城2到城3(de)管道费是730,城1到城2(de)管道费是300,按上述办法分配时,城3负担(de)费用为1740,城2(de)费用为1320,域1(de)费用为2500．结果出乎意料之外,城3和城2(de)费用都比单独建厂时少,而城1(de)费用却比单独建厂时(de)C(1)还要多.城1(de)负责人当然不能同意这个方法,但是一时他又找不出公平合理(de)解决办法．为了促成联合(de)实现,你能为他们提供一个满意(de)分担费用(de)方案吗首先,应当指出,城3和城2负责人提出(de)办法是不合理(de)：从前面(de)计算我们知道,三城联合,才能使总投资节约了640(de)效益应该分配给三城,使三城分配(de)费用都比他们单干时要少,这是为促成联合所必须制定(de)一条原则．至于如何分配,则是下面要进一步研究(de)问题． 把分担费用转化为分配效益,就不会出现城1联合建厂分担(de)费用反比单独建厂费用高(de)情况.将三城镇记为I={1,2,3},联合建厂比单独建厂节约(de)投资定义为特征函数.于是有v(φ)=0,v({1})=v({2})=v({3})=0,v({1,2})=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v({2,3})=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v({1,3})=0,v(I)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640.S {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} V(s) 0 400 0 640 V(s-{1}) 0 0 0 250 V(s)- V(s-{1})0 400 0 39012 23 W()1/31/61/61/3W()[V(s)-V(s-{1})] 0 67 0 130即197)(1=v ϕ同理得321)(2=v ϕ,122)(3=v ϕ那么, 城1分担(de)费用为2300-197=2103, 城2分担(de)费用为1600-321=1279, 城3分担(de)费用为2300-122=2178,合计5560. 习题：某甲（农民）有一块土地.如果从事农业生产可年收入100元；如果将土地租给某企业家用于工业生产,可年收入200元；如果租给某旅店老板开发旅游业,可年收入300元；当旅店老板请企业家参与经营时,年收入可达400元.为实现最高收入,试问如何分配各人(de)所得才能达成协议例5动态规划模型有不少动态过程可抽象成状态转移问题,特别是多阶段决策过程(de)最优化如最短路径问题,最优分配,设备更新问题,排序、生产计划和存储等问题．动态规划是一种将复杂问题转化为一种比较简单问题(de)最优化方法,它(de)基本特征是包含多个阶段(de)决策．1951年,美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人,提出了解决多阶段决策问题(de)“最优化原理”,并研究了许多实际问题,从而创建了动态规划·动态规划方法(de)基本思想是：将一个复杂问题分解成若干个阶段,每一个阶段作为一个小问题进行处理,从而决定整个过程(de)决策,阶段往往可以用时间划分这就具有“动态”(de)含义,然而,一些与时间无关(de)静态规划中(de)最优化问题,也可人为地把问题分成若干阶段,作为一个多阶段决策问题来处理,计算过程单一化,便于应用计算机．求解过程分为两大步骤,①先按整体最优化思想递序地求出各个可能状态(de)最优化决策；②再顺序地求出整个题(de)最优策略和最优路线．下面,结合一个求最短路径(de)例子,来说明动态规划(de)一些基本概念．最短路径问题如图所示(de)交通网络,节点连接线路上(de)数字表示两地距离,计算从A 到E(de)最短路径及长度.1．阶段．把所要处理(de)问题,合理地划分成若干个相互联系(de)阶段,通常用k 表示阶段变量.如例中,可将问题分为4个阶段,k=1,2,3,4. 2．状态和状态变量．每一个阶段(de)起点,称为该阶段(de)状态,描述过程状态(de)变量,称为状态变量,它可以用一个数、一组数或一个向量来描述,常用k x 来表示第k 阶段(de)某一状态．如果状态为非数量表示,则可以给各个阶段(de)可能状态编号,i x i k =)(()(i k x 表示第k 个阶段(de)第i 状态).