8.2.2条件概率
条件概率及有关公式
P( AB) = P( A)P(B A) (P( A) > 0) P( AB) = P(B)P( A B) (P(B) > 0)
推广
P(A A2 LAn ) = P(A )P( A2 A )LP( An A A2 LAn−1 ) 1 1 1 1 (P(A A2 LAn−1) > 0) 1
例3 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率. 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P (B A ) 解 列表 木球 塑球 小计 白球 4 3 7 红球 2 1 3 小计 6 4 10
4 P(B A) = 7
kB A = 4 = kAB P ( AB ) = nΩ A = 7 = k A P ( A)
从而有
4 kAB nΩ 4/10 P( AB) P(B A) = = = = = kA 7 kA 7/10 P( A) nΩ
P(B A ) = 0.85 P( A ∪ B )
P( B) − P( AB) 解 由 P(B A ) = 即 1 − P( A) 0.93 − P ( AB ) P ( AB) = 0.862 0.85 = 0.08
故 P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0.92 + 0.93 − 0.862 = 0.988 解法二
= 1−
3 10 3 5
= 0.5
高中数学 8.2.2 条件概率8.2.3事件的独立性同步精练
高中数学 8.2.2 条件概率8.2.3事件的独立性同步精练湘教版选修2-3 1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )．A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.882．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为( )．A．25B．35C．45D．3103．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率为( )．A．1425B．1225C．34D．354．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是( )．A．1320B．15C．14D．255．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )．A．2个球都是白球B．2个球都不是白球C．2个球不都是白球D．2个球中恰好有1个白球6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(AB)＝__________，P(A|B)＝__________.7．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有1人解出的概率为__________．8．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一名学生作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．9．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？参考答案1.答案：D解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12，∴至少有1人被录取的概率为1－0.12＝0.88.2.答案：B解析：由题意知：P(AB)＝310，P(B|A)＝12，∴P(A)＝3()3101 (|)52P ABP B A==.3.答案：A解析：设“甲中靶”为事件A，“乙中靶”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56＝14 25.4.答案：D解析：设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14，又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝433 545⨯=，故至少有一项合格的概率为1－P(A B)＝1－35＝25.5.答案：C解析：从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个小球都是白球的概率为111326⨯=，∴两球不都是白球的概率为p＝1－15 66 =.6.答案：0.15 0.3解析：∵A，B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.3×0.5＝0.15.∴P(A|B)＝()()P ABP B＝P(A)＝0.3.7.答案：11 24解析：甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A，则P(A)＝12×11111344⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件B，则P(B)＝1111113248⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件C，则P(C)＝11111142312⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴由甲、乙、丙三人独立解答此题，只有1人解出的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)＝11111481224++=.8.解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”，(1)由题意，得P(A)＝101 404=，(2)要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．在事件B发生的条件下，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝4 15.9.解：“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A，“从1号箱中取出的是红球”为事件B．P(B)＝42243=+，P(B)＝1－P(B)＝13，(1)P(A|B)＝314 819 +=+，(2)∵P(A|B)＝31 813=+，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)＝421111 933327⨯+⨯=.。
高中数学苏教版选择性必修第二册8.1.1第1课时条件概率
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6. 某 地 区 空 气 质 量 监 测 资 料 表 明 ， 一 天 的 空 气 质 量 为 良 好 的 概 率 是
0.75，连续两天的空气质量为良好的概率是0.6，已知某天的空气质量
为良好，则随后一天的空气质量为良好的概率是
知识梳理
PAB 一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称 PA 为事件A产生的条
件下事件B产生的条件概率(conditional probability)，记为 P(B|A) ，读作
“ A产生的条件下B产生的概率 ”.即P(B|A)＝
PAB PA (P(A)>0)
.
注意点： A与B相互独立时，即可得P(AB)＝P(A)P(B)， 则P(B|A)＝P(B).
反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率 P(B|A)＝PPAAB，这个公式适用于一般情形， 其中 AB 表示 A，B 同时发生.
跟踪训练2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中 一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率. 解 设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张 是假钞”，则所求概率为P(A|B). ∵P(AB)＝P(A)＝CC22250，P(B)＝C25＋CC22015C115， ∴P(A|B)＝PPABB＝C25＋CC2515C115＝8150＝127.
1234
4.从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一 3
次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为__4__.
解析 由题意，知从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，第一次 抽到偶数所包含的样本点有(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)， (4,3)，(4,5)，共8个； 第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的样本点有(2,1)，(2,3)， (2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，共6个， 因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为 P＝68＝34.
