数项级数理论及其应用

m
n
收敛，则 u n ( x) 在 E 上一致收敛（M-判别法） 。 性质：⑴，若 u n ( x) 的每项均在 E 连续，且 u n ( x) 一致收敛则， ①，
和 函 数 s ( x) u n ( x) 也 在 上 E 连 续 ， ② ， 对 于 任 何 x1, x2 E 恒 有
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原级数收敛。
1 1 （2） 若 0， 由 ( sin ) ≠＞( n ),级数发散； 若 ＞0,将 sin x 展 n n 1 1 1 1 sin ( 3 )(n ) ， 故 成 Maclaurin 级 数 有 = 3 n n 6n n

n
部分和函数， s ( x) 为（2）的和函数，则 rn ( x) s ( x) sn ( x) 称为余和。 2，基本性质 定义2： 若余和 | rn ( x) | ， 对 n N 时, x E 一致成立， 称 un ( x) 在 E 上 一致收敛。 判别法：对于 u n ( x) 与 mn (mn 0) ，若对于 x E 总有 | u n ( x) | mn ，又
ku
n
ks 。
（2） ， 若 un a ， ， 则 (u n bn ) u n bn a b ； bn b（即它们收敛）
若
u
n
，
b
n
之一发散（另一收敛） ，则
(u
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n
bn ) 发散；若 u n ， bn 皆发散，则
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（几何级数） 。 ③ 级数 1 a aq aq 2 aq n 称为等比级数 为调和级数。
1 1 1 称 2 3 n
数项级数（1）的前 n 项之和，记为 sn = u k = u1 u 2 u n ，称它为数项
k 1
n
级数（1）的第 n 个部分和，也简称部分和。 定义2：若数项级数（1）的部分和数列 {sn } 收敛于 s （即 lim sn s ） ，则称
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) ， 3 4 4 7 7 10 3n 2 3n 1
1 1 1 1 消相得 S n (1 ) ，故 2 lim S n 。 n 3 3n 1 3 k 1 9 k 3k 2
4 级数理论及应用
lim u n 0 时，级数收敛。
n
任意级数：若 | u n | 收敛，则 u n 亦收敛。 几何级数，调和级数，P-级数收敛判别表
| q | 1
收敛（和为 发散 发散
几何级数 aq k
k 0

a ） 1 q
| q | 1
调和级数 P-级数

1
2 级数理论及应用
一，数项级数 1，一般概念 定义1： 给定一个数列 u n ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
u1 + u 2 +…+ un +…
（1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数） ，其中 un 称
为数项级数（1）的通项。 数项级数（1）也常写作： u n 或简单写作 u n 。
un n ，当 1 或 1 ， u n 1 n n2
1 ，级数收敛；当
有界变量） 。 ④根值法： 当 1，
1 或 1 ， 1 ，级数发散（ ， 为常数， n 为
lim n an ，当 1 ， u n 收敛； 当 1 ， u n 发散；
bn 发散。常用的比较级数有：几何级数，调和级数和p-级数。
②比值法 （达朗贝尔 （d’Alembert， J.） 判别法） lim
n
u n 1 ， 若 1， un
a
n
收敛； 若 1 ， an 发散； 若 1 ， an 敛散不定。 ③高斯（Gauss，C.F.）判别法：
n

u
n
敛散不定。

⑤积分法（柯西准则） （这里 f (n) u n ） ： f ( x)d x 存在 u n 收敛；
1


1
f ( x)d x 不存在 u n 发散。
⑥其它方法。 交错级数（莱布尼兹Biblioteka Baidu别法） ：
3
(1) u , u
n n
n
0 ，则当 u n u n 1 ，且
，从而
S lim S n lim ( 1 2 n 2 n 1)
n n
lim (1 2
n
1 ) n 2 n 1
1 2
二，函数项级数
5
6 级数理论及应用
1，一般概念 定 义 1 ： 设 u n ( x) 是 定 义 在 数 集 E 上 的 一 个 函 数 列 ， 表 达 式
n
数项级数 （1） 收， 称 s 为数项级数 （1） 的和， 记作 s u1 u 2 u n 或 s u n 。 若 {sn } 是发散数列敛，则称数项级数（1）发散。 又若 | u n | 收敛，则称级数 u n 绝对收敛；而 u n 收敛，但 | u n | 发散， 则称级数 u n 条件收敛。 2.基本性质 （1）.级数 u n 与 ku n （ k 是常数）有相同的敛散性，且若 u n s ，则
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前 言
我们学习了级数理论， 但是我们知道的仅仅是结果， 对于过程确实不甚了解。 级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺(Zeno of Elea，约公 元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数 ，
亚里士多德(Aristotle)也认为这种公比小于1的几何级数有和，到阿基米德 (Archimedes，公元前287一公元前212)在他的《抛物线图形求积法》一书中，在 求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和，这时中国对于 级数也有所发现，中国古代的《庄子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世 不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。而级数理论的形成 和建立是在19世纪， 柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广 而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论 才得以真正的完善，大致分为数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数。 级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的 求和、收敛与发散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、 渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很 多数学家的共同努力才得出的结果。 无穷级数在18世纪的形式发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。 无穷级数作为分析的一个有效工具，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在 天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展的进步。 级数理论的发现极大的丰富了数学的内容， 也使得数学史上的很多问题得以 解决，也使得我们的生活更加便捷。
n n
充要条件（柯西准则） 任给 0 ，存在N，使当n>N时，对任意正整数m 均有 | sn m sn | 。 充分条件（级数收敛的判定） 级数收敛的充分条件，即级数收敛的判定 条件，我们区分正项级数和任意级数进行讨论： 正项级数：①比较法：若 an bn ，则 bn 收敛 an 收敛； an 发散
1 k 1 k

