定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案
例1求lim 丄(3孑 + 返孑 +lll
+3n3)
-
n
?-n
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限
•若对题目中被积
函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0, 1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较 来找出被积函数与积分上下限 •
1
i
ii i 解将区间[0, 1] n 等分，则每个小区间长为=丄,然后把爲=丄-的一个因子丄
n
n
n n
n
乘入和式中各项•于是将所求极限转化为求定积分
•即
lim 丄(3
『+111+7^)= nm-(^- +3
- ^1 +
^-)= I 殛x£ •
n
?-n
J n n , n \ n 0
4
例 2 f J 2x — X 2
dx= ______ _
2
，一 _ 解法1由定积分的几何意义知，°.2x_x 2dx 等于上半圆周(x-1)2・y 2
=1 (y_0)
X
x 不是积分变量，故可提到积分号外即 f (x) =xJ 0 f (t)dt ,则
可得
X
f (x)= 0 f (t)dt xf (x) •
X 3
例 4 设 f (x)连续，且]f (t)dt =x ,贝U f(26)=
X
3
丄
与x 轴所围成的图形的面积
2 ----------- -
故!0 . 2x —X
dx=— 解法2本题也可直接用换元法求解
TT
TT
令 x -1= si nt ( -一 _ t _ —),
则
分析 IE
x -x 2
dx = n _______________ JI , ____________________
2-. .1 -sin 2tcostdt= 2 °2 *1 -sin tcostdt
=2 r
cos 2
tdt= -
2
2
X
丄
2
f X f
dt ,则 f (x)= —; (2)若 f(x) = [xf(t)dt ,求 f (x) =
这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可
d v(x) —u(x )f(t)dt =f[v(x)]v(x) -f[u(x)]u(X)• dx u(x)
v(x) 4
(1) f(x)=2xe 」 -e ;
由于在被积函数中
解对等式.0 f(t)dt =x两边关于X求导得
3 2
f (x -1) 3x =1,
1 1
故 f(x 3
-1)
牙，令 X 3
_1 =26 得 x =3 ,所以 f (26)：
27
例5 函数F (x) = 1(3 —丄)dt (x >0)的单调递减开区间为 __________
1 1 11
解 F(x) = 3—〒,令F'(x)<0得〒>3 ,解之得0<xv —,即(0-)为所求.
J x Vx 9 9
x
例 6 求 f (x) = 0 (1 -t)arctantdt 的极值点•
解 由题意先求驻点.于是f (x) = (1 -x)arctan x .令f (x) = 0 ,得x =1 , x = 0 .列 表如下：
故x =1为f (x)的极大值点，x =0为极小值点.
例7 已知两曲线y = f(x)与y =g(x)在点(0,0)处的切线相同，其中
arcs inx
十 2
g(x) h 0 e dt , x [-1,1],
分析 两曲线y = f(x)与y=g(x)在点(0,0)处的切线相同，隐含条件f(0)=g(0),
f (0) =
g (0).
解由已知条件得
土
f(0)=g(0)h 0e dt =0 ,
且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知
3
3
f(—)-f(0) lim nf (一)=lim3 —n
3f (0) =3 . n ；： n j 3
0 n
试求该切线的方程并求极限
lim nf (3
).
-(arcsin
x)
2
e
f (0)二
g (0)^—2
=1.
x
二0
故所求切线方程为y =x .而
例8求lim 上也；
7 [t(t -sin t)dt
分析 该极限属于0
型未定式，可用洛必达法则.
=(-2) lim 空=0 .
x -° si nx
注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则
例9试求正数a 与b ,使等式lim —1
一 f-=L^d^1成立. Tx —bsinx 0
QTF
分析 易见该极限属于 0
型的未定式，可用洛必达法则.
解x i
m
x 2
, 2
i
sintdt
2x(sin x 2
)2
飞 =lim = (_2) lim [t(t —sint)dt T(x)，x(x —sinx) Tx —sinx
(x 2)2
(/)迥
4x 3 1-cosx
解 ^x-bsinx 0 a t 2
" 八
1 lim = lim ------ lim
x —01 —bcosx x 0 • 2 x 01 —bcosx a x 2
a x 2 1
lim 」^=1 , = lim
a x —0
1 -bcosx
由此可知必有|叫(1「bcosx) =0 ,得b =1 .又由
1 ——lim a x —0
1「cosx
2
a"，
得a =4 .即a = 4 , b =1为所求.
SIn x
2
3
4
例 10 设 f(x) = L sint dt , g(x)=x +x ,则当 X T 0时，f (x)是 g(x)的(
)
A .等价无穷小.
B .同阶但非等价的无穷小
C .高阶无穷小.
D .低阶无穷
小.
解法1
2
sin (sin x)
cosx g(x) 3x 2
+4x 3
cosx sin(sin 2 x) = lim lim x 0
3 ■4x x a 3 4x 1 x 2 lim 2 =
故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .
