线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算

0
0
0
b12
b1n
0
0
b22
b2n
1
b0n1
bn2
bnn
28
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B
1 0 0 1
00
c a1n
nk11a11kbk1 0
0
c a2n
nk12a12kbk1 0
0
c ann
nk1na1nkbk1 0
0
0
0 b12
b1n
0
0 b22
b2n
1
b2n
00
1 bn1 bn2
bnn
26
b21倍
a11 a12 a21 a22
a1n a11b11a11ba1112b21 0
0
a2n a21b1a1 21ba1122b21 0
0
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
ann an1b1a1 n1ba11n2bห้องสมุดไป่ตู้1 0
0
0
0
b12
b1n
0
0b21 b22
证明：设 A (aij ), B (bij ), C AB (cij ) ，
则由拉普拉斯定理知下式成立：
a11 a12
a1n
00
0
a21 a22
a2n
00
0
A O an1 an2 E B 1 0
0 1
ann
00
0 b11 b12
0 b21 b22
0 AB
b1n b2n
00
1 bn1 bn2
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
b22
a11 a12 a11 b12 a11 a12 b11 b12 a21 a22 a21 b22 b21 b22 b21 b22
5
二、数与矩阵相乘
1、定义
设l是一个数，矩阵 A (aij )mn ，则(laij )mn
称为矩阵A和数l的(数量)乘积，记为 l A
,
B
1
1
1
1
O
,
C
2 0
0 2
2
BA
2
2
2
BC
，但A≠C.
这一点一定要引起注意！
若BA=O, AB=O，不能得出A=O或B=O 的结论，如
1
0
A
0 O,
B
1 O
21
例5 若A2 ＝B2＝E，则(AB)2=E的充分必要条件是 A与B 可交换.
证明：
充分性 若A与B可交换，即 AB＝BA，
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
3
2、运算性质
设A,B,C,O为同型矩阵，则有
1 A B B A
2 A B C A B C 3 A O A
bnn
25
利用行列式性质6，用 -E的那些 -1把 A 0
中的B所在部分都消成0.
E B
b11倍
a11 a12
a1n a11b011 0
0
a21 a22
a2n a21b011 0
0
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
ann an1b011 0
0
0 b011 b12
b1n
0 b21 b22
AX b.
矩阵的乘法为其它许多研究提供了方便的手段.
17
２、矩阵乘法的运算性质
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC , B C A BA CA;
3 l AB lAB AlB （其中 l 为数）;
4 Em Amn Amn AmnEn;
5 若A是 n 阶矩阵，则 Ak 为A的 k 次幂，即
第二章 矩阵代数
第二节 矩阵的代数运算
目的：掌握矩阵代数运算的定义、条件及 运算性质.
1
§2.2.1 矩阵的加法与数乘
一、矩阵的加法
１、定义
两个同型矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn 的对应元 相加所得的矩阵 C (aij bij )mn 称为A和B的和， 记作C＝A＋B.
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
1 1
1 1
而
AB
0 0
0 0
O.
20
(3) 由BA=BC （或AB=CB），且B≠O，不能得出
A＝C 的结论，即乘法一般不满足消去律.
如前面的
A 1 1
1 1
线性组合是讨论同型矩阵之间是否有所谓线 性关系的基本概念. 特别是当它们都是n维向量时， 这种讨论很有用.
第三章将详细讨论. 10
例
设
M1
1
0
0 0
,
M2
0 0
1 0 ,
M3
0
1
0
0
0
,
M4
0
0 1 .
证明：任何一个二阶矩阵
A
a11 a21
a12
a22
都是M1，M2，M3，M4的线性组合.
则 (AB)2 = ABAB =A(BA)B =A(AB)B =(AA)(BB) =A2B2 =EE =E
必要性 若(AB)2=E， 两边同左乘A，再右乘B得 A(AB)2B =AEB =AB
而A(AB)2B ＝ AABABB = (AA)BA(BB) =EBAE =BA
故 BA＝AB，即A与B可交换.
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
a11 a12
kA
k
a21
a22
a1n
a2
n
ka11 ka21
ka12 ka22
ka1n ka2n
an1
an 2
ann
kan1 kan2
kann
a11 a12
a1n
k n a21 a22
a2n k n A .
an1 an2
ann
故对于n阶方阵A有: |kA|=kn|A|.
9
三、线性组合
则C称为矩阵A和B的乘积，记作AB，读做A右乘B 或B左乘A. (注：不同资料读法可能相反，不要深究)
C特点：C的第i行、第j列处的元 ＝ A的第i行元 与B的第j列对应元乘积之和.
12
－2×2+4×(－3)
例1
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 求AB.