第k 阶段状态(de)集合为},,,,,{)()()2()1(T k i k k k k x x x x X =如例6中,第3阶段集合可记为}3,2,1{},,{},,{321)3(3)2(3)1(33===C C C x x x X3．决策和决策变量．决策就是在某一阶段给定初始状态(de)情况下,从该状态演变到下一阶段某状态(de)选择.即确定系统过程发展(de)方案．用一个变量来描述决策,称这个变量为决策变量.设)(k k x u 表示第k 个阶段初始状态为k x (de)决策变量．)(k k x D 表示初始状态为k x (de)允许决 策集合,有)(k k x u ∈)(k k x D ={k u }如例6中},,{)(3211B B B A D =,若先取2B ,则21)(B A u =. 4．策略和子策略．由每段(de)决策)(k k x u 组成(de)整个过程(de)决策变量序列称为策略,记为n P ,1,即n P ,1=)}(,),(),({2211n n x u x u x u从阶段k 到阶段n 依次进行(de)阶段决策构成(de)决策序列称为k 子策略,记为n k P ,即)(1,x P n k =)}(,),(),({11n n k k k k x u x u x u ++显然,k=1时(de)k 子策略就是策略.如例6,选取路径E D C B A →→→→221就是一个子策略．从允许策略集中选出(de)具有最佳效果(de)策略称为最优策略. 5．状态转移方程．系统在阶段k 处于状态k x ,执行决策)(k k x u (de)结果是系统状态(de)转移,即由阶段K(de)状态k x 转移到阶段K 十1(de)状态1+k x 适用于动态规划方法求解(de)是一类具有无后效性(de)多阶段决策过程．无后效性又称马尔科夫性,指系统从某个阶段往后(de)发展,完全由本阶段所处(de)状态以及其往后(de)决策决定,与系统以前(de)状态及决策无关,对于具有无后效性(de)多阶段过程,系统由阶段k 向阶段k+1(de)状态转移方程为))(,(1k k k k k x u x T x =+意即1+k x 只与k x ,)(k k x u 有关,而与前面状态无关．))(,(k k k k x u x T 称为变换函数或算子．分确定型和随机型,由此形成确定型动态规划和随机型动态规划． 6．指标函数和最优指标函数．在多阶段决策中,可用一个数量指标来衡量每一个阶段决策(de)效果,这个数量指标就是指标函数,为该阶段状态变量及其以后各阶段(de)决策变量(de)函数,设为n k V ,即n k x x u x V V n k k k n k n k ,,2,1),,,,(1,, ==+指标(de)含义在不同(de)问题中各不相同,可以是距离、成本、产品产 量、资源消耗等．例6中,指标(de)含义就是距离,指标函数为A 到E(de)距离,为各阶段路程(de)和．最常见(de)指标函数取各阶段效果之和(de)形式,即∑==nk j j j j n k u x V V ),(,指标函数nk V ,(de)最优值,称为相应(de)最优指标函数,记为)(k k x fnk k k optV x f ,)(=式中opt 是最优化之意,根据问题要求取max 或min ． 7．动态规划最优化原理．贝尔曼指出“作为整个过程(de)最优策略具有这样(de)性质：即无论过去(de)状态和决策如何,对前面(de)决策所形成(de)状态而言,余下(de)诸决策必须构成最优策略”基于这个原理,可有如下定理：定理 若策略*,1n P 是最优策略,则对于任意(de)k(1<k<n),它(de)子策略*,n k P 对于以),(*1*11*---=k k k k u x T x 为起点(de)k 到n 子过程来说,必是最优策略． 实质上,动态规划(de)方法是从终点逐段向始点方向寻找最短路径(de)一种方法．8．动态规划(de)数学模型．利用最优化原理,可以得到动态规划(de)数学模型)}(),({)(11+++=k k k k k k k x f u x V opt x f ))(1,,1,(k k k x D u n n k ∈-=0)(11=++n n x f这是一个由后向前(de)递推方程．下面以例6(de)最短路径问题说明这种递序解法．