谈条件概率常见问题解题方法
谈条件概率常见问题解题法摘要：条件概率是高中概率知识较难学的知识点之一，本文在于如何通过条 件概率的概念及性质来总结和概括条件概率的解题方法和常见的应用 问题，以利于教师和学生更好地学习条件概率知识。
关键词:条件概率，事件、样本空间 1. 条件概率的概念一般地，设A,B 为两个事件，且P(A) 0,称P(B|A) 巴型 为在事件 P(A)A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
关于条件概率，有下面的定理：定理1:设事件A 的概率P(A) 0，贝U 在事件A 已经发生的条件下事件B 的 条件概率等于事件AB 的概率除以事件A 的概率所得的商：P(B| A) 巴也P(A) 推论：二事件的交的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件已发生的条件概率的乘积： P(AB) P(A)P(B| A) P(B)P(A|B)性质：1. P( B A)=1- P(B | A)2. 条件概率P(B I A)与积事件P(AB)概率的区别P(B| A)与P(AB)这是两个截然不同的事件概率.设 A, B 是随机试验对应 的样本空间 中的两个事件，P(AB)是事件A, B 同时发生的概率，而P(B| A)是在事件A 已经发生的条件下事件B 的概率。
从样本空间的角度看，这两种事件所 对应的样本空间发生了改变,求P(AB)时，仍在原来的随机试验中所对应的样本 空间 中进行讨论；而求P(B|A)时，所考虑的样本空间就不是 了，这是因 为前提条件中已经知道了一个条件(即A 已经发生)，这样所考虑的样本空间的范 围必然缩小了 ,当然乘法公式P(AB) P(B | A) P(A) (P(A) 0)给出了它们之间 的联系3. 条件概率的解题方法:解答条件概率问题，首先要判明问题的性质，确定所解的问题是不是条件概 率问题。
如果所要考虑的事件是在另一事件发生的前提下出现的， 那么这一事件 的概率，必须按条件概率来处理。
求解简单条件概率问题，有五种基本方法 ：(1) 化为古典概型解决(4) 缩减样本空间法：P(B|A)呪BP( A)n(AB )n(A)事件A B 包括的基本事件(样本点)数 事件A 包括的基本事件(样本点)数(2) 化为几何概型解决P(B2)狀(AB ) 区域AB 的几何度量(长度，面积，体积等) (A) 区域A 的几何度量(长度，面积，体积等)(3) 条件概率公式法如果P(A) 0 ,则先在原样本空间 中计算P(AB)和P(A)，再按公式P(B| A)P(AB) P(A)计算在事件A发生的前提下，确定事件B的缩减样本空间A A，并在A中计算事件B 发生的概率，从而得到P(B|A)(5) 利用条件概率的性质_ 性质n(BA)P(B A) 1 P( B A)=1 -n(A)4. 条件概率常见应用问题类型类型1:掷骰子子问题例1将一枚硬币抛掷三次，记事件A为“至少出现一个正面“，记事件B为“至少出现两个反面”，求P(B| A),P(A|B).解法1 :化为古典概型解决：AB表示“恰有一个正面两个反面，={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}A={TTT ,HHT,HTH,HTT,THH,THT,T TH,}, B ={ HTT,THT,TTH}P(A) 7, P(B) - -, P(AB) 3, P(B| A) 巴^色2, P(A|B)-8 8 2 8 P(A) 7 4解法2:缩减样本空间法：在缩减样本空间A A中看，A共有7个元素，3 3其中只有3个属于B，故有P(B| A) -，P(A|B)—7 4类型2:摸球问题例2:袋中有10个球，其中6个白球，4个黑球，从中一次次摸球，每次摸一个，摸后不放回，求第1次摸到白球的前提下，第2次摸到黑球的概率。
数学必修二概率知识点
数学必修二概率知识点
以下是数学必修二中与概率相关的知识点：
1. 事件与概率：了解事件与样本空间的概念，通过样本空间中的事件的可能性来计算概率。
2. 概率计算方法：了解经典概率、几何概率和统计概率等不同的计算方法。
3. 互斥事件与独立事件：了解互斥事件和独立事件的概念，以及其概率计算的方法。
4. 条件概率：了解条件概率的概念，即在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
5. 事件的复合与逆事件：了解事件的复合与逆事件的概念，以及其概率计算的方法。
6. 用频率估计概率：了解如何通过统计实验的频率来估计概率。
7. 事件的加法规则：了解事件的加法规则，即两个事件的并事件的概率等于两个事件概率之和减去两个事件交事件的概率。
8. 条件概率的乘法规则：了解条件概率的乘法规则，即某两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。
9. 随机变量：了解随机变量的概念，并能够计算随机变量的期望和方差。
10. 概率分布：了解离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布，如二项分布、正态分布等。
11. 大数定律与中心极限定理：了解大数定律和中心极限定理，即随着试验的进行，频率逐渐稳定于概率，并且独立同分布的随机变量的和的分布接近于正态分布。
这些是数学必修二中与概率相关的一些重要知识点，希望对你有帮助！。
概率论中的条件期望与条件方差-教案
概率论中的条件期望与条件方差-教案一、引言1.1概率论与统计学基础1.1.1概率论起源与发展1.1.2概率论的基本概念：随机试验、样本空间、事件1.1.3统计学的基本概念：总体、样本、参数估计1.1.4概率论与统计学的关联与区别1.2条件概率的重要性1.2.1条件概率的定义1.2.2条件概率的计算方法1.2.3条件概率在实际问题中的应用1.2.4条件概率与独立性的关系1.3期望与方差的引入1.3.1期望的定义与性质1.3.2方差的定义与性质1.3.3期望与方差在实际问题中的应用1.3.4期望与方差的关系二、知识点讲解2.1条件期望的定义与性质2.1.1条件期望的定义2.1.2条件期望的性质2.1.3条件期望的计算方法2.1.4条件期望在实际问题中的应用2.2条件方差的定义与性质2.2.1条件方差的定义2.2.2条件方差的性质2.2.3条件方差的计算方法2.2.4条件方差在实际问题中的应用2.3条件期望与条件方差的关系2.3.1条件期望与条件方差的关系2.3.2条件期望与条件方差的性质2.3.3条件期望与条件方差的计算方法2.3.4条件期望与条件方差在实际问题中的应用三、教学内容3.1条件期望的教学内容3.1.1条件期望的定义与性质3.1.2条件期望的计算方法3.1.3条件期望在实际问题中的应用3.1.4条件期望与独立性的关系3.2条件方差的教学内容3.2.1条件方差的定义与性质3.2.2条件方差的计算方法3.2.3条件方差在实际问题中的应用3.2.4条件方差与独立性的关系3.3条件期望与条件方差的关系的教学内容3.3.1条件