P>1 1 （P>0为常数） p k 0 k P≤1
收敛 发散
4,一般应用 （1） ，数项级数收敛 例1， 若正项级数 an 与 bn 都收敛， 试证级数 an bn 与
n 1 n 1 n 1
an 也收敛。 n 1 n

证 ： 注 意 到 题 设 an ， bn 均 为 正 数 ， 由 算 数 — 几 何 平 均 值 不 等 式
n 1
定义2：在数项级数 u n 中，每一项都是正数时，则称为正项级数。 任 意 项 级 数 ： ① 若 级 数 的 各 项 符 号 正 负 相 间 ， 即
u1 u 2 u3 u 4 (1) n 1 u n (u n 0, n 1,2,)
称为交错级数。② 级数
an bn
an bn 1 ， 又知 an ， 均收敛， 则 也收敛， 从而 b ( a b ) an bn n n n 2 2 n 1 n 1 n 1 n 1
收敛。 令 bn =
1 an an 1 a b ，则 = ，注意到 收敛，故 亦收敛。 n n 2 2 2 n n n 1 n n 1 n n 1 n 1 1 ( sin ) 收敛，求 ， 的 ， （2） n n n 1 n

开
1 1 1 1 1 1 ( sin ) = 3 ( 3 )(n ) 。从而 ( sin ) 收敛当且仅当 3 ＞1， n n 6 n n n n 1 n
1 即 ＞ 时。 3
综上（1） （2）得 (2),数项级数求和 例3，求级数 解 ： 由
n
(u
n
bn ) 敛散不定。
（3） ，加减有限不改变其敛散性（若级数收敛，其和有变化） 。 （4） ，收敛级数不改变顺序的任意结合添加括号后，所得级数收敛，且有同 一和数；反之任意结合后的级数发散，厡级数发散；任意结合后的级数收敛，原 级数不一定收敛。 3，级数收敛的判别 必要条件 。 lim u n 0 （即 lim u n 0 ，则 u n 发散）
u1 ( x) u 2 ( x) u n ( x) , x E （2） ，称为定义在E上的函数项级数，简记
为 u n ( x) 或 u n ( x) ，称 sn ( x) u k ( x), x E , n 1,2, 为函数项级数（2）的
n 1 k 1

x2
x1
s ( x)d x = u n ( x)d x （可逐项积分）
x1
x2
⑵， 若 u n ( x) 在 E 上收敛于 S ( x ) ， 且 u 'n ( x) 均在 E 上连续， 又 u 'n ( x ) 在 E 上一致收敛，则 S ' ( x ) = u 'n ( x) 。 （可逐项微分） 3,一般应用 （1） ，收敛域与一致收敛性 例1，求函数项级数
例2，若级数（1）
n 1

值。 解 ：（ 1 ） 注 意 到
n 1 n ～ n 1 n

1 2
（ n 时 ）， 故
n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 lim /( ) 1 ， 即 与 同敛散， 故 〉 时 ( sin ) 1 n n 2 n n n 1 n 1 n n 2
1 1 ＞ ， ＞ 。 3 2
1 的和。 k 1 9 k 3k 2
2
1 9k 3k 2
2

1 1 1 1 ( ) (3k 1)(3k 2) 3 3k 2 3k 1
，
故
Sn
n 1 1 1 1 ( ) 2 3k 1 k 1 9 k 3k 2 k 1 3 3k 2
例4，根据定义求级数 ( n 2 2 n 1 n ) 的和。
n 1
解
：
因
为
un
=
n 2 n 1 n 2
，
所
以
Sn 1 2 2 3 2 2 3 4 n 2 n 1 n 2 1 2 n 1 n 2