指标函数为两点之间(de)距离,记为),(k k u x d ,例中共分4个阶段． (倒推) 第4阶段2)(),()(5114=+=E f E D d D f 3)(),()(5224=+=E f E D d D f 5)(),()(5334=+=E f E D d D f 0)(5=E f第3阶段6835)(),(624)(),(min )(2421141113=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{11*4,3E D C P =4431)(),(826)(),(min )(2422141223=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{22*4,3E D C P =6651)(),(1239)(),(min )(3433243333=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=D f D C d D f D C d C f},,{33*4,3E D C P =第2阶段7734)(),(1367)(),(min )(2321131112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{221*4,2E D C B P =7734)(),(826)(),(min )(2322131222=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{222*4,2E D C B P =91468)(),(945)(),(min )(3333232332=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=+=+=+=C f C B d C f C B d B f},,,{223*4,2E D C B P =第1阶段10111192)(),(74)(),(1073)(),(min )(323221211=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+=B f B A d B f B A d B f B A d A f},,,,{221*4,1E D C B A P =故最短路径为E D C B A →→→→221,从A 到E(de)最短距离为10. 上述步骤可归纳为下述递推公式)}(),(m in{)(11+++=k k k k k k x f u x d x f 1,2,3,4(=k ）0)(55=x f此递推关系叫做动态方程,即最短路径问题(de)动态规划模型,应用动态规划方法解决问题(de)关键是根据所给问题建立具体(de)动态规划模型,建立动态规划模型时(de)主要困难在于：如何将所遇到(de)最优化解释为合适(de)多段决策过程问题．从例6看出,划分I 阶段、定义状态、确定指标函数,是动态规划模型化时(de)主要工作,其合适性决定应用动态规划(de)成败．建模时,除将实际问题根据时间和空间恰当地划分若干阶段外,还须明确下列几点： (1)正确选择状态变量,使它既能描述过程(de)状态,又。
经济学中的数学建模
经济学中的数学建模经济学中的数学建模经济学是一门研究人类经济活动的学科，通过对经济现象和经济行为的观察和分析，揭示经济规律并提出相应的解决方案。
然而，由于经济系统的复杂性和不确定性，仅依靠经验和直觉往往无法准确预测和解释经济现象。
因此，数学建模在经济学中扮演着重要的角色。
数学建模是指利用数学语言和方法，将现实世界的问题转化为数学问题，并通过对这些数学问题进行求解和分析，得出对实际问题的解释和预测。
在经济学中，数学建模可以帮助经济学家更准确地描述和分析经济现象，提供科学的决策依据。
经济学中的数学建模可以从多个方面进行，其中最常用的方法之一是利用微积分和方程求解经济模型。
例如，通过构建供求模型和利用微积分的工具，可以计算市场均衡价格和数量，揭示供求关系对市场的影响。
同时，通过微积分的工具，还可以分析企业的成本、利润最大化以及效用函数等经济问题。
另一个常用的方法是利用统计学方法建立经济模型。
统计学是通过对大量数据进行统计分析，从中提取规律和关联性的方法。
在经济学中，统计学可以帮助经济学家了解经济现象的规律性和变化趋势，预测未来的经济发展趋势。
例如，通过建立经济增长模型和利用时间序列分析方法，可以预测一个国家的经济增长率和未来的发展趋势。
此外，线性规划和最优化模型也是经济学中常用的数学建模方法。
线性规划可以帮助经济学家在资源有限的情况下，找到最优的决策方案。
最优化模型可以帮助经济学家分析企业的生产和决策，最大化效益和利润。
总之，经济学中的数学建模在现代经济学研究中扮演着重要的角色。
它不仅可以更准确地描述和分析经济现象，还可以提供科学的决策依据。
然而，数学建模仍然面临着挑战和限制，例如模型的假设和局限性、数据的可靠性等问题。