期望与条件方差的关系3.3.2条件期望与条件方差的性质3.3.3条件期望与条件方差的计算方法3.3.4条件期望与条件方差在实际问题中的应用四、教学目标4.1理解条件期望与条件方差的概念4.1.1能够准确描述条件期望的定义4.1.2能够准确描述条件方差的定义4.1.3能够理解条件期望与条件方差的关系4.1.4能够识别何时使用条件期望与条件方差4.2掌握条件期望与条件方差的计算方法4.2.1能够使用公式计算条件期望4.2.2能够使用公式计算条件方差4.2.3能够解决涉及条件期望与条件方差的实际问题4.2.4能够使用计算工具进行条件期望与条件方差的计算4.3应用条件期望与条件方差解决实际问题4.3.1能够将条件期望与条件方差应用于统计决策4.3.2能够将条件期望与条件方差应用于风险分析4.3.3能够将条件期望与条件方差应用于经济学领域4.3.4能够将条件期望与条件方差应用于其他相关领域五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1条件期望与条件方差的概念理解5.1.2条件期望与条件方差的计算方法5.1.3条件期望与条件方差在实际问题中的应用5.1.4条件期望与条件方差的关系5.2教学重点5.2.1条件期望与条件方差的定义与性质5.2.2条件期望与条件方差的计算方法5.2.3条件期望与条件方差在实际问题中的应用5.2.4条件期望与条件方差的关系5.3教学策略5.3.1使用直观的例子和图示来解释概念5.3.2通过练习题和案例研究来加强计算方法的掌握5.3.3引导学生参与讨论和小组活动，以促进理解和应用5.3.4提供反馈和额外的资源，以帮助学生克服难点六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1投影仪和电脑，用于展示PPT和视频资料6.1.2白板和马克笔，用于书写公式和图示6.1.3教学软件，如统计软件或计算器，用于演示计算过程6.1.4实际案例研究材料，用于分析和讨论6.2学具准备6.2.1笔记本和文具，用于记录笔记和练习6.2.2练习题和作业，用于巩固学习内容6.2.3统计软件或计算器，用于完成计算任务6.2.4小组讨论材料，用于小组活动和合作学习七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过实际问题引入条件期望与条件方差的概念7.1.2讨论条件期望与条件方差在实际生活中的应用7.1.3提出学习目标和教学计划7.1.4激发学生的兴趣和动机7.2讲解新知7.2.1详细讲解条件期望与条件方差的定义和性质7.2.2通过示例和练习来演示条件期望与条件方差的计算方法7.2.3讨论条件期望与条件方差的关系和实际应用7.2.4强调重点和难点，解答学生的疑问7.3巩固练习7.3.1分发练习题，让学生独立完成7.3.2提供反馈和解答，帮助学生纠正错误7.3.3通过小组讨论和合作学习来加深理解7.4应用拓展7.4.1通过案例研究来应用条件期望与条件方差7.4.2引导学生进行实际数据分析和统计决策7.4.3鼓励学生探索条件期望与条件方差在其他领域的应用7.4.4提供额外的资源和指导，以支持学生的深入学习7.5.1回顾学习目标和教学内容7.5.2让学生分享学习心得和收获7.5.3提供反馈和评价，鼓励学生的进步7.5.4布置作业和预习任务，为下一节课做好准备八、板书设计8.1条件期望与条件方差的定义与性质8.1.1板书条件期望的定义8.1.2板书条件方差的定义8.1.3板书条件期望与条件方差的关系8.1.4板书条件期望与条件方差的性质8.2条件期望与条件方差的计算方法8.2.1板书条件期望的计算公式8.2.2板书条件方差的计算公式8.2.3板书条件期望与条件方差的计算步骤8.2.4板书条件期望与条件方差的计算示例8.3条件期望与条件方差的应用8.3.1板书条件期望与条件方差在实际问题中的应用8.3.2板书条件期望与条件方差在统计学中的应用8.3.3板书条件期望与条件方差在经济学中的应用8.3.4板书条件期望与条件方差在其他领域的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1计算给定条件下的条件期望9.1.2计算给定条件下的条件方差9.1.3解决涉及条件期望与条件方差的实际问题9.1.4分析条件期望与条件方差的关系9.2案例分析题9.2.1分析给定案例中的条件期望与条件方差9.2.2讨论案例中条件期望与条件方差的应用9.2.3提出解决方案并计算条件期望与条件方差9.2.4分析条件期望与条件方差在案例中的作用9.3应用拓展题9.3.1探索条件期望与条件方差在其他领域的应用9.3.2研究条件期望与条件方差在决策中的作用9.3.3分析条件期望与条件方差在风险分析中的应用9.3.4探讨条件期望与条件方差在其他学科中的应用十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.1反思学生对条件期望与条件方差的理解程度10.1.2反思教学方法和策略的有效性10.1.3反思学生的参与度和学习动力10.1.4反思教学目标和教学内容的达成情况10.2拓展延伸10.2.1探索条件期望与条件方差的高级理论10.2.2研究条件期望与条件方差在其他学科中的应用10.2.3引导学生进行相关的项目研究和实践应用10.2.4提供额外的资源和指导，以支持学生的深入学习重点关注环节补充和说明：在教学过程中，重点关注环节包括讲解新知和巩固练习。
条件概率及全概率公式
与所抽出的球具有相同颜色的
球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出
P(W1W2R3R4)
=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、
丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，
则由已知， PA 50%, PB 30%, PC 20% PD | A 95%, PD | B 90%, PD | C 85%
从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得 到：
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多 少解? : 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1: P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
3. 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P (Ω | B) =1 ；
3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1+…+An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率.
