复变函数与积分变换-第五章-留数(下)

z sin z
I
C
z3
(z
dz. 1)
解:
z sinz
I
z
2
z3
(z
dz 1)
2i{Res[ z sinz ,0] Re s[ z sinz ,1]}
z3(z 1)
z3(z 1)
2 i[0+ z sin z ]
z3 z 1
2 i[1 sin1]
1、计算形如
2
0
(cos
, sin
)d
的积分
这虽然是一种沿实轴上区间[0, 2 ] 的定积分，我们
将通过适当的变换把它化为解析函数的积分。
令 z ei ，则
dz iei d izd , 即
d dz ,
iz
cos 1 (ei ei ) 1 (z 1) z2 1;
2
2 z 2z
sin 1 (ei ei ) 1 (z 1) z2 1;
dx
(a 0).
解: x sin x x2 a2 是偶函数,故有
1 x sin x
1
xeix
定义：
I 2
x2 a2dx 2 Im
x2 a2dx
ze iz
义： 函数 z2 a2 在上半平面有一个一阶极点 z ai,
I
0
x sin x
定x2 义 a：2 dx
1 2
Im{2
i
Re
上无奇点
由此得到：
定义：
Pn ( x ) Qm (x)
e i x dx
2
i
Im zk
0
Re
s[ Pn(z) Qm (z)
ei z
,
zk
].
其中，z（k k 1,2.....）为R( z )在 Im 0平面上的奇点
特别地：
此公式还可以用于计算有理函数乘三角函数的两类积
分
Pn (x) Qm (x)
2i
2i z 2iz
z ei 将 0 2 映射为 z 1。故
2
(cos , sin )d
( z2 1, z2 1) 1 dz.
0
z 1 2z 2iz iz
例3
计算积分 I
2 cos 2 0 1 2 pcos
p2d (
p
1 ).
解：令
z
ei
,则 cos 2
1 [e2i 2
e2i
]
1[z2 2
1 z2
],
故
I
1 2
(z2
1 z2
)
1 dz
z 1 1 2 p 1 (z 1) p2 iz
2z
z
1
2iz2 (1
1 z4 pz)(z
dz. p)
被积
函数有
三个极
点
z
0
,
p
,
1 p
,
其
中
z
0
是二
阶极
点， z
p和z
1
p 是一阶极点。
(1)若 p 1 ，则被积函数在 z 1 内部只有两个孤立奇 点 z 0 和 z p ，由留数定理
b2 )
, bi]}
i[
(z
z2 ai)(z2
b2 )
|(zai)
(z2
z2 a2 )(z
bi)
|(zbi ) ]
i[ a b ]
2i(a2 b2) 2i(b2 a2)
.
2(a b)
当
a
b 时，
f
(z)
(z2
z2 a2 )2
在实轴上没有奇点,
在上半
平面只有一个二阶极点: z ai.
cos
xdx
和
Pn (x) sin xdx.
Qm ( x )
义： 因为
Pn(x) cosxdx Re Pn(x) eixdx
Qm(x)
Qm(x)
定义：
Pn(x) sinxdx Im Pn(x) eixdx.
Qm(x)
Qm(x)
定义例：5 计算积分
I
0
xsin x x2 a2
I
2
i{Re
s[
2iz2
(1
1 z4 pz)(
z
p)
, 0]
Re
1 z4 s[2iz2(1 pz)(z
p)
,
p]}
2
i{lim z0
d dz
[z2
1 z4 2iz2(1 pz)(z
] p)
1 z4
lim[(z
z p
p)
2iz2(1
pz)(z
]} p)
2 i{ 1 p2 1 p4 }
2ip2 2ip2(1 p2 )
§5.3 留数在计算积分上的应用
例1 设 C 取正向圆周 z 2.，计算积分
I ez Imz dz. C
解:
I ez Imzdz ez 1 (z z )dz
z 2
z 2 2i
1 [ zezdz
4e z dz]
2i z 2
z 2 z
1 2i
2
i[0
4e z
|z0 ]
4
例2 设 C 取正向圆周 z 2.，计算积分
2
i
Im zk
0
Re
s[
Pn(z) , Qm ( z)
zk
].
其中，z（k k 1,2.....）为R( z )在 Im 0平面上的奇点
例4
计算实积分 I
0
(x2
x2 a2 )(x2
b2
dx（a )
0,
b
0).
解 因被积函数是偶函数,故
I 1
x2
dx.
2 (x2 a2 )(x2 b2 )
2 p2
1 p2 .
(2)若 p 1 ，则被积函数在 z 1内部只有两个孤立
奇点
z
0
和
z
1 p
，而
z
p 这时已在单位圆外。
由留数定理
I
2 i{Re
s[
2iz
2
(1
1 z4 pz)(
z
p)
,
0]
Re
s[
2iz 2 (1
1 z4 pz)(z
p)
,
1 ]} p
2
i{
1 p2 2ip2
1 p4
I
1 2
2i
Re
s[(z2
z2 a2
)2
,
ai]
i
(z
z2 ai)2
zai
i
2zai (z ai)3
|zai
.
4a
3、计算形如 f ( x)ei xdx( 0) 的积分
若
f
(x)
Pn ( x) Qm ( x)
(有理函数)，其中
Pn( x)
是 n 次多项
式，Qm( x) 是 m 次多项式且 m n 1，且 f ( x) 在实轴
s[
zeiz z2 a
2
,
ai]}
定义：
Im{i (1 e )} e .
2
2
例6 计算 I
-
x
2
x cos 2x
x
dxFra Baidu bibliotek10
例7 计算 Ia
0
cos(ax x2 +1
)dx.
当
ab
时，
f (z)
(z2
z2 a2 )(z2
b2)
在实轴上没有奇点,
m 4,n 2. f ( z ) 有四个一阶极点: z ai ,z bi ,但在上
半平面只有两个: z ai ,z bi.
I
1 2
2i{Res[(z2
z2 a2 )(z2
b2 )
, ai] Re
s[(z2
z2 a2 )(z2
2ip2
(
p2
} 1)
p2
(
2
p2
1)
.
2、计算形如
f ( x)dx
的积分
若
f
(x)
Pn ( x) Qm ( x)
(有理函数)，其中
Pn( x)
是 n 次多项
式，Qm( x) 是 m 次多项式且 m n 2 ，且 f ( x) 在实轴
上无奇点
由此得到：
定义：
Pn(x) dx Qm (x)