因此，在进行数学建模时，经济学家需要谨慎地选择和应用适当的数学方法，并结合实际情况进行分析和解释。
只有这样，数学建模才能更好地为经济学的研究和实践服务。
数学建模中经济与金融优化模型分析
数学建模中经济与金融优化模型分析在当今复杂多变的经济与金融领域，数学建模已成为一种不可或缺的工具。
通过建立数学模型，我们能够对经济和金融现象进行定量分析，预测趋势，制定优化策略，从而为决策提供有力支持。
本文将深入探讨数学建模中常见的经济与金融优化模型，分析它们的原理、应用以及优缺点。
一、线性规划模型线性规划是数学建模中最基本也是应用最广泛的优化模型之一。
它主要用于解决在一组线性约束条件下，如何使线性目标函数达到最优值的问题。
在经济领域，线性规划常用于生产计划的制定。
例如，一家工厂生产多种产品，每种产品需要不同的原材料、生产时间和劳动力，同时市场对每种产品的需求也有限制。
通过建立线性规划模型，工厂可以确定每种产品的生产数量，以在满足各种约束条件的前提下，实现利润最大化。
在金融领域，线性规划可用于资产配置。
投资者拥有一定的资金，并希望在多种资产（如股票、债券、基金等）之间进行分配，以在风险限制和预期收益目标下，实现投资组合的最优配置。
线性规划模型的优点在于计算简单、易于理解和求解。
然而，它也有局限性，比如只能处理线性关系，无法准确描述现实中许多复杂的非线性现象。
二、整数规划模型整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取整数值的优化模型。
在经济领域，整数规划常用于项目选择和人员分配问题。
例如，一个企业有多个项目可供投资，但每个项目的投资金额是整数，且资源有限。
通过整数规划模型，可以确定投资哪些项目，以实现企业的长期发展目标。
在金融领域，整数规划可用于股票的买卖决策。
假设投资者只能以整数股买卖股票，且有资金和风险限制，整数规划可以帮助确定购买哪些股票以及购买的数量。
整数规划模型相较于线性规划更加符合实际情况，但求解难度也更大，往往需要更复杂的算法和计算资源。
三、非线性规划模型非线性规划用于处理目标函数或约束条件中包含非线性函数的优化问题。
在经济领域，非线性规划可用于研究成本函数和需求函数为非线性的企业生产决策。
数学建模在经济学中的应用分析
数学建模在经济学中的应用分析随着科技的不断发展，数学建模在各个领域的应用越来越广泛。
在经济学中，数学建模也起到了重要的作用。
本文就来探讨一下数学建模在经济学中的应用。
一、数学建模的定义数学建模是指将实际问题转化为数学问题的过程，以便利用数学的知识和技术对这些问题进行分析和研究。
在经济学中，数学建模可以帮助我们更好地理解经济现象，提高经济决策的效果。
二、数学建模在经济学中的应用1. 经济增长模型经济增长模型是经济学中的一个重要模型。
它是指通过对生产要素和经济结构的分析，预测和解释经济增长的趋势和规律。
常用的经济增长模型有Solow模型和Cobb-Douglas模型。
Solow模型是一个以外生技术进步作为经济增长的主要驱动力的模型。
该模型在考虑资本积累、劳动力增长和技术进步的基础上，通过一系列数学公式来预测经济增长的规律。
Cobb-Douglas模型则是一种广泛应用的经济增长模型。
该模型是通过对生产要素包括劳动力和资本的分析，得出一个生产函数，从而推导出经济增长的规律。
2. 金融风险管理模型金融风险管理是金融领域的一项重要任务。
数学建模在金融风险管理中起到了重要的作用。
例如，VaR（Value at Risk）模型就是一种常用的金融风险管理模型。
VaR模型通过建立波动率模型和收益率分布模型，计算出一个特定置信度下的最大可能损失，从而帮助金融机构进行风险管理。
3. 博弈论模型博弈论是一种研究人类决策行为的数学模型。
在经济学中，博弈论可以帮助人们理解市场竞争的本质和市场商业策略。
例如，囚徒困境是博弈论中一个著名的经典问题。
该问题研究的是两个犯罪嫌疑人之间的合作和竞争关系。
这个问题在经济学中也有广泛的应用，例如在公司竞争、合作和市场博弈中。
三、结语数学建模在经济学中的应用已经越来越广泛，从经济增长模型到金融风险管理模型，再到博弈论模型，数学建模为我们解决各种经济问题提供了有力的工具。
当然，这里只是列出了一些例子，而在实际的经济学研究中，数学建模的应用是非常丰富多样的。
经济数学建模教学研究与实践(1)