=1,2,…,n,
另有一事件B, 它总是与 n
A1, A2, … ,An之一同时发生，即 B Ai ，
高中数学_2.2 条件概率与事件的独立性教学设计学情分析教材分析课后反思
课题：2．2．1条件概率【教学目标】（一）知识与技能：通过对具体情景的分析，理解条件概率的定义和掌握条件概率的计算方法（二）过程与方法：归纳，类比的方法和数学建模的思想（三）情感、态度与价值观：培养学生思维的灵活性及知识的迁移能力，书面表达的严谨和简练；提高探索问题的积极性和数学学习的兴趣【教学重点】条件概率定义的理解，概率计算公式的应用【教学难点】概率计算公式的应用【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学设想】引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式【教学过程】一、创设情景——引入概念：〖情景激疑〗引例抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(B)，P(B |A).(2)比较(1)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系二、讲授新课（一）条件概率的概念1.〖条件概率的概念〗设A和B为两个事件，且P(A)>0，称(|)P B A为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率.(|)P B A读作A发生的条件下B发生的概率．强调：且P(A)>02.〖辨析〗（1）概率P(B|A)= P(B) ?（2）概率P(B|A)与P(A|B)含义相等吗？（3）概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系，P(B|A)=P(AB)吗？联系：事件A，B都发生了区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω。
P(AB)表示的是A和B同时发生的概率P(B|A)表示的是在A已经发生的情况下，求B发生的概率（4）如何从集合角度理解条件概率？3．〖条件概率的计算〗（1）()(|)()P ABP B AP A=；（2）(|)P B A=()()n ABn A（二）例题讲解例1.这个家庭中有两个孩子，已知其中有一个是女孩条件下，问另一个小孩是男孩的概率为多大？例 2.某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?强调：解题格式的规范性〖牛刀小试〗甲乙两地都位于甘肃西部，根据多年的气象记录，知道甲乙两地一年中沙尘暴天所占的比例分别为20％和18％，两地同时刮沙尘暴的比例为12％，问：（1）乙地为沙尘暴天时甲地也为沙尘暴天的概率是多少？（2）甲地为沙尘暴天时乙地也为沙尘暴天的概率是多少？（四）课堂练习——评价反馈（五）总结反思——提高认识（六）课外作业：课本54页练习2，3（七）课后反思高二（2）班学情分析一、班级情况分析本班共有43名学生，男女生人数分别是15名,28名，学生基础比较好。
高中数学221《条件概率二》课件新选修
如果事件A和B独立，那么P(A|B) = P(A)，即事件B发生的条件下事件A 发生的概率等于事件A发生的概率。
独立性是条件概率中的一个重要概念，它有助于简化概率计算，并帮助 我们更好地理解事件之间的关系。
利用条件概率判断事件的独立性
当我们已知P(A|B)和P(B|A)的 值时，可以通过比较这两个值 来判断事件A和B是否独立。如 果P(A|B) = P(A)且P(B|A) = P(B)，则A和B独立。
如果P(A|B) ≠ P(A)或P(B|A) ≠ P(B)，则A和B不独立。
判断事件的独立性对于理解概 率模型和进行概率计算非常重 要，它有助于我们更好地理解 事件之间的关系。
05 条件概率的扩展知识
条件概率的连续性
总结词
条件概率的连续性是指在多个条件概率之间存在一定的关联，其中一个条件概率的结果 会影响到下一个条件概率的计算。
详细描述
在概率论中，条件概率的连续性是指当一个事件的发生会影响另一个事件发生的概率时 ，这种连续性关系可以通过一系列的条件概率来描述。例如，在赌博中，玩家连续掷出 两次正面朝上的概率是独立的，但如果第一次掷出正面朝上，第二次掷出正面朝上的概
独立性在概率论中的重要性
独立性是概率论中的一个基本概念， 它有助于简化概率计算。
独立性还可以帮助我们建立复杂的概 率模型，例如在统计学、机器学习等 领域。
在实际应用中，独立性可以帮助我们 预测事件的发生概率，例如在赌博、 保险、气象等领域。
理解独立性对于深入理解概率论和统 计学非常重要，它也是进一步学习高 级概率论和统计学的基础。
课件8：2.2.1 条件概率
命题方向 条件概率的性质及应用
[例4] 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至 少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得 优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[分析] 解本题的关键是设出相关事件，再由概率公式及条件概率 的性质计算即可．
显然：P(A)＝1326＝13，P(B)＝1306＝158，P(AB)＝356.