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am 2 bm 2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
矩阵的加法就是矩阵对应的元相加
2
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行 加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
7
3 2
1 3
例设
A
4
1 ,
B
2
4
1 5
3 1
有矩阵X满足 A+3X=2B，求X.
解：
1 3 3 2
X
1 (2B 3
A)
1 3
2
2 3
4 1
4 1
1 5
2 6 3 2 1 4
1 3
4 6
8 2
4 1
1 5
1
3
0 5
7
3
8
又如设A=(aij)n，k为数，则
OA A
4 A A O
另外，矩阵的减法定义为：A−B = A + (−B).
4
注意：
• 对于矩阵有
a11 b11
a21
b21
a12 a22
b12 b22
a11 a21
a12 a22
b11 b21
b12
b22
• 而对于行列式一般 |A+B|≠|A|+|B|
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12
anbn
bn
b1a1
b1a2
BA
b2a1
b2a2
，
bn
a1
bna2
b1an
b2an
bnan
n
注意 该1×1矩阵作为运算结果可与数aibi同等看待， i1 但是在运算过程中不能视做数，这是因为数与矩阵
的乘法和矩阵与矩阵的乘法是两种不同的运算.
如：上述矩阵A、B和另外矩阵 Cmn (m 1) , AB 看作数ABC有意义，而实际无意义.
2 17 10
14
左矩阵
AB 右矩阵
注意 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时， 两个矩阵才能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
15
例3 设 A (a1,a2,
AB a1b1 a2b2
n i1
aibi
b1
, an ),
B
b2
，则
23
3、方阵的多项式
当A为方阵时，称矩阵 f (A) a0 Am a1Am1 am1A amE
为矩阵A的多项式，也称 f(A)是普通多项式
f (l) a0lm a1lm1 当 l=A的值.
性质：
am1l am
设 f (l), g(l) 是两个多项式，令
h(l) f (l) g(l), s(l) f (l)g(l).
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
b2n
00
1
bn1
bn2
bnn
27
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
00
bn1倍
a1an11ab1111b+1nk1a11a21abk12b21kb1+21…0+ a1nbn10
a2n a21b1nk11a2ak2b2kb121 0
0
ann an1b1nk11anaknb2kb121 0
1 0
A
1
1
0 5
1 3 1
2
0
,
4
0
B
1 3
1
3 2 1 2
4 1 1
1
13
解:
A
aij
,
34
B bij 43
C
cij
.
33
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
证明：显然
A
a11 a21
证毕.
a12 a22
a11M1
a12 M 2
a21M 3
a22M 4 .
11
§2.2.2 矩阵的乘法
１、定义
足 设 A (aij )mn, B (bij )ns ，若矩阵 C (cij )ms 满 n cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj aikbkj k 1 (i 1,2, ,m; j 1,2, , s)
给定若干个同型矩阵 A1, A2, , Am ，经线性运算
m
l1A1 l2 A2 lm Am l j Aj B, j 1 (其中lj 为常数，j=1,2,…,m)
得到的矩阵B称为矩阵 A1, A2, , Am 的线性组合. 或者称矩阵B可经(由)矩阵 A1, A2, , Am 线性表出
（线性表示）.
(1) 矩阵乘法不满足交换律，即一般：
AB BA, ABk Ak Bk .
这是因为一般它们运算的结果不是同型矩阵. 即使是同型矩阵也不一定相等.
19
特殊的，若矩阵A, B满足AB=BA，则称A与B 是可交换的. 显然，此时A, B均为同阶方阵.
例如: 单位矩阵 E 和任何同阶方阵可交换. 数量矩阵lE 和任何同阶方阵可交换.
16
例4 对于线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
x1 b1
若记
A
(aij
)mn ,
X
x2
,
b
b2
,
则上述线性方
xn
bm
程组可表示为矩阵方程
22
例6 如果方阵A，B满足AB＋BA＝E，且A2＝O
（或B2＝O ），则 (AB)2=AB.
证明：仅以A2＝O为例.
在AB＋BA＝E两边同时左乘矩阵A，再
右乘矩阵B得
A(AB＋BA)B＝AEB =AB 而 A(AB+BA)B＝(AAB+ABA)B =(O+ABA)B
=(AB)2 故 (AB)2=AB .
Ak A A A ,并且 Am Ak Amk , Am k Amk .
k
m ,k为正整数
并对方阵A规定: A0=E.
18
几点注意：
例
设 A 1 1
1 B 1 1， 1
11，
C
2 0
0
2
则 AB 0 0
0 , 0
BA
2 2
2 , 2
BC
2 2
2
2
显然，AB≠BA, BA=BC.
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)