经济数学建模教学研究与实践湖南财政经济学院基础课部方涛摘要：本文详细介绍了数学模型的概念，给出了数学建模的方法及步骤；深刻分析了经济数学建模教学在高校人才培养中的作用；明确了经济数学建模教学是经济数学课程教学改革的突破口、切入点；对财经类各专业课程涉及的数学内容、方法、模型进行了调查和研究，给出了九个主要经济数学模型；同时，对如何开展经济数学建模教学提出了建议。
第一部分：数学模型与数学建模概述一、数学模型模型是针对原型而言，是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象。
模型来源于原型，但它不是对原型简单的模仿，它是人们为了认识和理解原型而对它所作的一个抽象、升华，有了它就可以使我们通过对模型的分析、研究，加深对原型的理解和认识。
（一）、什么是数学模型？数学模型(Mathematical Model）就是要用数学的语言、方法去近似地刻划实际，是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
也可以这样描述：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
（二）、数学模型的特点我们已经看到建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。
数学模型有许多优点，也有弱点。
建模需要相当丰富的知识、经验和各方面的能力，同时应注意掌握分寸．下面归纳出数学模型的若干特点，以期在学习过程中逐步领会．1、模型的逼真性和可行性一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控制的目的，即实用上不可行．另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配．所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择．2、模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型．在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程．从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证．3、模型的强健性模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的．一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当观测数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化．4、模型的可转移性模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域．在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型．模型的这种性质显示了它的应用的极端广泛性．5、模型的非预制性虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。
经济金融数学建模研究
经济金融数学建模研究近年来，经济金融数学建模研究越来越受到重视。
经济金融数学建模是一种将经济金融问题抽象化、数学化并用数学工具进行模拟和分析的方法。
它强调把经济金融系统抽象为一种数学模型并建立数学模型，在模型中研究经济金融问题。
在现实生活中，经济金融数学建模可以帮助人们更好地理解经济金融体系的规律，分析市场变化和预测趋势。
这对于资产配置、风险管理等方面都有很大的指导作用。
因此，经济金融数学建模已经成为一个重要的研究方向。
下面将从数学模型、研究内容和应用价值三个方面进行探讨。
一、数学模型经济金融数学建模研究主要关注如何建立科学的、可靠的数学模型来描述经济金融系统，使数据变得可分析和可反馈。
数学模型是指利用数学符号和运算规则将一个实际问题描述为一个数学问题，从而更易于解决的表达方式。
具体来说，数学模型的建立需要从以下三个方面考虑：1. 定义自变量、因变量和中间变量。
自变量指自行变化的变量，因变量指自变量所依赖的变量，中间变量指自变量和因变量之间的联系变量。
在建立数学模型时，需要明确各种变量之间的关系，这是建立有效模型的关键。
2. 确定模型方程和参数。
模型方程是指符号式地描述自变量、因变量和中间变量之间关系的数学方程，参数是指模型中一些变量的值。
利用已有的理论基础及对实际生活中的情况法制的分析，研究人员可以通过一定的推理和实验研究方法来确定模型方程和参数。
3. 模型验证和解释。