(2)方法 1：P(B|A)＝nn((AAB))＝152. 5
方法 2：P(B|A)＝PP((AAB))＝316＝152. 3
[点评] 在等可能事件的问题中，求条件概率采用方 法 1 更易理解，然而最通用的方法是条件概率公式 P(B|A) ＝PP((AAB))，这就需要求出 P(AB)和 P(A).
命题方向 利用缩小样本空间的观点计算p(B|A) [例2] 一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么． (1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？ [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①口袋内两种颜色球的个数；②分两次摸白球． 解答本题可先分析两个问题的不同之处，再按要求解答．
[解] (1)设 Ai 表示第 i 次取到白球的事件(i＝1,2,3)． ∵P(A1)＝46××55××44＝23， P(A1∩A2∩A3)＝46××35××24＝15， ∴P(A2∩A3|A1)＝P(A1P∩(AA12)∩A3)＝130. (2)∵P(A1∩A2)＝25，P(A1∩A2∩A3)＝15， ∴P(A3|A1∩A2)＝12.
＝( )
A．14
B．12
C．34 【答案】 C
D．25
条件概率与三个公式
1 14 P( B | A) 3 34
P( B | A)
概率论
又例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}， A={掷出偶数点}， P(B )=1/6， P(B|A)=？
已知事件A发生，此时试验所有可能结果 掷骰子 构成的集合就是A，
A中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其
中只有1个在集B中. 于是
= (4/5)(1/4)= 1/5
概率论
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
P ( A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5. 这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说，
P(B|A)= 1/3. 容易看到
1 1 6 P( AB) P(B|A) 3 36 P( A)
概率论
例 1.15 假设5个同样的球，其中2个红球，3个白球， 先后从中随机（无放回）抽取两次，设A={先抽到是红球}， B={后抽到是红球} ，求在事件A发生的条件下，事件B发生 的概率。 解 为了叙述方便，把5个球依次编号为1，2，3，4，5，
解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 显然，该动物要活到25岁以上，必然已经活过了 20年，即AB＝B，所以P(AB)=P(B) 于是
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
2 1 2
把的基本事件一一列出
条件概率有关条件概率的三个重要计算公式
第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。
下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。
对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。
这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。
下面我们看第一个乘法公式。
*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。
证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。
压轴题07 统计与概率压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：统计与概率题型/考向二：统计案例一、统计与概率热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二概率1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A，B为随机事件，且P(A)＞0，则P(B|A)＝P（AB）P（A）.3．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)＞0，i＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一统计与概率一、单选题1．对某校中学学生的身高进行统计，并将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），则该校学生身高数据的中位数为（）A ．165B ．165.75C ．166D ．166.252．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >3．已知数据12,,,n x x x 是某市()*5,n n n ≥∈N 个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，组成1n +个数据，则下列说法正确的是（）A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变4．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（）A ．甲的单场平均得分比乙低B ．乙的60%分位数为19C ．甲、乙的极差均为11D ．乙得分的中位数是16.55．某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为,,,,A B C D E 五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．3147．2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为（）A ．310B ．25C ．35D ．7108．不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．45二、多选题9．如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A ．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B ．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C ．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D ．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为32810．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h ）的数据如下：男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.以下判断中正确的是（）A ．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8B ．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2C ．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h 的概率的估计值为0.3125D ．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大11．