解法2将sint 2
展成t 的幕级数,再逐项积分，得到
sin x
1 1 1
f(x) = 0 [t - — (t ) H]dt =-sin x — — sin x
II1 , 屯 3! 3 42
2
例11计算」XI dx •
2 0 2
解JJxIdx = J'-xjdx + 0xdx
1 例13计算” 1 2x
2 x dx •
2
-x
分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性
2x2 x
2
-x 1
dx =
2x2
‘1，1-x2
1
八dx
•
丄1 1-x2
2x2
由于——52是偶函数 ,
1 “1 —x2
是奇函数，有-r .：--- d x = 0,于是
2 —X
1 2x
2 x —十=
/x2(1 _x2)
dX=4
(X
2
)dx = 4 dx -4\ ■1 -
x2dx
.3 , 1
sin x(- lim 竺dim鼻
42 0 g(x) 0X31 • 4 j, 1 1-4
sin x ) sin x 亠
3 42 1
x4
_ 1
_3
分析被积函数含有绝对值符号应先去掉绝对值符号然后再积分
注在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如
3 1 13 1
厶dx珂-丄］32 =丄，则是错误的•2x X 6
1
错误的原因则是由于被积函数二2在X = 0处间断且在
x
被积区间内无界•
例12 设f(x)是连续函数，且f(x)
1
=x 3 0f (t)dt ,贝y f(x)二
分析本题只需要注意到定积分b
f (x)dx是常数(a, b为常数)・
所以解因f (x)连续，f (x)必可积，
f (x) =x 3a，
1 t 1
从而0 f (t)dt 是常数，记0f (t)dt =
1 1
0(x 3a)dx
= ；o
f(t)dt=a
1 2 1
[?x 3ax]o
1
=a，即2 3a"，
1
2x 2
x
1 ：. ---------- 2
T 1 —x
d x
例14 计算一 tf (x —t )dt ,其中f (x)连续.
dx 0
分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有 x ,因此不能直接求导，必须先 换元使被积函数中不含 x ，然后再求导.
解由于
x
2 2 1 x
0tf (x —t)dt =- 0f (x —t)dt
.
故令 x 2 -t 2
^u ,当 t =0 时 u =x 2
；当 t =x 时U =0 ,而 dt 2
- -du ,所以
X 2
2 1 0 1 x 2
[tf(x -t )dt = ? L f (u)(-du)= ? [ f(u)du ,
故
d x 2 2 d 1 x
1 2 2
0tf (x -t )dt —-H 0 f(u)du] — f(x ) 2x=xf(x ). dx 0 dx 2 0
错误解答 — tf (x 2
—t 2
)dt =xf(x 2
—x 2
) =xf(0).
dx 0
错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式
，公式
d x
"(x)
f(t)dt=f(x) dx 站
中要求被积函数f (t)中不含有变限函数的自变量 x ,而f (x 2 -t 2
)含有x ,因此不能直接求
导，而应先换元. 例 15 计算 Q
3
xsinxdx .
TL
H _JT H
解 [3
xsinxdx=『xd(-cosx )=[x (-co% j]
(cosdx
JU
3
cos xdx -
由定积分的几何意义可知
J -x 2
dx
,故
分析 被积函数中出现幕函数与三角函数乘积的情形
,通常采用分部积分法
例16计算f曽dx.
分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法
」ln 2丄n3 . 2 4
例 17 计算 °2
e x
sin xdx .
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法
x
XX
x
解 由于 o
2
e sin xdx 2
sin xde =[e sinx]2 _ °2
e cosxdx
JI It
二 e 2
_ °2
e x cos xdx ，
( 1)
而
Jt
Tt
°2
e x
cosxdx = °2
cosxde x
=[e x
cosx]? - 2
e x
(-sin x)dx
二 o
2
e x
sinxdx -1，
( 2)
将(2)式代入(1)式可得
_J[
JI
2
e x
sinxdx =e 2
-[ 2
e x
sin xdx-1].
.迟
1
)2
e x
sin xdx (e 2
1).
2
2
1
1
x x 1
0xarcsixdx 二 0 arcsixd 才 凯召 arcsinx]°
2
x
2
dx
.
•1 —x
令 x =sint ,则
Un(1 x)
(3 -x)2
1
dx= °ln(1 x)d (
)=[ 1
3—x
1 ;
ln(1 x)]o - 0 1 1
(3 — x) (1 x)
dx 1
1 o(r 7x
18 1
计算 0
xarcsinxdx .
分析 被积函数中出现反三角函数与幕函数乘积的情形
，通常用分部积分法.
1
x 2
).1-X 2
dx
sin 2
1
■ d sin t
1 -si n 2
1
2 sin 2
1 costd t cost
二詐 n
2
tdt 将（2）式代入（1）
计dt
7T
1x 2
0~2d(arcsi nx)
(1)
sin 2t
2'
]0式中得
xarcsin xdx =
0 8
例19设f(x) [0,二]上具有二阶连续导数 f g =3 且貞f (x) + f "(x)]cosxdx
= 2
f (0)
•
分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解.
解由于o [ f (x) f (x)]cos xdx 二o f (x)d sinx 亠i cosxdf (x)
={ If (x)sin x o 0f (x)sin xd" {[ f (x)cosx]0‘亠i0f
(x)sin xd冷
--f (二)- f (0) =2 .
故f (0) =「2 _ f (二)二-2 _3 二-
5 . 例20计算0=_巴—.
• x +4x +3
分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算
乂dx _ / dx 2= lim 厂
'x 4x 3 t 门：0 x 4x 3
lim -七(丄
t_,：：2 0
x 1
)dx
1 =t lim：：
2[ln
工^]0= lim 1(l 门匕一1 n〕)
x 3 t 厂：2 t 3 3 =ln3
2
1 3 从而，所以fa)*：。