在模型建立之后，需要将实际数据代入模型中进行验证，并进行参数优化或调整。
随后，还需要对模型所给出的结果进行解释和发现其中的规律性，从而能够更好地理解和解释所研究的经济金融问题。
二、研究内容经济金融数学建模研究的内容涵盖了很多方面，比如，它可以帮助人们预测股市和货币市场的走势，确定股票和证券投资策略，分析风险和收益等问题。
以下是一些常见的研究领域：1. 财务经济分析。
研究如何用数学工具对公司财务数据进行分析，如财务比率分析，资本结构分析，盈利能力分析，现金流量分析等。
经济数学模型
经济数学模型论文谢杜杜06信管（1）班2006429020149我们知道：数学与经济学息息相关，可以说每一项经济学的研究、决策，都离不开数学的应用。
特别是自从诺贝尔经济学奖创设以来，利用数学工具来分析经济问题得到的理论成果层出不穷，经济学中使用数学方法的趋势越来越明显。
当代西方经济学认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行预测、决策和监控。
在经济领域，数学的运用首要的问题是实用性和实践性问题，即能否用所建立的模型去概括某一经济现象或说明某一经济问题。
因而，数学模型分析已成为现代经济学研究的基本趋向，经济数学模型在研究许多特定的经济问题时具有重要的不可替代的作用，在经济学日益计量化、定量分析的今天，数学模型方法显得愈来愈重要。
一、经济数学模型的基本内涵数学模型是数学思想精华的具体体现，是对客观实际对象的数学表述，它是在一定的合理假设前提下，对实际问题进行抽象和简化，基于数学理论和方法，用数学符号、数学命题、图形、图表等来刻画客观事物的本质属性及其内在联系。
当数学模型与经济问题有机地结合在一起时，经济数学模型也就产生了。
所谓经济数学模型，就是把实际经济现象内部各因素之间的关系以及人们的实践经验，归结成一套反映数量关系的数学公式和一系列的具体算法，用来描述经济对象的运行规律。
所以，经济数学模型是对客观经济数量关系的简化反映，是经济现象和经济过程中客观存在的量的依从关系的数学描述，是经济分析中科学抽象和高度综合的一种重要形式。
经济数学模型是研究分析经济数量关系的重要工具，它是经济理论和经济现实的中间环节。
它在经济理论的指导下对经济现实进行简化，但在主要的本质方面又近似地反映了经济现实，所以是经济现实的抽象。
经济数学模型能起明确思路、加工信息、验证理论、计算求解、分析和解决经济问题的作用，特别是对量大面广、相互联系、错综复杂的数量关系进行分析研究，更离不开经济数学模型的帮助。
数学建模案例(上)
图7-1
，使 0 ) = g(θ0 ) = 0 f (θ
B B1 A1 A
A
D1
7.2.1
经济数学 7．2数学模型案例 7．2．1 椅子问题模型 3.建立模型 3.建立模型
C C
1
B
1
B A
1
O
A
A
（二）模型建立: 模型建立 图7-1 将椅子放到直角坐标平面上， 、 、 、 为四条腿与地平面的接触点 将椅子放到直角坐标平面上，A、B、C、D为四条腿与地平面的接触点 或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图7-1所示 ），连线后构成正方形 所示． （或投影点），连线后构成正方形，是一个中心对称图形，如图 所示． 1） “稍作挪动”．假设椅子中心投影 不变，仅作旋转，用角来描述椅 不变， ） 稍作挪动” 假设椅子中心投影O不变 仅作旋转， A ′B ′C ′D ′ 子 θ 、 位置． 位置．图 7- 1表示正方形旋转角 是正方形 表示正方形旋转角 2）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量，零距离表 ）如何度量椅子脚着地与否？用椅子脚与地面的距离来度量， 示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地． 示椅子脚着地，非零距离则表示椅子脚不着地． 3）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键，我们需要找出椅子放稳 ）如何度量椅子放稳否？这是整个模型的关键， 与否的数学描述和表征．由上知，椅子脚离地面距离是的函数， 与否的数学描述和表征．由上知，椅子脚离地面距离是的函数，又由于图形 f (θ) g(θ ) ABCD中 心对称，我们可用以下 度量之， 中 心对称， 和 度量之，即设 A、C处两椅子脚与地面的距离之和； 、 处两椅子脚与地面的距离之和 f (θ ) =
７．１