已知甲袋内有a 个红球，b 个黑球，乙袋内有b 个红球，a 个黑球(),a b *∈N ，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件A =“取出的2个球中恰有1个红球”，B =“取出的2个球都是红球”，C =“取出的2个球都是黑球”，则（）A ．()0.75P AB +≤B ．()()P A P B >C ．()()P B P C <D ．()()P A B P A C +=+12．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（）A ．两次讲座都在东礼堂的概率是14B ．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是12C ．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D ．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是13三、解答题13．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间[)20,40，9：40~10：00记作[)40,60，10：00~10：20记作[)60,80，10：20~10：40记作[]80,100，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？14．我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小（单位：克）分为4组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[]60,80，并绘制频率分布直方图如下所示：(1)估计每副该中草药的平均重量（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(2)现从每副重量在[)20,40，[]60,80内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在[]60,80中的概率．二、统计案例热点一回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点二独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型二统计案例一、单选题1．以模型()e 0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =（）A ．12B ．2e -C ．1e -D ．e2．下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③3．给出以下四个命题：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②回归模型中离差是实际值i y 与估计值ˆy的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅（2n ≥，12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；④对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（）A ．城镇人口与年份呈现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.47.6yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，x681012y6m32则下列说法中错误的有（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．变量,x y 之间的相关系数0.4r =-C ．m 的值为5D ．该回归直线必过点(9,4)6．设两个相关变量x 和y 分别满足下表：x12345y128816若相关变量x 和y 可拟合为非线性回归方程ˆ2bx a y+=，则当6x =时，y 的估计值为（）（参考公式：对于一组数据()11u v ，，()22u v ，，⋯，()n n u v ，，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆav u β=-；51.152≈）A ．33B ．37C ．65D ．737．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．1758．已知一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为0.8587ˆ 5.yx =-，则在样本点(165,57)处的残差为（）A ． 2.45-B ．2.45C ．3.45D ．54.55二、多选题9．下列关于成对数据的统计说法正确的有（）A ．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关B ．样本相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度C ．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据D ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越差10．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm 165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为 11y bx a =+ ，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定()168,89为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为 22y bx a =+ ，相关系数为2r ，决定系数为22R ．则以下结论中正确的有（）A ． 12a a >B ．12bb > C ．12r r <D ．2212R R >11．下列命题中为真命题的是（）A ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．B ．一组数按照从小到大排列后为：1x ，2x ，…，n x ，计算得：25%17n ⨯=，则这组数的25%分位数是17x ．C ．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差．D ．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误．12．给出下列说法，其中正确的是（）A ．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5B ．已知数据12,,x x 的平均数为2，方差为3，那么数据121x +，221x +，L 的平均数和方差分别为5，13C ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定D ．样本相关系数()1,1r ∈-三、解答题13．国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码x 12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n ii i ni i x x yy b a y bx x x ==--==-∑∑参考数据：88882211112292,204,730348,12041i i i i i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑，257385.84=≈≈14．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828。
