初中数学——数形结合思想(初二)

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数形结合思想

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

一、以数助形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.

例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ∆的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正

整数，且 n m >）。求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）。

【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。】

例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

例5、如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米，

要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分

别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y

分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？

例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长．

A D

E F C B

A

P F

E D C B

2 12345-6-5-4-3-2-10B A

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；

（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮

助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例1、在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和． 例2、已知a 、b 均为正数，且2=+b a 。求1422+++b a 的最小值。

例3、若将数轴折叠，使得A 点与－2表示的点重合，若数轴上M 、N 两点之间的距离为2012(M 在N

的左侧)，且M 、N 两点经过折叠后互相重合，则M 、N 两点表示的数分别是：M : N :

例4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A ，B ，C ，D 分别表示整数a ，b ，c ，d ，

且d －2a ＝10，则原点在（ ）的位置

A . 点A

B . 点B

C .点C

D .点D

例5、已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞02－x ＞0

的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 例6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．

(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B 点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm ），由此可得到木棒长为 cm ．

(2) 由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

例7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的

正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前

一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则

P n －P n －1= .

…

① ② ③ ④