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第四章 微积分应用模型
4.2 问题
最优价格模型
经济数学模型
在商品生产的成本函数和市场的需求函数均已知 条件下，在产销平衡条件下如何确定商品价格，使 利润最大。
L p R p C p
使利润 L(p)最大的最优价格 p*满足
dL dp
0
p p*
dR dp
p p*
成正比。
经济数学模型
在实际问题中，价格的制定是非常复杂的， 有许多因素都在影响着最优价格，并没有一成 不变的公式，须针对具体情况采用灵活的数学 模型和方法确定。
4.3
问题
消费者均衡
经济数学模型
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的资金 来购买这两种商品，以达到最大的满意度。
x( p) a bp, a, b 0
收入 R( p) px 支出
C( p) qx
经济数学模型
R( p) px
C( p) qx
L( p) R( p) C ( p)
x( p) a bp
*
( p q)(a bp)
q a p 2 2b
经济数学模型
4.4
生猪的最佳出售时机
问 饲养场每天投入c元资金，用于饲料、人力、设备， 题 估计使当前w千克重的生猪体重增加r公斤。
市场价格目前为每千克p元，但是预测每天会降 低 g元，问生猪应何时出售。 如果估计和预测有误差，对结果有何影响。
分 投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 析 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大
• 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比 与二者价格之比的平方根成正比。 • U(q1,q2)中参数 , 分别表示消费者对甲乙 两种商品的偏爱程度。
经济数学模型
2. U q1 q2 , 0 , 1
p1q1 p2 q2
U q1 p1 U p2 q 2
建模及求解
生猪的增长速度r， 收购价格降低速度g
经济数学模型
若当前出售，利润为wp（元）
t天 出售 生猪体重 w t=w+rt 出售价格 pt= p-gt
销售收入为
R(t ) ( p gt )(w rt )
C t = ct
资金投入
纯利润应扣掉以当前价格（p元/公斤）出售w公 斤的收入，得到t天后出售所获纯利润函数为
L p(t ) R p C p dt 0 ( p q)(a bp) dt 0
T T
约束条件为：
T
0
(a bp) dt =G
经济数学模型
上式为p(t)的泛函，利用拉格朗日乘子法把上述条件极 值转化为无条件极值。 拉格朗日函数为
模型 已知价格 p1,p2,资金 s, 及 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 求解 使 U(q1,q2)最大
L U (s p1q1 p2q2 ),
L qi 0 (i 1, 2)
max Z U (q1 , q2 ) s.t. p1q1 p2 q2 s
*
(rp wg c 0）
经济数学模型
研究 r, g变化时对模型结果的影响.设g为常数 ，t 对r 的 （相对）敏感指标为
Δ t / t dt r S (t , r ) Δ r / r dr t
* dt r wg c * S t , r * = (rp wg c 0） * dr t 2 grt
* 1
显然 p2* p1* ，所以后半期的售价高于前半期的售价。
经济数学模型
若在销售期T内要求总销量达到Q0,即
1 整理得 Q0 aT bT ( p1 p2 ) 2
Q0 (a bp1 )dt T (a bp2 )dt
2
T 2 0
T
求两阶段的最优价格是有一个约束条件的最值问题，拉格朗日函 数为 1 F L( p1 , p2 ) [aT bT ( p1 p2 ) Q0 ] 2 令
C( pi , t ) qx (q0 + t )(a bpi )
T 2 0 T
i 1, 2
i 1, 2
利润为 L( p1 , p2 ) [ R( p1 ) C ( p1，t )]dt T [ R( p2 ) C ( p2，t )]dt
2
经济数学模型
L( p1 , p2 ) ( p1 q0 t )(a bp1 )dt T ( p2 q0 t )(a bp2 )dt
设r为常数 ，t 对g的（相对）敏感度为
* dt g c rp * S t , g = (rp wg c 0） * * dg t 2 grt
经济数学模型