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册8.1.2全概率公式课件
n
使用全概率公式的前提是 Ai(i＝1, 2，3，…，n)是互斥事件，且Ai＝Ω 为样本空间，
i＝1
事件 B⊆Ω，才能计算事件 B 发生的概率．
设甲袋有 3 个白球和 4 个红球，乙袋有 1 个白球和 2 个红球．现从甲袋中任取 2 个 球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球．求从乙袋中取出的是 2 个红球的概率．
【解析】 记事件 A1：从甲袋中取出 2 个红球，A2：从甲袋中取出 2 个白球，A3： 从甲袋中取出 1 个白球和 1 个红球，B：从乙袋中取出 2 个红球．
显然，A1，A2，A3 两两互斥，且 A1＋A2＋A3 正好为“从甲袋中任取 2 个球”的样本 空间 Ω，所以由全概率公式，
得 P(B)＝i＝31P(Ai)P(B|Ai)＝CC2427·CC2425＋CC2327·CC2225＋CC13·27C41·CC2325＝154.
解析
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的和，再由概率的加法公式和 乘法公式求得这个复杂事件的概率．
活动二 全概率公式
n
一般地，若事件 A1，A2，…，An 两两互斥，且它们的和Ai＝Ω，P(Ai)>0，i＝1,2，…，
i＝1
n
n，则对于 Ω 中的任意事件 B，有 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)．
取一个零件为次品”，则 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.对于 A，P(A1B)＝
P(A1)P(B|A1)＝0.25×0.06＝0.015，故 A 错误；对于 B，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，故 B 正确；对于 C，P(A2|B)
八年级数学下册第8章认识概率8.2可能性的大小教案苏科版(2021年整理)
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8。
2 可能性的大小8。
2 可能性的大小教学目标1．知道随机事件发生的可能性有大有小；2．让学生感受随机事件发生的可能性有大有小,感受影响可能性大小的因素；3．让学生感受数学学习中，从猜想→实验(验证）的过程和感受从实验→结果(估计)的过程．教学重点体会事件发生的机会不总是均等的．教学难点理解随机事件发生的可能性有大有小．教学过程（教师）学生活动设计思路一、情境创设引入:让美羊羊和同学们先来做一个“找同桌”的游戏吧！让我们在游戏中思考，在游戏中探索．游戏规则：先请4名同学来做游戏,其中2名同学是同桌关系，其中一名同学蒙上双眼，另3位同学站在周围转圈，当中间这位蒙上双眼的学生喊停时,他手指指向哪位同学，就算找到这位同学．在玩之前同学们请猜一猜，蒙上参与游戏，独立思考,积极交流．把学生学习的内容和实际情景联系起来，让学生在现实情境中解决问题．用“找朋友”这样的情景引入，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用，与教学内容紧密相关．二、探索活动活动一摸球实验．（1）在一个不透明的袋子中装有2个白球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．①你认为从中任意摸出1个球，摸到的球可能是哪种颜色？②你认为摸到哪种颜色球的可能性大？③每位同学从袋子中摸1个球，记下所摸球的颜色，然后将球放回并摇匀;④按③的方法请几位同学轮流摸球,并将试验结果填入下表：我们用实验验证了大家的猜想．(2）怎样才能让摸到白球的可能性比黄球大呢？（3）怎样才能让摸到白动手实践，小组活动，在实验中交流．参考答案：（1）①可能是白球,可能是黄球；②摸到黄球的可能性大；③④学生活动记录数据，随机数据．（2)可以使袋中的白球数比黄球多．（3）再多放一些白球．(4）在摸球试验中，每次摸到的球的颜色是随机的，摸到每个球的可能性是一样的，摸到白球的可能性与白球的数量以及总的球数有关．通过设计巧妙合理的问题,为学生创造更广阔的思维空间．学生在自主活动中不断的探究问题、发现问题、总结问题，培养学生分析解决问题的能力．练一练：在5个不透明的袋子中分别装有10个球,其中，1号袋中有10个红球,2号袋中有8个红球、2个白球，3号袋中有5个红球、5个白球,4号袋中有1个红球、9个白球，5号袋中有10个白球．从各个袋子中摸到白球的可能性一样吗？请将袋子的序号按摸到白球的可能性从小到大的顺序排列．独立思考，归纳猜想，积极发言．每次摸到的球的颜色是随机的．因白球和红球的数量不等，所以摸到红球的可能性与摸到白球的可能性是不一样的．从摸球的实验中体会到随机事件发生的可能性有大有小．参考答案：1号，2号，3号，4号，5号．通过学生活动,给足学生空间和时间,让学生在“做中学”,经历知识的形成过程，让学生对知识的认识由感性上升到理性．活动二掷骰子．任意地抛掷一枚均匀的骰子,当骰子落地时，（1）朝上的点数会有哪些可能？（2）任意地抛掷一枚均匀的骰子，先后抛掷2次．我们一起来实验．动手实践，合作学习，小组认真活动后得到结果：(1）朝上的点数会是1或2或3或4或5或6．（2）2次朝上的点数会有两种可能：2次点数相同，2次点数不同,实验得到数据．（3）我们将全班同学进行分组活动：每组9名同学,1名统计员，1名记重视渗透统计与概率之间的联系，通过频率来估计随机事件发生可能性的大小，通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计，符合学生的年龄特（3）如果全班同学每人抛掷2枚均匀的骰子，记下朝上的点数的数字，并计算出2次点数之和．（请思考:2次点数之和会有哪些可能的结果呢？抛掷若干次之后，点数之和是几出现的可能性比较大呢?）在这些结果中，它们发生的可能性一样吗？你认为哪些结果发生的可能性大？实验验证：两个点数之和频数频率2 3 4 5 6 7录员，另外7名同学抛掷骰子，开始抛第一次，统计，记录．开始抛第二次，统计,记录．开始抛第三次，统计，记录……每组的记录员将结果填入黑板上的表格中．班长完成全班的数据和．点和心理发展规律，让学生乐于接触的，进一步发展学生的随机观念．小结:抛掷骰子结果可能性有大有小，事件可能性的大小可以通过实验来估计．89 10 11 12活动三 转转盘．（到了商业大厦）看到有奖转盘被4等分．1．如图,转盘被分成4个相等的扇形．转动转盘，当指针停在哪个数据区域上，就说它指向几．当指针停在边界时，重新转动转盘，直到指向一个数据．2．美羊羊到了金鹰大厦又看到了不一样的转盘，转盘被分成8个相等的扇形．（1）转动转盘一次，指参与游戏，积极思考，生生评价:1．请同学到电脑前演示： 指针落在1、2、3、4是随机事件． 2．(1)指针落在黄色区域、落在红色区域、落在绿色区域是随机事件．（2）指针落在绿色区域上的可能性小．(3）指针落在黄色区域上的可能性大．因为黄色区域的面积最大． （4）指针不可能落在黑色区域．总结：在这个试验中，任意旋转转盘1次，当转盘停止时，指针落在哪种颜色区域上是不确定的．由于各颜色区域的面积不等，所以指针落在不同颜色区域上的可能性也不一样．转盘问题,有利于让学生初步感受到几何概型．设计了三个问题，由简单到复杂，由浅入深，体现了活动开展的层次性．在合作学习的过程中，随着学生之间不同程度的交往和互相配合、互相帮助，增强他们的集体荣誉感、责任感,以及交际能力、合针会落在哪种颜色的区域上？（2）指针落在哪种颜色区域上的可能性小?(3）指针落在哪种颜色区域上的可能性大?这是为什么呢？（4)指针会落在黑色区域吗（不可能）?3．老师现在手中共拿出几张转盘，根据刚才的思考，你能否将转盘按照指针指在红色区域的可能性大小排序呢？请按从小到大的顺序排列．指针指在红色区域的可能性大小与谁有关？总结：随机事件的可能性大小与面积有关． 3．红色区域面积越大,指在红色区域的可能性越大．作能力．拓展延伸：（小组讨论，合作交流）．刚才的活动对你有没有启发？下面就请大家放飞思维的翅膀,请每人分别举出一些随机事件，在小组内交流，说一说举得事件中，谁发生的可能性大，谁发生的可能性小？生活中有很多类似这样的问题，美羊羊给同学们提出一些问题．想一想：请问下列事件哪些可能性大？哪些可能性小? 1．在一副扑克牌中任意抽出一张牌，这张牌是大王的可能性大还是红桃的可能性大？2．在你们班级任意找二名学生，他们是同一年出生的和同一个月出生的哪一种可能性较大？3．买一张彩票,中奖的可小组交流讨论（请小组派代表在全班交流)．小结:随机事件发生的可能性有大有小,事件可能性的大小也可以通过分析来估计．想一想：（参考答案）1．是红桃的可能性大．2．同一年出生可能性大．3．不中奖可能性大．再次把学生引回到具体的实际问题，并组织学生小组讨论、合作交流，引导学生对身边随机事件作数学思考,让不同的认识进行碰撞，每个学生在进行数学表达的同时,可以不断获取新的信息，建构并完善自我认知结构．能性大还是不中奖的可能性大？三、小结与作业1．我们的收获：学习了本节课，你有哪些收获？2．小结：这节课我们做了很多活动,老师这里有一个转盘，它是我们可以想到的最大的转盘．它是以生命为圆心，以道德、能力、素养和习惯的和为半径的转盘．我们就是这个转盘上的指针，如果用黄色代表成功，白色代表失败，我们如何在转盘上获得更多的黄色呢?同学们畅所欲言，说出自己的想法，积极反思一节课的收获，充满成就感．例如:今天的哪一个活动你最感兴趣？从中你得到什么启发？你从其他同学的表现中学到了什么？把总结评价的主动权充分地交给学生，同时给学生一个开放的思维空间，培养学生的知识整理与语言表达能力，情绪会被再度调动起来，从而起到认知升华的作用．11 / 1111。
马尔柯夫预测法.pptx
则称 X n , n 0为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 E1, E2 ,, Em ; E j 称为状态。
第4页/共75页
第8.1 马尔柯夫链简介
2. 状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率
P X mk E j X m Ei
（8.1.2）
在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态
M11 3
M12 4
M13 0
M 21 1
M 22 1
M 23 3
M 31 2
M 32 0
M 33 5
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从而
p11
3 7
3 p23 5
所以
p12
4 7
p13
0 7
p 21
1 5
2
0
p31 7 p32 7
5 p33 7
3 4 0
7 7
P
1 5
1 5
3 5
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
p12 p22
p1N p11 p2N p21
pN 2 pNN pN1
p12 p22
pN2
p1N p2N
转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某系统在时刻 m 处于状态 Ei 的条件下，
到时刻 m k 处于状态 E j 的概率。
定义 8.1.2 称
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5
答案3：9
4：
3 7
2
5： 17
• 五【课堂小结】半节课要学会判断与求 条件概率。
• 六【作业布置】
谢谢指导
▲条件概率中，在A 空间下B事件发生的概率。 实际上，概率空间由全集U变为A。前提变小了。
▲积事件AB中，A与B是“且”关系.其空间还 是全集U。
二【高考真题回放】
• （2014•新课标II）某地区空气质量监 测资料表明，一天的空气质量为优良 的概率是0.75，连续两天为优良的概 率是0.6，已知某天的空气质量为优 良，则随后一天的空气质量为优良的 概率是（ ）
四【课堂作业与课外练习】
• 1. 已知 P(B | A) 0.3, P(A) 0.2 ，则P（AB） =．
E
H
O
F
G
3.袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球， 不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的 条件下，第2次摸出的也是红球的概率 为．
• 4.把一枚硬币任意抛掷三次，事件A＝ “至少一次出现反面”，事件B＝“恰有一 次出现正面”，则P(B|A)＝________.
计算 P(B| A)
答：法一（条件概 率概念入手）
P(B| A) C37C3120 0.278 C3193
法二：（条 件概率公式 P(B| A) 入手）
P( AB) P( A)
ห้องสมุดไป่ตู้
C163C379C73C3120 C3193C163C379
0.278
2：在某次考试中，要从20道题目中随机抽 出6道题，若某考生至少答对其中4道题即可通 过；若至少能答对其中5道题就获得优秀。已 知该考生能答对其中的10道题，并且知道他在 这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概 率。
P（红球| A） 0.35 0.5 0.7
•或求错条件概率 P（红球| A） 0.5 5
0.7 7
在计算条件概率时往往有两种方案：条件概 率概念入手与公式入手。
【课堂训练】
• 1：把一副扑克的52张（去掉大小王）
随机均匀分给甲乙丙丁四人，
A={甲得到6张草花}，B={乙得到3张草花} ，
• 分析：设A表示
“通过事件”，B
C140C120 C150C110 C160C100
表示“优秀事件”，
C260
P则(PA(BA))== C150C110 C160C100
C260
所以P(B|A)=
C150C110 C160C100 C140C120 C150C110 C160C100
• 分析：试验成功有两种情况。 • 第一，第一次出A球后摸第二个盒子取出
红球；概率为
P1 0.7 0.5 0.35
•第二，第一次出B球后摸第三个盒子取出红 球；概率为
P2 0.3 0.8 0.24
P P1 P2 0.59
【课堂点评】
• 成功要分两类。对于取出A获得成功的概率 是0.7×0.5，包含两步独立取球形成整体， 容易出现只求条件概率的错误：
• A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
•答：设A={某天为良}，B={第二天也良}， 按公式 P（B | A） P（AB） 0.6 0.8
P( A) 0.75
三【例题精选】
• 例题1：有外形相同的球分装三个盒子， 每盒10个。其中，第一个盒子中有7个球标 有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中 有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球 8个，白球2个。试验按以下规则进行：先 在第一个盒子中任取一个球，若取出标有 字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球； 若第一次取得标有字母B的球，则在第三个 盒子中任取一个球。如果第二次取出红球， 则称试验为成功。求试验成功的概率。
条件概率
授课班级：高二（14） 授课人：吴锦安 时间：20180524
一【知识再现】
• 设事件A,B，U为全事件，且 P(A) 0 ，在A发生的 前提下，事件B发生的概率为 P(B | A) P( AB) , P( A)
• 这就是条件概率及其公式求法。要明白几点：（1） 把A事件重新理解为必然事件，（2）统计A事件下B 事件的结果数（即A与B的交集）。（3）要从集合 角度认识。（4）要与A,B的积事件区别。