当生猪目前体重w为80公斤，每天投入费用c= 4元，市 场价格为p=8元/公斤 ，估计生猪每天体重的增加速度为 r=2公斤/天 ，销售价格的降低速度g为0.1元/天 t*对参数r敏感程度为
U U 2U 2U 2U B. 0, 0, 0, 0, 0 2 2 q1 q2 q1 q2 q1q2
B A
经济数学模型
例子
1. U (
q1
q2
) , , 0
1
p1q1 p2 q2
p1 p2
U q1 p1 U p2 q2
x( p) a bp, a, b 0
与“绝对需求量”成正比，与市 场需求对价格的敏感系数成反比
q a p 2 2b
成本q的一半
p 0, x(0) a为绝对需求量； dx b 为边际需求，反映需求对价格的敏感程度。 dp
b p * a p*
（a,b由p,x的统计数据拟合或其他统计方法确定。)
可近似表为(
e 1 t )
t
a G q0 t p = b bT 2
*
从上式看出，商品销售最优价格近似由3部分构成：第一部 分与绝对需求量成正比与市场对价格的敏感系数成反比；第 二部分随销售时间T的增加而提高，随总销售量G的增加而降
低；第三部分与初始成本q0、成本的相对增长率 及时间都
2
T 2 0
T
(a bp1 )
T 1 T 3 ( p1 q0 T ) (a bp2 ) ( p2 q0 T ) 2 4 2 4
L 0 p1 L 0 p2
令
整理得
1 T a p ( q0 ) 2 4 2b 1 3 T a * p2 ( q0 ) 2 4 2b
0
1
l2
s/p1 q1
·
N
结果 解释
U U , q1 q 2
经济数学模型
——边际效用
消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。
U q1 p1 U p2 q 2
构造效用函数U(q1,q2) 应满足的条件
U1 U 2 即 p1 p2
A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸
p q p q 直线 MN: 1 1 2 2 几 何 最优解Q: MN与 l2切点
解 斜率 K MN p1 / p2 释 dq2 U U K l2 / dq1 q1 q2
s
q2 s/p2 M
U q1 p1 U p2 q2
U(q1,q2) = c
·
· l
Q
l3
dC dp
p p*
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
分各种情况讨论 R p 、C p 的具体形式
经济数学模型
第一种情况
假设 1）产量等于销量，记作 x
2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格
3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 进一步设需求函数为
L( p(t )) ( p q)(a bp) dt ( (a bp)dt G)
T T 0 0
令
L( p(t )) 0, p
L( p(t )) 0
解得最优价为
a G p = b bT
*
虽然价格p是时间t的函数，但最优价格是常数。它由两 部分构成：一部分与绝对需求量成正比，与市场对价格的 敏感系数b成反比；另一部分随销售时间T的增加而提高， 随总销售量G的增加而降低。
经济数学模型
第五种情况
商品在销售过程中受存贮费和变质损失费等诸因素的影响， 价格p和成本q都会随着时间变化，即p和q都是时间的函数：
p p(t )
q q(t )
为简单设成本q随时间相对增长率为 ，初始时刻的成本 为 q0 ，即成本函数满足以下微分方程
dq q dt q (0) q0
q2 U(q1,q2) = c
设甲乙数量为q1,q2, 消 费者的无差别曲线族 (单调减、下凸、不相 交）记作 U(q1,q2)=c
l3
0
U(q1,q2) ~ 效用函数
l1
l2
q1
已知甲乙商品的价格 p1,p2, 资金量 s，购买甲 乙数量 q1,q2,试分配s,使 U(q1,q2)最大.
经济数学模型
L(t ) R(t ) C(t ) pw ( p gt )(w rt ) ct pw
经济数学模型
问题归结为求t≥0，使L(t)达到最大。这是求
二次函数最大值问题，用微分法容易得到
rp wg c t 2rg
*
(rp wg c 0）
例如当生猪目前体重 w为80公斤，每天投入费用 c为4 元，市场价格p为8元/公斤 ，估计生猪每天体重的增加 速度r为2公斤/天 ，销售价格的降低速度g为0.1元/天 ，